中考压轴题(利用等腰三角形确定点)

四川省渠县崇德实验学校2020年中考数学第三轮冲刺专题复习：三角形压轴题练习1、如图，等腰直角三角形△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AC边上一点，∠CBD＝30°，点E是BD边上一点，且CE＝12 AB．（1）如图①，若AB＝，求S△CBE（2）如图②，过点E作EQ⊥BD交BC于点Q，求证：AC＝12BD+2EQ．2、如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N．（1）若∠BAN＝15°，求∠N；（2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF．3、已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．（1）求证：EF＝CF；（2）求证：FG⊥DG．4、△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，CH⊥EF于H，连接DH，求证：（1）EH＝FH；（2）∠CAB＝2∠CDH．5、如图，在△ABC中，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，点G是BF的中点，连接EG．（1）求证：EG∥BC；（2）若△ACD∽△AEC，且AE•AD＝16，AB＝4，求EG的长．6、如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝4，AB＝6，求ACAF的值．7、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，M是CD中点，且∠AMD＝∠BMD，AP∥CD交BC延长线于P点，延长BM交P A于N点，且PN＝AN．（1）求证：MN＝MA；（2）求证：∠CDA＝2∠ACD．8、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．（1）求证：AE＝BD；（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：，CD，求线段AB的长．9、如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD＝CE．（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F．）（3）若点D在线段AC的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，给予证明；如果不成立，请说明理由．10、在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC上一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，D为AB上一点，且满足AE＝AD，过点A作AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M，求证：BG＝AF+FG．11、如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD．（1）如图1，若AC＝DE＝EC的长；（2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE＝AM，求证：2DE＝MC；（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系．12、把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE ＝4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时AP•CQ的值为．将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，则AP•CQ的值是否会改变？答：．（填“会”或“不会”）此时AP•CQ的值为．（不必说明理由）（2）在（1）的条件下，设CQ＝x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2、图3供解题用）（3）在（1）的条件下，PQ能否与AC平行？若能，求出y的值；若不能，试说明理由．14、已知：△ABC与△ABD中，∠CAB＝∠DBA＝β，且∠ADB+∠ACB＝180°．提出问题：如图1，当∠ADB＝∠ACB＝90°时，求证：AD＝BC；类比探究：如图2，当∠ADB≠∠ACB时，AD＝BC是否还成立？并说明理由．综合运用：如图3，当β＝18°，BC＝1，且AB⊥BC时，求AC的长．15、已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，连接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求证：BD＝CD；（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，AC=7，求BE的长；（3）如图3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，连接AD，若∠CAB＝45°，求AD AB的值．16、已知等边△ABC和等腰△CDE，CD＝DE，∠CDE＝120°．（1）如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，则线段AD与PD之间的数量关系为；（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，P是BE的中点，连接AD，PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点D在△ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当PD最大时，∠BPC的度数为．参考答案1、【解答】（1）解：如图①中，作CH ⊥BD 于H ．∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝∴AC ＝BC ＝2，在Rt △BCH 中，∵∠CBH ＝30°，∴CH ＝12BC ＝1，BH ，∵CE ＝12AB ，∴HE 1，∴BE ﹣1，∴S △CBE ＝12•BE •CH ＝12•1）•1＝2． （2）证明：如图②中，连接DQ 、作CH ⊥BD 于H ．∵=CE CH AB BC ＝12，∠CHE ＝∠ACB ＝90°， ∴△CHE ∽△ACB ，∴∠CEH ＝∠ABC ＝45°，∵∠DCQ ＝∠DEQ ＝90°，∴∠DCQ +∠DEQ ＝180°，C 、D 、E 、Q 四点共圆，∴∠CQD ＝∠CED ＝45°，∴△CDQ 是等腰直角三角形，∴CD ＝CQ ，AD ＝BQ ，∵AC ＝CD +AD ，CQ ＝CQ ＝12BD ，BQ ＝2EQ ， ∴AC ＝12BD +2EQ ． 2、【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵AC∥BN，∴∠NBC＝∠ACB＝60°，∴∠ABN＝∠ABC+∠NBC＝120°，∴在△ABN中，∠N＝180°﹣∠ABN﹣∠BAN＝180°﹣120°﹣15°＝45°；（2）∵AC∥BN，∴∠N＝∠GAE，∠NBG＝∠AEG，又∵点G是线段BE的中点，∴BG＝EG，∴△NBG≌△AEG（AAS），∴AG＝NG，AE＝BN，∵AE＝CF，∴BN＝CF，∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠ABN＝∠ACF，又∵AB＝AC，∴△ABN≌△ACF（SAS），∴AF＝AN，∵AG＝NG＝12 AN，∴AF＝2AG．3、【解答】证明：（1）如图，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 中点， ∴CD 是斜边AB 上的中线，∴CD ＝AD ＝BD ＝12AB ． 又EF ∥AB ， ∴=EF CF AD CD， ∴=EF AD CF CD ＝1， ∴EF ＝CF ；（2）如图，延长DG 交BC 于点M ，连接GM∴DM 为△BAC 的中位线，GM 为△BEC 的中位线，DG 为△BAE 的中位线； ∴DG ＝2AE ，GM ＝2EC ， ∴+==1+DM AE EC EC DG AE AE， 又EF ∥AB ，易证得=EC FC AE DF， ∴+=1+=1+==DM EC FC DF FC DF DG AE DF DF FC ，在△DGF 与△DMC 中，有∠FDG=∠CDM ，=DM DC DG DF； 故△DGF ∽△DMC ；所以∠FGD ＝∠CMD ；又∠CMD ＝180°﹣∠ACB ＝90°，∴∠FGD ＝90°，∴FG ⊥DG ．4、【解答】解：（1）∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，∴∠CAE +∠AEC ＝∠DAF +∠AFD ＝90°，∴∠AFD ＝∠AEC ，∵∠AFD ＝∠CFE ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴CF ＝CE ，∵CH ⊥EF ，∴HE ＝HF ；（2）∵∠ADF ＝∠CHF ＝90°，∠AFD ＝∠CFH ，∴△ADF ∽△CFH ， ∴=CF HF AF DF，∵∠AFC ＝∠DFH ，∴△AFC ∽△DFH ，∴∠CAF ＝∠CDH ，∵∠CAD ＝2∠CAF ，∴∠CAB ＝2∠CDH ．5、【解答】证明：（1）∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAE ＝∠F AE ．∵CE ⊥AD ，∴∠CEA ＝∠FEA ＝90°．在△ACE 和△AFE 中，∠CAE=∠FAE ，AE=AE ，∠CEA=∠FEA=90°， ∴△ACE ≌△AFE ．∴CE ＝FE ．又∵G 是BF 的中点，∴EG ∥BC ．（2）∵△ACD ∽△AEC ，CE ⊥AD ，∴∠ACD ＝∠AEC ＝90°，且=AC AE AD AC． ∴AC 2＝AE •AD ＝16．∴AC＝4．在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，由勾股定理得：BC8．∵EG是△FBC的中位线，∴EG＝11=8=4 22×BC．6、【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE＝12AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE＝AF：CF，∵CE＝12 AB，∴CE＝12×6＝3，∵AD＝4，∴4=3AFCF，∴7=4ACAF．7、【解答】证明：（1）∵AP∥CD，∴∠AMD＝∠MAN，∠BMD＝∠MNA，∵∠AMD＝∠BMD，∴∠MAN＝∠MNA，∴MN＝MA．（2）如图，连接NC，∵AP∥CD，且PN＝AN．∴＝＝，∴MC＝MD，∴CN为直角△ACP斜边AP的中线，∴CN＝NA，∠NCA＝∠NAC，∵AP∥CD，∴∠NCM＝2∠ACD，∵∠CMN＝∠DMB，∠DMA＝∠BMD，∴∠CMD＝∠DMA，在△CMN和△DMA中，CM=MD，∠CMN=∠DMA，MN=MA，∴△CMN≌△DMA（SAS），∠ADM＝∠NCM＝2∠ACD．即：∠CDA＝2∠ACD．8、【解答】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，∴BD2+AD2＝ED2，∵ED CD，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：，则AF ＝x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由 （1）、（2）可得，在Rt △F AE 中，EF ＝3x ，∵AE 2+AD 2＝2CD 2∴222x +=2（）， 解得x ＝1，∴AB ＝+4．9、【解答】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC ＝BC ，∵D 为AC 中点，∴∠DBC ＝30°，AD ＝DC ，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝30°＝∠E，∴CD＝CE，∵AD＝DC，∴AD＝CE；（2）成立，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，则∠ADF＝∠ACB＝60°，∵∠A＝60°，∴△AFD是等边三角形，∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，在△BFD和△DCE中，∠FDB=∠E，∠BFD=∠DCE，BD=DE，∴△BFD≌△DCE，∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE．（3）（2）中的结论仍成立，如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，在△BPD和△DCE中，∠FDB=∠DEC，∠P=∠DCE=60°，DB=DE，∴△BPD≌△DCE，∴PD＝CE，∴AD＝CE．10、【解答】（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x）2+x2＝22，（负根已经舍弃），∴x＝2∴AB＝AC＝（•2∴BC AB．（2）作CQ⊥AC，交AF的延长线于Q，∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵∠BAC＝90°，FG⊥CD，∴∠AEB＝∠CMF，∴∠GEM＝∠GME，∴EG＝MG，∵∠ABE＝∠CAQ，AB＝AC，∠BAE＝∠ACQ＝90°，∴△ABE≌△CAQ（ASA），∴BE＝AQ，∠AEB＝∠Q，∴∠CMF＝∠Q，∵∠MCF＝∠QCF＝45°，CF＝CF，∴△CMF≌△CQF（AAS），∴FM＝FQ，∴BE＝AQ＝AF+FQ＝AF＝FM，∵EG＝MG，∴BG＝BE+EG＝AF+FM+MG＝AF+FG．11、解：（1）如图1，过点C作CG⊥AB于G，∴∠AGC＝∠AGB＝90°，∵AC＝CD，∴AG＝DG，设DG＝a，∵BD＝BE，∠ABC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD ＝DE ＝∴BG ＝BD +DG ＝+a ，在Rt △BGC 中，∠BCG ＝90°﹣∠ABC ＝30°，∴BC ＝2BG ，CG ＝，在Rt △DGC 中，CD ＝AC ＝根据勾股定理得，CG 2+DG 2＝CD 2，∴（）2+a 2＝90，∴a ＝2或a ＝2（舍）， ∴BC ＝EC +BE ＝EC +BD ，∴EC +BD ＝2（BD +DG ），∴EC ＝BD +2DG ＝2+2a ＝2+2×＝9﹣；（2）如图2，在MC 上取一点P ，使MP ＝DE ，连接AP ，∵△BDE 是等边三角形，∴∠BED ＝60°，BE ＝DE ，∴∠DEC ＝120°，BE ＝PM ，∵AE ＝AM ，∴∠AEM ＝∠AME ，∴∠AEB ＝∠AMP ，∴△ABE ≌△APM （SAS ），∴∠APM＝∠ABC＝60°，∴∠APC＝120°＝∠DEC，过点M作AC的平行线交AP的延长线于Q，∴∠MPQ＝∠APC＝120°＝∠DEC，∵AC＝CD，∴∠ADC＝∠DAC，∴∠CDE＝180°﹣∠BDE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣∠DAC＝120°﹣∠DAC，在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠DAC＝120°﹣∠DAC＝∠CDE，∵MQ∥AC，∴∠PMQ＝∠ACB，∴∠PMQ＝∠EDC，∴△MPQ≌△DEC（ASA），∴MQ＝CD，∵AC＝MQ，∴△APC≌△QPM（AAS），∴CP＝MP，∴CM＝MP+CP＝2DE；（3）如备用图，在MC上取一点P，使PM＝DE，由（2）知，MC＝2CP＝2DE，由（2）知，△ABE≌△APM，∴AB＝AP，∵∠ABC＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴BP＝AB，∵BE＝BD，∴PE＝AD，∴BC＝BE+PE+CP＝DE+PE+DE＝2DE+AD＝MC+AD，过点A作AH⊥BC于H，设BH＝m，在Rt△ABH中，AH，在Rt△ACH中，∠ACB＝45°，∴∠CAH＝90°﹣∠ACB＝45°＝∠ACB，∴CH＝AH，AC AH m，∵MC+AD＝BC＝BH+CH＝m m＝（m，∴MC+AD．12、【解答】解：（1）8，不会，8；∵∠A＝∠C＝45°，∠APD＝∠QDC＝90°，∴△APD ∽△CDQ ．∴AP ：CD ＝AD ：CQ ．∴即AP ×CQ ＝AD ×CD ，∵AB ＝BC ＝4，∴斜边中点为O ，∴AP ＝PD ＝2，∴AP ×CQ ＝2×4＝8；将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α． ∵在△APD 与△CDQ 中，∠A ＝∠C ＝45°，∠APD ＝180°﹣45°﹣（45°+a ）＝90°﹣a ，∠CDQ ＝90°﹣a ，∴∠APD ＝∠CDQ ．∴△APD ∽△CDQ ． ∴=AP CD AD CQ， ∴AP •CQ ＝AD •CD ＝AD 2＝（12AC ）2＝8． （2）当0°＜α≤45°时，如图2，过点D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥BC 于N ， ∵O 是斜边的中点，∴DM ＝DN ＝2，∵CQ ＝x ，则AP ＝8x，∴S △APD ＝12•8x •2＝8x ，S △DQC ＝12x ×2＝x ， ∴y ＝8﹣8x﹣x （2≤x ＜4）， 当45°＜α＜90°时，如图3，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DG ＝2∵CQ ＝x ，∴AP ＝8x， ∴BP ＝8x ﹣4 ∵=BP BM DG MG， 即82-x =2MG MG，MG ＝2x 4-x ∴MQ ＝2x 4-x +（2﹣x ）＝2x -4x+84-x∴y ＝2x -4x+84-x（0＜x ＜2）； （3）在图（2）的情况下，∵PQ ∥AC 时，BP ＝BQ ，∴AP ＝QC∴x ＝8x，解得x ＝， ∴当x ＝时，y ＝8﹣＝8﹣．14、【解答】提出问题：解：在△DBA和△CAB中，∠ADB=∠ACB，∠CAB=∠DBA，AB=BA ∴△DBA≌△CAB（AAS），∴AD＝BC；类比探究：结论仍然成立．理由：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E．∵∠ADB+∠ACB＝∠AEB+∠BEC＝180°，∴∠ADB＝∠AEB．∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，∴△DBA≌△EAB（AAS），∴BE＝AD，∵∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，∴AD ＝BC ．综合运用：作∠BEC ＝∠BCE ，BE 交AC 于E ．由（2）得，AD ＝BC ＝BE ＝1．在Rt △ACB 中，∠CAB ＝18°，∴∠C ＝72°，∠BEC ＝∠C ＝72°．由∠CFB ＝∠CAB +∠DBA ＝36°， ∴∠EBF ＝∠CEB ﹣∠CFB ＝36°，∴EF ＝BE ＝1．在△BCF 中，∠FBC ＝180°﹣∠BFC ﹣∠C ＝72°， ∴∠FBC ＝∠BEC ，∠C ＝∠C ，∴△CBE ∽△CFB ． ∴=CB CF CE CB，令CE ＝x ， ∴1＝x （x +1）．解得，x∴CF ． 由∠FBC ＝∠C ，∴BF ＝CF ．又AF ＝BF ，∴AC ＝2CF ．15、【解答】（1）证明：如图1中，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴EC＝BD．（2）解：如图2中，连接BD．∵AE＝AD，∠EAD＝60°，∴△AED是等边三角形，∴∠DEA＝∠CDE＝60°，∵EF⊥AD，∴∠FEA＝12∠DEA＝30°∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴∠BDA＝∠AEC＝30°，EC＝BD，∴∠EDB＝90°，∵AE＝4，AF＝2，AC，∠EF A＝∠AFC＝90°，∴EF CF，∴EC＝BD＝∴BE（3）解：如图3中，作CM⊥CA，使得CM＝CA，连接AM，BM．∵CA＝CM，∠ACM＝90°，∴∠CAM＝45°，∵∠CAB＝45°，∴∠MAB＝45°+45°＝90°，设AB＝AC＝m，则AM m，BMm，∵∠ACM＝∠BCD＝90°，∴∠BCM＝∠ACD，∵CA＝CM，CB＝CD，∴AD ＝BM ，∴AD AB ． 16、【解答】解：（1）结论：AD ＝2PD ． 理由：如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∵∠EDC ＝120°，∴∠EDB ＝180°﹣120°＝60°， ∴∠B ＝∠EDB ＝∠BED ＝60°， ∴△BDE 是等边三角形，∵BP ＝PE ，∴DP ⊥AB ，∴∠APD ＝90°，∵DE ＝DC ，DE ＝DB ，∴BD ＝CD ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴∠P AD＝12∠BAC＝30°，∴AD＝2PD．（2）结论成立．理由：延长DP到N，使得PN＝PD，连接BN，EN，延长ED到M，使得DM＝DE，连接BD，BM，CM．∵DE＝DC＝DM，∠MDC＝180°﹣∠EDC＝60°，∴△DCM是等边三角形，∵CA＝CB，CM＝CD，∠DCM＝∠ACB＝60°，∴∠BCM＝∠ACD，∴△BCM≌△ACD（SAS），∴AD＝BM，∵PB＝PE，PD＝PN，∴四边形BNED是平行四边形，∴BN∥DE，BN＝DE，∵DE＝DM，∴BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BNDM是平行四边形，∴BM＝DN＝2PD，∴AD＝2PD．（3）如图3中，作∠PDK＝∠BDC＝120°，且PD＝PK，连接PK，CK．∵DB＝DC，DP＝DK，∠BDC＝∠PDK，∴∠BDP＝∠CDK，∴△PDB≌△KDC（SAS），∴PB＝CK，∵PB+PC＝PC+CK＝定值，∴P，C，K共线时，PK定值最大，此时PD的值最大，此时，∠DPB＝∠DKP＝∠DPK＝30°，∠PBC＝∠DPB+∠DPK＝60°．故答案为60°．。

中考热点3——等腰三角形分类讨论等腰三角形的分类讨论题多见于初三各级各类模拟考试甚至中考的压轴题中，由于这类题目都与图形运动有关，需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力，而这正是学生最缺乏的，理清这类题目的解题思路和解题策略将会等到在中考中获得高分的重要砝码。

等腰三角形分类讨论的解题思路粗分有两种，第一种：用含有字母的代数式分别表示等腰三角形的三条边，后用三条线段依次相等建立方程后求解，第二种：分别作出三种等腰三角形条件下图形，利用等腰三角形的有关性质和题目中的条件进行合理的转化后建立方程求解。

下面就常见的题型进行分析、归纳 典型例题【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，54sin =B ，AC =4；D 是BC 的延长线上的一个动点，∠EDA =∠B ，AE ∥BC ． （1）找出图中的相似三角形，并加以证明；（2）设CD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△ADE 为等腰三角形时，求AE 的长． 【思路分析】思路一：用含有x 或者y 的代数式来表示等腰三角形的三条边长AD 、DE 、AE 三条线段依次相等建立方程后求解，显然AE 和DE 边都不方便用含含有x 或者y 的代数式表示。

思路二：分别作出三种等腰三角形条件下图形，利用第（1）题中证明的△ABD ∽△EDA 将等腰的条件转化到△ABD 中进行求解，最后带入定义域检验。

解：（1）∵AE ∥BC ∴∠EAD =∠ADB ，∠EDA =∠B ∴△ABD ∽△EDA （2）∵△ABD ∽△EDA ∴AEADAD BD = ∴y x x x 1616322+=++即3162++=x x y 0>x （3）情况一：当AE =AD 时AD =BD 即3162+=+x x67=x 情况二：DE =AE 时AB =AD ，AC ⊥BD BC =CD 即3=x情况三：AD =DE 时AB =BD 即53=+x2=x点评：将等腰三角形的条件进行适当转化，计算过程大大简化，既节约时间又提高正确率【例2】已知直线1l 的解析式63+=x y ，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，直线2l 经过B 、C 两点，E点C 的坐标为)0,8(.又知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线2l 上从点C 向点B 移动.点P 、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t 秒（100<<t ） （1）求直线2l 的解析式（2）当t 为何值时，△PCQ 是等腰三角形【思路分析】在直角坐标系中对等腰三角形进行讨论，依然遵循两大基本思路此题中PC 、QC 两条边长都方便用含有t 的代数式表示，而PQ 不易表示，将等腰三角形PQ =QC 和PC =PQ 两种情况，通过添加底边上的高转化为直角三角形，再用锐角三角比和相似三角形的方法进行求解则较易求得结果。

因动点产生的等腰三角形问题例1（2011年湖州市中考第24题）如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）．②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H 所经过的路径长为54π．考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =．②如图4，当P A ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =．第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7例2（2011年盐城市中考第28题）如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标； （2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)． 令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8AP RA C P P O RCO R A S S SS=--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，42AB=，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．因此∠AQP＝45°保持不变，∠P AQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．在△APQ中，3cos5A∠=为定值，7AP t=-，5520333AQ OA OQ OA OR t=-=-=-．如图5，当AP＝AQ时，解方程520733t t-=-，得418t=．如图6，当QP＝QA时，点Q在P A的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程72[(7)(4)]t t t-=---，得5t=．如7，当P A＝PQ时，那么12cosAQAAP∠=．因此2cosAQ AP A=⋅∠．解方程52032(7)335t t-=-⨯，得22643t=．综上所述，t＝1或418或5或22643时，△APQ是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cosAP AQ A=⋅∠来求解．例3（2010年上海市闸北区中考模拟第25题）如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N 分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1满分解答(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒．在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t，AQ＝3t．在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．在图3中，QO ＝3t －6，MQ ＝5t －10，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．(2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中，35AN AM =，所以531025t t =-．解得3031t =．此时CM 6031=．图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MP QN MN =，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-． (Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=．(Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=．(Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况． ②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP =，这样计算简便一些．例4（2010年南通市中考第27题）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图1满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m=-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2． (3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m=，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．例5（2009年重庆市中考第26题）已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1 图2满分解答（1）由于OD 平分∠AOC ，所以点D 的坐标为（2，2），因此BC ＝AD ＝1． 由于△BCD ≌△ADE ，所以BD ＝AE ＝1，因此点E 的坐标为（0，1）．设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，那么⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.039,224,1c b a c b a c 解得65-=a ，613=b 1=c ．因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为1613652++-=x x y ． （2）把56=x 代入1613652++-=x x y ，求得512=y ．所以点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,56． 如图2，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，那么DA DN FA MN =，即25622512-=-FA ．解得1=FA ． 因为∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG ≌△DEF ，所以CG ＝EF ＝2．因此GO ＝1，EF ＝2GO ． （3）在第（2）中，GC ＝2．设点Q 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-161365,2x x x ． ①如图3，当CP ＝CG ＝2时，点P 与点B （3，2）重合，△PCG 是等腰直角三角形．此时G Q Q x x y -=，因此11613652-=++-x x x 。

玩转压轴题，争取满分之备战2020年中考数学解答题高端精品专题二等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。

【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．【典例指引】类型一 【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点． （1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D 的坐标；（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.【解析】试题分析：（1）把B 、C 的坐标代入，解方程组即可得到结论；（2）令y =0，求出A 、B 的坐标，设直线AD 交y 轴于点N ，求出求直线AN 的解析式， 与抛物线联立成方程组，解方程组，即可得到D 的坐标；（3）求出直线AM 、AC 的解析式，当x =t 时，表示出HE ，HF ，HP ，得到HE =EF =HF ﹣HE =t +3，FP =243t t ---，由HE +EF ﹣FP =23t +（）＞0， 得到HE +EF ＞FP ，再由HE +FP ＞EF ，EF +FP ＞HE ，得到当﹣3＜t ＜﹣1时，线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形．试题解析：解：（1）∵抛物线经过点B 、C ，∴ 10{3b c c ++==-，解得： 2{ 3b c ==-，∴抛物线的解析式为：223y x x =+-；（2）令y =0，得： 2230x x +-=，解得： 11x =， 23x =- ，∴A （﹣3，0），B （1，0）， 设直线AD 交y 轴于点N ，∵∠DAB =45°，∴△NAO 是等腰直角三角形，N （0，3）， 可求直线AN 的解析式为y =x +3，联立223{ 3y x x y x =+-=+，解得： 3{ 0x y =-=或2{ 5x y ==，∴D 的坐标为（2，5）； （3）M （﹣1，﹣4），可求直线AM 的解析式为：y =﹣2x ﹣6，直线AC 的解析式为y =﹣x ﹣3，∵当x =t 时，HE =﹣（﹣t ﹣3）=t +3，HF =﹣（﹣2t ﹣6）=2t +6，HP =﹣（223t t +-）∴HE =EF =HF ﹣HE =t +3，FP =243t t ---， ∵HE +EF ﹣FP =2223433t t t t ++++=+（）（）＞0，∴HE +EF ＞FP ，又HE +FP ＞EF ，EF +FP ＞HE ，∴当﹣3＜t ＜﹣1时，线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形．【名师点睛】本题是二次函数的综合题，难度较大．解答第（2）问的关键是：利用∠DAB=45°，找出直线AN与y轴交点的坐标；解答第（3）问的关键是：用含t的代数式表示出HE，HF，HP，EF的长．【举一反三】（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，P（-110）或P（-1，10）或P（-1，6）或P（-1，53）；（3）当a=-32时，S四边形BOCE最大，且最大值为638，此时，点E坐标为（-32，154）．【解析】【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3-x，因此可根据勾股定理求出x 的值，P 点的横坐标与M 的横坐标相同，纵坐标为x ，由此可得出P 的坐标． ②当CM=MP 时，根据CM 的长即可求出P 的纵坐标，也就得出了P 的坐标（要注意分上下两点）． ③当CM=CP 时，因为C 的坐标为（0，3），那么直线y=3必垂直平分PM ，因此P 的纵坐标是6，由此可得出P 的坐标；（3）由于四边形BOCE 不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE 分割成规则的图形进行计算，过E 作EF ⊥x 轴于F ，S 四边形BOCE =S △BFE +S 梯形FOCE ．直角梯形FOCE 中，FO 为E 的横坐标的绝对值，EF 为E 的纵坐标，已知C 的纵坐标，就知道了OC 的长．在△BFE 中，BF=BO-OF ，因此可用E 的横坐标表示出BF 的长．如果根据抛物线设出E 的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE 的面积与E 的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE 的最大值及对应的E 的横坐标的值．即可求出此时E 的坐标． 【详解】(1)∵抛物线y=ax 2+bx+3(a≠0)与x 轴交于点A(1,0)和点B(−3,0)，∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得：12a b =-⎧⎨=-⎩. ∴所求抛物线解析式为：y=−x 2−2x+3； (2)∵抛物线解析式为：y=−x 2−2x+3， ∴其对称轴为212x -==-， ∴设P 点坐标为(−1,a )，当x=0时，y=3， ∴C(0,3),M(−1,0)∴当CP=PM 时,(−1)2+(3−a)2=a 2,解得a=53， ∴P 点坐标为：151,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；∴当CM=PM 时,(−1)2+32=a 2,解得a =，∴P 点坐标为：2(P -或3(1,P -； ∴当CM=CP 时,由勾股定理得：(−1)2+32=(−1)2+(3−a)2，解得a=6， ∴P 点坐标为：P 4 (−1,6).综上所述存在符合条件的点P,其坐标为(1,10)P -或 (1,10)P -- 或P(−1,6)或51,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)过点E 作EF ⊥x 轴于点F,设E(a,−a 2−2a+3)(−3<a<0)∴EF=−a 2−2a+3，BF=a+3，OF=−a ∴11()22BOCE S BF EF OC EF OF 四边形=⋅++g ()()2211(3)2326()22a a a a a a =+⋅--++--+⋅- 2399222a a =--+23363228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴当a=32-时,S 四边形BOCE 最大,且最大值为638. 此时,点E 坐标为315,24⎛⎫-⎪⎝⎭. 类型二 【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】典例指引2．（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）223y x x =--+；（2）BOCE S 四边形最大值为638，点E 坐标为315(,)24-；（3）存在符合条件的点D ，其坐标为1(1,0)D -或2(101,0)D -，或3(101,0)D 或4(4,0)D - 【解析】 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入解析式即可得到答案；（2）设2(,23)(30)E a a a a --+-<<，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，利用11()22BOCE S BF EF OC EF OF =•++•四边形求出解析式即得到面积的最大值及点E 的坐标； （3）存在，分以点C 、A 为顶点及线段AC 为底边三种情况，分别求出点D 的坐标即可. 【详解】 解：（1）由题知：309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩∴所求抛物线表达式为223y x x =--+ （2）过点E 作EF x ⊥轴于点F 设2(,23)(30)E a a a a --+-<<∴223EF a a =--+，3BF a =+，OF a =-，∴11()22BOCE S BF EF OC EF OF =•++•四边形 2211(3)(23)(233)()22a a a a a a =+--++--++•- 2399222a a =--+23363()228a =-++∴当32a =-时，BOCE S 四边形最大，且最大值为638.当32a =-时，2915233344a a --+=-++=此时，点E 坐标为315(,)24-（3）连接AC①当点C 为顶点，CA CB =时，此时CO 为底边的垂直平分线， 满足条件的点1D ，与点A 关于y 轴对称， ∴点1D 坐标为(1,0)-②当点A 为顶点，AB AC =时，在Rt ACO ∆中， ∵1OA =，3OC =，由勾股定理得：10AC =以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，交x 轴于两点23D D ，，即为满足条件的点， 此时它们的坐标分别为2(101,0)D -，3(101,0)D +③当AC 为底边时，线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点4D ，即为满足条件的点， 设垂直AC 的垂直平分线交y 轴于点P ，过AC 中点Q ， ∵=90AOC BOC PQC ∠∠=∠=o ，BPO CPQ ∠=∠ ∴4ACO OD P ∠=∠ ∴4CPQ CAO D PO ∆∆∆::∴4OD CQ CP OA CO AC ==，106PQ =，5=3CP 4OD OP CQ PQ =，45331010-=，44OD =， 点4D 的坐标为(4,0)-综上所述存在符合条件的点D ，其坐标为1(1,0)D -或2(101,0)D -+，或3(101,0)D +或4(4,0)D - 【名师点睛】此题是二次函数的综合题，考查待定系数法，最值问题的确定需将所求问题列出解析式并配方为顶点式，即可得到答案；（3）是图形中存在等腰三角形问题，此类问题需分三种情况进行讨论，依次求出点的坐标. 【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．【答案】（1）y＝12x2+3x﹣8；（2）点F的坐标是F（﹣4，﹣12）；（3）点Q有坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣4）或（0，0）．【解析】【分析】（1）将A，B，C的坐标代入函数y＝ax2+bx+c即可；（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N，求出直线BC的解析式，设F（m，12m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），再用含m的代数式表示出△BCF的面积，用函数的思想即可推出结论；（3）此问要分BQ＝BF，QB＝QF，FB＝FQ三种情况进行讨论，分别用勾股定理可求出m的值，进一步写出点Q的坐标．【详解】（1）将A（2，0），B（﹣8，0）C（0，﹣8）代入函数y＝ax2+bx+c，得，4a+2b+c=0 64a-8b+c=0 0a+0b+c=-8⎧⎪⎨⎪⎩解得，1a=2b=3c=8⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩﹣，∴抛物线解析式为y＝12x2+3x﹣8；（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N，将B（﹣8，0）代入y＝kx﹣8，得，k＝﹣1，∴y BC＝﹣x﹣8，设F（m，12m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝12FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（12m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∴点F的坐标是F（﹣4，﹣12）；（3）存在点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形，理由如下：①如图2﹣1，当BQ＝BF时，由题意可列，82+m2＝（8﹣4）2+122，﹣解得，m1＝46，m2＝46∴Q1（0，46），Q2（0，46﹣）；②如图2﹣2，当QB＝QF时，由题意可列，82+m2＝（m+12）2+42，解题，m＝﹣4，∴Q3（0，﹣4）；③如图2﹣3，当FB＝FQ时，由题意可列，（8﹣4）2+122＝（m+12）2+42，解得，m1＝0，m2＝﹣24，∴Q4（0，0），Q5（0，﹣24）；设直线BF的解析式为y＝kx+b，将B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12）代入，得8k b=04k b=12⎧⎨⎩﹣＋﹣＋﹣，解得，k＝﹣3，b＝﹣24，∴y BF＝﹣3x﹣24，当x＝0时，y＝﹣24，∴点B，F，Q重合，故Q5舍去，∴点Q有坐标为（0，46）或（0，﹣46）或（0，﹣4）或（0，0）．类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3．（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A （8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：①为何值时为等腰三角形；②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．【答案】（1）平移后抛物线的解析式，= 12；（2）①，②当＝3时，PN取最小值为．【解析】【分析】（1）设平移后抛物线的解析式y=x2+bx，将点A（8，0）代入，根据待定系数法即可求得平移后抛物线的解析式，再根据割补法由三角形面积公式即可求解；（2）作NQ垂直于x轴于点Q，①分当MN=AN时，当AM=AN时，当MN=MA时，三种情况讨论可得△MAN为等腰三角形时t的值；②由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，得x N的最小值为6，此时t=3，PN 取最小值为．【详解】（1）设平移后抛物线的解析式，将点A（8，,0）代入，得=，所以顶点B（4,3），所以S阴影=OC•CB=12；（2）设直线AB解析式为y=mx+n，将A（8，0）、B（4，3）分别代入得，解得：，所以直线AB的解析式为，作NQ垂直于x轴于点Q，①当MN＝AN时， N点的横坐标为，纵坐标为，由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.当AM＝AN时，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知，，MQ＝，由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，解得：t＝12（舍去）；当MN＝MA时，故是钝角，显然不成立,故；②由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，得点N的横坐标为X N=，即t2﹣x N t+36﹣x N=0，由判别式△=x2N﹣4（36﹣）≥0，得x N≥6或x N≤﹣14，又因为0＜x N＜8，所以x N的最小值为6，此时t=3，当t=3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为．【名师点睛】本题着重考查了二次函数的性质、图形平移变换、等腰三角形的判定等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数学结合的数学思想方法.【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）点D为OC的中点时，线段EF最长（3）当t=2或或3时，△CDF为等腰三角形【解析】【分析】（1）由于已知抛物线与x轴交点坐标，则设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，再设E（t，-t+3），接着表示出D（0，-t+3），F（t，-t2+2t+3），然后用t表示出EF的长，再利用二次函数的性质确定EF最大时的t的值，从而判断点D是否为OC的中点；（3）先由C（0，3），D（0，-t+3），F（t，-t2+2t+3）和利用两点间的距离公式表示出CD2，CF2，DF2，然后分类讨论：当CD=CF或FC=FD或DC=DF时得到关于t的方程，接着分别解关于t的方程即可．【详解】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3；（2）他猜想正确．理由如下：设直线BC的解析式为y=mx+n，把C（0，3），B（3，0）代入得，解得，则直线BC的解析式为y=﹣x+3，设E（t，﹣t+3），则D（0，﹣t+3），F（t，﹣t2+2t+3），所以EF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+，当t=时，EF最大，最大值为，此时D点坐标为（0，），所以点D为OC的中点时，线段EF最长；（3）∵C（0，3），D（0，﹣t+3），F（t，﹣t2+2t+3），∴CD2=（﹣t+3﹣3）2=t2， CF2=t2+（﹣t2+2t+3﹣3）2=t2+（﹣t2+2t）2， DF2=t2+（﹣t2+2t+3+t﹣3）2=t2+（﹣t2+3t）2，当CD=CF时，即t2=t2+（﹣t2+2t）2，解得t1=0，t2=2；当FC=FD，即t2+（﹣t2+2t）2=t2+（﹣t2+3t）2，解得t1=0，t2=；当DC=DF时，即t2=t2+（﹣t2+3t）2，解得t1=0，t2=3；综上所述，当t=2或或3时，△CDF为等腰三角形．【新题训练】1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA所在直线的函数解析式是；（2）设平移后抛物线的顶点M的横坐标为m，问：当m为何值时，线段PA最长？并求出此时PA的长．（3）若平移后抛物线交y轴于点Q，是否存在点Q使得△OMQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=2x；（2）当m=1时，PA的值最大，PA的最大值为1；（3）存在，(0，5﹣5或(0，﹣8)【详解】解：（1）设直线OA的解析式为y=kx，把（﹣2，﹣4）代入得﹣2k=﹣4，解得k=2，所以直线OA的解析式为y=2x；故答案为y=2x；（2）设M点的坐标为（m，2m），（﹣2≤m＜0），∴平移后抛物线解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m，当x=﹣2时，y=﹣（2﹣m）2+2m=﹣m2﹣2m﹣4，∴P点的坐标为（﹣2，﹣m2﹣2m﹣4），∴PA=﹣m2﹣2m﹣4﹣（﹣4）=﹣m2﹣2m=﹣（m﹣1）2+1∴当m=1时，PA的值最大，PA的最大值为1；（3）存在，理由如下：当x=0时，y=﹣（0﹣m）2+2m=﹣m2+2m，则Q（0，﹣m2+2m），∵OQ=m2﹣2m，OM=，当OM=OQ2﹣2m，即m2﹣（2m=0，解得m1=0（舍去），m2=2Q点坐标为（0，5﹣；当OM=MQ，作MH⊥OQ于H，如图1，则OH=QH，﹣2m=m2﹣2m﹣（﹣2m），即m2+2m=0，解得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时Q点坐标为（0，﹣8）；当QM=QO，作QF⊥OM于F，如图2，则OF=MF=，∵OQ∥AB，∴∠QOF=∠BAO，∴Rt△OFQ∽Rt△ABO，∴OF OQAB OA=，即224=4m2﹣3m=0，解得m1=0（舍去），m2=34（舍去），综上所述，满足条件的Q点坐标为（0，5﹣0，﹣8）．2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，()1,11-±，()1,219--±.【详解】（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6），∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得：34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以二次函数的解析式为：y =233642x x --+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =122x --， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，122m --）， ∴DF =233642m m --+﹣（122m --）=2384m m --+，∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +12DF ×EH =12×DF ×AG +12×DF ×EH=12×4×DF=2×（2384m m --+） =23250233m -++（），∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503．（3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求P A =29n +，PE =212n ++（），AE =16425+=，分三种情况讨论： 当P A =PE 时，29n +=212n ++（），解得：n =1，此时P （﹣1，1）； 当P A =AE 时，29n +=16425+=，解得：n =11±，此时点P 坐标为（﹣1，11±）；当PE =AE 时，212n ++（）=16425+=，解得：n =﹣219±，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣219±）． 综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，11±），（﹣1，﹣219±）．3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （﹣3，0），C （0，3），D （﹣1，4）；（2）E （37-，0）；（3）P （2，﹣5）或（1，0）． 【详解】（1）当223y x x =--+中y=0时，有2230x x --+=，解得：1x =﹣3，2x =1，∵A 在B 的左侧，∴A（﹣3，0），B （1，0）．当223y x x =--+中x=0时，则y=3，∴C （0，3）． ∵223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点D （﹣1，4）．（2）作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，如图1所示． ∵C （0，3），∴C′（0，﹣3）．设直线C′D 的解析式为y=kx+b ，则有：3{4b k b =--+=，解得：7{3k b =-=-，∴直线C′D 的解析式为y=﹣7x ﹣3，当y=﹣7x ﹣3中y=0时，x=37-，∴当△CDE 的周长最小，点E 的坐标为（37-，0）． （3）设直线AC 的解析式为y=ax+c ，则有：3{30c a c =-+=，解得：1{3a c ==，∴直线AC 的解析式为y=x+3．假设存在，设点F （m ，m+3），△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：①当∠PAF=90°时，P （m ，﹣m ﹣3），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴2323m m m --=--+，解得：m 1=﹣3（舍去），m 2=2，此时点P 的坐标为（2，﹣5）； ②当∠AFP=90°时，P （2m+3，0）∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴20(23)2(23)3m m =-+-++，解得：m 3=﹣3（舍去），m 4=﹣1，此时点P 的坐标为（1，0）；③当∠APF=90°时，P （m ，0），∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴2023m m =--+，解得：m 5=﹣3（舍去），m 6=1，此时点P 的坐标为（1，0）．综上可知：在抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，点P 的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝12-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．【答案】（1）y＝1 2 -x2＋2x＋3，F(6，-3) （2）①有，t=3；②1425t=，45，1，165【详解】（1）∵矩形ABCO，B点坐标为（4，3）∴C点坐标为（0，3）∵抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C∴3{843cb c=-++=∴3{2cb==∴y＝12-x2＋2x＋3设直线AD的解析式为11y k x b=+∵A(4，0)、D(2，3) ∴111140{23k bk b+=+=∴113{26kb=-=∴362y x=-+2362{1232y xy x x=-+=-++∵F点在第四象限，∴F(6，-3)（2）∵E(0，6) ∴CE=CO连接CF交x轴于H′，过H′作x轴的垂线交BC于P′，当P运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小.设直线CF的解析式为22y k x b=+∵C(0，3)、F(6，-3) ∴2223{63bk b=+=-∴221{3kb=-=∴3y x=-+当y=0时，x=3，∴H′(3，0) ∴CP=3 ∴t=3 如图1，过M作MN⊥OA交OA于N∵△AMN∽△AEO，∴AM AN MN AE AO EO==13246213t AN MN==∴AN=t，MN=32tI．如图1，当PM=H M时，M在PH的垂直平分线上，∴MN=12PH ∴MN=3322t=∴t=1II．如图2，当PH=HM时，MH=3，MN=32t，HN=OA-AN-OH=4-2t 在Rt△HMN中，222MN HN MH+=，2223()(42)32t t+-=，22564280t t-+=12t=（舍去），21425t=III．如图3．如图4，当PH=PM时，PM=3，MT=21425t=，PT=BC-CP-BT=42t-在Rt△PMT中，222MT PT PM+=，2223(3)(42)32t t-+-=，25t2-100t+64=01165t=，245t=∴1165t=，45，1，1655．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标；（3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2）或（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3； （2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0， 解得：x=1或x=3， ∴B （3，0）， ∴2点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB 时，2，∴2或OP=PC ﹣2﹣3 ∴P 1（0，2），P 2（0，3﹣2）； ②当PB=PC 时，OP=OB=3， ∴P 3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．【详解】（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12， 所以抛物线解析式为y=﹣12（x ﹣6）（x+2）=﹣12x 2+2x+6； （2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y=kx+b ， 将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩，则直线AB 解析式为y=﹣x+6， 设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t=﹣32（t ﹣3）2+272，∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）△PDE 为等腰直角三角形， 则PE=PD ， 点P （m ，-12m 2+2m+6）， 函数的对称轴为：x=2，则点E 的横坐标为：4-m ， 则PE=|2m-4|， 即-12m 2+2m+6+m-6=|2m-4|， 解得：m=4或-2或5+17或5-17（舍去-2和5+17） 故点P 的坐标为：（4，6）或（5-17，317-5）．8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标． 【答案】（1）213442y x x =--；（2）E 的坐标为（825-5-、（0，﹣4）、（112，54-）；（3）28924，（173，16136-）． 【详解】（1）∵二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、C （8，0）两点，∴4240{64840a b a b --=+-=，解得：14{32a b ==-，∴该二次函数的解析式为213442y x x =--；（2）由二次函数213442y x x =--可知对称轴x=3，∴D （3，0），∵C （8，0），∴CD=5，由二次函数213442y x x =--可知B （0，﹣4），设直线BC 的解析式为y kx b =+，∴80{4k b b +==-，解得：1{24k b ==-，∴直线BC 的解析式为142y x =-，设E （m ，142m -）， 当DC=CE 时，22221(8)(4)2ED m m CD =-+-=，即2221(8)(4)52m m -+-=，解得1825m =-，2825m =+（舍去），∴E （825-，5-）； 当DC=DE 时，22221(3)(4)2ED m m CD =-+-=，即2221(3)(4)52m m -+-=，解得30m =，48m =（舍去），∴E （0，﹣4）；当EC=DE 时，222211(8)(4)(3)(4)22m m m m -+-=-+-，解得5m =112，∴E （112，54-）． 综上，存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形，所有符合条件的点E 的坐标为（825-，5-）、（0，﹣4）、（112，54-）； （3）过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点F ，∵P 点的横坐标为m ，∴P 点的纵坐标为：，∵△PBD 的面积BOD PFD S S S S ∆∆=--梯形=221131131[4(4)](3)[(4)]342422422m m m m m m ---------⨯⨯=231784m m -+ =2317289()8324m --+，∴当m=173时，△PBD 的最大面积为28924，∴点P 的坐标为（173，16136-）．9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）S=﹣m2+92m+32（1≤m＜3）；（3）线段BM上存在点N（75，165），（2，2），（1+105，4﹣2105）使△NMC为等腰三角形.【详解】解：（1）∵OB=OC=3，∴B（3，0），C（0，3）∴0933b cc=-++⎧⎨=⎩,解得23 bc=⎧⎨=⎩,∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，M（1，4）设直线MB的解析式为y=kx+n，则有403k nk n=+⎧⎨=+⎩,解得26 kn=-⎧⎨=⎩,∴直线MB的解析式为y=﹣2x+6,∵PQ ⊥x 轴，OQ=m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣2m +6）S 四边形ACPQ =S △AOC +S 梯形PQOC =12AO•CO +12（PQ+CO ）•OQ （1≤m ＜3） =12×1×3+12（﹣2m +6+3）•m =﹣m 2+92m +32；（3）线段BM 上存在点N （75，165），（2，2），（，4）使△NMC 为等腰三角形,CM ，CN MN①当CM=NC =解得x 1=75，x 2=1（舍去）此时N （75，165），②当CM=MN =，解得x 1x 2舍去），此时N （1+5，4﹣5）.③当CN=MN 时，=解得x =2，此时N （2，2）．10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=94；②P （2，﹣3）或（2，2﹣2）．【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3），PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+94，当n=32时，PM 最大=94；②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2， 解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 22（不符合题意，舍），n 32， n 2﹣2n ﹣3=2-42，P （3-2，2-42）；综上所述：P （2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点()2,B m 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当PAB ∆的面积S 最大时，求此时PAB ∆的面积S 及点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使QAB ∆是等腰三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）所求抛物线的函数表达式为2y x 2x 3=-++；（2）PAB ∆的面积S 有最大值是278，此时点P 坐标为115(,)24；（3）存在点Q 坐标为(321,0)--或(321,0)或(5,0)或(2,0). 【详解】解（1）Q 点()2,B m 在直线1y x =+上，213m ∴=+=，∴点B 坐标为()2,3，Q 点()1,0A -和点()2,3B 在抛物线22y ax x c =++上，20443a c a c -+=⎧∴⎨++=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩，∴所求抛物线的函数表达式为223y x x =-++；（2）过点P 作PM x ⊥轴于点M ，交AB 于点N ， 设点P 的横坐标为m ，则点P 的坐标为()2,23m m m -++，点N 的坐标为(,1m m +）， Q 点P 是位于直线AB 上方，PN PM MN ∴=-= 223(1m m m -++-+）2=2m m -++. PAB ∴∆的面积PAN PBN S S S ∆=+∆()()21212m m m =⨯-+++ ()()()()()222113222122222m m m m m m m m m +⨯-++-=-++++-=-++ 23127228m ⎛⎫=--+⎪⎝⎭,302-Q ＜ ∴抛物线开口向下，又12m ＜＜-， ∴当12m =时， PAB ∆的面积S 有最大值，最大值是278. 此时点P 坐标为115,24⎛⎫⎪⎝⎭；（3）存在点Q 坐标为()321,0-或()321,0或()5,0或()2,0.12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 3，0），抛物线的对称轴为x 3；（2）点P 303，﹣4）；（3）32． 【详解】（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：22390ax ax a --=，∵a ≠0，∴22390x x --=，解得：x =3或x =33A 的坐30），B （330），∴抛物线的对称轴为x 3． （2）∵OA 3OC =3，∴tan ∠CAO 3，∴∠CAO =60°．∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO 3=1，∴点D 的坐标为（0，1）． 设点P 3a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =P A 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 30）． 当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P 34）． 综上所述，点P 3034）．。

专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略【基础知识点】性质：等腰三角形两个底角相等（简称：等边等角）；推论：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形类型一、与等腰三角形有关最值问题例．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰长分别为4和2，其中△BAC＝△DAE＝90°，点M为边DE的中点，若等腰Rt△ADE绕点A旋转，则点B到点M的距离最小值为__________．【答案】4【详解】解：连接AM，如下图所示：点M为边DE的中点，且Rt△ADE为等腰三角形，AM DE ∴⊥，12AM DE DM==，在Rt△ADE中，2AD=，由勾股定理可知：222AD AM DM=+，故有AM DM==当A、B、M三点不共线时，由三角形的三边关系可知：此时一定有BM AB AM>-，当三点共线且M点位于A、B之间时，此时有BM AB AM=-，∴4BM AB AM≥-=-4【变式训练1】如图，AD为等腰△ABC的高，其中△ACB=50°，AC=BC，E，F分别为线段AD，AC上的动点，且AE=CF，当BF＋CE取最小值时，△AFB的度数为（）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C【详解】如图，作CH△BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小， △AC=BC ，△CH=AC ，△△HCB=90°，AD△BC ，△AD//CH ，△△ACB=50°，△△ACH=△CAE=40°，△△CFH△△AEC ，△FH=CE ，△FH+BF=CE+BF 最小， 此时△AFB=△ACB+△HBC=50°+45°=95°．故选：C ．【变式训练2】如图，C 是线段AB 上一动点，ACD △，CBE △都是等边三角形，M ，N 分别是CD ，BE 的中点，若6AB =，则线段MN 的最小值为______．【解析】连接CN ，△ACD △和BCE 为等边三角形，△AC CD =，BC CE =，60ACD BCE B ∠=∠=∠=︒ △18060DCE ACD BCE ∠=︒-∠-∠=︒， △N 是BE 的中点，△CN BE ⊥，302BCEECN BCN ∠∠=∠==∠︒，△90DCN DCE ECN ∠=∠+∠=∠︒， 设AC a =，△12CM a =△6AB =，△6BC a =- ，△cos )CN BCN BC a =∠⨯=-△MN==△当92a=时，MN的值最小为【变式训练3】在ABC中，90ACB∠=︒，60B∠=︒，4AB=，点D是直线BC上一动点，连接AD，在直线AD的右恻作等边ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，则线段CD 的长度为__________．【答案】3【详解】解：如图，以AC为边向左作等边三角形ACF，连接DF，△90ACB∠=︒，60B∠=︒，△30BAC∠=︒，△4AB=，△122BC AB==，△2223AC AB BC，△ACF是等边三角形，△CF AC AF===60FAC∠=︒，△ADE是等边三角形，△AD AE=，60DAE∠=︒，△FAC DAC DAE DAC∠-∠=∠-∠，△CAE FAD∠=∠，在ACE和AFD中，AC AFCAE FADAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ACE AFD SAS≅，△CE DF=，当DF BC⊥时，DF的长是最小的，即CE的长最小，△906030FCD'∠=︒-︒=︒，Rt CFD'，△12D F CF'==3CD'=，△当线段CE的长度最小时，则线段CD的长度为3．故答案是：3．【变式训练4】如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝BD、CE为△ABC的两条中线，且BD△CE于点N，M为线段BD上的动点，则AM+EM+BC的最小值为_____．【答案】【详解】解：连接DE ．△AB ＝AC ，△△ABC ＝△ACB ，△BE ＝12AB ，DC ＝12AC ，△BE ＝CD ，△BC ＝CB ，△△EBC △△DCB （SAS ），△△ECB ＝△DBC ，EC ＝BD ，△BN ＝CN ，△EN ＝DN ， △BD △EC ，△△EDM ，△BCN 都是等腰直角三角形， △AE ＝EB ，AD ＝DC ，△DE //BC ，DE ＝12BC ，△EN NC＝DE BC ＝12，△CN ＝2EN ，△BN ＝2EN ，△AE ＝BE ＝△EN ＝3，BN ＝6，△BN ＝CN ＝6，△BC ＝作点A 关于直线BD 的对称点H ，连接EH 交BD 于M ，连接AM ，此时AM +EM 的值最小，最小值＝线段EH 的长，过点H 作HT △AB 于T ，延长BD 交AH 于J ． △AJ//EN ，AE ＝EB ，△BN ＝NJ ＝6，△AJ ＝JH ＝2EN ＝6，△S △ABH ＝12•AB •HT ＝12•AH •BJ ，△HT △AT=△ET ＝AE ﹣AT ＝，△EH△AM +EM +BC 的最小值为．故答案为 类型二、等腰三形存在性问题例1．（几何图形种）如图，在矩形ABCD 中，=8AB ，=5AD ，点E 是线段CD 上的一点（不与点D ，C 重合），将△BCE 沿BE 折叠，使得点C 落在'C 处，当△'C CD 为等腰三角形时，CE 的长为___________．【答案】52或203【详解】解：△四边形ABCD 是矩形 △90C ∠=︒，8,5CD AB BC AD ====△将△BCE 沿BE 折叠，使得点C 落在'C 处，△BCE BC E '≌,90C E CE BC E BCE ''∴=∠=∠=︒，BC BC '=， 设CE x =，则8DE CD x x =-=- ①当C D C C ''=时，如图过点C '作,C F CD C G BC ''⊥⊥，则四边形C GCF '为矩形C D C C ''=，142C G DF FC CD '∴====，4EF x =-在Rt BC G '中，3BG =，532C F CG '∴==-= 在Rt C FE '中222C E C F EF ''=+，即()22224x x =+-，解得52x =，52CE ∴= ②当CC CD '=时，如图，设,CC BE '交于点O ，设OE y =,BC BC EC EC ''==，BE ∴垂直平分CC '，11422OC OC CC CD ''∴====3OB =在Rt OCE 中222OE OC CE +=，即2224y x += 在Rt BCE 中，222BE BC CE =+，即()2223+5y x =+ 联立()22222243+5y x y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，解得203163x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，203EC ∴= ③当DC DC '=时，如图，又BC BC '=，DB ∴垂直平分CC ',BC BC EC EC ''==，BE ∴垂直平分CC ' 此时,D E 重合，不符合题意 综上所述，203=EC 或52，故答案为：52或203例2．（坐标系中）在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为(0，3)、(4，0)、(0，0)，AB =5，点P 为x 轴上一点，若使得△ABP 为等腰三角形，那么点P 的坐标除点(78，0)外，还可以是_____．【答案】（1-，0）、（4-，0）、（9，0）【详解】设P （a ，0），△A （0，3），B （4，0），△PB =|a -4|，PA 2=a 2+9，AB =5，△△ABP 是等腰三角形，△①当PB =AB 时，△|a -4|=5，△a =-1或9，△P （-1，0）或（9，0）， ②当PA =PB 时，△（a -4）2=a 2+9，△a =78，P （78，0），③当PA =AB 时，△a 2+9=25，△a =4（舍）或a =-4，△P （-4，0）． 即：满足条件的点P 的坐标为（-1，0）、（-4，0）、（9，0）．【变式训练1】如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标物上，点B 坐标为()3,3．将正方形ABCO 绕点A 顺时针旋转角度()090αα︒<<︒，得到正方形ADEF ，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ．连AP 、AG ．（1）求证：AOG △ADG ；（2）求PAG ∠的度数；并判断线段OG 、PG 、BP 之间的数量关系，说明理由；（3）当12∠=∠时，求直线PE 的解析式（可能用到的数据：在Rt 中，30°内角对应的直角边等于斜边一半）．（4）在（3）的条件下，直线PE 上是否存在点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）45PAG ∠=︒，PG OG BP =+；（3）3y -；（4）(0,3)-或3)【详解】（1）证明：在Rt△AOG 和Rt△ADG 中，AO ADAG AG=⎧⎨=⎩，△AOG △ADG （HL ）．（2）在Rt △ADP 和Rt △ABP 中，AD ABAP AP =⎧⎨=⎩ΔΔADP ABP ∴≅（HL ），则DAP BAP ∠=∠；ΔΔAOG ADG ≅，1DAG ∴∠=∠； 又190DAG DAP BAP ∠+∠+∠+∠=︒，2290DAG DAP ∴∠+∠=︒，45DAG DAP ∴∠+∠=︒， PAG DAG DAP ∠=∠+∠，45∴∠=︒PAG ；ΔΔAOG ADG ≅，DG OG ∴=，ΔΔADP ABP ≅，DP BP ∴=，PG DG DP OG BP ∴=+=+． （3）解：ΔΔAOG ADG ≅，AGO AGD ∴∠=∠，又190AGO ∠+∠=︒，290PGC ∠+∠=︒，12∠=∠，AGO PGC ∴∠=∠， 又AGO AGD ∠=∠，AGO AGD PGC ∴∠=∠=∠，又180AGO AGD PGC ∠+∠+∠=︒，180360AGO AGD PGC ∴∠=∠=∠=︒÷=︒，12906030∴∠=∠=︒-︒=︒；△在Rt ΔAOG 中，2,3AG OG OA ==，222AG OG OA =+△222(2)3OG OG =+，解得OG =G ∴点坐标为0)，3CG = 在Rt ΔPCG 中，2PG CG =，222PG CG PC =+△222(2)CG CG PC =+，△3PC ==，P ∴点坐标为：(3，3)，设直线PE 的解析式为：y kx b =+，则033b k b +=+=⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴直线PE 的解析式为3y =-．（4）①如图1，当点M 在x 轴的负半轴上时，AG MG =，点A 坐标为(0,3)，∴点M 坐标为(0,3)-．②如图2，当点M 在EP 的延长线上时，由（3），可得60AGO PGC ∠=∠=︒，EP ∴与AB 的交点M ，满足AG MG =，A 点的横坐标是0，G M ∴的横坐标是3，∴点M 坐标为3)．综上，可得点M 坐标为(0,3)-或3)．【变式训练2】如图，一次函数y ＝﹣34x +3的图象与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，将△AOB沿直线CD 对折，使点A 与点B 重合，直线CD 与x 轴交于点C ，与AB 交于点D ． （1）点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）求OC 的长度；（3）在x 轴上有一点P ，且△PAB 是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）(4,0)，(0,3)；（2）78；（3）(4,0)-或(1,0)-或(9,0)或7(,0)8．【详解】解：（1）对应一次函数334y x =-+， 当0y =时，3304x -+=，解得4x =，即(4,0)A ，当0x =时，3y =，即(0,3)B ， 故答案为：(4,0)，(0,3)； （2）(4,0),(0,3)A B ，4,3OA OB ∴==，由折叠的性质得：AC BC =，设OC a =，则4BC AC OA OC a ==-=-，在Rt BOC 中，222OB OC BC +=，即2223(4)a a +=-，解得78a ，即OC 的长度为78；（3）设点P 的坐标为(,0)P m ，则4PA m =-，PB 5AB ，根据等腰三角形的定义，分以下三种情况：①当PB AB =时，PAB △5=，解得4m =±， 此时点P 的坐标为(4,0)P -或(4,0)P （与点A 重合，不符题意，舍去）； ②当PA AB =时，PAB △是等腰三角形，则45m -=，解得9m =或1m =-， 此时点P 的坐标为(1,0)P -或(9,0)P ；③当PA PB =时，PAB △是等腰三角形，则4m -=解得78m =，此时点P 的坐标为7(,0)8P ；综上，点P 的坐标为(4,0)-或(1,0)-或(9,0)或7(,0)8．【变式训练3】如图，在直角坐标系中，直线l ：y ＝43x +8与x 轴、y 轴分别交于点B ，点A ，直线x ＝﹣2交AB 于点C ，D 是直线x ＝﹣2上一动点，且在点C 的上方，设D （﹣2，m ） （1）求点O 到直线AB 的距离；（2）当四边形AOBD 的面积为38时，求点D 的坐标，此时在x 轴上有一点E （8，0），在y 轴上找一点M ，使|ME ﹣MD |最大，请求出|ME ﹣MD |的最大值以及M 点的坐标；（3）在（2）的条件下，将直线l ：y ＝43x +8左右平移，平移的距离为t （t ＞0时，往右平移；t ＜0时，往左平移）平移后直线上点A ，点B 的对应点分别为点A ′、点B ′，当△A ′B ′D 为等腰三角形时，求t 的值．【答案】（1）4.8；（2）当点M 的坐标为（0，403）时，|ME ﹣MD |取最大值（3）t的值为﹣2﹣、4、﹣或9．【详解】（1）当x ＝0时，y ＝43x +8＝8，△A （0，8），△OA ＝8；当y ＝43x +8＝0时，y ＝﹣6，△B （﹣6，0），△OB ＝6．△AB10，△点O 到直线AB 的距离＝OA OBOA⋅＝4.8． （2）当x ＝﹣2时，y ＝43x +8＝163，△C （﹣2，163），△S 四边形AOBD ＝S △ABD +S △AOB ＝12CD •（x A ﹣x B ）+12OA •OB ＝3m +8＝38，解得：m ＝10， △当四边形AOBD 的面积为38时，点D 的坐标为（﹣2，10）．在x 轴负半轴上找出点E 关于y 轴对称的点E ′（﹣8，0），连接E ′D 并延长交y 轴于点M ，连接DM ，此时|ME ﹣MD |最大，最大值为线段DE ′的长度，如图1所示．DE ′= 设直线DE ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将D （﹣2，10）、E ′（﹣8，0）代入y ＝kx +b ，21080k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：53403k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，△直线DE ′的解析式为y ＝53x +403，△点M 的坐标为（0，403）．故当点M 的坐标为（0，403）时，|ME ﹣MD |取最大值 （3）△A （0，8），B （﹣6，0），△点A ′的坐标为（t ，8），点B ′的坐标为（t ﹣6，0）， △点D （﹣2，10），△B ′D8116t -+，A ′B ′10，A ′D△A ′B ′D 为等腰三角形分三种情况：①当B ′D ＝A ′D8116t -+t ＝9； ②当B ′D ＝A ′B ′8116t -+＝10， 解得：t ＝4；③当A ′B ′＝A ′D 时，有10解得：t 1＝﹣2﹣，t 2＝﹣．综上所述：当△A ′B′D 为等腰三角形时，t 的值为﹣2﹣4、﹣或9．类型三、等腰三角形中的动点问题例1.如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P 沿射线AB运动，点Q沿折线BC−CA运动，且它们的速度都为1cm/s．当点Q到达点A时，点P随之停止运动连接PQ，PC，设点P的运动时间为t(s)．（1）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为_______（cm），BP的长为_______（cm）（用含t的式子表示）；（2）当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值；（3）在运动过程中，当△CPQ是等腰三角形时，直接写出t的值．【答案】（1）t；(6−t)；（2）当t=2或t=4或t=8时，PQ与△ABC的一条边垂直；（3）当t=3或t=9时，∆CPQ为等腰三角形．【详解】解：（1）点Q从点B出发，速度为1cm/s，点P从点A出发，速度为1cm/s，△BQ=tcm，AP=tcm，△BP=(6−t)cm，故答案为：t；(6−t)；（2）根据题意分三种情况讨论：①如图所示：当PQ⊥CB时，∠PQB=90°，△三角形ABC为等边三角形，△∠A=∠ACB=∠ABC=60°，△∠QPB=30°，△QB=12PB，由（1）可得：t=12(6−t)，解得：t=2；②如图所示：当PQ⊥AB时，∠QPB=90°，△∠ABC=60°，△∠BQP=30°，△QB=2PB，由（1）可得：t=2(6−t)，解得：t=4；③如图所示：当PQ⊥AC时，∠AQP=90°，△∠A=60°，△∠APQ=30°，△AP=2QA，由（1）可得：t=2(12−t)，解得：t=8；综上可得：当t=2或t=4或t=8时，PQ与△ABC的一条边垂直；（3）根据题意，分情况讨论：①当点Q在BC边上时，CQ=PQ时，如图所示：过点Q作QE⊥AB，△∠ABC=60°，△∠BQE=30°，△BE=12BQ=12t，△QE=√32t，CQ=6−t，PE=6−t−1 2t=6−32t，△PQ=√PE2+QE2=√(6−32t)2+(√32t)2△CQ=PQ，△(6−t)2=(6−32t)2+(√32t)2，解得：t=3或t=0（舍去）；②当点Q在BC边上时，CP=CQ时，如图所示：过点P作PF⊥AC，△∠CAB=60°，△∠APF=30°，△AF=12AP=12t，△PF=√32t，CQ=6−t，CF=6−12t，△CP=√PF2+CF2=12(√3 2△CP=CQ，△(6−t)2=(6−12t)2+(√32t)2，解得：t=0（舍去）；③当点Q在BC边上时，CP=PQ时，如图所示：由图可得：∠CQP>60°，∠QCP<60°，∠CQP≠∠QCP，△这种情况不成立；④当点Q在AC边上时，只讨论CP=PQ情况，如图所示：过点Q作QE⊥AB，过点C作CF⊥AB，△∠CAB=60°，∆ABC为等边三角形，△∠AQE =30°，AF =BF =3，△CF =3√3，AQ =12−t ， △AE =6−12t ，△QE =√32(12−t)，△EP =t −(6−12t)=32t −6，△PQ =√QE 2+EP 2=√34(12−t)2+(32t −6)2，△CF =3√3，PF =t −3，△PC =√CF 2+FP 2=√(3√3)2+(t −3)2，△PC =PQ ，△34(12−t)2+(32t −6)2=(3√3)2+(t −3)2，解得：t 1=9或t 2=6（舍去）， 综上可得：当t =3或t =9时，∆CPQ 为等腰三角形．【变式训练1】如图1，ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，且::2:3:4BD AD CD =； （1）试说明ABC ∆是等腰三角形；（2）已知Δ40ABC S =cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒1cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M 运动的时间为t (秒)． ①若DMN ∆的边与BC 平行，求t 的值；②在点N 运动的过程中，ADN ∆能否成为等腰三角形?若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①t 值为5或6；②点N 运动的时间为6s ，365s ，或5s 时，ΔADN 为等腰三角形. 【详解】解：（1）设BD ＝2x ，AD ＝3x ，CD ＝4x ，则AB ＝5x ，在Rt △ACD 中，AC 5x ，△AB ＝AC ，△△ABC 是等腰三角形； （2）①S △ABC ＝12×5x ×4x ＝40cm 2，而x ＞0，△x ＝2cm ， 则BD ＝4cm ，AD ＝6cm ，CD ＝8cm ，AC ＝10cm ．当MN △BC 时，AM ＝AN ，即10−t ＝t ，此时t ＝5，当DN △BC 时，AD ＝AN ，此时t ＝6， 综上所述，若△DMN 的边与BC 平行时，t 值为5或6； ②ΔADN 能成为等腰三角形，分三种情况： （△）若AD =AN =6，如图：则t =61=6s ；（△）若DA =DN ，如图：过点D 作DH AC ⊥于点H ，则AH =NH ， 由1122ACDSAD CD AC DH =⋅=⋅，得11681022DH ⨯⨯=⨯⨯，解得245DH =，在Rt ADH 中，185AH ===， 3625AN AH ∴==，3615AN t s ∴==； （△）若ND =NA ，如图：过点N 作NQ AB ⊥于点Q ，则AQ =DQ =3，142NQ CD ==，5AN ∴==，51ANt s ∴==； 综上，点N 运动的时间为6s ，365s ，或5s 时，ΔADN 为等腰三角形. 【变式训练2】在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （b ，0），C （c ，0），a ≠0且a ，b ，c 满足条件()20a b +=．（1）直接写出△ABC 的形状 ；（2）点D 为射线BC 上一动点，E 为射线CO 上一点，且△ACB =120°，△ADE =60° ① 如图1，当点E 与点C 重合时，求AD 的长；② 如图2，当点D 运动到线段BC 上且CD =2BD ，求点E 的坐标；【答案】（1）等腰三角形，证明见解析；（2）①6；②0,7.E【详解】解：（1） ()20a b +=，030a b c 解得：3a bc∴ A （b -，0），B （b ，0），C （3，0），,OA OB ∴= 而,OC AB ⊥ ,AC BC ∴=ABC ∴是等腰三角形.（2）① △ACB =120°，△ADE =60°，,ACBD DAC 60,DACACD ∴是等边三角形，,AD CD AC,AC BC =30,ABCCAB 90,DAB ∴∠=︒2BD BC CD AD,AD DC BC ∴==3,,CO COAB 6,BC6.AD②在CE 上取点F ，使CF =CD ，连接DF ，记,AD CE 的交点为K ，如图所示：△AC =BC ，△ACB =120°， △△ACO =△BCO =60°， △△CDF 是等边三角形， △△CFD =60°，CD =FD ， △△EFD =120°， △△ACO =△ADE =60°，,AKCFKD △△CAD =△CED ，又△△ACD =△EFD =120°， △△ACD △△EFD （AAS ）， △AC =EF ， 由（1）得：c =3， △OC =3， △△AOC =90°，△ACO =60°， △△OAC =30°， △BC =AC =2OC =6，EF =AC =6，△CD =2BD ， △BD =2，CF =CD =4， △CE =EF +CF =6+4=10， △OE =CE -OC =1037-=， △0,7.E 【变式训练3】如图，在等边△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝6cm ，现有两点M 、N 分别从点A 、B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为1cm/s ，点N 的速度为2cm/s ．当点N 第一次回到点B 时，点M 、N 同时停止运动，设运动时间为ts ． （1）当t 为何值时，M 、N 两点重合；（2）当点M 、N 分别在AC 、BA 边上运动，△AMN 的形状会不断发生变化． ①当t 为何值时，△AMN 是等边三角形； ②当t 为何值时，△AMN 是直角三角形；（3）若点M 、N 都在BC 边上运动，当存在以MN 为底边的等腰△AMN 时，求t 的值．【答案】（1）当M 、N 运动6秒时，点N 追上点M ；（2）①2t =，△AMN 是等边三角形；②当32t =或125时，△AMN 是直角三角形；（3）8t =【详解】解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合，x ×1+6＝2x ，解得：x ＝6， 即当M 、N 运动6秒时，点N 追上点M ；（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，AM＝t，AN＝6﹣2t，△AB＝AC＝BC＝6cm，△△A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形，△t＝6﹣2t，解得t＝2，△点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．②当点N在AB上运动时，如图2，若△AMN＝90°，△BN＝2t，AM＝t，△AN＝6﹣2t，△△A＝60°，△2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，解得32t=；如图3，若△ANM＝90°，由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，解得125t=．综上所述，当t为32或125s时，△AMN是直角三角形；（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图4，假设△AMN是等腰三角形，△AN＝AM，△△AMN＝△ANM，△△AMC＝△ANB，△AB＝BC＝AC，△△ACB是等边三角形，△△C＝△B，在△ACM和△ABN中，△△AMC＝△ANB，△C＝△B，AC＝AB，△△ACM△△ABN（AAS），△CM＝BN，△t﹣6＝18﹣2t，解得t＝8，符合题意．所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．。

专题1 有关等腰三角形、等边三角形和直角三角形的常见压轴题1．（2021·武汉一初慧泉中学九年级月考）问题背景（1）如图1，已知△ABC ，△ADE 均为等边三角形，且点D 在线段BC 上，求证：△ABD ≌△ACE ；尝试应用（2）如图2，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 为线段BC 上一点，以BP 为边作等边三角形BPQ ，连接CQ ，M 为线段CQ 的中点，连接AM ，AP ．求证：AP ＝2AM ；拓展创新（3）已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，G 为平面内一点，若∠AGB ＝90°，∠BGC ＝150°，请直接写出AG BG的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3【解题思路分析】（1）根据等边三角形的性质可得,AB AC AD AE ==，根据BAC DAE Ð=可得BAD CAE Ð=Ð，进而根据SAS 即可证明ABD ACE △≌△；（2）将ABP △绕A 点旋转120°，得到∆ADC V ，连接,DM QD ，则旋转角120PAD Ð=°，进而证明四边形CDQP 是平行四边形，由点M 是CQ 的中点，可得M 是平行四边形对角线的交点，则PM DM =，进而根据等腰三角形三线合一性质可得AMP Rt ∆，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可得证；（3）将∆AGC V 绕点A 顺时针旋转120°，得到ASB △，旋转角120GAS Ð=°,分情况讨论，①当G 点在三角形∆ABC V 内部时， ②当G 点在三角形∆ABC V 外部时，根据等腰三角形的性质求得ASG AGS Ð=Ð，设AG a =，则AS AG a ==,进而根据勾股定理求得BG ，进而求得AG BG的值．【解析】（1）Q △ABC ，△ADE 均为等边三角形，60ABD ADE BAC DAE \Ð=Ð=Ð=Ð=°,,AB AC AD AE==BAD DAC DAC CAE\Ð+Ð=Ð+ÐBAD CAE\Ð=Ð\ABD ACE △≌△（SAS ）；（2）如图，将ABP △绕A 点旋转120°，得到∆ADC V ，连接,DM QD ，则旋转角120PAD Ð=°ABP ADC \△≌△，,BP DC AP AD \==，120,BAC AB AC Ð=°=Q ，30ABC ACB \Ð=Ð=°，Q 120PAD Ð=°，AP AD =，1(180120)302APD ADP \Ð=Ð=°-°=°，60DCP ACD ACB \Ð=Ð+Ð=°，BPQ Q △是等边三角形，\PQ BP =，60QPB Ð=°，PQ DC \=，DCB QPB Ð=Ð，//PQ DC \，\四边形CDQP 是平行四边形，Q 点M 是CQ 的中点，\点M 是平行四边形CDQP 对角线的交点，PM DM \=，AP AD =Q ，AM PD \^，Rt V ∆AMP 中Q 30APD Ð=°，2AP AM\=（3）①当G 点在三角形∆ABC V 内部时，如图，将∆AGC V 绕点A 顺时针旋转120°，得到ASB △，则ASB AGC △≌△,\AS AG =，120GAS Ð=°，1(180120)302ASG AGS \Ð=Ð=°-°=°，Q 360120ASB AGC AGB BGC Ð=Ð=°-Ð-Ð=°,90GSB ASB ASG \Ð=Ð-Ð=°,903060SGB ABG AGS \Ð=Ð-Ð=°-°=°，30SBG \Ð=°，如图，过点A 作AT SG ^，设AG a =，则AS AG a ==,在Rt AST △中，30ASG Ð=°Q ，12AT SA \=，ST TG \===，SG \=，在Rt SBG △中Q 30SBG Ð=°，2BG SG \==\AG BG =（3）①当G 点在三角形∆ABC V 外部时，如图，将∆AGC V 绕点A 顺时针旋转120°，得到ASB △，则ASB AGC △≌△,\AS AG =，120GAS Ð=°，30ASG AGS \Ð=Ð=°，Q 1509060ASB AGC AGB BGC Ð=Ð=Ð-Ð=°-°=°,30GSB ASB ASG \Ð=Ð-Ð=°,903060SGB ABG AGS \Ð=Ð-Ð=°-°=°，90SBG \Ð=°，设AG a =，则AS AG a ==,由①可知SG =Rt V 在Rt SBG △中Q 30BSG Ð=°则12BG SG =，\AG BG =综上所述，AG BG 2．（2021·湖北新洲·九年级月考）已知关于x 的一元二次方程2()20()b c x ax b c ---=+有两个相等的实数根，且a 、b 、c 分别是ABC ∆中A Ð、B Ð、C Ð的对边．（1）求证：ABC ∆直角三角形；（2）若a b =，设点P 为AB 边上任一点，PE BC ^于E ，M 为AP 的中点，过A 作BC 的平行线，MD ME ^交此平行线于D ．当点P 在线段AB 上运动的时候，求32MD ME 的值．【答案】（1）见解析；（2）3322MD ME =．【解题思路分析】（1）根据已知条件得出Δ＝0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理进行判断即可；（2）过M 作GF ⊥BC ，交AD 于F ，交BC 于G ，由题意得出△ABC 是等腰直角三角形，△BEP 、△AFM 为直角三角形，证出∠D ＝∠2，得出△DMF ∽△MEG ，得出对应边成比例DM MF ME EG=，设BE ＝x ，则BP x ，EC ＝a −x ，PA a a −x ），得出AM 、MF 、EG ，即可得出答案．【解析】（1）Q 关于x 的一元二次方程22(0)b c x ax c b ++-=-有两个相等实数根，2()(240)()a b c c b \∆=+---=，整理，得222a b c =＋，ABC ∆∴是直角三角形．（2）过M 作GF ⊥BC ，交AD 于F ，交BC 于G ，如图所示：∵a ＝b ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵AD //BC ，∴∠B ＝∠MAF ＝45°，∴△BEP 、△AFM 为直角三角形，在Rt △DMF 和Rt △MEG 中，∠DFM ＝∠MGE ＝90°，∴∠D ＋∠1＝90°，∠2＋∠1＝90°，∴∠D ＝∠2，∴△DMF ∽△MEG ，∴DM MF ME EG=，设BE ＝x ，则BPx ，EC ＝a −x ，PAax（a −x ），∵MG 是梯形∴AM ＝12PA ，MF ＝AM •sin 45°＝2a x -，EG ＝12EC ＝12（a −x ），∴()()12112a x DM MF ME EG a x -===-，∴3322MD ME =3．（2021·武汉市卓刀泉中学九年级月考）如图1，点P 为等腰Rt △ABC 斜边AB 下侧一个动点，连AP 、BP ，且∠APB ＝45°，过C 作CE ⊥AP 于点E ，AB ＝12．（1）若∠ACE ＝15°，求△ABP 的面积；（2）求CE AP的值；（3）如图2，当△APC 为等腰三角形时，则其面积为 ．【答案】（1）18+；（2）12CE AP =；（3）18或36+【解题思路分析】（1）过点B 作BH ⊥AP 于H ，证明∠BAH =30°，然后求出BH ，AH ，PH 即可解决问题；（2）过点B 作BF ⊥CE 于F ，先证明四边形BFEH 是矩形，得到EF =BH =PH ，BF =EH ，再证明△ACE ≌△CBF ，得到CE =BF =EH ，AE =CF ，即可推出AP =AE +PH +EH =2CE ；（3）分当PA =PC 时，当AP =AC 时，两种情况根据（1）（2）的结论进行求解即可．【解析】解：（1）如图所示，过点B 作BH ⊥AP 于H ，∴∠BHA =∠BHP =90°∵△ABC 是等腰直角三角形，且AB 是斜边，∴AC =BC ，∠ACB =90°，∴∠CAB =∠CBA =45°，∵CE ⊥AP ，∴∠AEC =90°，∵∠ACE =15°，∴∠CAE =90°-∠ACE =75°，∴∠BAH =∠CAE -∠CAB =30°，∴162BH AB ==，∴AH ==∵∠APB =45°，∴∠HBP =∠HPB =45°∴6BH PH ==，∴6AP AH HP =+=+∴(11=66=1822ABP S AP BH ×=´´++△（2）如图，过点B 作BF ⊥CE 于F ，∵BF ⊥CE ，CE ⊥AP ，BH ⊥AP ，∴∠BFE =∠FEH =∠BHE =90°，∴四边形BFEH 是矩形，∴EF =BH =PH ，BF =EH ，∵∠ACE +∠BCE =∠ACB =90°，∠BCE +∠CBF =90°，∴∠ACE =∠CBF ，又∵AC =BC ，∴△ACE ≌△CBF （AAS ）∴CE =BF =EH ，AE =CF ，∵AE +PH =AE +EF =CF +EF =CE ，∴AP =AE +PH +EH =2CE ，∴12CE AP =；（3）如图所示，当PA =PC 时，∵PA =PC ，AP =2CE ，∴PC =2CE ，∠PAC =∠PCA∵CE ⊥AP ，∴∠CEP =90°，∴∠CPE =30°，∴∠PCE =60°，()1==180=752PAC PCA CPA -o o ∠∠∠，∴∠ACE =15°，∴由（1）可知6AP =+∴132CE AP ==+，∴(11=633622APC S AP CE ×=++=+△．如图所示，当AP =AC 时，∵CA =CB ，∠ACB =90°，∴222AC BC AB +=即222=2=144AC BC ，∴AC BC ==∴PA AC ==∴12CE AP ==∴11=22APC S AP CE ×=´△，∴综上所述，当△APC 为等腰三角形时，则其面积为18或36+故答案为：18或36+4．（2021·重庆十八中两江实验中学九年级月考）已知：在△ABC 中，∠ABC =90°，点D 为直线BC 上一点，连接AD 并延长，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ．（1）如图1，若∠BAC =60°，CE =12AC ，AB =1，求线段AE 的长度；（2）如图2，若AC =EC ，点F 是线段BA 延长线上一点，连接EF 与BC 交于点H ，且∠BAD =∠ACF ，求证：AF =2BH ；（3）如图3，AB =2，BC =6，点M 为AE 中点，连接BM ，CM ，当|CM -BM |最大时，直接写出△BMC 的面积．【答案】（12）见解析；（3）24【解题思路分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，求得AC ,根据已知条件求得CE ,根据勾股定理即可求得AE ；（2）作EQ BC ^，证明ABC ∆≌CQE △，进而可得,AB CQ BC QE ==，由已知可得ACE V 是等腰直角三角形，进而证明45FCB BFC Ð=Ð=°，FBH EQH △≌△，即可证明2AF BH=（3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CM BM AM BM AB -=-£，当,,A M B 三点共线时，CM BM -取得最大值为AB 的长，进而勾股定理求得AC ,根据三角形的面积公式可得AE =，在Rt ACE △中，勾股定理求得EC ，进而求得BM ，根据三角形面积公式求解即可求得△B MC 的面积．【解析】（1）Q ∠ABC =90°，∠BAC =60°，AB =1，30ACB \Ð=°，2AC \=，Q CE =12AC ，1CE \=，ABC Rt ∆中，AE ===；（2）如图，作EQ BC ^，,EQ BC AC EC ^^Q ，90EQC ACE \Ð=Ð=°，90,90QEC QCE QCE QCA Ð+Ð=°Ð+Ð=°Q ，QEC QCA \Ð=Ð，90ABC Ð=°Q ，ABC CQE \Ð=Ð，在ABC ∆和CQE △中，ABC CQE BCA QECAC CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î\ABC ∆≌CQE △，,AB CQ BC QE \==，,AC CE AC CE =^Q ，ACE ∆是等腰直角三角形，45CAE CEA \Ð=Ð=°，180BAD CAE ACB ABD Ð+Ð+Ð+Ð=°Q ，45BAD ACB \Ð+Ð=°，Q BAD ACF Ð=Ð，45ACF ACB \Ð+Ð=°，即45FCB Ð=°，45FCB BFC \Ð=Ð=°，BC BF \=，,CQ AB BC EQ BF ===Q ，BQ AF \=，在FBH ∆与EQH △中90BHF QHE FBH EQH BF EQ Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=îFBH EQH \△≌△，1122BH QH BQ AF \===，2AF BH \=；（3）90ACE M Ð=°Q ，为AC 的中点，AM CM \=，CM BM AM BM AB \-=-£，当,,A M B 三点共线时，CM BM -取得最大值为AB 的长，如图，在ABC Rt ∆中，AC ===ACE S =Q △1122AC CE AE BC ××=××，6EC AE \=，AE \=，在Rt ACE △中222AC EC AE +=，(222EC EC ö\+=÷÷ø，解得EC =20AE \==，110282BM AE AB \=-=-=，11862422BMC S BM BC \=××=´´=△．5．（2021·吉林省第二实验学校九年级月考）如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，10AB =，6BC =，动点P 从点A 出发，沿AC 以每秒5个单位长度的速度向终点C 匀速运动，设点P 的运动时间为t 秒（0t >），过点P 作AB 的垂线交AB 于点M ．（1）AC =________．（2）求PM 的长，（用含有t 的代数式表示）（3）若将点P 绕点M 逆时针旋转90°于点N ．①求BN 的长（用含t 的代数式表示）②在点P 运动的同时，作点B 关于点N 的对称点Q ，连结PQ ．当AQP V 为等腰三角形时，直接写出t 的值．【答案】（1）8；（2）PM =3t ；（3）①当1007t <£时，BN =10-7t ；当10875t <£时，BN= 7t-10；②t=887或109t =【解题思路分析】（1）利用勾股定理求出答案；（2）证明△AMP ∽△ACB ，即可求出答案；（3）①利用勾股定理求出AM ，结合旋转的性质求出BN 的长；②根据等腰三角形两边相等分三种情况，构建线段的方程解答．【解析】解：（1）在ABC ∆中，90ACB Ð=°，10AB =，6BC =，∴AC 8===,故答案为：8；（2）由题意得AP =5t ，∵PM ⊥AB ，∴90ACB AMP ÐÐ==°，∵∠A =∠A ，∴△AMP ∽△ACB ，∴PM AP BC AB =，∴5610PM t =，∴PM =3t ；（3）①∵点P 绕点M 逆时针旋转90°于点N ，90AMP Ð=°，∴点N 在射线AB 上，∵90AMP Ð=°，AP =5t ，PM =3t ，∴4AM t ===，∴AN=AM +MN =AM +MP =4t +3t =7t ，∴当1007t <£时，BN=AB-AN =10-7t ；当10875t <£时，BN=AN-AB =7t -10；②能，分三种情况：当AQ=PQ 时，∵PQ =2102(107)1410AQ AB BN t t =-=--=-，22(107)(104)1010QM BN BM t t t =-=---=-，又∵90PMQ Ð=°，222PQ PM QM =+，∴ 222(14101010)(3)()t t t -=+-，解得t =0（舍去）或t=887；当AP=AQ 时，∵5AQ AP t ==，(12207)2014BQ t t BN -=-==，AQ +BQ =AB =10，∴5(2014)10t t +-=，解得109t =；当AP=PQ 时，∵(72210)1420BQ t N t B -=-==，28AQ AM t ==，AB +BQ=AQ ，∴1014208t t +-=，解得53t =，∵5385>，∴舍去；综上，当AQP ∆为等腰三角形时， t=887或109t =．6．（2021·西安市铁一中学九年级开学考试）如图1．在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD ＝AE ，连接BE ，点M 、N 、P 分别为DE 、BE 、BC 的中点，连接NM 、NP ．（1）图1中，线段NM 、NP 的数量关系是 ，∠MNP 的度数为 ；（2）将△ADE 绕点A 顺时针旋转到如图2所示的位置．连接MP ．你认为△NMP 是什么特殊三角形，请写出你的猜想并证明你的结论；（3）把△ADE绕点A在平面内旋转，若AD＝3，AB＝5，请写出△MNP面积的最大值．【答案】（1）MN NP=，60゜；（2）等边三角形，证明见解析；（3）【解题思路分析】（1）根据AB=AC，AD=AE，得BD=CE，再根据三角形中位线定理可知MN=12BD，PN=12CE，MN∥AB，PN∥AC，利用平行线的性质可证得∠MNP=60°；（2）先通过SAS证明△ABD≌△ACE，得BD=CE，∠ABD=∠ACE，再由（1）同理可证；（3）由三角形三边关系可知：BD≤8，由（2）知：△MNP是等边三角形，MN=12BD，则MN最大值为4，即可求得△MNP的最大面积．【解析】（1）∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，∴MN=12BD，PN=12CE，MN∥AB，PN∥AC，∴MN=PN，∠ENM=∠EBA，∠ENP=∠AEB，∴∠MNE+∠ENP=∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=60°，∴∠MNP=60°，故答案为：MN=NP，∠MNP=60°．（2）△MNP是等边三角形，理由如下：由旋转得：∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，∴MN=12BD，PN=12CE，MN∥BD，PN∥CE，∴MN=PN，∠ENM=∠EBD，∠BPN=∠BCE，∴∠ENP=∠NBP+∠NPB=∠NBP+∠ECB，∵∠EBD=∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE，∴∠MNP =∠MNE +∠ENP =∠ACE +∠ABE +∠EBC +∠EBC -∠ECB =180°-∠BAC =60°，∴△MNP 是等边三角形；（3）由三角形三边关系可知：BD ≤AB +AD ，即BD ≤8，∴BD 的最大值为8，由（2）知：△MNP 是等边三角形，MN =12BD∴MN =4S △MNP 最大，24MNP S =V 7．（2021·沙坪坝·重庆八中九年级月考）已知，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 在边AC 上运动，连接BD ，过C 作//CM AB 交BD 的延长线于点M ．（1）如图1，点D 为AC 边上的中点，BD =CM 的长；（2）如图2，过点A 作AE BM ^于点E ，交CM 于点F ，连接DF ，求证：BD AF DF =+；（3）如图3，过点A 作AE BD ^交BD 的延长线于点E ，P 为BE 的中点，AB =CP 的最小值．【答案】（1）CM =；（2）见解析；（3【解题思路分析】（1）证明)(ASA BDA MDC ∆≅∆，得到CM =AB ，BCD Rt ∆中，利用勾股定理解得BC 的长，再在ABC Rt ∆中，利用勾股定理解题即可；（2）延长AF 交BC 的延长线于T ,证明()BCD ACT ASA ≌△△，()DCF TCF SAS ≌△△，再根据全等三角形对应边相等的性质、线段的和差性质解题；（3）取AB 中点Q ，取BQ 中点G ，连接PQ ，PG ，CG ，过点G 作GH BC ^于点H ，解得AQ ，BG 的长，当C 、P 、G 在同一条直线上时，CP 有最小值，再利用勾股定理解得BG 的长，继而解得BH 的长，再运用勾股定理求解．【解析】解：（1）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB Ð=°，AC BC =，Q //CM AB45,MCD BAD MDC BDA\Ð=Ð=°Ð=ÐQ 点D 为AC 边上的中点，CD AD\=)(ASA BDA MDC ∆≅∆\MC AB\=设,2DC x CB AC x===BCD Rt ∆中，222DC BC BD +=222(2)x x \+=255x \=1x \=或1x =-（舍去）2CB AC \==在Rt ABC V 中，AB \==CM AB \==;（2）证明：如图，延长AF 交BC 的延长线于T ,∵AE BM ^，AC BC ^，∴90BCD AED Ð=Ð=°，∵BDC ADE Ð=Ð，∴90AED BCD Ð=Ð=°，∴CBD CAT Ð=Ð，∵90BCD ACT Ð=Ð=°，CB CA =，∴()BCD ACT ASA ≌△△，∴CD CT =，BD AT =，∵ABC ∆是等腰直角三角形∴45ACM BAC Ð=Ð=°，∴45DCF TCF Ð=Ð=°，∵CF CF =，∴()DCF TCF SAS ≌△△，∴FD FT =，∵AT AF FT AF FD =+=+，AT BD =，∴BD AF FD =+．（3）取AB 中点Q ，取BQ 中点G ，连接PQ ，PG ，CG ，过点G 作GH BC ^于点H ，11112222AQ BQ AB BG QG BG ===´=====P Q 为BE 的中点，Q 为AB 的中点，PQ \为ABE △的中位线，//PQ AE\AE BD^Q PQ BD\^90BPQ \Ð=°G Q 是BQ12PG BQ \==\当C P G 、、三点在同一条直线上时，CP 有最小值，,45GH BC CBA ^Ð=°Q 45BGH CBA \Ð=Ð=°BH GH\=设=BH GH x =BG \==x \=在等腰直角三角形ABC 中，90ACB Ð=°，AC =BC ，AB=222AC BC AB \+=222BC \=BC \CH BC BH\=-==在Rt CGH△中，52 CG===52CP CG PG\=-==8．（2021·诸暨市开放双语实验学校九年级期中）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为 ；②线段AD，BE之间的数量关系为 ．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DC E中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．【答案】（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE，证明见解析；（3【解题思路分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．（3）由PD=1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．【解析】解：（1）①如图1．∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD =∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠ADC =∠BEC ．∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE =∠CED =60°．∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =120°，∴∠BEC =120°，∴∠AEB =∠BEC ﹣∠CED =60°．故答案为：60°．②∵△ACD ≌△BCE ，∴AD =BE ．故答案为：AD =BE ．（2）∠AEB =90°，AE =BE +2CM ．理由：如图2．∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =90°，∴∠ACD =∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3）点A到BP．理由如下：∵PD=1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD=90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴点P是这两圆的交点．①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E ，如图3①．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC，∠BAD=90°，∴BD=2．∵DP=1，∴BP∵∠BPD=∠BAD=90°，∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB=∠ADB=45°，∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD，AH+1，∴AH②当点P在如图3②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．同理可得：BP=2AH﹣PD，AH﹣1，∴AH．综上所述：点A到BP．9．（2021·重庆字水中学九年级三模）如图，在等边ABCV中，AD是BC边上的高，点E为线段AD上一点，连EB、EC．（1）如图1，将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，使点F落在BA的延长线上．Ð的度数；①求CEF②求证：AB AF=+；=时，请直接写出（2）如图2，若4AB=，将线段EB绕点E旋转过程中与边AC交于点H，当AE CH+的最小值．BH CE【答案】（1）① 120°；②证明见解析；（2）【解题思路分析】（1）①延长BE到H交AC于H，根据等边三角形的性质可以得到AD是BC的垂直平分线，∠BAD=∠CAD=30°，∠ABC=60°，即可得到∠EBC=∠ECB，由旋转的性质可以得到BE=EF，∠F=∠ABH，再根据∠FEH=∠F+∠FBH=2∠FBH，∠CEH=∠EBC+∠ECB=2∠EBC即可求解；②在BA上截取BG=AE，过点E作EM⊥AB于M，连接EG，由等腰三角形的性质可以得到AM=GM，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出AM AE==，即可求解；（2）将AB绕点A逆时针旋转90°到AT，连接EF，证明△BHC≌△TEA，得到BH=ET，即可得到BH+CE=BE+ET，要想BH+CE的值最小，即BE+ET的值最小，当B、E、T三点共线时，BE+ET的值最小，由此求解即可.【解析】解：（1）①延长BE到H交AC于H，∵三角形ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，∴AD是BC的垂直平分线，∠BAD=∠CAD=30°，∠ABC=60°，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，由旋转的性质可得：BE=EF，∴∠F=∠ABH，∵∠FEH=∠F+∠FBH=2∠FBH，∠CEH=∠EBC+∠ECB=2∠EBC，∴∠CEF=∠CEH+∠HEF=2∠FBH+2∠EBC=2∠ABC=120°；②如图，在BA上截取BG=AE，过点E作EM⊥AB于M，连接EG，∵BE=FE，∴BM=FM，又∵AF=BG，∴AM=GM，∵∠EAM=30°，∴AE=2ME，∴AM AE==，∴2=+==，AG AM MG AM=+，∵AB BG AG∴AB AF=；（2）如图，将AB绕点A逆时针旋转90°到AT，连接EF，∴∠TAE=∠BCH=60°，AT=AB=BC，∠BAT=90°∵AE=CH，∴△BHC≌△TEA（SAS），∴BH=ET，∵BE=CE，∴BH+CE=BE+ET，∵要想BH+CE的值最小，即BE+ET的值最小，∴当B、E、T三点共线时，BE+ET的值最小，∴此时△ABT为等腰直角三角形，∴BT==，∴BH+CE的最小值为10．（2021·吉林省第二实验学校九年级月考）已知Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝4，AC=3，点P从点B处出发，以每秒2个单位长度的速度沿B﹣A﹣C，运动时间为t秒，以AP为斜边作等腰直角三角形PQA，点Q始终在点A的右上方，（1）用t表示线段AP的长．（2）点Q落在线段BC上时，求t的值．（3）点P在线段AB上运动时，点A'是点A关于直线QP的对称点，当点A'与△ACB的顶点所连线段平行△ACB 的一条直角边时，求△ABC与AA P'△重叠部分的面积S的值．（4）点E是线段AC中点，当直线QE把△ABC的面积分为 2：3 两部分时，直接写出t的值．【答案】（1）()420272422t tAPt tì-££ï=íæö-<£ç÷ïèøî；（2）27；（3）17156或247；（4）3441或2223或13041或7023【解题思路分析】（1）分当P在线段AB上时和当P在线段AB上时两种情况讨论求解即可；（2）先利用AC=3，AB=4∠C＞∠B，即∠C＞45°，则当P在AC上时，Q不可能在BC上，过点过点Q作QH⊥AB交AB于H，然后证明△BQH∽△BCA，得到QH BHAC AB=，即可求解；（3）分①当A C'∥AB时②当A B'∥AC时两种情况利用相似三角形进行求解即可得到答案；（4）以AB为x轴，以AC为y轴，建立平面直角坐标系，分别讨论当P在AB上和P在AC上时两种情形讨论求解即可.【解析】：（1）当P在线段AB上时，由题意可得：AP=AB-BP，BP=2t，∴AP=4-2t（0≤t≤2）；当P在线段AB上时，AP=2t-4（722t<£）；∴()420272422t tAPt tì-££ï=íæö-<£ç÷ïèøî；（2）∵AC =3，AB =4∴∠C ＞∠B ，∵∠C ＞45°，∴当P 在AC 上时，Q 不可能在BC 上，∴P 只能在AB 上时，Q 才能在BC 上，过点Q 作QH ⊥AB 交AB 于H ，∵CA ⊥AB ，QH ⊥AB ，∴CA ∥QH ，∴△BQH ∽△BCA ，∴QH BH AC AB=，∵△AQP 是等腰直角三角形，∠AQP =90°，∴QH =AH =HP =122AP t =-，∴BH =2+t ∴2234t t -+=，解得27t =；（3）①当A C '∥AB 时，设A A '与BC 交于M ，过点M 作ME ⊥AB 于E ∴ACA 'Ð=90°∵A '是A 关于QP 的对称点，∴AP =A P '，∠PQA =PQA '∠=90°，∠QPA =QPA '∠∵∠PAQ =45°，∴∠QPA =QPA '∠=45°，∴∠APF =90°，∴四边形ACA P '是正方形，PF ∥AC ，∴AC =AP =3，∴BP =1，∵ME ⊥AB ，CA ⊥AB ，∴ME ∥AC ，AE =ME ，∴△BEM ∽BAC ，△BPF ∽△BAC ，∴ME BE AC AB =，PF BP AC AB =，∴434ME ME -=，134PF =，解得127ME =，34PF =，∵△ABC 与△AA ′P 重叠部分的面积S 即为四边形APFM 的面积，561712121=∙-∙=-=\∆∆PF PB ME AB S S S BPF ABM②当A B '∥AC 时，设A A '与BC 交于M ，过点M 作ME ⊥AB 于E ，同理可以求得127ME =，72421=∙==\∆ME AB S S ABM ，综上所述，S 的值为17156或247；（4）如图所示，建立平面直角坐标系，则A （0，0），B （4，0），C （0，3），E （0，32），直线EQ 于BC 交于G ，①当P 在AB 上时，AP =4-2t ，过Q 作QH ⊥AB 于H ，∴AH =QH =HT =2-t ，∴Q （2-t ，2-t ），设直线EQ 的解析式为11y k x b =+，直线BC 的解析式为y kx b =+，∴()1113222b t k t b ì=ïíï-=-+î，304b k b =ìí=+î，解得：11321242b t k t ì=ïïí-ï=ï-î，334b k =ìïí=-ïî∴直线EQ 的解析式为123422t y x t -=+-，直线BC 的解析式为334y x =-+，联立123422334t y x t y x -ì=+ïï-íï=-+ïî解得()6287t x t -=-，∵621=∙=∆AB AC S ABC ，直线EQ 把△ABC 的面积分为2:3的两部分∴52678)2(621´=--´=∆t t CE S CEG 或53678)2(621´=--´=∆t t CE S CEG ，∴52678)2(62321´=--´´t t 或53678)2(62321´=--´´t t ，解得3441t =或2223t =；②当P 在AC 上时，AP =2t -4，过Q 作QH ⊥AB 于H ，∴AH =QH =HT =t -2，∴Q （t -2，t -2），设直线EQ 的解析式为22y k x b =+，()2223222b t k t b ì=ïíï-=-+î，解得22322724b t k t ì=ïïí-ï=ï-î，∴直线EQ 的解析式为273242t y x t -=+-，联立273242334t y x t y x -ì=+ïï-íï=-+ïî解得()62720t x t -=-，同理可得526207)2(62321´=--´´t t 或536207)2(62321´=--´´t t ，解得13041t =或7023t =；综上所述，t 的值为3441或2223或13041或7023.11．（2021·长春市第二实验中学九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝8cm，点P从点A出发，沿AC方向以2cm/s的速度向终点C运动，PD⊥AC，PD＝PA，点F在射线AC上，FP＝2PA，以PD、PF为邻边构造矩形PDEF，设点P的运动时间为t（s）．（1）AF＝ （用含t的代数式表示）．（2）当点B落在DE上时，求t的值．（3）连接BF，△ABF是等腰三角形时，求t的值．（4）当点E在△ABC的边的垂直平分线上时，直接写出t的值．【答案】（1）6t；（2）t＝2；（3）t 83或56；（4）t的值为：1，43或57【解题思路分析】（1）由点P的运动可知，AP＝PD＝2t，PF＝2PA＝4t，进而可得AF＝6t；（2）当点B落在DE上，易得四边形DPCB是矩形，则DP＝BC，可求出t的值；（3）先分析Rt△ABC，可知，AB＝；根据题意需要分类讨论，AB＝AF，BA＝BF，FA＝FB三种情况，再结合等腰三角形三线合一的性质，可求解；（4）需要分类讨论，当点E分别在边BC，AC，AB的垂直平分线时，画出对应图形，可求出t的值．【解析】解：（1）由点P的运动可知，AP＝2t，∴PD＝AP＝2t，PF＝2PA＝4t，∴AF＝AP＋PF＝6t．故答案为：6t．（2）当点B落在DE上时，如图1，由题意可知，∠DPC＝∠D＝∠BCA＝90°，∴四边形DPCB是矩形，∴DP＝BC＝4，即2t＝4，∴t＝2．（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，由勾股定理可得，AB＝若△ABF是等腰三角形，则需要分AB＝AF，BA＝BF，FA＝FB三种情况：①当AB＝AF时，如图2，此时AF＝6t＝则t②当BA＝BF时，如图3，∵BC⊥AF，∴点C是AF的中点，即AC＝CF＝8，∴AF＝6t＝16，∴t＝83；③当FA ＝FB 时，如图4，此时点F 在AB 的垂直平分线MN 上．∴AM ＝MB ＝∵∠A ＝∠A ，∠AMN ＝∠ACB ＝90°，∴△AMF ∽△ACB ，∴AM ：AC ＝AF ：AB ，即8＝6t ：解得t ＝56．综上，当△ABF 是等腰三角形时，t 83或56；（4）当点E 在△ABC 的边的垂直平分线上时，需要分三种情况：点E 在边BC ，AC ，AB 的垂直平分线时，①当点E 在线段BC 的垂直平分线上时，如图5，由题意可得，∠EFC ＝∠C ＝∠CQE ＝90°，∴四边形EFCQ 是矩形，∴PD ＝EF ＝CQ ＝12BC ＝2，即2t ＝2，∴t ＝1；②当点E在线段AC的垂直平分线上时，如图6，此时点F是AC的中点，即AF＝8，∴6t＝8，∴t＝43；③当点E在线段AB的垂直平分线上时，如图7，由（3）可知，AN：AB＝AM：AC，∴AN：8，∴AN＝5，∴FN＝AN﹣AF＝5﹣6t，又∠ENF＝∠ANM，∠EFN＝∠AMN＝90°，∴△EFN∽△AMN，∴EF：FN＝AM：MN＝AC：BC＝2：1，∴2t：（5﹣6t）＝2：1，解得t＝57；综上，当点E在△ABC的边的垂直平分线上时，t的值为：1，43或57．12．（2021·南师附中树人学校九年级月考）如图1，若△DEF的三个顶点D，E，F分别在△ABC各边上，则称△DEF是△ABC的内接三角形．（1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF是△ABC的内接 ．A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰三角形或等边三角形D．直角三角形（2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）（3）问题：如图4，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在△ABC的内接等边三角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？①探究1：如图5，要使△DEF是等边三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我们以点D为角的顶点任作∠EDF＝60°，且DE交BC于点E，DF交AC于点F．我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点F与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重合．在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果存在某个时刻正好DE＝DF，那么这个等边三角形DEF就存在（如图8）．理由： 是等边三角形．②探究2：在BC上任取点E，作等边三角形DEF（如图9），并分别作出点E与点B、点C重合时的等边三角形DBF′和DCF″．连接FF'，FF″，证明：FF'+FF″＝BC．③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，请作出△ABC的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）B；（2）见解析；（3）①有一个角是60°的等腰三角形；②见解析；③见解析【解题思路分析】（1）通过已知条件判断三角形全等即可；（2）过三点作对边的垂线即可；（3）①运用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这一定理即可；②通过证明三角形全等得到BE＝F′F和EC＝FF″，即可证明FF'+FF″＝BC；③运用②的结论，确定等边三角形一个点F，再通过截取确定点E，即可作出所求三角形．【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵AD＝BE＝CF，∴AB ﹣AD ＝BC ﹣BE ＝AC ﹣CF ，∴BD ＝CE ＝AF ，在△ADF 和△BED 中，AD BE A B AF BD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ADF ≌△BED （SAS ），∴DF ＝ED ，在△ADF 和△CFE 中，AD CF A C AF CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ADF ≌△CFE （SAS ），∴DF ＝EF ，∴DF ＝DE ＝EF ，∴△DEF 是等边三角形，故答案为：B ；（2）如图所示，△ABC 的边长最小的内接等边△DEF 即为所求；（3）①∵DE ＝DF ，∠EDF ＝60°，∴△DEF 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），故答案为：有一个角是60°的等腰三角形；②连接FF ′和FF ″，∵△DBF ′、△DEF 、△DCF ″都是等边三角形，∴DB ＝DF ′，DE ＝DF ，DC ＝DF ″，∠BDF ′＝∠EDF ＝∠CDF ″＝60°，∴∠BDE ＝∠F ′DF ，∠EDC ＝∠FDF ″，在△DBE 和△DF ′F 中，DB DF BDE F DF DE DF ''=ìïÐ=Ðíï=î，∴△DBE ≌△DF ′F （SAS ），∴BE ＝F ′F ，在△DEC 和△DFF ″中，''''DE DF EDC FDF DC DF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△DEC ≌△DFF ″（SAS ），∴EC ＝FF ″，∴BC ＝BE +EC ＝F ′F +FF ″，即FF '+FF ″＝BC ；③以BD 为边作等边△BDF ′，以CD 为边作等边△CDF ″，连接F ′F ″交AC 于点F ，连接DF ，在BC 上截取BE ＝F ′F ，连接DE ，DF ，△DEF 即为所求．13．（2021·合肥实验学校九年级二模）等腰直角△AOB 和等腰直角△COD 按如图方式放置，∠AOB ＝∠C OD ＝90°，连接AC 、BD ，二者交于点P ．（1）求证：BD ＝AC；（2）连接OP ，若OP 平分∠AOD ，且角∠AOD ＝40°，求∠BDO 的度数；（3）点M 、N 分别是AB 、CD 的中点，连接MN ，求MN BD的值．【答案】（1）见解析；（2）25°；（3【解题思路分析】（1）由题意，先证明△BOD ≌△AOC ，即可得到结论成立；（2）易证得∠APB =90°，由圆周角定理的推论可知点P 、O ，在以AB 为直径的圆上，则45BPO BAO Ð=Ð=°，再根据外角的性质及角平分线的性质求解即可；（3）先证明BOD ∆∽MON ∆，再根据对应边成比例，即可求得MN BD的值．【解析】解：（1）∵∠AOB ＝∠COD ＝90°，∴∠AOB+∠AOD ＝∠COD+∠AOD ，即BOD AOC Ð=Ð，∵BO =AO ，DO =CO ，∴△BOD ≌△AOC ，∴BD ＝AC ；（2）如图，设AO 、BD 相交于点E ，∵△BOD ≌△AOC ，∴∠DBO =∠CAO ，∵∠AEP =∠ABE +∠BAE ，∴∠AEP +∠PAO =∠ABE +∠BAE +∠DBO =∠BAO +∠ABO =90°，∴∠APE =90°，∴点P 在以AB 为直径的圆上，∵∠AOB =90°，∴点O 在以AB 为直径的圆上，∴∠BPO =∠BAO =45°；又∵∠POD =12∠AOD =20°，∴∠PDO =∠BPO -∠POD =25°；（3）连接OM 、ON ，如图：∵点M 、N 分别是AB 、CD 的中点，∴OB OD OM ON==45AOM DON Ð=Ð=°，∴90MON MOA AOD DON AOD Ð=Ð+Ð+Ð=°+Ð，又∵90BOD BOA AOD AOD Ð=Ð+Ð=°+Ð，∴BOD MON Ð=Ð，∴BOD ∆∽MON ∆，∴=MN OM BD OB =14．（2021·湖南郴州·中考真题）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC Ð=°．点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90°得到AG ，连接GC ，HB ．（1）证明：AGC AHB ∆≅∆；（2）如图2，连接GF ，HC ，AF 交AF 于点Q ．①证明：在点H 的运动过程中，总有90HFG Ð=°；②若4AB AC ==，当EH 的长度为多少时，AQG ∆为等腰三角形？【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②当EH 的长度为2时，AQG ∆为等腰三角形【解题思路分析】（1）由旋转的性质得AH =AG ，∠HAG =90°，从而得∠BAH =∠CAG ，进而即可得到结论；（2）①由AGC AHB ∆≅∆，得AH =AG ，再证明AFG AEH ∆≅∆，进而即可得到结论；②AQG ∆为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∠QAG =∠QGA =45°时，（b ）当∠GAQ =∠GQA =67.5°时，（c ）当∠AQG =∠A GQ =45°时，分别画出图形求解，即可．【解析】解：（1）∵线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90°得到AG ，∴AH =AG ，∠HAG =90°，∵在等腰直角三角形ABC 中，90BAC Ð=°，AB =AC ，∴∠BAH =90°-∠CAH =∠CAG ，∴AGC AHB ∆≅∆；（2）①∵在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴AE =AF ，AEF ∆是等腰直角三角形，∵AH =AG ，∠BAH =∠CAG ，∴AFG AEH ∆≅∆，∴∠AEH =∠AFG =45°，∴∠HFG =∠AFG +∠AFE =45°+45°=90°，即：90HFG Ð=°；②∵4AB AC ==，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴AE =AF =2，∵∠AGH =45°，AQG ∆为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∠QAG =∠QGA =45°时，如图，则∠HAF =90°-45°=45°，∴AH 平分∠EAF ，∴点H 是EF 的中点，∴EH 12==（b ）当∠GAQ =∠GQA =（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∠EAH =∠GAQ =67.5°，∴∠EHA =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠EHA =∠EAH ，∴EH =EA =2；（c ）当∠AQG =∠AGQ =45°时，点H 与点F 重合，不符合题意，舍去，综上所述：当EH 的长度为2时，AQG ∆为等腰三角形．15．（2021·河南安阳·九年级一模）在ABC ∆中，3AB AC ==，90BAC Ð=°，将边AB 绕点A 逆时针旋转至AB '，记旋转角为a ．分别过A ，C 作直线BB '的垂线，垂足分别是E ，F ，连接B C '交直线AF 于点Q ．（1）如图1，当45a =°时，AEF ∆的形状为____________；（2）当0360a °<<°时，①（1）中的结论是否成立？如果成立，请就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②在旋转过程中，当线段1AE =时，请直接写出CF 的长．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）①成立，见解析；②1或1【解题思路分析】（1）先证""ACB ABB ∆≅∆，可得△B BC '是等腰三角形，从而可得∠FB C '=45゜，进而可得B FC '△是等腰直角三角形，可得AF 是线段B C '的垂直平分线，从而易得△AEF 是等腰直角三角形；（2）由已知AB AB AC '==，根据等腰三角形的性质可计算出'ÐAB B 及AB C Ð'，从而可求得45BB C 'Ð=°，即FCB '△是等腰直角三角形，从而得FB FC '=，由AB AC '=，可得AQ 是线段B C '的垂直平分线，可得45AFE B FQ 'Ð=Ð=°，则可得结论仍成立．（3）分两种情况：旋转角小于180゜和旋转角大于180゜而小于360゜，根据勾股定理及（2）中的结论可得CF 的长．【解析】解：（1）由旋转性质得：'AB AB =，'45BAB a Ð==°．∵AE ⊥BB '，∴2BAE B AE a'Ð=Ð=．∵AB =AC ，∠ABC =∠ACB =45゜，∴90452B BC BAE ABC a'Ð=°-Ð-Ð=°-，∵45BAB CAB ''Ð=Ð=°，AB =AC ，AB AB ''=，∴""ACB ABB ∆≅∆．∴BB CB ''=．∴452B BC B CB a''Ð=Ð=°-．∴9045FB C B BC B CB a '''Ð=Ð+Ð=°-=°．∵CF ⊥BB '，∴45FB C FCB ''Ð=Ð=°．∴FB FC '=．∵AB AC '=，∴AF B C '^，且AF 平分B C '．∴()119045222B AF B AC a a ''Ð=Ð=°-=°-．∴∠EAF =454522EAB B AF a a ''Ð+Ð=+°-=°．∵AE ⊥BB '，∴∠EAF =∠EFA =45゜．∴△AEF 是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．（2）①结论仍成立．∵AB AB '=，BAB a 'Ð=，∴902AB B aÐ=°-'．∵90B AC a Ð=-'°，AB AC '=，∴1352AB C aÐ='°-．∴45BB C AB C AB B '''Ð=Ð-Ð=°．∵CF BB ^'，∴CF B "∆是等腰直角三角形．∴B F CF '=．又AB AC '=，∴AQ 垂直平分B C '．∴1452B FQ B FC Ð=Ð=''°，∴45AFB B FQ 'Ð=Ð=°．∵AE BB '^，∴AEF ∆是等腰直角三角形．②如下图所示，当α<180゜时，在直角△AEB 中，由勾股定理得:BE ==,∴B E BE '==∵△AEF 是等腰直角三角形，B CF 'V 是等腰直角三角形，∴EF =AE =1，CF B F '=．∵1B F B E EF ''=-=∴1CF =如下图所示，当180゜<α<360゜时，在直角△AEB 中，由勾股定理得:BE ==,∴B E BE '==∵△AEF 是等腰直角三角形，CF B "∆是等腰直角三角形，∴EF =AE =1，CF B F '=．∵1B F B E EF ''=+=，∴1CF =．综上所述，CF 的长为1或1+．。

中(Zhong)考数学压轴题解析一．解(Jie)答题1．如(Ru)图，在(Zai)△ABC中(Zhong)（BC＞AC），∠ACB=90°，点(Dian)D在(Zai)AB边(Bian)上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．2．阅读理解：如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是；（2）当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB′=°；（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有个（包含四边形ABCD）．拓展提升：当图③中的∠BCD=90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．3．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BE﹣CF）．4．如(Ru)图(Tu)1，在(Zai)△ABC中(Zhong)，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点(Dian)M为(Wei)射线(Xian)AE上任意一(Yi)点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．5．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．（1）当点H与点C重合时．①填空：点E到CD的距离是；②求证：△BCE≌△GCF；③求△CEF的面积；（2）当点H落在射线BC上，且CH=1时，直线EH与直线CD交于点M，请直接写出△MEF的面积．6.如图，在平面直角坐(Zuo)标系中，四边形(Xing)OABC的(De)顶点(Dian)O是坐标原(Yuan)点，点(Dian)A 在(Zai)第一象限，点(Dian)C在第四象限，点B的坐标为（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．（1）求点A和点C的坐标；（2）当0＜t＜30时，求m关于t的函数关系式；（3）当m=35时，请直接写出t的值；（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M 的坐标．7．如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．（2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．（3）如图3，C是函数y=（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．8．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．9．已(Yi)知抛物线(Xian)y=x2+c与(Yu)x轴(Zhou)交于(Yu)A（﹣1，0），B两(Liang)点，交(Jiao)y轴(Zhou)于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．10．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．11．如图，已知二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC（1）∠ABC的度数(Shu)为；（2）求(Qiu)P点坐标(Biao)（用含(Han)m的代数式(Shi)表示）；（3）在坐标轴上(Shang)是否存在着点(Dian)Q（与(Yu)原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C 重合），请直接写出△PQR周长的最小值．2016中考数学压(Ya)轴题参考答案与试题(Ti)解析一．解答(Da)题1．（2015•杭州）如(Ru)图，在(Zai)△ABC中(Zhong)（BC＞AC），∠ACB=90°，点(Dian)D在(Zai)AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．【分析】（1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；（2）分三种情况讨论：①若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴，∵，AE=2，∴EC=6；（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，∵∠CFG=∠ECD，∴CP=FP，∴PF=PG=CP，∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．证明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，∴∠CPF=90°，∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【点(Dian)评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面(Mian)的思考问题是解决问题的关键．2．（2015•淮安(An)）阅读理解：如(Ru)图(Tu)①，如果四(Si)边形(Xing)ABCD满(Man)足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是正方形；（2）当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB′=80°；（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个（包含四边形ABCD）．拓展提升：当图③中的∠BCD=90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和“完美筝形”的定义容易得出结论；（2）先证出∠AEB′=∠BCB′，再求出∠BCE=∠ECF=40°，即可得出结果；（3）由折叠的性质得出BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，即可得出四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；由题意得出∠OD′E=∠OB′F=90°，CD′=CB′，由菱形的性质得出AE=AF，CE=CF，再证明△OED′≌△OFB′，得出OD′=OB′，OE=OF，证出∠AEB′=∠AFD′=90°，即可得出四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；即可得出结论；当图③中的∠BCD=90°时，四边形ABCD是正方形，证明A、E、B′、F四点共圆，得出，由圆周角定理即可得出∠AB′E的度数．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴AB≠AD，BC≠CD，∴平行四边形不一定为“完美筝形”；②∵四(Si)边形(Xing)ABCD是矩(Ju)形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，∴AB≠AD，BC≠CD，∴矩形不一(Yi)定为(Wei)“完(Wan)美筝形(Xing)”；③∵四(Si)边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴菱形不一定为“完美筝形”；④∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∴正方形一定为“完美筝形”；∴在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是正方形；故答案为：正方形；（2）根据题意得：∠B′=∠B=90°，∴在四边形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180°，∵∠AEB′+∠BEB′=180°，∴∠AEB′=∠BCB′，∵∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120°，∴∠BCE=∠ECF=40°，∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°；故答案为：80；（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个；理由如下；根据题意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，∴四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；∵四边形ABCD是“完美筝形”，∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，∴CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90°，∴∠OD′E=∠OB′F=90°，∵四边形AECF为菱形，∴AE=AF，CE=CF，AE∥CF，AF∥CE，∴D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90°，∠AFD′=∠CD′F=90°，在△OED′和△OFB′中，，∴△OED′≌△OFB′（AAS），∴OD′=OB′，OE=OF，∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；∴包含四边形ABCD，对应图③中的“完美筝形”有5个；故答案为：5；当图③中的∠BCD=90°时，如图所示：四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∵∠EB′F=90°，∴∠BAD+∠EB′F=180°，∴A、E、B′、F四点共圆，∵AE=AF，∴，∴∠AB′E=∠AB′F=∠EB′F=45°．【点(Dian)评】本题是四(Si)边形综合题目，考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质、“完(Wan)美筝形(Xing)”的判定与性质、全等(Deng)三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题难度较大，综合性强，熟练掌握(Wo)“完(Wan)美筝形(Xing)”的定义，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．3．（2015•重庆）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BE﹣CF）．【分析】（1）如图1，易求得∠B=60°，∠BED=90°，BD=2，然后运用三角函数的定义就可求出BE的值；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．同（1）可得：∠B=∠ACD=60°，同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．由DN=FN可得DM=DN=FN=EM，从而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM．然后在Rt△BMD中，运用三角函数就可得到DM=BM，即BE+CF=（BE﹣CF）．【解答】解：（1）如图1，∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4．∵点D是线段BC的中点，∴BD=DC=BC=2．∵DF⊥AC，即∠AFD=90°，∴∠AED=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°，∴∠BED=90°，∴BE=BD×cos∠B=2×cos60°=2×=1；（2）过(Guo)点(Dian)D作(Zuo)DM⊥AB于(Yu)M，作(Zuo)DN⊥AC于(Yu)N，如(Ru)图(Tu)2，则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD，∴BM=CN，DM=DN．在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND，∴EM=FN，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．同（1）可得：∠B=∠ACD=60°．同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．∵DN=FN，∴DM=DN=FN=EM，∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM．在Rt△BMD中，DM=BM•tanB=BM，∴BE+CF=（BE﹣CF）．【点(Dian)评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知(Zhi)识，通过证明三角形全等得到(Dao)BM=CN，DM=DN，EM=FN是解(Jie)决本题的关键．4．（2015•济(Ji)南）如图(Tu)1，在(Zai)△ABC中(Zhong)，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．【分析】（1）根据题意证明△MAC≌△NBC即可；（2）与（1）的证明方法相似，证明△MAC≌△NBC即可；（3）作GK⊥BC于K，证明AM=AG，根据△MAC≌△NBC，得到∠BDA=90°，根据直角三角形的性质和已知条件求出AG的长，得到答案．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，∴∠ACM=∠BCN，在(Zai)△MAC和(He)△NBC中(Zhong)，，∴△MAC≌△NBC，∴∠NBC=∠MAC=90°，又(You)∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，∴∠NDE=90°；（2）不(Bu)变，在(Zai)△MAC≌△NBC中(Zhong)，，∴△MAC≌△NBC，∴∠N=∠AMC，又(You)∵∠MFD=∠NFC，∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°；（3）作GK⊥BC于K，∵∠EAC=15°，∴∠BAD=30°，∵∠ACM=60°，∴∠GCB=30°，∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，∠AMG=75°，∴AM=AG，∵△MAC≌△NBC，∴∠MAC=∠NBC，∴∠BDA=∠BCA=90°，∵BD=，∴AB=+，AC=BC=+1，设BK=a，则GK=a，CK=a，∴a+a=+1，∴a=1，∴KB=KG=1，BG=，AG=，∴AM=．【点(Dian)评】本题考查的是矩形的判定和(He)性质以及三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的关键，注意旋转的性质的灵活运用．5．（2015•沈(Shen)阳）如图，在(Zai)▱ABCD中(Zhong)，AB=6，BC=4，∠B=60°，点(Dian)E是(Shi)边(Bian)AB上的一点，点F是边CD上一点，将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．（1）当点H与点C重合时．①填空：点E到CD的距离是2；②求证：△BCE≌△GCF；③求△CEF的面积；（2）当点H落在射线BC上，且CH=1时，直线EH与直线CD交于点M，请直接写出△MEF的面积．【分析】（1）①解直角三角形即可；②根据平行四边形的性质和折叠的性质得出∠B=∠G，∠BCE=∠GCF，BC=GC，然后根据AAS即可证明；③过E点作EP⊥BC于P，设BP=m，则BE=2m，通过解直角三角形求得EP=m，然后根据折叠的性质和勾股定理求得EC，进而根据三角形的面积就可求得；（2）过E点作EQ⊥BC于Q，通过解直角三角形求得EP=n，根据折叠的性质和勾股定理求得EH，然后根据三角形相似对应边成比例求得MH，从而求得CM，然后根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：（1）如图1，①作CK⊥AB于K，∵∠B=60°，∴CK=BC•sin60°=4×=2，∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，∴点E到CD的距离是2，故答案为2；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠D=∠B，∠A=∠BCD，由折叠(Die)可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，∴BC=GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，∴∠BCE=∠GCF，在(Zai)△BCE和(He)△GCF中(Zhong)，，∴△BCE≌△GCF（ASA）；③过(Guo)E点(Dian)作(Zuo)EP⊥BC于(Yu)P，∵∠B=60°，∠EPB=90°，∴∠BEP=30°，∴BE=2BP，设BP=m，则BE=2m，∴EP=BE•sin60°=2m×=m，由折叠可知，AE=CE，∵AB=6，∴AE=CE=6﹣2m，∵BC=4，∴PC=4﹣m，在RT△ECP中，由勾股定理得（4﹣m）2+（m）2=（6﹣2m）2，解得m=，∴EC=6﹣2m=6﹣2×=，∵△BCE≌△GCF，∴CF=EC=，∴S△CEF=××2=；（2）①当H在BC的延长线上，且位于C点的右侧时，如图2，过E点作EQ⊥BC于Q，∵∠B=60°，∠EQB=90°，∴∠BEQ=30°，∴BE=2BQ，设BQ=n，则BE=2n，∴QE=BE•sin60°=2n×=n，由折叠可知，AE=HE，∵AB=6，∴AE=HE=6﹣2n，∵BC=4，CH=1，∴BH=5，∴QH=5﹣n，在Rt△EHQ中，由勾股定理得（5﹣n）2+（n）2=（6﹣2n）2，解得n=，∴AE=HE=6﹣2n=，∵AB∥CD，∴△CMH∽△BEH，∴=，即(Ji)=，∴MH=，∴EM=﹣=∴S△EMF=××2=．②如(Ru)图(Tu)3，当(Dang)H在(Zai)线段(Duan)BC上(Shang)时，过(Guo)E点作EQ⊥BC于Q，∵∠B=60°，∠EQB=90°，∴∠BEQ=30°，∴BE=2BQ，设BQ=n，则BE=2n，∴QE=BE•sin60°=2n×=n，由折叠可知，AE=HE，∵AB=6，∴AE=HE=6﹣2n，∵BC=4，CH=1，∴BH=3∴QH=3﹣n在Rt△EHQ中，由勾股定理得（3﹣n）2+（n）2=（6﹣2n）2，解得n=∴BE=2n=3，AE=HE=6﹣2n=3，∴BE=BH，∴∠B=60°，∴△BHE是等边三角形，∴∠BEH=60°，∵∠AEF=∠HEF，∴∠FEH=∠AEF=60°，∴EF∥BC，∴DF=CF=3，∵AB∥CD，∴△CMH∽△BEH，∴=，即=，∴CM=1∴EM=CF+CM=4∴S△EMF=×4×2=4．综上，△MEF的面积为或4．【点(Dian)评】本题是四边形综合题，考查了解直角三角形，平行四边形的性质，折(Zhe)叠的性质勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形面积等，熟练掌握性质定理是解题的关键．6．（2015•沈(Shen)阳）如图，在平面直角坐标系中，四边形(Xing)OABC的(De)顶点(Dian)O是坐(Zuo)标原点，点(Dian)A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA 或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．（1）求点A和点C的坐标；（2）当0＜t＜30时，求m关于t的函数关系式；（3）当m=35时，请直接写出t的值；（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M 的坐标．【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及勾股定理结合B点坐标得出A，C点坐标；（2）利用锐角三角函数关系结合（1）中所求得出PR，QP的长，进而求出即可；（3）利用（2）中所求，利用当0＜t＜30时，当30≤t≤60时，分别利用m与t的关系式求出即可；（4）利用相似三角形的性质，得出M点坐标即可．【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥OB，垂足为D，过点C作CE⊥OB，垂足为E，∵OA=AB，∴OD=DB=OB，∵∠OAB=90°，∴AD=OB，∵点(Dian)B的坐标(Biao)为：（60，0），∴OB=60，∴OD=OB=×60=30，∴点(Dian)A的坐(Zuo)标为：（30，30），∵直(Zhi)线(Xian)l平(Ping)行于(Yu)y轴且当t=40时，直线l恰好过点C，∴OE=40，在Rt△OCE中，OC=50，由勾股定理得：CE===30，∴点C的坐标为：（40，﹣30）；（2）如图2，∵∠OAB=90°，OA=AB，∴∠AOB=45°，∵直线l平行于y轴，∴∠OPQ=90°，∴∠OQP=45°，∴OP=QP，∵点P的横坐标为t，∴OP=QP=t，在Rt△OCE中，OE=40，CE=30，∴tan∠EOC=，∴tan∠POR==，∴PR=OP•tan∠POR=t，∴QR=QP+PR=t+t=t，∴当0＜t＜30时，m关于t的函数关系式为：m=t；（3）由（2）得：当0＜t＜30时，m=35=t，解得：t=20；如图3，当30≤t≤40时，m=35显然不可能；当40＜t＜60时，∵OP=t，则BP=QP=60﹣t，∵PR∥CE，∴△BPR∽△BEC，∴=，∴=，解得：PR=90﹣t，则(Ze)m=60﹣t+90﹣t=35，解(Jie)得：t=46，综上(Shang)所述：t的(De)值为(Wei)20或(Huo)46；（4）如(Ru)图(Tu)4，当∠PMB+∠POC=90°且△PMB的周长为60时，此时t=40，直线l恰好经过点C，则∠MBP=∠COP，故此时△BMP∽△OCP，则=，即=，解得：x=15，故M1（40，15），同理可得：M2（40，﹣15），综上所述：符合题意的点的坐标为：M1（40，15），M2（40，﹣15）．【点(Dian)评】此题主要考查了一次函数综合以及相似三角形的判(Pan)定与性质和勾股定理等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．7．（2015•宁(Ning)波）如图(Tu)1，点(Dian)P为(Wei)∠MON的(De)平分线上一点，以(Yi)P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．（2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．（3）如图3，C是函数y=（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．【分析】（1）由角平分线求出∠AOP=∠BOP=∠MON=45°，再证出∠OAP=∠OPB，证明△AOP∽△POB，得出对应边成比例，得出OP2=OA•OB，即可得出结论；（2）由∠APB是∠MON的智慧角，得出，证出△AOP∽△POB，得出对应角相等∠OAP=∠OPB，即可得出∠APB=180°﹣α；过点A作AH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S△AOB=OB•AH，即可得出S△AOB=2sinα；（3）设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC=2CA不可能；当得A在x轴的正半轴上时；先求出，由平行线得出△ACH∽△ABO，得出比例式：=，得出OB=3b，OA=，求出OA•OB=，根据∠APB是∠AOB的智慧角，得出OP，即可得出点P的坐标；②当点B在y轴的负半轴上时；由题意得出：AB=CA，由AAS证明△ACH≌△ABO，得出OB=CH=b，OA=AH=a，得出OA•OB=，求出OP，即可得出点P的坐标．【解答】（1）证明：∵∠MON=90°，P为∠MON的平分线上一点，∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°，∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，∴∠OAP+∠APO=135°，∵∠APB=135°，∴∠APO+∠OPB=135°，∴∠OAP=∠OPB，∴△AOP∽△POB，∴，∴OP2=OA•OB，∴∠APB是(Shi)∠MON的智慧(Hui)角；（2）解(Jie)：∵∠APB是(Shi)∠MON的智慧(Hui)角，∴OA•OB=OP2，∴，∵P为(Wei)∠MON的平分线上(Shang)一点，∴∠AOP=∠BOP=α，∴△AOP∽△POB，∴∠OAP=∠OPB，∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°﹣α，即(Ji)∠APB=180°﹣α；过点A作AH⊥OB于H，连接AB；如图1所示：则S△AOB=OB•AH=OB•OAsinα=OP2•sinα，∵OP=2，∴S△AOB=2sinα；（3）设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，如图2所示：BC=2CA不可能；当点A在x轴的正半轴上时，如图3所示：∵BC=2CA，∴，∵CH∥OB，∴△ACH∽△ABO，∴=，∴OB=3b，OA=，∴OA•OB=•3b==，∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴OP===，∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为：（，）；②当点B在y轴的负半轴上时，如图4所示：∵BC=2CA，∴AB=CA，在(Zai)△ACH和(He)△ABO中(Zhong)，，∴△ACH≌△ABO（AAS），∴OB=CH=b，OA=AH=a，∴OA•OB=a•b=，∵∠APB是(Shi)∠AOB的智慧(Hui)角，∴OP===，∵∠AOB=90°，OP平(Ping)分(Fen)∠AOB，∴点(Dian)P的坐标为：（，﹣）；综上所述：点P的坐标为：（，），或（，﹣）．。

中考数学压轴题分析：等腰直⾓三⾓形与动点轨迹问题本⽂内容选⾃2021年郴州中考数学⼏何压轴题。

题⽬以等腰直⾓三⾓形的旋转为背景，涉及动点轨迹问题，以及等腰三⾓形的存在性问题。

题⽬难度⼀般，不过问法⽐较典型，值得研究。

【中考真题】（2021·郴州）如图1，在等腰直⾓三⾓形中，，点，分别为，的中点，为线段上⼀动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针⽅向旋转得到，连接，．（1）证明：；（2）如图2，连接，，交于点．①证明：在点的运动过程中，总有；②若，当的长度为多少时为等腰三⾓形？【分析】（1）由旋转的性质得到边⾓等量关系，再根据SAS证明全等即可。

（2）①由图2可以发现△AEH≌△AFG，由于∠HAG=90°，若要证明∠HFG=90°，只需得到四边形AHFG对⾓互补即可。

由于全等可以得到∠AHE=∠AGF，结论易得。

②当△AGQ为等腰三⾓形时，需要进⾏分类讨论。

需要分3种情况，但是由于点H在线段EF上运动，且不与点E、F重合，那么只需分为两种情况讨论即可。

即类型⼀：当AQ=GQ时，∠AQG=90°。

还有类型⼆：当AG=GQ时，∠GAQ=∠GQA=75°。

【答案】（1）证明：如图1，由旋转得：，，，，，；（2）①证明：如图2，在等腰直⾓三⾓形中，，，点，分别为，的中点，是的中位线，，，，，，，，，，，；②分两种情况：如图3，时，，，，，，，，，，，四边形是正⽅形，，，，当的长度为时，为等腰三⾓形；如图4，当时，，，，，，当的长度为2时，为等腰三⾓形；综上，当的长度为或2时，为等腰三⾓形．。

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题05 等腰三角形的判定和性质考试时间：120分钟 试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一 二 三 总分得分评卷人得 分 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·海曙期末）如图，CD 是等腰三角形 △ABC 底边上的中线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，AC ＝8，DE ＝2，则 △ BCE 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．122．（2分）（2021八上·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是 70︒ ，则它底角的度数是（ ） A ．70︒B ．70︒ 或 40︒C ．70︒ 或 55︒D ．55︒ 3．（2分）（2021八上·凉山期末）如图， MNP 中， 60P ∠=︒ ， MN NP = ， MQ PN ⊥ ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取 NG NQ = ，若 MNP 的周长为12，MQ m = ，则 MGQ 周长是（ ） A ．8＋2m B ．8＋m C ．6＋2m D ．6＋m4．（2分）（2020八上·东海期末）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，作△BCE ，点A 在△BCE 内，点D 在BE上，AD 垂直平分BE ，且∠BAC ＝m°，则∠BEC ＝（ ）A ．90°﹣ 12m° B ．180°﹣2m° C ．30°+ 12 m° D ．12m° 5．（2分）（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，点B 关于AC 的对称点B′恰好落在CD 上，若αBAD ∠=，则ACB ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．α45-︒C ．1α2D ．190α2︒- 6．（2分）（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC =40°，BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，若点F 在AB 上，且满足DF =DE ，求∠DFB 的度数．”小贤的解答：以D 为圆心，DE 长为半径画圆交AB 于点F ，连接DF ，则DE =DF ，由图形的对称性可得∠DFB =∠DEB ．结合平行线的性质可求得∠DFB =140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB 还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）A ．小军说的对，且∠DFB 的另一个值是40°B ．小军说的不对，∠DFB 只有140°一个值C ．小贤求的结果不对，∠DFB 应该是20°D ．两人都不对，∠DFB 应有3个不同值7．（2分）（2021八上·江津期中）如图，D 为∠BAC 的外角平分线上一点并且满足BD ＝CD ，∠DBC ＝∠DCB ，过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，则下列结论：①△CDE ≌△BDF ；②CE ＝AB+AE ；③∠BDC ＝∠BAC ；④∠DAF ＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．48．（2分）（2021八上·江阴期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝46°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O ，点E 在BC 上，点F 在AC 上，连接EF.将∠C 沿EF 折叠，点C 与点O 恰好重合时，则∠OEC 的度数（ ）A ．90°B ．92°C ．95°D ．98°9．（2分）（2021八上·崇阳期中）如图，已知 30MON ∠=︒ ，点 1A 、 2A 、 3A 、…在射线ON 上，点 1B 、 2B 、 3B 、…在射线OM 上， 112A B A ∆ 、 223A B A ∆ 、 334A B A ∆ …均为等边三角形，若 11OA = ，则 889A B A ∆ 的边长为( )A ．16B ．64C ．128D ．25610．（2分）（2018八上·北京月考）若（a ﹣2）2+|b ﹣3|＝0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．7或8评卷人得 分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021八上·长沙期末）如图， ABC ∠ 、 ACB ∠ 的平分线相交于点F ，过F 作 //DE BC ，交 AB 于点D ，交 AC 于点E ， 3cm BD = ， 2cm EC = ，则 DE = cm .12．（2分）（2021八上·句容期末）如图， 35MON ∠=︒ ，点P 在 MON ∠的边 ON 上，以点P 为圆心， PO 为半径画弧，交 OM 于点A ，连接 AP ，则 APN ∠= ︒ .13．（2分）（2021八上·句容期末）如图，AOB ∠ 是一角度为 α 的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件 EF 、 FG 、 GH …，且OE EF FG GH === …，在 OA 、 OB 足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角 α 的范围为 .14．（2分）（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，D 为BC 的中点，连接AD ，E 是AB 上的一点，P 是AD 上一点，连接EP 、BP ，AC=10，BC=12，则EP+BP 的最小值是 .15．（2分）（2021八上·宁波期末）如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝1，D是斜边AB 上一点（与点A ，B 不重合），将△BCD 绕着点C 旋转90°到△ACE ，连结DE 交AC 于点F ，若△AFD 是等腰三角形，则AF 的长为 .16．（2分）（2021八上·中山期末）如图，5AB AC ==，110BAC ∠=︒，AD 是∠BAC 内的一条射线，且25BAD ∠=︒，P 为AD 上一动点，则PB PC -的最大值是 ．17．（2分）（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC = ， 50BAC ∠=︒ ， BAC ∠ 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O ，点C 沿直线EF 折叠后与点O 重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：①50OEF ∠=︒ ；②图中没有60°的角；③D 、O 、C 三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：18．（2分）（2021八上·铁西月考）如图，矩形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝12，点M在对角线BD 上，点N 为射线BC 上一动点，连接MN ，DN ，且∠DNM ＝∠DBC ，当DMN 是等腰三角形时，线段BN 的长为 ．19．（2分）（2021八上·沈阳期中）已知长方形ABCD ，AB ＝6，BC ＝10，M 为线段AD 上一点且AM ＝8，点P 从B 出发以每秒2个单位的速度沿线段BC ﹣CD 的方向运动，至点D 停止，设运动时间为t 秒，当 AMP 为等腰三角形时，t 的值为 ．20．（2分）（2021八上·武昌期中）如图，已知△ABC 中，OE 、OF 分别是AB 、AC 的垂直平分线，∠OBC ，∠OCB 的平分线相交于点I ，有如下结论：①AO ＝CI ；②∠ABC+∠ACO ＝90°；③∠BOI ＝∠COI ；④OI ⊥BC.其中正确的结论是 .评卷人得 分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（5分）（2021八上·顺义期末）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA ，PB 组成，两根棒在P 点相连并可绕点P 旋转，C 点是棒PA 上的一个固定点，点A ，O 可在棒PA ，PB 内的槽中滑动，且始终保持OA ＝OC ＝PC ．∠AOB 为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝13∠AOB ． 我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．已知：如图2，点O ，C 分别在∠APB 的边PB ，PA 上，且OA ＝OC ＝PC ． 求证：∠APB ＝13∠AOB ．22．（5分）（2021八上·营口期末）如图，在等腰△ABC 和等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE 且C 、E 、D 三点共线，作AM ⊥CD 于M ．若BD ＝5，DE ＝4，求CM ．23．（7分）（2021八上·松桃期末）如图，在ABC 中， 30BAC ∠=︒ ，AB 边的垂直平分线分别交AB 于点E ，交AC 于点F ，点D 在EF 上，且 BD CD = ，G 是AC 的中点，连接DG.；（1）（3分）求证：DG AC（2）（4分）判断BCD是否是等边三角形，并说明理由.24．（9分）（2021八上·平凉期中）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.（1）（3分）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；（2）（3分）当点D在BC （点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）（3分）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.25．（7分）（2020八上·松北期末）已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）（4分）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）（3分）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求ABF ACF SS 的值．26．（10分）（2021八上·淳安期末）如图 （1）（5分）如图①，在△ABC 中，D 为△ABC 外一点，若AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，∠B+∠ADC ＝180°，求证：BC ＝CD ；琮琮同学：我的思路是在AB 上取一点F ，使得AD=AF ，连结CF ，先证明△ADC ≌△AFC 得到DC ＝FC ，再证明CB ＝CF ，从而得出结论；宸宸同学：我觉得也可以过点C 作边AD 的高线CG ，由角平分线的性质得出CG=CE ，再证明△GDC ≌△EBC ，从而得出结论.请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程.（2）（5分）如图②，D 、E 、F 分别是等边△ABC 的边BC 、AB 、 AC 上的点， AD 平分∠FDE ， 且∠FDE=120°.求证：BE=CF.27．（10分）（2021八上·包河期末）在等腰△ABC 中，AB=AC ，点D 是AC 上一动点，点E 在BD 的延长线上，且AB=AE ，AF 平分∠CAE 交DE 于点F ，连接FC ．（1）（3分）如图1，求证：∠ABE=∠ACF ；（2）（3分）如图2，当∠ABC=60°时，在BE 上取点M ，使BM=EF ，连接AM ．求证：△AFM 是等边三角形；（3）（4分）如图3，当∠ABC=45°，且AE BC 时，求证：BD=2EF ．28．（7分）（2021八上·虎林期末）在等腰△ABC 中，AB ＝BC ，点D ，E 在射线BA 上，BD ＝DE ，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：（1）（3分）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE＋BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）（2）（4分）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题05 等腰三角形的判定和性质考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·海曙期末）如图，CD 是等腰三角形 △ABC 底边上的中线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，AC ＝8，DE ＝2，则 △ BCE 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】C【完整解答】解：过点E 作EF ⊥BC 于F ，∵AC ＝BC ＝8，CD 是等腰三角形△ABC 底边上的中线，∴CD ⊥AB ，∵BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，∴EF ＝DE ＝2，∴△BCE 的面积＝12×BC×EF ＝12×8×2=8. 故答案为：C.【思路引导】过点E 作EF ⊥BC 于F ，利用等腰三角形的性质可证得CD ⊥AB ，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF 的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE 的面积.2．（2分）（2021八上·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是 70︒ ，则它底角的度数是（ ） A ．70︒B ．70︒ 或 40︒C ．70︒ 或 55︒D ．55︒ 【答案】C【完整解答】解：当70°角为顶角时，它的底角为 ()118070552︒-︒=︒ ，当70°角为底角时，它底角的度数是70°故答案为：C.【思路引导】分情况讨论：当70°角为底角时；当70°角为顶角时，利用三角形的内角和定理求出其底角的度数，即可求解.3．（2分）（2021八上·凉山期末）如图， MNP 中， 60P ∠=︒ ， MN NP = ， MQ PN ⊥ ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取 NG NQ = ，若 MNP 的周长为12，MQ m = ，则 MGQ 周长是（ ） A ．8＋2m B ．8＋m C ．6＋2m D ．6＋m【答案】C【完整解答】解：∵60P ∠=︒ ， MN NP = ，∴△PMN 是等边三角形，∵MQ PN ⊥ ，∴QN=PQ= 12MN ，∠QMN=30°，∠QNM=60°， ∵NG NQ = ，∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG= 12MN ， ∴∠QMN=∠G=30°，∴QM=QG ， ∵MNP 的周长为12， MQ m = ，∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m ，∴MGQ 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.故答案为：C.【思路引导】易得△PMN 是等边三角形，得QN=PQ=12MN ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=12MN ，推出QM=QG ，根据△MNP 的周长可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m ，据此求解.4．（2分）（2020八上·东海期末）如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（）A．90°﹣12m°B．180°﹣2m°C．30°+ 12m°D．12m°【答案】D【完整解答】解：∵AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵AB＝AC，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE，∴∠BEC＝∠BEA+∠ACE，∵∠BAC＝m°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，∴∠BEC＝12（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝12[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝12[180°﹣（180°﹣m°）]＝12m°，故答案为：D.【思路引导】由AD垂直平分BE可得AB＝AE，从而得出AB＝AE=AC，利用等边对等角可得∠ABE＝∠AEB，∠AEC＝∠ACE，即得∠BEC＝∠BEA+∠ACE，由三角形内角和可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，由∠BEC＝12（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）即可求解.5．（2分）（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD 上，若αBAD ∠=，则ACB ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．α45-︒C ．1α2D ．190α2︒- 【答案】D【完整解答】解：如图，连接AB′，BB′，过A 作AE ⊥CD 于E ，∵点B 关于AC 的对称点B′恰好落在CD 上，∴AC 垂直平分BB′，∴AB ＝AB′，∴∠BAC ＝∠B′AC ，∵AB ＝AD ，∴AD ＝AB′，又∵AE ⊥CD ，∴∠DAE ＝∠B'AE ，∴∠CAE ＝12∠BAD ＝12α， 又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°，∴四边形AOB′E 中，∠EB′O ＝180°−12α， ∴∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′＝180°−12α−90°＝90°−12α， ∴∠ACB ＝∠ACB′＝90°−12α， 故答案为：D.【思路引导】连接AB′，BB′，过A 作AE ⊥CD 于E ，利用轴对称的性质可证得AC 垂直平分BB′，∠BAC ＝∠B′AC ，利用垂直平分线的性质可推出AB ＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE ，由此可表示出∠CAE 及∠EB′O ；然后根据∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′，代入计算可表示出∠ACB的度数.6．（2分）（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（）A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值【答案】A【完整解答】解：=='，如图，以点D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，F'，连接DF，DF'，则DE DF DF '，∠∴∠='DFF DF F∠，BD平分ABC∠=∠，由图形的对称性可知：DFB DEBDE AB，40∠=︒，ABC∴∠=︒-︒=︒，DEB18040140∴∠=︒，140DFB当点F位于点F'处时，='，DF DF'︒．∴∠=∠='︒-︒=18014040DF B DFF故答案为：A．【思路引导】以点D 为圆心， DE 长为半径画圆交 AB 于点F ，F ' ，连接 DF ，DF ' ，则 DE DF DF ==' ，由图形的对称性可知DFB DEB ∠=∠ ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F 位于点 F ' 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B 的度数.7．（2分）（2021八上·江津期中）如图，D 为∠BAC 的外角平分线上一点并且满足BD ＝CD ，∠DBC ＝∠DCB ，过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，则下列结论：①△CDE ≌△BDF ；②CE ＝AB+AE ；③∠BDC ＝∠BAC ；④∠DAF ＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D 【完整解答】解：∵AD 平分 CAF ∠ ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴DE DF = ，在 Rt CDE 和 Rt BDF 中，BD CDDE DF =⎧⎨=⎩ ，∴Rt CDE Rt BDF ≅ ，故①正确；∴CE AF = ，在 t ADE R 和 Rt ADF 中，AD ADDE DF =⎧⎨=⎩ ，∴Rt ADE Rt ADF ≅ ，∴AE AF = ，∴CE AB AF AB AE =+=+ ，故②正确；∵Rt CDE Rt BDF ≅ ，∴DBF DCE ∠=∠ ，又∵AOB DOC ∠=∠ ，∴∠BDC ＝∠BAC ，故③正确；∵AD 平分 CAF ∠ ，∴DAF DAE ∠=∠ ，∵BD CD = ，∴DBC DCB ∠=∠ ，∵180BAC DAF DAE ∠+∠+∠=︒ ， 180BDC DBC DCB ∠+∠+∠=︒ ，∠BDC ＝∠BAC ， ∴DAF DAE DBC DCB ∠+∠=∠+∠ ，∴∠DAF ＝∠CBD ，故④正确；综上所述，正确的有①②③④；故答案为：D.【思路引导】由角平分线的性质可得DE=DF ，根据HL 证明Rt CDE Rt BDF ≅，可得CE=AF ， DBF DCE ∠=∠ ，根据HL 证明Rt ADE Rt ADF ≅，可得AE AF =，从而得出CE AB AF AB AE =+=+，据此判断①②；在△AOB 和△DOC 中，DBF DCE ∠=∠，∠AOB=∠DOC ，可得∠BDC ＝∠BAC ，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB，从而得出∠DAF ＝∠CBD ，据此判断④.8．（2分）（2021八上·江阴期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝46°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O ，点E 在BC 上，点F 在AC 上，连接EF.将∠C 沿EF 折叠，点C 与点O 恰好重合时，则∠OEC 的度数（ ）A ．90°B ．92°C ．95°D ．98°【答案】B【完整解答】解：连接BO ，CO ，∵∠BAC=46°，∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，∴∠OAB=∠OAC=23°，∵OD 是AB 的垂直平分线，∴OA=OB ，∵OA=OB ，∠OAB=23°，∴∠OAB=∠ABO=23°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=67°，∴∠OBC=∠ABC -∠ABO=67°-23°=44°，∵AB=AC ，∠OAB=∠OAC ，AO=AO ，∴△ABO ≌△ACO （SAS ），∴BO=CO ，∴∠OBC=∠OCB=44°，∵点C 沿EF 折叠后与点O 重合，∴EO=EC ，∴∠EOC=∠OCE=44°，∴∠OEC=180°-∠EOC -∠OCE=180°-2×44°=92°.故答案为：B.【思路引导】连接BO ，CO ，由角平分线的概念可得∠OAB=∠OAC=23°，根据垂直平分线的性质可得OA=OB ，结合等腰三角形的性质可得∠OAB=∠ABO=23°，∠ABC=∠ACB=67°，然后求出∠OBC 的度数，证明△ABO ≌△ACO ，得到BO=CO ，则∠OBC=∠OCB=44°，根据折叠的性质可得EO=EC ，则∠EOC=∠OCE=44°，然后在△OEC 中，应用内角和定理进行求解.9．（2分）（2021八上·崇阳期中）如图，已知 30MON ∠=︒ ，点 1A 、 2A 、 3A 、…在射线ON 上，点 1B 、 2B 、 3B 、…在射线OM 上， 112A B A ∆ 、 223A B A ∆ 、 334A B A ∆ …均为等边三角形，若 11OA = ，则 889A B A ∆ 的边长为( )A．16B．64C．128D．256【答案】C【完整解答】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：A8B8=27B1A2=27=128.故答案为：C.【思路引导】对图形进行角标注，由等边三角形的性质可得A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，根据邻补角的性质可得∠2=120°，由内角和定理可得∠1的度数，然后由平角的概念求出∠5的度数，推出OA 1=A 1B 1=A 2B 1=1，根据等边三角形的性质以及角之间的关系可得A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，由平行线的性质可得∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，然后根据含30°角的直角三角形的性质可得A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，进而求出A 3B 3，A 4B 4，A 5B 5的值，据此解答.10．（2分）（2018八上·北京月考）若（a ﹣2）2+|b ﹣3|＝0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．7或8【答案】D【完整解答】解：∵（a ﹣2）2+|b ﹣3|=0，∴a ﹣2=0，b ﹣3=0，解得a=2，b=3，①当腰是2，底边是3时，三边长是2，2，3，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是2+2+3=7；②当腰是3，底边是2时，三边长是3，3，2，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是3+3+2=8．故答案为：D ．【思路引导】首先根据非负数的性质可以得到a,b 的长度，再分类讨论:腰为2，底为3；和腰为3，底为2，分别求出即可二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021八上·长沙期末）如图， ABC ∠ 、 ACB ∠ 的平分线相交于点F ，过F 作 //DE BC ，交 AB 于点D ，交 AC 于点E ， 3cm BD = ， 2cm EC = ，则 DE = cm . 【答案】5【完整解答】解： BF 是 ABC ∠ 的平分线，DBF CBF ∴∠=∠ ，//DE BC ，DFB CBF ∴∠=∠ ，DBF DFB ∴∠=∠ ，3cm DF BD ∴== ，同理可得： 2cm EF EC == ，5cm DE DF EF ∴=+= ，故答案为：5.【思路引导】由角平分线的定义得∠DBF=∠CBF ，由平行线性质得∠DFB=∠CBF ，即得∠DBF=∠DFB ，根据等角对等边得出DF=DB=3cm ，同里得出EF=EC=2cm ， 利用DE=DF+EF 计算即可.12．（2分）（2021八上·句容期末）如图， 35MON ∠=︒ ，点P 在 MON ∠ 的边 ON 上，以点P 为圆心， PO 为半径画弧，交 OM 于点A ，连接 AP ，则 APN ∠= ︒ .【答案】70【完整解答】解：由作图可知，PO=PA ，∴∠PAO=∠O=35°，∴∠APN=∠O+∠PAO=70°.故答案为：70.【思路引导】由作图可知：PO=PA ，根据等边对等角得∠PAO=∠O=35°，由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠APN=∠O+∠PAO ，据此计算.13．（2分）（2021八上·句容期末）如图， AOB ∠ 是一角度为 α 的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件 EF 、 FG 、 GH …，且 OE EF FG GH === …，在 OA 、OB 足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角 α 的范围为 .【答案】0°＜α＜ 907⎛⎫︒⎪⎝⎭ 【完整解答】解：∵OE=EF ，∴∠EOF=∠EFO=α，∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，∵最多能添加这样的钢管6根，∴7α＜90°，∴0°＜α＜907⎛⎫︒⎪⎝⎭，故答案为：0°＜α＜907⎛⎫︒ ⎪⎝⎭.【思路引导】根据等腰三角形的性质得∠EOF=∠EFO=α，由外角的性质可得∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，由题意可得7α＜90°，求解即可.14．（2分）（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，AC=10，BC=12，则EP+BP的最小值是.【答案】9.6【完整解答】解：连接PC，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵D为BC的中点，∴AD垂直平分BC，BD=12BC=6∴BP=CP，22221068AD AB BD=-=-=∴EP+BP=EP+CP要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE ⊥AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；∵1122ABCS AB CE CB AD=⋅=⋅，∴10CE=12×8解之：CE=9.6.故答案为：9.6.【思路引导】连接PC，利用已知易证△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，利用垂直平分线的性质可证得BP=PC；由此可得到EP+BP=EP+CP，要使EP+BP 的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE⊥AB时，EP+BP 的值最小，最小值为EC的长；然后三角形的面积公式可求出CE的长.15．（2分）（2021八上·宁波期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B 不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为.【答案】12或21【完整解答】解：∵Rt△ABC中，AC=BC=1，∴∠CAB=∠B=45°，∵△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，∴∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，①AF=FD时，∠FDA=∠FAD=45°，∴∠AFD=90°，∠CDA=45°+45°=90°=∠ECD=∠DAE，∵EC=CD，∴四边形ADCE是正方形，∴AD=DC，∴AF= 12AC=12×1=12；②AF=AD时，∠ADF=∠AFD=67.5°，∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°，∴∠DCB=180°-67.5°-45°=67.5°，∴∠DCB=∠CDB，∴BD=CB=1，∴AD=AB -BD=1，∴AF=AD=1，故答案为： 12或 1.【思路引导】Rt △ABC 中，AC=BC=1，可得∠CAB=∠B=45°，由旋转的性质可得∠ECD=90°，∠CDE =∠CED=45°，分两种情况①AF=FD 时，②AF=AD 时，根据等腰三角形的性质分别解答即可. 16．（2分）（2021八上·中山期末）如图，5AB AC ==，110BAC ∠=︒，AD 是∠BAC 内的一条射线，且25BAD ∠=︒，P 为AD 上一动点，则PB PC -的最大值是 ．【答案】5【完整解答】解：如图，作点B 关于射线AD 的对称点B '，连接AB '、CB '，B'P ．则AB AB ='，PB PB '=，25B AD BAD ∠=∠='︒，110252560B AC BAC BAB ∠=∠-∠=︒-︒-︒=''︒． ∵5AB AC ==，∴5AB AC '==，∴AB C '是等边三角形，∴5B C '=，在PB C '中，PB PC B C -'≤'，当P 、B '、C 在同一直线上时，PB PC '-取最大值B C '，即为5． ∴PB PC '-的最大值是5．故答案为：5．【思路引导】作点B 关于射线AD 的对称点B '，连接AB '、CB '，B'P ．易证 AB C '是等边三角形，可得5B C '=，在PB C '中，由于PB PC B C -'≤'，所以当P 、B '、C 在同一直线上时，PB PC '-取最大值，即为B C '的长.17．（2分）（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC = ， 50BAC ∠=︒ ， BAC ∠ 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O ，点C 沿直线EF 折叠后与点O 重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：①50OEF ∠=︒ ；②图中没有60°的角；③D 、O 、C 三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：【答案】①【完整解答】解：∵∠BAC=50°，AO 为∠BAC 的平分线，∴∠BAO= 12 ∠BAC= 12×50°=25°． 又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=65°．∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA=OB ，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC -∠ABO=65°-25°=40°．∵AO 为∠BAC 的平分线，AB=AC ，∴直线AO 垂直平分BC ，∴OB=OC ，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，∴OE=CE ．∴∠COE=∠OCB=40°；在△OCE 中，∠OEC=180°-∠COE -∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠OEF= 12∠CEO=50°，①符合题意；∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°，②不符合题意；∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，∵∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.故答案为：①．【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。