4.6用尺规作线段与角-沪科版七年级数学第上册练习

可编辑修改精选全文完整版七年级上册数学知识汇总第一章有理数1.1 正数和负数①负数的定义与作用：益者为正，反之为负，解决了生活中相反意义的量的问题；②基准（0）的取法：常规与特指（静态），前者（动态）。

③有理数：整数和分数的统称。

有两种分类：正整数正整数整数0 正数正分数有理数负整数有理数0（整分性）正分数（大小性）负数负整数分数负分数负分数1.2数轴、相反数、和绝对值①数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线。

（3+1）②相反数：M与－M互为相反数，要有整体思想，要变都变，0的相反数是本身（0）。

③绝对值︱a︱=︱a－0︱≥0：表示数a 到原点的距离.●︱3－1︱=2表示数3 到数1的距离.●︱3＋1︱=4表示数3 到数－1的距离，或1到－3的距离.●正向（由已知推未知）：求绝对值时易单解，逆向（由未知推已知）：求绝对值易双解.●绝对值的化简（极为重要）M M＞0 M M≥0(非负数) ︱M︱= 0 M=0 ︱M︱=－M M＜0 －M M≤0（非正数）*绝对值易需分类讨论，再答题时尽量使用数学语言推理，培养逻辑能力.1.3 有理数的大小①利用数形结合表示数（字母）及相反数，再利用正数＞0＞负数，右数大于左数进行答题.②从数轴上发现：既没有最大的有理数，也没有最小的有理数，但：有最小的正整数1，有最大的负整数－1，有绝对值最小的数0.1.4~1.5有理数的常规计算加法减法加减混合乘法除法乘除混合四则混合及简算1.6 有理数的乘方：来自乘法而高于乘法a n①结果为幂指数底数●结果较小时需计算具体值，计算方法不同于乘法；●符号结果：正数的任何次方为正数，负数的偶次方为正，奇次方为负；②科学计数法：将一个绝对值较大的数写成M=a×10n(1≤︱a︱＜10,n=“整数位”－1）第二章整式加减2.1 代数式①用字母表示数的好处：简洁、规律.偶数：2n 奇数: 2n±1②日历表的规律：左右差1，上下差7.找规律三部曲：自然排列序列化（提炼公式）反馈（体现：特殊一般特殊）③代数式（含运算符号的数与字母的结合体，双单也是.）书写格式：●数与数相乘，称号不可省；数与字母相乘时，称号省数在前，字母与字母相乘时称号省；●除号写成分数线；●单位问题：最后一步加减后带单位需加括号，最后一步乘除时，不加括号.④代值格式：先化简当什么时原式代值结果⑤单项式（仅含乘号，双单也是）：系数：数字部分（注意：“－”，数的乘方，分数，兀）单项式次数：字母部分（所有字母的指数和，到底出现几个字母）●系数为±1，指数为1时，1一定要省.不是单项式.●单个数与字母是单项式，包括0与兀；字母的倒数如1a2.2整式（单项式与多项式的统称）加减：本质就是去括号与合并同类项.①同类项：所含字母相同且对应指数也相同，几个常数项也是单项式；②合并同类项：系数相加减，其它不变；③去（添）括号：遇正不变，遇负全变，倍数共有；④几个项能够加减，说明它们就是同类项，不含某个字母（或与其无关）说明化简后这个字母对应项的系数为0；第三章一次方程与方程组3.1 一元一次方程及其解法①一元一次方程的概念（3＋1）；②等式的四个基本性质（第2性质易错）；③熟练掌握去分母解一元一次方程的步骤及易错点；3.2一元一次方程的应用①相关公式行程问题：S=VT利息问题：利息=本金×利率×年数本息和=本金＋利息利润=售价－成本②用方程解应用题的技巧：审题! 审题!还是审题！具体：设法：简单题直接设，难题间接设，有比例可比例设；设元：多个未知量时应设一表多，注意设小不设大，设整不设分以方便解方程.3.3 二元一次方程组及其解法①二元一次方程的概念（3＋1），解有无数组，往往求特征根.②二元一次方程组的概念（3＋1），解往往是唯一组，（复杂的方程应先化简）解法如下：代入法有四种，一般选择系数为±1；加减法有两种；整体思想.③注意含参问题，选择正确的关系式建立方程组.④在求多项式的值时往往用整体思想.3.4二元一次方程组的应用①简单的设一元，复杂的设二元.②一般而言，数量和关系易建立方程，另一个方程与列代数式有很大关系，建立方程组时要考察整体与对应个体的关系.第四章直线与角4.1 几何图形①欧拉公式：点＋面－线=24.2 线段、射线、直线①命名方式；②公里1 两点确定一条直线；公里2 两直线相交有唯一的交点；公里3 两点之间，线段最短.4.3 线段的长短比较①线段的合成与加减；②中点三段论③几何题没有图时易双解，正向推理时注意逻辑格式，逆向时可设方程（组）.4.4~4.5角与计算①角的顶义（静态与动态）与命名（有四种）；②角的计算：角的单位、角的进率、角的转化；③角的合成与加减；④角的三段论；4.6 用尺规作线段与角①尺规作图的思想：利用直尺的直与圆规的曲及截取功能作已知线段和角及其合成.。

《用尺规作线段与角》教案教材分析“用尺规作线段和角”是七年级《数学》(上册)中《线段与角》的一个学习内容，在本章教材的内容上起着加深与提高的作用，是后继作图内容基础•本节课把具体的生活情景引入教学，让学生感受数学和日常生活的密切的联系，同时感受作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角的现实意义通过用尺规作美丽的图案的活动，培养学生的审美意识，让他们在学习屮体会数学美和儿何美，同时，也培养它们在生活屮发现美的能力，更重要的是进一步发展学生的空间观念，养成研究性学习的良好习惯，为后续章节的学习打下基础.认知目标(1)了解尺规作图的基本知识及步骤.(2)了解作一条线段等于己知线段、作一个角等于己知角在尺规作图中的简单应用.能力目标(1)通过用尺规作一条线段等于己知线段、作一个角等于己知角的作图活动，初步体会“尺规作图”的认识.(2)能用恰当的数学语言表达自己的操作过程.(3)在尺规作图的过程屮，培养学生的动手实践技能积累数学活动经验.情感目标(1)通过创设问题情境，让学生主动参与，做“数学实验”，激发学生学习数学兴趣及求知欲.(2)通过小组活动，培养学生的合作意识和团队精神.教学重点尺规作图的意义与两个基本作图.教学难点作图题的几何语言表述.教学方法根据教材分析和目标分析，贯彻新课程改革下的课堂教学方法，确定本课主要的教法为: 学生在教师组织、引导、点拨下积极参与，勤于动手，在自主探究与合作交流的过程屮真正有效的理解和掌握知识.(一)演示法：把实物模型、教具或多媒体课件演示给学生看，使学生直观、具体、形象地感知图形.（二）讨论法：在学生进行了自主探索Z后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习.（三）练习法：精心设计随堂练习，巩固和提高学生所学知识.教学过程设计（一）创设悄境，激发兴趣，提出问题情景设计：给学生观看自作图案模型•“同学们看，这儿幅图漂亮吗？你们想不想知道它们是怎么画出来的吗？其实，它们都是用直尺和圆规画出来的，你相信吗？”（二）探究新知：（课件演示）师：利用没有刻度的直尺和圆规可以做出很多图形•你还记得我们是如何用圆规和直尺作一条线段等于已知线段的吗?师：拿出圆规与直尺.生：先独立思考，等学生有了自己的想法后再举手冋答.师：从这节课开始，我们来正式学习尺规作图问题，首先我们学习作图题的基本步骤以及规范的儿何语言.师：规范作图题步骤及作图的几何语言.作法与示范:（1）己知射线0,丄01（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C,交0B于点D；（3）以点0’为圆心，以0C长为半径画弧，交0’ A'于点CJ（4）以点C，为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点DJ师生共同归纳作图题的基本步骤：已知、求作、作法并由教师说明.作图题的要求：能止确画出图形（保留作图痕迹）能口头表述作法.（三） 小组合作，共同提高师将学生每四人分为一组，一人负责发言.问题：以小组为单位进行讨论，充分发挥你们的想象力及创造力，用尺规设计一个漂亮 的图案.师使用投影展示学生的作品给出表扬.（四） 感悟与反思问题：通过这节课的学习活动你有哪些收获？ D*ZVD BO f （5）过点D'作射线O'B' .ZA'O'B'就是所求作的角.。

2.4 用尺规作角同步练习一、选择题1.已知点C在∠AOB的OB边上，用尺规过点C作CN∥OA，作图痕迹如图所示.下列对弧FG的描述，正确的是( )A. 以点C为圆心，OD的长为半径的弧B. 以点C为圆心，OM的长为半径的弧C. 以点E为圆心，DM的长为半径的弧D. 以点E为圆心，CE的长为半径的弧2.下列语句中表述正确的是（）A. 延长直线ABB. 延长线段ABC. 作直线AB=BCD. 延长射线OC3.下列作图语言中，正确的是（）A.过点P作直线AB的垂直平分线B.延长射线OA到B点C.延长线段AB到C，使BC=ABD.过∠AOB内一点P，作∠AOB的平分线4.下列画图语言表述正确的是（）A. 延长线段AB至点C ，使AB=ACB. 以点O为圆心作弧C. 以点O为圆心，以AC长为半径画弧D. 在射线OA上截取OB=a ，BC=b ，则有OC=a+b5.尺规作图是指（）A. 用量角器和刻度尺作图B. 用圆规和有刻度的直尺作图C. 用圆规和无刻度的直尺作图D. 用量角器和无刻度的直尺作图6.四位同学做“读语句画图”练习．甲同学读语句“直线经过A，B，C三点，且点C在点A与点B之间”，画出图形（1）；乙同学读语句“两条线段AB，CD相交于点P”画出图形（2）；丙同学读语句“点P在直线l 上，点Q在直线l外”画出图形（3）；丁同学读语句“点M在线段AB的延长线上，点N在线段AB的反向延长线上”画出图形（4）．其中画的不正确的是（）A. 甲同学B. 乙同学C. 丙同学D. 丁同学7.用一把带有刻度的直角尺，（1）可以画出两条平行线；（2）可以画出一个角的平分线；（3）可以确定一个圆的圆心．以上三个判断中正确的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA,OB 于点E,F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（）A. 以点F为圆心，OE长为半径画弧B. 以点F为圆心，EF长为半径画弧C. 以点E为圆心，OE长为半径画弧D. 以点E为圆心，EF长为半径画弧9.如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A. 以点为圆心，为半径的弧B. 以点为圆心，为半径的弧C. 以点为圆心，为半径的弧D. 以点为圆心，为半径的弧二、填空题10.如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、EF长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H。

(七年级)初一数学上册北师大,人教版等通用用尺规作角专项练习试题及答案3一、单选题1．如图，∠AOB ＝α，以OB 为始边作∠BOC ＝β(α＞β)，则∠AOC 的大小为 ( )A ．α＋βB ．α－βC ．α＋β或α－βD ．以上都不正确2．如图，AOB ∠，以OB 为边作BOC ∠，使2BOC AOB ∠=∠，那么下列说法正确的是（ ）A ． 3AOC AOB ∠=∠ B ．AOB AOC ∠=∠或3AOC AOB ∠=∠C ．AOC BOC ∠>∠D ． AOC AOB ∠=∠3．如图，点C 在AOB ∠的OB 边上，用尺规作出了CN OA ∥，作图痕迹中，FG 是（ ）A ．以点C 为圆心，OD 为半径的弧B ．以点C 为圆心，DM 为半径的弧 C ．以点E 为圆心，DM 为半径的弧D ．以点E 为圆心，OD 为半径的弧4．画一个钝角AOB ∠，然后以O 为顶点，以OA 为一边，在角的内部画一条射线OC ，使90AOC ∠=︒，正确的图形是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．如图AOB ∠，以OB 为边作BOC ∠，使2BOC AOB ∠=∠，那么下列说法正确的是（ ）．A ． 3AOC AOB ∠=∠ B ． AOC AOB∠=∠C ．AOC BOC ∠>∠D ．AOB AOC ∠=∠或3AOC AOB ∠=∠6．下列作图属于尺规作图的是（ ）． A ．画线段3cm MN =B ．用量角器画出AOB ∠的平分线C ．用三角尺作过点A 垂直于直线2的直线D ．已知α∠，用没有刻度的直尺和圆规作AOB ∠，使2AOB α∠=∠ 7．下列关于尺规作图的语句错误的是（ ）． A ．作AOB ∠，使3AOB α∠=∠B ．以点O 为圆心作弧C ．以点A 为圆心，线段α的长为半径作弧D ．作ABC ∠，使ABC αβ∠=∠+∠ 8．已知点C 在∠AOB 的OB 边上，用尺规过点C 作CN ∥OA ，作图痕迹如图所示.下列对弧FG 的描述，正确的是( )A ．以点C 为圆心，OD 的长为半径的弧B ．以点C 为圆心，OM 的长为半径的弧 C ．以点E 为圆心，DM 的长为半径的弧D ．以点E 为圆心，CE 的长为半径的弧9．如图，在△ABC 中，∠C=90°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法错误的是（ ）A．∠BAD=∠CAD B．点D到AB边的距离就等于线段CD 的长C．S△ABD=S△ACD D．AD垂直平分MN10．在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，进行如下操作：①以点B为圆心，以小于AB长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；②分别以E、F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点D，则∠BDC的度数为（）.A．100°B．65°C．75°D．105°11．作已知角的平分线是根据三角形的全等判定（）作的．A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS12．如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（）A．尺规作线段的垂直平分线B．尺规作一条线段等于已知线段C ．尺规作一个角等于已知角D ．尺规作角的平分线13．如图，用尺规法作∠DEC=∠BAC ，作图痕迹的正确画法是（ ）A ．以点E 为圆心，线段AP 为半径的弧B ．以点E 为圆心，线段QP 为半径的弧C ．以点G 为圆心，线段AP 为半径的弧D ．以点G 为圆心，线段QP 为半径的弧14．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题15．已知225AOB ∠=︒．，分别以射线OA 、OB 为始边，在AOB ∠的外部作AOC AOB ∠=∠， 2BOD AOB ∠=∠，则OC 与OD 的位置关系是__________．16．下列作图中：①用量角器画出90AOB ∠=︒；②作AOB ∠，使2AOB α∠=∠；③连接AB；④用直尺和三角板作AB的平行线CD，属于尺规作图的是__________．（填序号）17．在几何里，把只用_________和_________画图的方法称为尺规作图.18．如图，用直尺和圆规画∠AOB的平分线OE，其理论依据是________ ．19．作一个角等于已知角是尺规作图中的最常用的基本作图之一.（______）20．用量角器作一个角等于已知角也是尺规作图的一种.（______）21．数学活动课上，同学们围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”其中一位同学作出了如图所示的图形．你认为他的作法的理由有________22．利用直尺和圆规作出一个角的角平分线的作法，其理论依据是全等三角形判定方法________ ．三、解答题23．如图，已知∠α，用尺规作∠β，使∠β＝2∠α；24．如图，已知直线AB和点P，用尺规作直线CD，使CD//AB，且CD过点P；25．用三角尺画一个是30°的∠AOB,在边OA 上任取一点P,过P作PQ⊥OB, 垂足为Q,量一量OP的长,你发现点P到OB的距离与OP长的关系吗?26．如图，光线CO照射到镜面AB上的O点，请你用尺规作出CO经过镜面反射后的光线．27．如图，已知1∠，2∠，求作一个角，使它等于212∠-∠．28．用尺规法画一个角等于已知角．29．如图，已知∠AOB 和射线O′B′，用尺规作图法作∠A′O′B′=∠AOB （要求保留作图痕迹）．30．按下列要求作图：（1）如图，已知线段a ，b ，用尺规作一条线段，使它等于a ＋2b ；(不要求写作法，只保留作图痕迹)（2）借助三角尺作135°的角.31．如图，已知：∠α，∠β.求作∠AOB ，使得∠AOB ＝∠α＋∠β.(要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)32．如图，已知线段a 及∠α，用尺规作△ABC ，使BC =a ，∠B=∠α，∠C =2∠α.（保留作图痕迹，不写作法）33．尺规作图（不写作法，请保留作图痕迹）已知：点P为直线AB外一点，求作：直线PQ，使得PQ AB∥．△，用尺规过点A作直线MN，使得MN BC．（保留作图34．如图，已知ABC痕迹，不写做法）35．已知：如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点．用尺规作出直线DE，使得DE AB∥．（保留作图痕迹，不写作法）36．（1）根据下列步骤画图并标明相应的字母：（直接在图1中画图）①以已知线段AB（图1）为直径画半圆O；②在半圆O上取不同于点A、B的一点C，连接AC、BC；③过点O画OD∥BC交半圆O于点D．（2）尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）已知：∠AOB（图2）．求作：∠AOB的平分线．37．仅用无刻度．．．的直尺作出符合下列要求的图形.（1）如图甲，在射线OP、OQ上已截取OA＝OB，OE＝OF.试过点O作射线OM，使得OM将∠POQ平分；（2）如图乙，在射线OP、OQ、OR上已截取OA＝OB＝OC，OE＝OF＝OG（其中OP、OR在同一根直线上）. 试过点O作一对射线OM、ON，使得OM⊥ON.38．已知：如图，点C、E均在直线AB上.（1）在图中作∠FEB，使∠FEB=∠DCB（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说出射线EF与射线CD的位置关系.39．作图题(不写作法,保留作图痕迹):利用尺规过C点作与直线AB平行的直线PQ（不能用平推的方法作）.40．如图，△ABC中，AB＝AC．以点B为顶点，作直线BD平行AC．(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)∠=∠，在射41．如图，利用直尺和圆规，在三角形ABC的边AC上方作EAC ACB=，连接CD.观察并回答所画的四边形是什么特殊的四线AE上取一点D，使A D B C边形？（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）42．已知α∠，β∠（如图所示），求作：AOB ∠，使得AOB αβ∠=∠+∠. （要求：不写作法，留下作图痕迹，要有结论。

专题09 直线与角章末重难点题型汇编【举一反三】【沪科版】【考点1 几何图形】【方法点拨】掌握几何图形相关概念是解决此类问题的关键.【例1】（2019秋•峄城区期末）下面的几何体中，属于棱柱的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，可得答案．【答案】解：从左到右依次是长方体，圆柱，棱柱，棱锥，圆锥，棱柱．故选：C．【点睛】本题考查了认识立体图形，有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．【变式1-1】（2018秋•涞水县期末）如图，左面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到的立体图形是（）A．B．C．D．【分析】根据面动成体，梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，可得答案．【答案】解：梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，故C正确；故选：C．【点睛】本题考查了点、线、面、体，利用面动成体，直角三角形绕直角边旋转是圆锥，矩形绕边旋转是圆柱．【变式1-2】（2019•章贡区期末）图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②．则下列图形中，是图②的表面展开图的是（）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【答案】解：由图中阴影部分的位置，首先可以排除C、D，又阴影部分正方形在左，三角形在右，而且相邻，故只有选项B符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念．【变式1-3】（2019秋•广丰区期末）下图右边四个图形中，哪个是左边立体图形的展开图？（）A．B．C．D．【分析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．【答案】解：A、折叠后不能满足黑三角和黑正方形相邻，故本选项错误；B、折叠后符合题意，故本选项正确；C、折叠后不能满足黑三角的黑色的边与圆形相邻，故本选项错误；D、折叠后不能满足黑三角和黑正方形相邻，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了几何体的展开图，这类题学生容易对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．【考点2 基本概念】【方法点拨】知识点1：线段像长方体的棱、长方形的边，这些图形都是线段．线段有两个端点，两个方向均不延伸，线段的长度是可以测量的．线段有两种表示方法：(1)一条线段可以用它的两个端点的大写字母来表示，如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”；(2)一条线段可以用一个小写字母来表示，如图，线段AB也可记作“线段a”．知识点2：射线将线段向一个方向无限延长就得到了射线．射线有一个端点，射线向一个方向无限延伸，射线是无法测量的．射线的表示法：两个大写字母：一条射线可以用表示它的端点和射线上的另一点的两个大写字母来表示，如图中的射线，点O是端点，点A是射线上异于端点的另一点，那么这条射线可以记作射线OA.注意：①表示射线的两个大写字母，其中一个一定是端点，并且要把它写在前面．②端点相同的射线不一定是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线③两条射线为同一射线必须具备的两个条件：①端点相同；②延伸的方向相同．知识点3：直线将线段向两个方向无限延长就形成了直线．直线没有端点，直线向两个方向无限延伸，直线是无法测量的．直线的两种表示方法：(1)一条直线可以用一个小写字母表示，如图中的直线可记作：直线a.(2)一条直线也可以用在这条直线上的表示两个点的大写字母来表示，如图中的直线可记作：直线AB或直线BA.【例2】（2019秋•宜城市期末）下列说法中正确的个数是（）①线段AB和射线AB都是直线的一部分；②直线AB和直线BA是同一条直线；③射线AB和射线BA是同一条射线；④把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线．A．1B．2C．3D．4【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解．【答案】解：①线段AB和射线AB都是直线的一部分，正确；②直线AB和直线BA是同一条直线，正确；③射线AB的端点是点A，射线BA的端点是点B，不是同一条射线，故本小题错误；④把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线，正确．综上所述，说法正确的是①②④共3个．故选：C．【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，是基础题，熟记概念与它们的区别与联系是解题的关键．【变式2-1】（2019秋•岑溪市期末）下列说法正确的个数有（）①射线AB与射线BA表示同一条射线．②若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，则∠2＝∠3．③一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫这个角的平分线．④连结两点的线段叫做两点之间的距离．⑤40°50ˊ＝40.5°．⑥互余且相等的两个角都是45°．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据射线的定义，同角的补角相等，角平分线的定义，两点之间的距离的定义，度分秒的换算以及余角的定义对各小题分析判断即可得解．【答案】解：①射线AB与射线BA不表示同一条射线，因为它们的端点不同，故本小题错误；②若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，则∠2＝∠3，正确；③应为一条射线把一个角分成两个角相等的角，这条射线叫这个角的平分线，故本小题错误；④应为连结两点的线段的长度叫做两点之间的距离，故本小题错误；⑤40°50′≈40.83°，故本小题错误；⑥互余且相等的两个角都是45°，正确．综上所述，说法正确的有②⑥共2个．故选：B．【点睛】本题考查了余角与补角的定义，射线的定义，角平分线的定义以及度分秒的换算，是基础题，熟记相关概念与性质是解题的关键．【变式2-2】（2019秋•李沧区期末）下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短；②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是2；③连接两点的线段叫做两点间的距离；④射线AB和射线BA是同一条射线；⑤若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；⑥一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线是这个角的平分线，其中错误的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，近似数，射线、线段的中点的定义，角平分线的定义对各小题分析判断即可得解．【答案】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是﹣4和2，故本小题错误；③应为连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故本小题错误；④射线AB和射线BA不是同一条射线，故本小题错误；⑤若AC＝BC，则点C是线段AB的中点，错误，因为点A、B、C不一定共线；⑥应为从一个角的顶点引出一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线是这个角的平分线，故本小题错误．综上所述，错误的有②③④⑤⑥共5个．故选：D．【点睛】本题考查了射线、线段的性质，数轴，近似数，两点间的距离的定义，角平分线的定义，是基础题，熟记各性质与概念是解题的关键．【变式2-3】（2019春•广饶县期末）如图的四个图形和每一个图形相应的一句描述，其中所有图形都是画在同一个平面上．①线段AB与射线MN不相交；②点C在线段AB上；③直线a和直线b不相交；④延长射线AB，则会通过点C．其中正确的语句的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据直线、线段、射线的定义以及其性质分别判断得出即可．【答案】解：①线段AB与射线MN不相交，根据图象可得出此选项正确；②根据图象点C不在线段AB上，故此选项错误；③根据图象可得出直线a和直线b会相交，故此选项错误；④根据图象可得出应为延长线段AB，到点C，故此选项错误，故正确的语句的个数是1个．故选：B．【点睛】此题主要考查了直线、线段、射线的定义的应用，正确根据题意画出图形是解题关键．【考点3 余角与补角定义】【方法点拨】余角和补角：（1）若α＋β＝90°，则α与β互余．（2）若α＋β＝180°，则α与β互补．（3）同角（或等角）的余角（或补角）相等．【例3】（2019春•东阿县期末）一个角的余角是它的，则这个角的补角等于°．【分析】互补的两角和为180°，互为余角的和90°，从而计算得．【答案】解：设这个角为α，由题意该角为：90°﹣α＝α，解得：α＝54°，则该角的补角为180°﹣54°＝126°，故答案为：126．【点睛】本题考查了角的补角和余角，从平角180°为互补角的和，从而解得．【变式3-1】（2018秋•宜宾期末）如果一个角的余角与它的补角度数之比为2：5，则这个角等于度．【分析】根据和为180度的两个角互为补角；和为90度的两个角互为余角解答即可．【答案】解：设该角为x°，则5（90°﹣x°）＝2（180﹣x°），得x＝30°．故答案为：30．【点睛】本题考查了余角与补角的定义，表示出这个角的余角和补角并列出方程是解题的关键．（2019秋•化德县校级期末）若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少5°，则这个角等于．【变式3-2】【分析】设这个角为x，根据互为补角的两个角的和等于180°列方程求解即可．【答案】解：设这个角为x，由题意得，3x＝2（180°﹣x）﹣5°，解得x＝71°．答：这个角等于71°．故答案为：71°．【点睛】本题考查了余角和补角，互为补角的两个角的和等于180°．【变式3-3】（2018秋•凉山州期末）一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是．【分析】先设出这个角，可表示出其补角和余角，根据题意我们可列出等式，解这个等式即可得出这个角的度数，然后求得即可．【答案】解：设这个角为x°，则它的余角为90°﹣x°，补角为180°﹣x°，根据题意，得180°﹣x°+10°＝3×（90°﹣x°），解得x＝4040°﹣15°32'＝24°28'，故答案为：24°28'【点睛】本题考查的是角的余角和补角的关系，以及对题意的准确把握．【考点4 钟面上的角度问题】【例4】（2019秋•宛城区期末）上午9点30分时，时钟的时针和分针所夹的较小的角是度．【分析】在9点30分时，时针从数字9开始转了30×0.5°＝15°，分针从数字12开始转了30×6°＝180°，所以此时时针与分针所夹的角＝9×30°+15°﹣180°，然后进行角度计算．【答案】解：上午9点30分时，时针转了30×0.5°＝15°，分针转了30×6°＝180°，所以此时时针与分针所夹的角＝9×30°+15°﹣180°＝105°．故答案为105．【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．【变式4-1】（2019秋•莲湖区校级月考）时钟表面11点15分时，时针与分针所夹角的度数是度．【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【答案】解：11点15分时，时针与分针相距份，11点15分时，时针与分针所夹角的度数是30×＝＝112.5°，故答案为：112.5．【点睛】本题考查了钟面角，利用了时针与分针相距的份数乘以每份的度数，确定时针与分针相距的份数是解题关键．【变式4-2】（2019秋•大冶市期末）中午12点30分时，钟面上时针和分针的夹角是度．【分析】画出图形，利用钟表表盘的特征解答．【答案】解：12点半时，时针指向1和12中间，分针指向6，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，半个格是15°，因此12点半时，分针与时针的夹角正好是30°×5+15°＝165°．故答案为：165．【点睛】此题主要考查了钟面角，本题是一个钟表问题，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．借助图形，更容易解决．【变式4-3】（2018春•单县期末）上午八点二十五分，钟表上时针和分针的夹角的度数为．【分析】根据时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度计算即可．【答案】解：上午八点二十五分，钟表上时针和分针的夹角的度数：3×30°+0.5°×25＝102.5°，故答案为：102.5°．【点睛】本题考查了钟面角的问题，掌握时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度是解题的关键．【考点5 尺规作图】【例5】（2018春•沙坪坝区校级期末）已知：∠α，∠β，线段c．求作：△ABC，使∠A＝α，∠B＝∠β，AB＝c（不写作法，保留作图痕迹）【分析】①先作∠MAN＝∠α，②在AM上截取AB＝a，③在AB的同侧作∠ABD＝∠β，AN与BD交于点C，即可得出△ABC．【答案】解：如图所示：△ABC即为所求．【点睛】本题主要考查了作图﹣复杂作图、角的作法；熟练掌握三角形的基本作图是解决问题的关键．【变式5-1】（2019秋•翁牛特旗期末）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a，b，求作：线段AB，使AB＝2b﹣a．【分析】以A为端点画射线，在射线上截AC＝b、CD＝b、BD＝a，如图AB即为所求作的线段．【答案】解：AB＝2b﹣a．【点睛】本题考查了作图中的复杂作图，熟练掌握尺规作图的方法是解题的关键．【变式5-2】（2019秋•涡阳县期末）作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．比如给定一个△ABC，可以这样来画：先作一条与AB相等的线段A′B′，然后作∠B′A′C′＝∠BAC，再作线段A′C′＝AC，最后连结B′C′，这样△A′B′C′就和已知的△ABC一模一样了．请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来．（请保留作图痕迹）【分析】首先作一条射线，进而截取AB＝A′B′，∠CAB＝∠C′A′B′，进而截取AC＝A′C′，进而得出答案．【答案】解：如图所示：△A′B′C′即为所求．【点睛】此题主要考查了作一三角形全等于已知三角形，正确作出∠CAB＝∠C′A′B′是解题关键．【变式5-3】（2018秋•安庆期末）如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D．（1）请按要求作出图形（注：此题作图不需写出画法和结论）：①作射线AC②作直线BD，交射线AC于点O③分别连接AB ，AD ．（2）观察所作图形，我们能得到：AO +OC ＝ ；DB ﹣OB ＝ （空格处填写图中线段）【分析】（1）根据直线、射线和线段的定义作图可得；（2）根据线段的和差可得．【答案】解：（1）如图所示：（2）由图形知AO +OC ＝AC ，DB ﹣OB ＝DO ，故答案为：AC ，DO ．【点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握线段、直线、射线的定义及线段和差的计算．【考点6 与中点有关的长度计算】【方法点拨】线段的中点如图，点C 在线段AB 上且使线段AC ，CB 相等，这样的点C 叫做线段AB 的中点．中点定义的推理步骤：(1)∵AC ＝CB (已知)，∴点C 是线段AB 的中点(中点的定义)．(2)∵点C 是线段AB 的中点(已知)，∴AC ＝BC 或AC ＝12AB 或BC ＝12AB 或AB ＝2AC 或AB ＝2BC (中点的定义)．【例6】（2019秋•洛宁县期末）已知：点C在直线AB上，AC＝8cm，BC＝6cm，点M、N分别是AC、BC 的中点，求线段MN的长．【分析】分类讨论：点C在线段AB上，点C在线段AB的延长线上，根据线段中点的性质，可得MC、NC的长，根据线段的和差，可得答案．【答案】解：当点C在线段AB上时，由点M、N分别是AC、BC的中点，得MC＝AC＝×8cm＝4cm，CN＝BC＝×6cm＝3cm，由线段的和差，得MN＝MC+CN＝4cm+3cm＝7cm；当点C在线段AB的延长线上时，由点M、N分别是AC、BC的中点，得MC＝AC＝×8cm＝4cm，CN＝BC＝×6cm＝3cm．由线段的和差，得MN＝MC﹣CN＝4cm﹣3cm＝1cm；即线段MN的长是7cm或1cm．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，分类讨论是解题关键，以防遗漏．【变式6-1】（2019秋•郯城县期末）如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段MN的长；（2）若BC＝a，试用含a的式子表示线段MN的长．【分析】（1）根据中点定义求出AM和AN，则MN＝AM﹣AN；（2）由MN＝AM﹣AN得：MN＝＝．【答案】解：（1）因为AB＝8cm，M是AB的中点，所以AM＝＝4cm，又因为AC＝3.2cm，N是AC的中点，所以AN＝＝1.6cm，所以MN＝AM﹣AN＝4﹣1.6＝2.4cm；（2）因为M是AB的中点，所以AM＝，因为N是AC的中点，所以AN＝，∴MN＝AM﹣AN＝＝＝＝．【点睛】本题考查了线段中点的定义及线段的和、差、倍、分，若点C是线段的中点，则有①AC＝BC ＝AB，②AB＝2AC＝2BC；注意（1）的条件和结论（2）不能运用．【变式6-2】（2019秋•永新县期末）如图，点C是线段AB上，AC＝10cm，CB＝8cm，M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长．（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，不用计算你猜出MN的长度吗？（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝acm，M，N仍分别为AC，BC的中点，你还能猜出线段MN的长度吗？（4）由此题你发现了怎样的规律？【分析】（1）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可求出结果；（2）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可得出结论；（3）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可得出结论；（4）分析上面结论，即可得出“MN的长度与C点的位置无关，只与AB的长度有关”这一结论．【答案】解：（1）MN＝MC+CN＝AC+CB＝×10+×8＝5+4＝9cm．答：线段MN的长为9cm．（2）MN＝MC+CN＝AC+CB＝（AC+CB）＝cm．（3）如图，MN＝AC﹣AM﹣NC＝AC﹣AC﹣BC＝（AC﹣BC）＝cm．（4）当C点在AB线段上时，AC+BC＝AB，当C点在AB延长线上时，AC﹣BC＝AB，故找到规律，MN的长度与C点的位置无关，只与AB的长度有关．【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系．【变式6-3】（2019秋•榆社县期末）已知：点M，N分别是线段AC，BC的中点．（1）如图，点C在线段AB上，且AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；（2）若点C为线段AB上任一点，且AC＝acm，CB＝bcm，用含有a，b的代数式表示线段MN的长度．（3）若点C在线段AB的延长线上，且AC＝acm，CB＝bcm，请你画出图形，并且用含有a，b的代数式表示线段MN的长度．【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN 即可求出MN的长度即可，（2）当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，可表示线段MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN，则存在MN＝（a+b）；（3）点C在AB的延长线上时，根据M、N分别为AC、BC的中点，即可求出MN的长度．【答案】解：（1）∵AC＝9cm，点M是AC的中点，∴CM＝0.5AC＝4.5cm，∵BC＝6cm，点N是BC的中点，∴CN＝0.5BC＝3cm，∴MN＝CM+CN＝7.5cm，∴线段MN的长度为7.5cm，（2）MN＝cm，∵点M，N分别是线段AC，BC的中点．∴MC＝AC＝a，CN＝CB＝b，∴MN＝＝；（3）当点C 在线段AB 的延长线时，如图：则AC ＞BC ，∵M 是AC 的中点，∴CM ＝AC ＝a ，∵点N 是BC 的中点，∴CN ＝＝b ，∴MN ＝CM ﹣CN ＝a ﹣b ＝． 【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．【考点7 与角平分线有关的角度计算】【方法点拨】角平分线：（1）把一个角平分成二等分的射线，称为角平分线．（2）若OC 平分∠AOB ，则有①∠AOC ＝∠BOC ．②∠AOC ＝21∠AOB ．③∠AOB ＝2∠AOC ＝2∠BOC ． 【例7】（2019秋•化德县校级期末）如图，已知OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，∠AOB ＝90°，∠BOC ＝30°．求：（1）∠AOC 的度数；（2）∠MON 的度数．【分析】（1）根据角的和差关系，即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠MOC ＝∠AOC ，∠NOC ＝∠BOC ，于是得到结论．【答案】解：（1）∵∠AOC ＝∠AOB +∠BOC ，又∵∠AOB ＝90°，∠BOC ＝30°，∴∠AOC＝120°；（2）∵OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠AOC，∵∠AOC＝120°，∴∠MOC＝60°，∵ON平分∠BOC，∴∠NOC＝∠BOC，∵∠BOC＝30°，∴∠NOC＝15°，∵∠MON＝∠MOC﹣∠NOC，∴∠MON＝45°．【点睛】此题考查了角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，弄清题意是解本题的关键．【变式7-1】（2019秋•浏阳市校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°，OF⊥CD，垂足为O，求：（1）求∠BOE的度数．（2）求∠EOF的度数．【分析】（1）由∠BOD＝∠AOC＝72°，OF⊥CD，求出∠BOF＝90°﹣72°＝18°，再由OE平分∠BOD，得出∠BOE＝∠BOD＝36°，（2）由∠EOF＝∠BOF+∠BOE，得出∠EOF的度数．【答案】解：（1）∵直线AB和CD相交于点O，∴∠BOD＝∠AOC＝72°，∵OF⊥CD，∴∠BOF＝90°﹣72°＝18°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOD＝36°；（2）∵∠EOF＝∠BOF+∠BOE，∴∠EOF＝36°+18°＝54°．【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、垂线以及角平分线的定义；弄清各个角之间的关系是解题的关键．【变式7-2】（2019秋•襄阳期末）如图所示．（1）已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；（2）∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的大小．【分析】（1）根据题意可知，∠AOC＝120°，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOC；推出∠MOC＝∠AOC＝60°，∠CON＝∠BOC＝15°，由图形可知，∠MON＝∠MOC﹣∠CON，即∠MON＝45°；（2）同理可得，∠MOC＝（α+β），∠CON＝β，根据图形便可推出∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（α+β）﹣β＝α．【答案】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC＝60°，∠CON＝∠BOC＝15°，∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝60°﹣15°＝45°；故答案为：45°；（2）同理可得，∠MOC＝（α+β），∠CON＝β，则∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（α+β）﹣β＝α．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，角的度数的计算，关键在于运用数形结合的思想推出∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠MON＝∠MOC﹣∠CON．【变式7-3】（2019秋•沙河口区期末）已知∠AOB＝α，过O作射线OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如图，若α＝120°，当OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；（2）当OC在∠AOB外部时，画出相应图形，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．【分析】（1）根据角平分线的性质，可得∠NOC与∠BOC的关系，∠COM与∠COA的关系，根据角的和差，可得答案；（2）根据角的和差，可得∠AOC的度数，根据角平分线的性质，可得∠COM的度数，∠CON的度数，根据角的和差，可得答案．【答案】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠AOC+∠BOC＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝α＝60°；（2）如图：，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝（∠AOB+∠BOC），∠CON＝∠BOC．∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（AOB+∠BOC）﹣∠BOC＝∠AOB＝α．【点睛】本题考查了角的计算，利用了角平分线的性质，角的和差．【考点8 与旋转有关的角度计算】【例8】（2019秋•启东市校级月考）O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．（1）如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为，∠COF和∠DOE的数量关系为_；（2）若将∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由；（3）若将∠COE绕点O旋转至图③的位置，射线OF依然平分∠AOE，请直接写出∠COF和∠DOE之间的数量关系．【分析】（1）根据已知条件和图形可知：∠COE＝90°，∠COE+∠AOC+∠DOE＝180°，从而可以得到∠AOC与∠DOE的数量关系；由射线OF平分∠AOE，∠AOC与∠DOE的数量关系，从而可以得到∠COF和∠DOE的数量关系；（2）由图②，可以得到各个角之间的关系，从而可以得到∠COF和∠DOE之间的数量关系；（3）由图③和已知条件可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠COF和∠DOE之间的数量关系．【答案】解：（1）∵∠COE＝90°，∠COE+∠AOC+∠DOE＝180°，∴∠AOC+∠DOE＝90°，∵射线OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝∠AOE，∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝∠AOE﹣（90°﹣∠DOE）＝（180°﹣∠DOE）﹣90°+∠DOE＝∠DOE，故答案为：互余，∠COF＝∠DOE；（2）∠COF＝∠DOE；理由如下：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠AOE，∵∠COE＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠AOE，∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝90°﹣∠AOE+∠AOE＝90°﹣∠AOE，∵∠AOE＝180°﹣∠DOE，∴∠COF＝90°﹣（180°﹣∠DOE）＝∠DOE，即∠COF＝∠DOE；（3）∠COF＝180°﹣∠DOE；理由如下：∵OF平分∠AOE，∴∠EOF＝∠AOE，∴∠COF＝∠COE+∠EOF＝90°+∠AOE＝90°+（180°﹣∠DOE）＝180°﹣∠DOE，即∠COF＝180°﹣∠DOE．【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．【变式8-1】（2019秋•武昌区期末）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．（3）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180）时，满足∠AOD+∠EOF＝6∠COD，则n＝．【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠EOB和∠COF的度数，然后根据∠EOF＝∠EOB+∠COF 求解；（2）解法与（1）相同，只是∠AOC＝∠AOB+n°，∠BOD＝∠COD+n°；（3）利用n表示出∠AOD，求得∠EOF的度数，根据∠AOD+∠EOF＝6∠COD列方程求解．【答案】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠EOB＝∠AOB＝×100°＝50°，∠COF＝∠COD＝×40°＝20°，∴∠EOF＝∠EOB+∠COF＝50°+20°＝70°；（2）∠AOE﹣∠BOF的值是定值，理由是：当0＜n＜80时，如图2．∠AOE﹣∠BOF的值是定值，理由是：∠AOC＝∠AOB+n°，∠BOD＝∠COD+n°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE＝∠AOC＝（100°+n°），∠BOF＝∠BOD＝（40°+n°），∴∠AOE﹣∠BOF＝（100°+n°）﹣（40°+n°）＝30°；当80＜n＜90时，如图3．∠AOE＝（360°﹣100°﹣α）＝130°﹣α，∠BOF＝（40°+α），则∠AOE﹣∠BOF＝110°﹣α，不是定值；（3）当0＜＜α＜40时，C和D在OA的右侧，∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＝100°+40°+n°＝140°+n°，∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠EOC+∠COD﹣∠DOF＝（100°+n°）+40°﹣（40°+n°）＝70°，∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，∴（140+n）+70°＝6×40，∴n＝30．当40≤α＜80时，如图2所示，D在OA的左侧，C在OA的右侧．当∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＞180°时，∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝220°﹣n°，∠EOF＝70°，∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，∴220°﹣n°+70°＝6×40°，解得n＝50．当80＜α＜140时，如图3所示，∠AOD＝360°﹣100°﹣40°﹣α＝220°﹣n°，∠EOF＝360°﹣（130°﹣n）﹣（40°+n）﹣100°＝110°，则（220﹣n）+110°＝240°，解得n＝90°；当140≤n＜180时，∠AOD＝220°﹣n°，∠EOF＝70°，则220﹣n+70＝240，解得n＝50（舍去）．故答案是：30或50°或90°．【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．【变式8-2】（2019秋•南江县期末）如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB 的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义以及直角的定义，即可求得∠BON的度数；（2）分两种情况：ON的反向延长线平分∠AOC或射线ON平分∠AOC，分别根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可；（3）根据∠MON＝90°，∠AOC＝70°，分别求得∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，再根据∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）进行计算，即可得出∠AOM与∠NOC 的数量关系．【答案】解：（1）如图2，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB，又∵∠BOC＝110°，∴∠MOB＝55°，∵∠MON＝90°，∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝35°；（2）分两种情况：①如图2，∵∠BOC＝110°∴∠AOC＝70°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝35°，∴∠BON＝35°，∠BOM＝55°，即逆时针旋转的角度为55°，由题意得，5t＝55°解得t＝11；②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA＝35°，∴∠AOM＝55°，即逆时针旋转的角度为：180°+55°＝235°，由题意得，5t＝235°，解得t＝47，综上所述，t＝11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；故答案为：11或47；（3）∠AOM﹣∠NOC＝20°．理由：∵∠MON＝90°，∠AOC＝70°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）＝20°，∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝20°．【点睛】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义的运用，用含∠AON的式子表示出∠AOM和∠NOC 的长是解题的关键．解题时注意分类思想和方程思想的运用．【变式8-3】（2019秋•安庆期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．。