信息安全数学基础第二版课后练习题含答案

信息安全数学基础----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= .2、求欧拉函数= .3、设，则模的最小非负简化剩余系{ }.4、设，则模的所有平方剩余= .5、设，则模的所有原根个数= .6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。

7. 设m是正整数，a是满足的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。

8. 设m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。

9. 设, 如果同余方程__________, 则叫做模的平方剩余.10. 设, 则使得成立的最小正整数叫做对模的__________.二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“”，错的画“”）1、若是任意正整数, 则. （）2、设是个不全为零的整数，则与, ||, ||,…, ||的公因数相同（）3、设是正整数, 若, 则或. （）4、设为正整数, 为整数, , 且, 则. （）5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （）6、设是素数, 模的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. （）7、设为奇素数, 模的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （）8、一次同余方程有解. （）9、设是素数, 是模的原根, 若, 则是的整数倍.（）10、设, 则, …, 构成模的简化剩余系.（）11. , 则. （）12. 设是两个互素正整数, 那么, 则. （）13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，若ad≡bd(modm)。

则a≡b(mod m)。

（）14. 设为正整数, a是满足的整数，b为整数. 若为模的一个简化剩余系, 则也为模的一个简化剩余系. （）15. p为素数,n为整数且与p互素，则n2为模p的平方剩余. （）16. 设为正整数, 设, 则是模的平方剩余的充要条件是: . （）17. 3是模7的原根。

《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值ϕ(576) ＝()。

(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。

2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。

(1) 1或2，(2) | kn|，(3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。

3．模10的一个简化剩余系是( )。

(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。

4．29模23的逆元是( )。

(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。

5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。

(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x26．下面的集合和运算构成群的是( ) 。

(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。

(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。

8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是( )。

问题：是否所有的正整数都有原根？例如：m＝12Φ(m)＝6＝2×3，与m互素的正整数包括5，7，11。

52（mod 12）＝1因此，5对12的次数是272（mod 12）＝1因此7对模数m的次数为2112（mod 12）＝1因此11对模数m的次数为2因此m＝12没有原根。

2015-4-42015-4-4定理（整数存在原根的必要条件）：设m>1，若m 有原根，则m 必为下列诸数之一：2，4，p l ，2p l （l ≥1，p 为奇素数）。

定理（整数存在原根的充分条件）：设m ＝2，4，p l ，2p l （l ≥1，p 为奇素数）时，则m 有原根。

定理（整数原根个数）：设m 有一个原根g ，则m 恰有ϕ(ϕ(m))个对模数m 不同余的原根，这些原根由以下集合给出：{}|1(),(,())1tS g t m t m ϕϕ=≤≤=2015-4-417g m m m m m 1(),(,())13mod733mod75m t m t m ϕϕϕϕϕϕ×≤≤===例如，已知＝3是＝7的一个原根，求的所有元根。

解：（）＝6＝23（（））＝（6）＝2因此有两个元根。

满足条件的t=1,5即有两个元根，分别为3和5原根的判断：一般来说，判断g是否时一个素数m的原根时，不需要逐一计算g1，g2，…，gϕ(m)，而仅需要计算g t(modm），其中t|t|ϕϕ(m)。

2015-4-42015-4-4 23g m m 4mod74mod7)24mod7)14mod71m ϕϕ×==16例如，判断＝4是否是＝7的一个原根解：（）＝6＝23满足条件t|(m)的t=1,2,3,6（）＝4（（（）＝因此4不是的本元根。

2015-4-4本原根有关定理（续）定理（原根的计算）：12()2...11(mod )(1,2,...,)i s m q m m q q q g m g m gm i s ϕϕ>≠=设，（）的所有不同的素因子是，，，，（，）＝，则是的一个原根的充要条件是： 3121220812412525))20,812mod4140112mod411811241g m m q q m m q q m ϕϕϕ×====≠≠例如，证明＝是＝的原根。

网络信息安全课后习题答案网络信息安全课后习题答案一、密码学基础1.什么是密码学？密码学是研究信息的保密（加密）和完整性（签名、数字证书等）的技术和方法的学科。

2.请解释对称密钥加密和公钥加密的原理及其区别。

对称密钥加密是指加密和解密使用同一个密钥的加密方法，速度快、效率高，但密钥传输和管理比较麻烦。

公钥加密是指加密和解密使用不同的密钥的加密方法，安全性较高，但速度较慢。

3.什么是哈希函数？它的特点和应用有哪些？哈希函数是将任意长度的输入数据映射为固定长度输出的函数。

其特点是：●输入数据的任意微小改动都会导致输出结果的显著改变。

●输出结果的长度固定，通常较短。

●不可逆性，不可从输出结果反推输入数据。

哈希函数常用于数据完整性验证、数字签名等场景。

二、网络安全技术1.什么是防火墙？防火墙有哪些常见的工作模式？防火墙是一种用于保护网络安全的安全设备，通过控制网络流量的进出，实施访问控制、攻击防范等功能。

常见的工作模式包括包过滤、状态检测、代理服务和网络地质转换等。

2.描述一下常见的网络攻击类型，包括但不限于网络钓鱼、拒绝服务攻击、中间人攻击等。

●网络钓鱼：通过伪造合法的网站、电子邮件等手段，诱骗用户输入敏感信息。

●拒绝服务攻击：通过发送大量的请求，占用目标系统的资源，使其无法提供正常的服务。

●中间人攻击：攻击者劫持网络通信流量，窃取或篡改通信内容。

3.请解释什么是入侵检测系统（IDS）和入侵防御系统（IPS），它们有何区别和作用？入侵检测系统（IDS）是用于监测网络中的异常行为和攻击行为的设备或软件，能够及时发现潜在的威胁并发出警报。

入侵防御系统（IPS）则是在入侵检测的基础上，具备主动防御功能，能够自动对异常和攻击进行相应的防御和响应措施。

三、网络安全管理1.请并解释一下网络安全管理中常见的几个环节，包括但不限于安全策略制定、安全培训、漏洞修复等。

●安全策略制定：制定明确的网络安全策略和政策，明确安全目标和实施措施。

1-1 计算机网络是地理上分散的多台（c）遵循约定的通信协议，通过软硬件互联的系统。

A. 计算机B. 主从计算机C. 自主计算机D. 数字设备1-2 网络安全是在分布网络环境中对（d）提供安全保护。

A. 信息载体B. 信息的处理、传输C. 信息的存储、访问D. 上面3项都是1-3 网络安全的基本属性是（d）。

A. 机密性B. 可用性C. 完整性D. 上面3项都是1-4 密码学的目的是（c）。

A. 研究数据加密B. 研究数据解密C. 研究数据保密D. 研究信息安全1-5 假设使用一种加密算法，它的加密方法很简单：将每一个字母加5，即a加密成f, b加密成g。

这种算法的密钥就是5，那么它属于（a）。

A. 对称密码技术B. 分组密码技术C. 公钥密码技术D. 单向函数密码技术1-6 访问控制是指确定（a）以及实施访问权限的过程。

A. 用户权限B. 可给予那些主体访问权利C. 可被用户访问的资源D. 系统是否遭受入侵1-7 一般而言，Internet防火墙建立在一个网络的（c）。

A. 内部子网之间传送信息的中枢B. 每个子网的内部C. 内部网络与外部网络的交叉点D. 部分内部网络与外部网络的接合处1-8 可信计算机系统评估准则（Trusted Computer System Evaluation Criteria, TCSEC）共分为（a）大类（）级。

A. 4 7B. 3 7C. 4 5D. 4 61-9 桔皮书定义了4个安全层次，从D层（最低保护层）到A层（验证性保护层），其中D 级的安全保护是最低的，属于D级的系统是不安全的，以下操作系统中属于D级安全的是（a）。

A. 运行非UNIX的Macintosh机B. 运行Linux的PC机C. UNIX系统D. XENIX1-10 计算机病毒是计算机系统中一类隐藏在（c）上蓄意破坏的捣乱程序。

A. 内存B. 软盘C. 存储介质D. 网络二：2-1 对攻击可能性的分析在很大程度上带有（b）。

信息平安数学根底----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= .2、求欧拉函数φ(3000)= .3、设m=9，那么模m的最小非负简化剩余系={ }.4、设m=11，那么模m的所有平方剩余= .5、设m=22，那么模m的所有原根个数= .6. 设m，n是互素的两个正整数，那么φ(mn)=________________。

7. 设m是正整数，a是满足 m∤a的整数，那么一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。

8. 设m 是一个正整数，a是满足____________的整数，那么存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。

9. 设a∈Z,(a,m)=1, 如果同余方程x2≡a(mod m)__________, 那么a 叫做模m的平方剩余.10. 设a,m∈Z,m>1,(a,m)=1, 那么使得a e≡1(mod m)成立的最小正整数e叫做a对模m的__________.二、判断题〔在题目后面的括号中，对的画“√〞，错的画“×〞〕1、假设k是任意正整数, 那么(ak,bk)=(a,b). 〔〕2、设a1,a2,…,a n是n个不全为零的整数，那么a1,a2,…,a n与a1, |a2|, |a3|,…, |a n|的公因数相同〔〕3、设m是正整数, 假设m│ab, 那么m│a或m│b. 〔〕4、设m为正整数, a,b为整数, a≡b(mod m), d│b且d>0, 那么ad≡b d (mod md). 〔〕5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. 〔〕6、设m是素数, 模m的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. 〔〕7、设p=17为奇素数, 模p的平方剩余和平方非剩余的数量各为8.〔〕8、一次同余方程9x≡1(mod 24)有解.〔〕9、设p是素数, g是模p的原根, 假设g x≡1(mod p), 那么x是p−1的整数倍.〔〕10、设m>1,(a,m)=1, 那么1=a0,a,a2, …, a ord m(a)−1构成模m的简化剩余系. 〔〕11. b≠0, 那么(0,b)＝|b|. 〔〕12. 设a,b是两个互素正整数, 那么a│m,b│m, 那么ab│m. 〔〕13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，假设ad≡bd(modm)。

信息安全数学基础习题集一信息安全数学基础----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= .2、求欧拉函数φ(3000)= .3、设m=9，则模m的最小非负简化剩余系={ }.4、设m=11，则模m的所有平方剩余= .5、设m=22，则模m的所有原根个数= .6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。

7. 设m是正整数，a是满足 m∤a的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。

8. 设 m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。

9. 设a∈Z,(a,m)=1, 如果同余方程x2≡a(mod m)__________, 则a 叫做模m的平方剩余.10. 设a,m∈Z,m>1,(a,m)=1, 则使得a e≡1(mod m)成立的最小正整数e叫做a对模m的__________.二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“√”，错的画“×”）1、若k是任意正整数, 则(ak,bk)=(a,b). （）2、设a1,a2,…,a n是n个不全为零的整数，则a1,a2,…,a n与a1, |a2|, |a3|,…, |a n|的公因数相同（）3、设m是正整数, 若m│ab, 则m│a或m│b. （）4、设m为正整数, a,b为整数, a≡b(mod m), d│b且d>0, 则ad≡b d (mod md). （）5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （）6、设m是素数, 模m的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. （ ）7、设p =17为奇素数, 模p 的平方剩余和平方非剩余的数量各为8.（ ） 8、一次同余方程9x ≡1(mod 24)有解. （ ）9、设p 是素数, g 是模p 的原根, 若g x ≡1(mod p), 则x 是p −1的整数倍.（）10、设m >1,(a,m)=1, 则1=a 0,a,a 2, …, a ord m (a )−1构成模m 的简化剩余系. （ ）11. b ≠0, 则(0,b)＝|b|. （ ）12. 设a,b 是两个互素正整数, 那么a│m,b│m , 则 ab│m . （ ）13. 设m 是一个正整数, a,b,d 都不为0，若ad ≡bd(modm)。

信息安全数学基础----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= .2、求欧拉函数= .3、设，则模的最小非负简化剩余系{ }.4、设，则模的所有平方剩余= .5、设，则模的所有原根个数= .6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。

7. 设m是正整数，a是满足的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。

8. 设m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。

9. 设, 如果同余方程__________, 则叫做模的平方剩余.10. 设, 则使得成立的最小正整数叫做对模的__________.二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“”，错的画“”）1、若是任意正整数, 则. （）2、设是个不全为零的整数，则与, ||, ||,…, ||的公因数相同（）3、设是正整数, 若, 则或. （）4、设为正整数, 为整数, , 且, 则. （）5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （）6、设是素数, 模的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. （）7、设为奇素数, 模的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （）8、一次同余方程有解. （）9、设是素数, 是模的原根, 若, 则是的整数倍.（）10、设, 则, …, 构成模的简化剩余系. （）11. , 则＝. （）12. 设是两个互素正整数, 那么, 则. （）13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，若ad≡bd(modm)。

则a≡b(mod m)。

（）14. 设为正整数, a是满足的整数，b为整数. 若为模的一个简化剩余系, 则也为模的一个简化剩余系. （）15. p为素数,n为整数且与p互素，则n2为模p的平方剩余. （）16. 设为正整数, 设, 则是模的平方剩余的充要条件是: . （）17. 3是模7的原根。

信息安全数学基础习题集一集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]信息安全数学基础----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]=.2、求欧拉函数φ(3000)=.3、设m=9，则模m的最小非负简化剩余系={}.4、设m=11，则模m的所有平方剩余=.5、设m=22，则模m的所有原根个数=.6.设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。

7.设m是正整数，a是满足mm的整数，则一次同余式：ax≡b(modm)有解的充分必要条件是_________________。

8.设m是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m，使得aa’≡1(modm)。

9.设m∈m,(m,m)=1,如果同余方程m2≡m(mod m)__________,则m叫做模m 的平方剩余.10.设m,m∈m,m>1,(m,m)=1,则使得m m≡1(mod m)成立的最小正整数m叫做m对模m的__________.二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“√”，错的画“×”）1、若m是任意正整数,则(mm,mm)=(m,m). （）2、设m1,m2,…,m m是m个不全为零的整数，则m1,m2,…,m m与m1,|m2|,|m3|,…,|m m|的公因数相同（）3、设m是正整数,若m│mm,则m│m或m│m.（）4、设m为正整数,m,m为整数,m≡m(mod m),m│m且m>0,则mm ≡mm(mod mm).（）5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （）6、设m是素数,模m的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等.（）7、设m=17为奇素数,模m的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （）8、一次同余方程9m≡1(mod24)有解. （）9、设m是素数,m是模m的原根,若m m≡1(mod m),则m是m−1的整数倍.（）10、设m>1,(m,m)=1,则1=m0,m,m2,…,m ord m(m)−1构成模m的简化剩余系.（）11.m≠0,则(0,m)＝|m|.（）12.设m,m是两个互素正整数,那么m│m,m│m,则mm│m.（）13.设m是一个正整数,a,b,d都不为0，若ad≡bd(modm)。

2011信息安全数学基础习题答案第一章整数的可除性1．证明：因为2|n 所以n=2k , k∈Z5|n 所以5|2k ，又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1，k1∈Z7|n 所以7|2*5 k1 ,又（7，10）=1，所以7| k1即k1=7 k2，k2∈Z所以n=2*5*7 k2即n=70 k2, k2∈Z因此70|n2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1)当a=3k，k∈Z 3|a 则3|a3-a当a=3k-1，k∈Z 3|a+1 则3|a3-a当a=3k+1，k∈Z 3|a-1 则3|a3-a所以a3-a能被3整除。

3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1，k0∈Z（2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。

4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a由第二题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1)又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)又（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。

5．证明：构造下列k个连续正整数列：(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k∈Z对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1)所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。

6．证明：因为1911/2＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13经验算都不能整除191 所以191为素数。

因为5471/2＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23经验算都不能整除547 所以547为素数。

由737=11*67 ,747=3*249 知737与747都为合数。

信息安全数学基础试题1. 题目：对称加密与非对称加密的区别是什么？请举例说明。

对称加密和非对称加密是信息安全中常用的两种加密方式，它们的区别主要体现在密钥的管理和使用方式上。

（1）对称加密：对称加密也被称为共享密钥加密。

它使用相同的密钥进行加密和解密操作。

加密和解密过程都使用相同的密钥，因此速度较快，但密钥的管理相对困难。

举例：最常见的对称加密算法是DES（数据加密标准）。

例如，Alice想要将一份秘密文件发送给Bob，她需要事先与Bob共享DES密钥。

当Alice加密文件时，她使用这个密钥对文件进行加密，然后将加密后的文件发送给Bob。

Bob接收到文件后，使用相同的密钥进行解密操作，以获取原始文件。

（2）非对称加密：非对称加密也被称为公钥加密。

它使用一对密钥，其中一个是公钥，另一个是私钥。

公钥用于加密操作，私钥用于解密操作。

非对称加密相对安全，但速度较慢。

举例：非对称加密算法中最常见的是RSA算法。

假设Alice想要将一份秘密文件发送给Bob，Bob首先生成一对密钥（公钥和私钥）。

Bob将公钥发送给Alice，而私钥则保留在自己手中。

Alice使用Bob的公钥对文件进行加密后，将加密后的文件发送给Bob。

Bob收到文件后，使用自己的私钥进行解密操作，以获取原始文件。

2. 题目：什么是哈希函数？请简要介绍哈希函数的概念和应用。

哈希函数是一种将输入转换为固定长度输出的函数。

它将任意长度的输入数据映射到固定长度的哈希值，并具有以下特点：（1）唯一性：不同的输入数据会产生不同的哈希值。

（2）定长输出：无论输入数据的长度是多少，哈希函数始终输出固定长度的哈希值。

（3）不可逆性：从哈希值无法还原得到原始的输入数据。

（4）散列性：输入数据发生轻微改变，哈希值会发生巨大变化。

应用领域：（1）数据完整性验证：哈希函数可以用于验证数据的完整性，通过比对哈希值判断数据是否被篡改。

（2）数字签名：哈希函数与非对称加密算法结合使用，利用私钥对数据的哈希值进行签名，保证签名的真实性和完整性。