【配套K12】高考数学总复习(讲+练+测)： 专题7.6 数学归纳法(练)

☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，.第一章集合与简单逻辑1.1 集合高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．题型一.集合中元素的个数1．（2020•新课标Ⅲ）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B．【解析】解：∵集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15），∴A∩B＝{5，7，11}，∴A∩B中元素的个数为3．故选：B．2．（2015•新课标Ⅲ）已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5B．4C．3D．2【答案】D．【解析】解：A＝{x|x＝3n+2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B＝{8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．3．（2020•新课标Ⅲ）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6【答案】C ．【解析】解：∵集合A ＝{（x ，y ）|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{（x ，y ）|x +y ＝8}，∴A ∩B ＝{（x ，y ）|{y ≥xx +y =8，x ，y ∈N ∗}＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}．∴A ∩B 中元素的个数为4．故选：C ．4．（2018•新课标Ⅲ）已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A ．【解析】解：当x ＝﹣1时，y 2≤2，得y ＝﹣1，0，1，当x ＝0时，y 2≤3，得y ＝﹣1，0，1，当x ＝1时，y 2≤2，得y ＝﹣1，0，1，即集合A 中元素有9个，故选：A ．5．（2017•新课标Ⅲ）已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B ．【解析】解：法一：由{x 2+y 2=1y =x ，解得：{x =√22y =√22或{x =−√22y =−√22，∴A ∩B 的元素的个数是2个，法二：画出圆和直线的图象，如图示：，结合图象，圆和直线有2个交点，故A ∩B 中元素的个数为2个，故选：B ．题型二.集合与集合之间的关系1．（2015•重庆）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3}，则（ ）A ．A ＝BB ．A ∩B ＝∅C ．A ⫋BD ．B ⫋A 【答案】D ．【解析】解：集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3}，可得A ≠B ，A ∩B ＝{2，3}，B ≠⊂A ，所以D 正确．故选：D ．2．（2015•港澳台）设集合A ⊆{1，2，3，4}，若A 至少有3个元素，则这样的A 共有（ ）A ．2个B ．4个C ．5个D ．7个 【答案】C ．【解析】解：∵集合A ⊆{1，2，3，4}，A 至少有3个元素，∴满足条件的集合A 有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，∴这样的A 共有5个．故选：C ．3．（2012•新课标）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则（ ）A ．A ⫋BB ．B ⫋AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅【答案】B ．【解析】解：由题意可得，A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，∵B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，在集合B 中的元素都属于集合A ，但是在集合A 中的元素不一定在集合B 中，例如x =32∴B ⫋A ．故选：B．4．（2012•湖北）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D．【解析】解：由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，∵A⊆C⊆B，∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，故选：D．5．（2021•上海）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（）A．A⊆B B．∁R A⊆∁R B C．A∩B＝∅D．A∪B＝R【答案】D．【解析】解：已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，解得B＝{x|x≥2或x≤﹣1，x∈R}，∁R A＝{x|x≤﹣1，x∈R}，∁R B＝{x|﹣1＜x＜2}；则A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}，故选：D．题型三.集合的基本运算1．（2021•北京）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|0＜x＜1}【答案】B．【解析】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜1}∪{x|0≤x≤2}＝{x|﹣1＜x≤2}．故选：B．2．（2021•新高考Ⅲ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁U B＝（）A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}【答案】B．【解析】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，所以∁U B＝{1，5，6}，故A∩∁U B＝{1，6}．故选：B．3．（2019•新课标Ⅲ）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【答案】C．【解析】解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．4．（2016•天津）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x﹣2，x∈A}，则A∩B＝（）A．{1}B．{4}C．{1，3}D．{1，4}【答案】D．【解析】解：把x＝1，2，3，4分别代入y＝3x﹣2得：y＝1，4，7，10，即B＝{1，4，7，10}，∵A＝{1，2，3，4}，∴A∩B＝{1，4}，故选：D．5．（2021•乙卷）已知集合S＝{s|s＝2n+1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n+1，n∈Z}，则S∩T＝（）A．∅B．S C．T D．Z【答案】C．【解析】解：当n是偶数时，设n＝2k，则s＝2n+1＝4k+1，当n是奇数时，设n＝2k+1，则s＝2n+1＝4k+3，k∈Z，则T⊊S，则S∩T＝T，故选：C．6．（2017•山东）设集合M＝{x||x﹣1|＜1}，N＝{x|x＜2}，则M∩N＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（1，2）【答案】C．【解析】解：集合M＝{x||x﹣1|＜1}＝（0，2），N＝{x|x＜2}＝（﹣∞，2），∴M∩N＝（0，2），故选：C．7．（2017•新课标Ⅲ）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∩B＝∅【答案】A．【解析】解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B＝{x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．8．（2013•辽宁）已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]【答案】D．【解析】解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A＝（1，4），∵B＝（﹣∞，2]，∴A∩B＝（1，2]．故选：D．题型四.集合中的含参问题1．（2013•江西）若集合A＝{x∈R|ax2+ax+1＝0}其中只有一个元素，则a＝（）A．4B．2C．0D．0或4【答案】A．【解析】解：当a＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件当a≠0时，△＝a2﹣4a＝0，解得a＝4故选：A．2．（2020•新课标Ⅲ）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【答案】B．【解析】解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤−12a}，由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得−12a＝1，则a＝﹣2．故选：B．3．（2017•新课标Ⅲ）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【答案】C．【解析】解：集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m＝0，解得m＝3，即有B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．故选：C．4．（2013•上海）设常数a∈R，集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B＝{x|x≥a﹣1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【答案】B．【解析】解：当a＞1时，A＝（﹣∞，1]∪[a，+∞），B＝[a﹣1，+∞），若A∪B＝R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a＝1时，易得A＝R，此时A∪B＝R；当a＜1时，A＝（﹣∞，a]∪[1，+∞），B＝[a﹣1，+∞），若A∪B＝R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．5．（2020•海南）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%【答案】C．【解析】解：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，由题意，可得x+z＝60，x+y+z＝96，y+z＝82，解得z＝46．∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．故选：C．一．单选题（共8小题）1．已知集合A＝{﹣1，0，m}，B＝{1，2}，若A∪B＝{﹣1，0，1，2}，则实数m的值为（）A．﹣1或0B．0或1C．﹣1或2D．1或2【答案】D．【解析】解：集合A＝{﹣1，0，m}，B＝{1，2}，A∪B＝{﹣1，0，1，2}，因为A，B本身含有元素﹣1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠﹣1，0即可，故m＝1或2，故选：D．2．设全集U＝R，集合A={x|xx+3＜0}，B={x|x≤−1}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜﹣3}C．{x|﹣3＜x≤﹣1}D．{x|﹣1＜x＜0}【答案】D．【解析】解：由xx+3＜0，即x（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜0，则A＝{x|﹣3＜x＜0}，∵B＝{x|x≤﹣1}，∴∁U B＝{x|x＞﹣1}，∴A∩（∁U B）＝{x|﹣1＜x＜0}，故选：D．3．若集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2x≥√2}，则A∩B＝（）A．[12，3]B．[12，1]C．[−3，12]D．[2，3]【答案】A．【解析】解：∵A={x|−1≤x≤3}，B={x|x≥12}，∴A∩B=[12，3]．故选：A．4．设集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{y|y＝1﹣x2}，则A∩B的子集个数为（）A．2B．4C．8D．16【答案】B．【解析】解：∵A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{y|y≤1}，∴A∩B＝{0，1}，∴A∩B的子集个数为22＝4个．故选：B．5．集合A＝{x|y＝lg（x﹣1）}，集合B＝{y|y=√x2+2x+5}，则A∩∁R B＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（1，2）D．（1，2]【答案】C．【解析】解：∵y=√x2+2x+5=√(x+1)2+4≥2，∴B＝[2，+∞），∴∁R B＝（﹣∞，2）．∵x﹣1＞0，∴x＞1，∴A＝（1，+∞）．∴A∩∁R B＝（1，+∞）∩（（﹣∞，2）＝（1，2）．故选：C．6．若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩NC．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）【答案】D．【解析】解：∵5∉M，5∉N，故5∈∁U M，且5∈∁U N．同理可得，6∈∁U M，且6∈∁U N，∴{5，6}＝（∁U M）∩（∁U N），故选：D．7．集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax﹣2＝0}，若B⊆A，则由实数a组成的集合为（）A．{﹣2}B．{1}C．{﹣2，1}D．{﹣2，1，0}【答案】D．【解析】解：∵集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax﹣2＝0}，B⊆A，∴B＝∅或B＝{﹣1}或B＝{2} ∴a＝0，1，﹣2．∴由实数a组成的集合为：{﹣2，1，0}．故选：D．8．已知集合A ＝{x |a ﹣2＜x ＜a +3}，B ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣4）＞0}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1]B ．（1，3）C ．[1，3]D ．[3，+∞）【答案】B ．【解析】解：B ＝{x |x ＜1，或x ＞4}；∵A ∪B ＝R ；∴{a −2＜1a +3＞4；∴1＜a ＜3； ∴a 的取值范围是（1，3）．故选：B ．二．多选题（共4小题）9．若集合P ＝{x |y ＝x 2，x ∈R }，集合T ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则（ ）A ．0∈PB ．﹣1∉TC ．P ∩T ＝∅D ．P ＝T 【解答】解：集合P ＝{x |y ＝x 2，x ∈R }＝{x |x ∈R }，集合T ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，故0∈P ，选项A 正确，故﹣1∉T ，选项B 正确，故P ∩T ＝[0，+∞），选项C 错误，P ＝R ，T ＝[0，+∞），选项D 错误．故选：AB ．10．设全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，1，4}，B ＝{0，1，3}，则（ ）A ．A ∩B ＝{0，1}B ．∁U B ＝{4}C ．A ∪B ＝{0，1，3，4}D ．集合A 的真子集个数为8【解答】解：∵全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，1，4}，B ＝{0，1，3}，∴A ∩B ＝{0，1}，故A 正确，∁U B ＝{2，4}，故B 错误，A ∪B ＝{0，1，3，4}，故C 正确，集合A 的真子集个数为23﹣1＝7，故D 错误故选：AC ．11．已知集合A ＝（﹣2，5），集合B ＝{x |x ≤m }，使A ∩B ≠∅的实数m 的值可以是（ ）A ．0B ．﹣2C ．4D ．6【解答】解：因为集合A ＝（﹣2，5），集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ≠∅，则m ＞﹣2．故选：ACD ．12．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A、B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．例如，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A﹣B＝{1，2，3}，B﹣A＝{6，7，8}，下列说法正确的是（）A．若A＝{x|x＞2}，B＝{x|x2＞4}，则B﹣A＝{x|x＜﹣2}B．若A﹣B＝∅，则B⊆AC．若S是高一（1）班全体同学的集合，A是高一（1）班全体女同学的集合，则S﹣A＝∁S AD．若A∩B＝{2}，则2一定是集合A﹣B的元素【解答】解：对于A：B＝{x|x2＞4}＝{x|x＜﹣2或x＞2}，则B﹣A＝{x|x＜﹣2}，故A正确；对于B：如A＝{3，4，5}，B＝{3，4，5，6，7，8}，则有A﹣B＝∅，但B⊈A，所以B错误；对于C：A是高一（1）班全体女同学的集合，∁S A是高一（1）班全体男同学的集合，S﹣A是高一（1）班全体男同学的集合，所以C正确；对于D：若A∩B＝{2}，则2∈A且2∈B，所以2∉A﹣B，故D错误；故选：AC．。

四年级数学下册总复习教案总复习（一）小数的意义和性质复习目标：1、让学生回忆、掌握小数的相关知识（小数数位顺序表、小数性质、改写、化简、小数移动）2、对小数的相关知识有个清楚且有条理的归纳，使知识能科学、合理的总结归纳、吸收复习难点：小数相关的一些灵活题，复习重点：数位顺序表复习过程：、复习数位顺序表（书P53）请一学生说一说小数数位顺序表，引导学生注意数位、和记数单位的区别，帮助学生记忆。

小组比一比：小数点（）是整数部分，（）是小数部分。

在小数中相邻的两个计数单位的进率都是（）（1）小数点右面第二位是（）位，它的计数单位是（），左边第二位是（），它的计数单位是（）。

（2）小数部分最大的计数单位是（）（3）小数一定比1小吗（）举例（4）比1小的小数，它的整数部分一定是（）（5）大于7小于8的小数有（）个（6）大于7小于8的一位小数有（）个，二位小数有（）个（7）由5个0.1，6个0.01和8个0.001组成的数是（）（8）0.4里有（）个十分之一，有（）个百分之一注：在小组比赛中复习小数相关易错知识2、小数性质（一）复习概念（二）小数化简1.2300000，将1.23改写成5位小数注：强调小数末尾去掉或者添上零，小数大小不变。

但是如果是在小数点的后面添上或者去点零，小数大小有可能改变。

再强调3位小数就是小数点后面有3位，几位小数就是小数点后面有几位练习：（1）0.6里面有（）个0.01（2）0.61里面有（）个0.01（3）3.61里面有（）个0.01（4）0.061里面有（）个0.0017÷100改写成小数（）；23÷1000改写成小数（）34÷10000改写成小数（）；3÷1000改写成小数（）0.25写成分数（）；0.312写成分数（）把小数90.90100化简后是（）将小数40.070化简后是（）。

3、复习小数点移动的规律注：在移动过程中要画出路线图，这样不容易出错。

高考数学复习压轴题型专题讲解与练习专题01 集合一、单选题1．（2021·上海杨浦·高三期中）非空集合A ⊆R ，且满足如下性质：性质一：若a ，b A ∈，则a b A +∈；性质二：若a A ∈，则a A -∈.则称集合A 为一个“群”以下叙述正确的个数为（ ）①若A 为一个“群”，则A 必为无限集；②若A 为一个“群”，且a ，b A ∈，则a b A -∈；③若A ，B 都是“群”，则A B 必定是“群”；④若A ，B 都是“群”，且A B A ≠，A B B ≠，则A B 必定不是“群”；A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可.【详解】①：设集合{}1,0,1A =-，显然110,101,101-+=-+=-+=，符合性质一，同时也符合性质二，因此集合{}1,0,1A =-是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确； ②：根据群的性质，由b A ∈可得：b A -∈，因此可得a b A -∈，故本叙述是正确； ③：设A B C =，若c C ∈，一定有,c A c B ∈∈，因为A ，B 都是“群”，所以,c A c B -∈-∈，因此c C -∈，若d C ∈，所以,d A d B ∈∈，c d C +∈，故本叙述正确；④：因为A B A ≠，A B B ≠，一定存在a A ∈且a B ∉，b A ∉且b B ∈，因此a b A +∉且a b B +∉，所以()a b A B +∉，因此本叙述正确，故选：C【点睛】关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键.2．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设G 为某种元素组成的一个非空集合，若在G 内定义一个运算“*”，满足以下条件：①a ∀，b G ∈，有a b G *∈②如a ∀，b ，c G ∈，有()()a b c a b c **=**；③在G 中有一个元素e ，对a G ∀∈，都有a e e a a *=*=，称e 为G 的单位元；④a G ∀∈，在G 中存在唯一确定的b ，使a b b a e *=*=，称b 为a 的逆元．此时称（G ，*）为一个群．例如实数集R 和实数集上的加法运算“+”就构成一个群(),+R ，其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．G Q =，则(),+G 为一个群B ．G R =，则(),G ⨯为一个群C ．{}1,1G =-，则(),G ⨯为一个群D ．G ={平面向量}，则(),+G 为一个群【答案】B【分析】对于选项A,C,D 分别说明它们满足群的定义，对于选项B, 不满足④，则(),G ⨯不为一个群，所以该选项错误.【详解】A. G Q =，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，0为G 的单位元，逆元为它的相反数，满足群的定义，则(),+G 为一个群，所以该选项正确；B. G R =，1为G 的单位元，但是1a b b a ⨯=⨯=，当0a =时，不存在唯一确定的b ，所以不满足④，则(),G ⨯不为一个群，所以该选项错误；C. {}1,1G =-，满足①②，1为G 的单位元满足③，1-是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则(),G ⨯为一个群，所以该选项正确；D. G ={平面向量}，满足①②，0→为G 的单位元，逆元为其相反向量，则(),+G 为一个群，所以该选项正确.故选：B3．（2022·上海·高三专题练习）设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中,R a b ∈，下列说法正确的是（ ） A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】运用集合的子集的概念，令1m P ∈，推得2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；再由1b =，5b =，求得1Q ，2Q ，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误．【详解】解：对于集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，可得当1m P ∈，即210m am ++>，可得220m am ++>，即有2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；故C 、D 错误当5b =时，21{|50}Q x x x R =++>=，22{|250}Q x x x R =++>=，可得1Q 是2Q 的子集；当1b =时，21{|10}Q x x x R =++>=，22{|210}{|1Q x x x x x =++>=≠-且}x R ∈，可得1Q 不是2Q 的子集，故A 错误．综上可得，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集．故选：B.4．（2022·浙江·高三专题练习）设3124a M a a a =+，其中1a ，2a ，3a ，4a 是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①11a =；②21a ≠；③33a =；④44a ≠有且只有一个是错误的，则满足条件的M 的最大值与最小值的差为（ ）A ．233B ．323C ．334D ．454【答案】C【分析】因为只有一个错误，故分类讨论，若①错，有两种情况，若②错则互相矛盾，若③错，有三种情况，若④错，有一种情况，分别求解M 即可得结果．【详解】若①错，则11a ≠，21a ≠，33a =，44a ≠有两种情况：12a =，24a =，33a =，41a =，3124324111a M a a a =+=⨯+= 或14a =，22a =，33a =，41a =，3124342111a M a a a =+=⨯+=； 若②错，则11a =，21a =，互相矛盾，故②对；若③错，则11a =，21a ≠，33a ≠，44a ≠有三种情况：11a =，22a =，34a =，43a =，31244101233a M a a a =+=⨯+=；11a =，23a =，34a =，42a =，312441352a M a a a =+=⨯+=； 11a =，24a =，32a =，43a =，31242141433a M a a a =+=⨯+=； 若④错，则11a =，21a ≠，33a =，44a =只有一种情况：11a =，22a =，33a =，44a =，31243111244a M a a a =+=⨯+= 所以max min 11331144M M -=-= 故选：C 5．（2021·福建·福州四中高三月考）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据条件可得集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.【详解】由{}2|0A x x x =+=，可得{}1,0A =-因为22()(1)0x ax x ax +++=等价于20x ax 或210x ax ++=，且{}1,0,1A A B =-*=，所以集合B 要么是单元素集，要么是三元素集．（1）若B 是单元素集，则方程20x ax 有两个相等实数根，方程210x ax ++=无实数根，故0a =；（2）若B 是三元素集，则方程20x ax 有两个不相等实数根，方程210x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax 的实数根，即2402a a -=⇒=±且0a ≠．综上所求0a =或2a =±，即{}0,22S =-，，故()3C S =， 故选：D ．【点睛】关键点睛：本题以A B *这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程20x ax 与方程210x ax ++=的实根的个数情况，属于中档题.6．（2020·陕西·长安一中高三月考（文））在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0,1,2,3k =．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误，而242-=+，故[]22-∈，故②正确.若整数a ，b 属于同一“类”，设此类为[]{}()0,1,2,3r r ∈，则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故,a b 除以4的余数相同，故a ，b 属于同一“类”， 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故④正确.由“类”的定义可得[][][][]0123Z ⊆，任意c Z ∈，设c 除以4的余数为{}()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈，故[][][][]0123c ∈，所以[][][][]0123Z ⊆， 故[][][][]0123Z =，故③正确.故选：C.【点睛】方法点睛：对于集合中的新定义问题，注意根据理解定义并根据定义进行相关的计算，判断两个集合相等，可以通过它们彼此包含来证明.7．（2021·全国·高三专题练习（理））在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}6k n k n Z =+∈，1k =，2，3，4，5给出以下五个结论：①[]55-∈；②[][][][][][]012345Z =；③“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”；④“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的充要条件是“[]3+∈a b ”，则上述结论中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】 根据“类”的定义逐一进行判断可得答案.【详解】①因为[]{}565|n n Z =+∈，令655n +=-，得10563n =-=-Z ∉，所以[]55-∉，①不正确； ②[][][][][][]012345{}{}{}1122336|61|62|n n Z n n Z n n Z =∈+∈+∈{}4463|n n Z +∈{}5564|n n Z +∈{}6665|n n Z +∈Z =，故②正确；③若整数a 、b 属于同一“类”，则整数,a b 被6除所得余数相同，从而-a b 被6除所得余数为0，即[]0a b -∈；若[]0a b -∈，则-a b 被6除所得余数为0，则整数,a b 被6除所得余数相同，故“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”，所以③正确； ④若整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈，则161a n =+，1n Z ∈，262b n =+，2n Z ∈， 所以126()3a b n n +=++，12n n Z +∈，所以[]3+∈a b ；若[]3+∈a b ，则可能有[][]2,1a b ∈∈，所以“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的必要不充分条件是“[]3+∈a b ”，所以④不正确. 故选：B【点睛】关键点点睛：对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键.8．（2021·浙江·路桥中学模拟预测）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈ ，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（ ）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素【答案】A【分析】不妨设{,}S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m T ∈，分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.【详解】若S 有2个元素，不妨设{,}S a b =，以为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆，由②知,x y S y x S -∈-∈，因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{,}S a a =-， 由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈， 当集合T 有2个元素时，由②得：m S -∈，则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{0,,}T m n =，其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈，由于,0,0m n m n ≠≠≠，所以,m m n n ≠-≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，若m n ≠-，则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，这都与集合S 中只有2个运算矛盾，综上，{0,,}S T a a =-，故A 正确；当集合S 有3个元素，不妨设{,,}S a b c =，其中a b c <<，则{,,}a b b c c a T +++⊆，所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{,,}S a b c =矛盾，排除C ，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.9．（2021·广东番禺中学高一期中）设{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,2A B =，则称(),A B 为一个“理想配集”．规定(),A B 与(),B A 是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】D【分析】对子集A 分{}1,2A =，{}1,2,3A =，{}1,2,4A =，{}1,2,3,4A =四种情况讨论，列出所有符合题意的集合B 即可求解.【详解】{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，{}1,2A B =， 对子集A 分情况讨论：当{}1,2A =时，{}1,2B =，{}1,2,3B =，{}1,2,4B =，{}1,2,3,4B =，有4种情况；当{}1,2,3A =时，{}1,2B =，{}1,2,4B =，有2种情况； 当{}1,2,4A =时，{}1,2B =，{}1,2,3B =，有2种情况； 当 {}1,2,3,4A =时，{}1,2B =，有1种情况； 所以共有42219+++=种， 故选：D.10．（2020·上海奉贤·高一期中）对于区间(1,10000)内任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“*”如下：当m ，n 都是正偶数时，n m n m *=；当m ，n 都为正奇数时，log m m n n *=，则在此定义下，集合(){},4M a b a b =*=中元素个数是（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个【答案】C 【分析】分别讨论a ，b 都是正偶数时，4b a b a *==，a ，b 都是正奇数时，log 4a a b b *==，所以4a b =，再由,(1,10000)a b ∈即可求出集合M ，进而可得集合M 中的元素的个数. 【详解】因为当m ，n 都是正偶数时，n m n m *=； 当m ，n 都为正奇数时，log m m n n *=，所以当a ，b 都是正偶数时，4b a b a *==，可得2a b ==； 当a ，b 都是正奇数时，log 4a a b b *==，所以4a b =， 因为,(1,10000)a b ∈， 所以3a =，81b =；5a =，625b =； 7a =，2401b =；9a =，6561b =；所以()()()()(){}2,2,3,81,5,625,7,2401,9,6561M =， 所以集合M 中的元素有5个， 故选：C.11．（2021·全国·高三专题练习）设X 是直角坐标平面上的任意点集，定义*{(1X y =-，1)|(x x -，)}y X ∈．若*X X =，则称点集X“关于运算*对称”．给定点集{}22(,)|1A x y x y +==，{}(,)|1==-B x y y x ，(){},|1|||1=-+=C x y x y ，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】令1y X -=，1x Y -=，则1y X =-，1x Y =+，从而由A ，B ，C 分别求出*A ，*B ，*C ，再根据点集X “关于运算*对称”的定义依次分析判断即可得出答案． 【详解】解：令1y X -=，1x Y -=， 则1y X =-，1x Y =+，22{(,)|1}A x y x y =+=，*{(A X∴=，22)|(1)(1)1}Y Y X ++-=，故*A A ≠；{(,)|1}B x y y x ==-，*{(,)|111B X Y X Y ∴=-=+-，即1}Y X =-，故*B B ≠；{(,)||1|||1}C x y x y =-+=，*{(,)||11||1|1C X Y Y X ∴=+-+-=，即|||1|1}Y X +-=，故*C C =；所以“关于运算 * 对称”的点集个数为1个. 故选：B.12．（2021·黑龙江·哈师大附中高一月考）设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点．则在下列集合中，以0为聚点的集合是（ ） A ．{|0}1nn Z n n ∈≥+， B ．{|0}x x x ∈≠R ，C ．221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣D ．整数集Z【答案】B 【分析】根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案． 【详解】 A 中，集合{|0}1n n Z n n ∈≥+，中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大12， 所以在102a <<的时候，不存在满足0x a <<的x ，0∴不是集合{|0}1nn Z n n ∈≥+，的聚点；故A 不正确；B 中，集合{|0}x x x ∈≠R ，，对任意的a ，都存在(2a x =实际上任意比a 小的数都可以)，使得02a x a <=<，所以0是集合{|0}x x x ∈≠R ，的聚点；故B 正确；C 中，因为2211n n+>，所以当01a <<时，不存在满足0x a <<的x ，0∴不是集合221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣的聚点，故C 不正确；D ，对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x ∈Z ，都有00x -=或者01x -≥，也就是说不可能满足000.5x <-<，从而0不是整数集Z 的聚点．故D 不正确. 综上得以0为聚点的集合是选项B 中的集合. 故选：B ．二、多选题13．（2020·广东广雅中学高三月考）设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n =.令集合{(,,),,S x y z x y z X =∈，且三条件,x y z <<,y z x <<z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项不正确的是（ ） A ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉ B ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈ C ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈ D ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∉【答案】ACD 【分析】根据集合S 的定义可以得到,,x y z 和,,z w x 的大小关系都有3种情况，然后交叉结合，利用不等式的传递性和无矛盾性原则得到正确的选项. 【详解】因为(,,)x y z S ∈，则,,x y z 的大小关系有3种情况，同理，(,,)z w x S ∈，则,,z w x 的大小关系有3种情况，由图可知，,,,x y w z 的大小关系有4种可能，均符合(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈，所以ACD 错， 故选:ACD. 【点睛】本题考查新定义型集合，涉及不等式的基本性质，首先要理解集合S 中元素的性质，利用列举画图，根据无矛盾性原则和不等式的传递性分析是关键.14．（2021·河北·石家庄二中高三月考）若集合A 具有以下性质：（1）0A ∈，1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈.则称集合A 是“完美集”.下列说法正确的是（ ）A ．集合{}1,0,1B =-是“完美集” B ．有理数集Q 是“完美集”C ．设集合A 是“完美集”，x 、y A ，则x y A +∈D ．设集合A 是“完美集”，若x 、y A 且0x ≠，则yA x∈ 【答案】BCD 【分析】利用第（2）条性质结合1x =，1y =-可判断A 选项的正误；利用题中性质（1）（2）可判断B 选项的正误；当y A 时，推到出y A -∈，结合性质（2）可判断C 选项的正误；推导出xy A ∈，结合性质（2）可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取1x =，1y =-，则2x y A -=∉，集合{}1,0,1B =-不是“完美集”，A 选项错误；对于B 选项，有理数集Q 满足性质（1）、（2），则有理数集Q 为“完美集”，B 选项正确； 对于C 选项，若y A ，则0y y A -=-∈，()x y x y A ∴+=--∈，C 选项正确； 对于D 选项，任取x 、y A ，若x 、y 中有0或1时，显然xy A ∈； 当x 、y 均不为0、1且当x A ∈，y A 时，1x A -∈，则()11111A x x x x -=∈--，所以()1x x A -∈，()21x x x x A ∴=-+∈，()()2222221111122A xy xy xy x y x y x y x y ∴=+=+∈+--+--，xy A ∴∈， 所以，若x 、y A 且0x ≠，则1A x∈，从而1yy A x x=⋅∈，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.15．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若非空数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈，x y M-∈，则称M 为“优集”．已知,A B 是优集，则下列命题中正确的是（ ）A ．AB 是优集B ．A B 是优集C ．若A B 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D ．若A B 是优集，则A B 是优集【答案】ACD 【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解. 【详解】对于A 中，任取,x A B y A B ∈∈，因为集合,A B 是优集，则,x y A x y B +∈+∈，则 x y A B +∈，,x y A x y B -∈-∈，则x y A B -∈，所以A 正确；对于B 中，取{|2,},{|3,}A x x k k Z B x x m m Z ==∈==∈， 则{|2A B x x k ⋃==或3,}x k k Z =∈，令3,2x y ==，则5x y A B +=∉，所以B 不正确； 对于C 中，任取,x A y B ∈∈，可得,x y A B ∈， 因为A B 是优集，则,x y A B x y A B +∈-∈， 若x y B +∈，则()x x y y B =+-∈，此时 A B ⊆； 若x y A +∈，则()x x y y A =+-∈，此时 B A ⊆， 所以C 正确；对于D 中，A B 是优集，可得A B ⊆，则A B A =为优集； 或B A ⊆，则A B B =为优集，所以A B 是优集，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.16．（2020·山东·高三专题练习）已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( ) A ．1M B ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD 【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断． 【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；对y = 所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；在x y e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．第II 卷（非选择题）三、填空题17．（2021·上海市进才中学高三期中）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合{}1996,1997,2000,2002,2008,2010,2011,2014A =，设i j x x A ∈、，i j ≠，若方程i j x x k -=至少有六组不同的解，则实数k 的所有可能取值是_________.【答案】{}3,6,14 【分析】根据i j x x k -=，用列举法列举出集合A 中，从小到大8个数中（设两数的差为正），相邻两数，间隔一个数，间隔二个数，间隔三个数，间隔四个数，间隔五个数，间隔六个数的两数差，从中找出差数出现次数不低于3的差数即可. 【详解】集合A 中，从小到大8个数中，设两数的差为正： 则相邻两数的差：1，3，2，6，2，1，3； 间隔一个数的两数差：4，5，8，8，3，4； 间隔二个数的两数差：6，11，10，9，6； 间隔三个数的两数差：12，13，11，12； 间隔四个数的两数差：14，14，14； 间隔五个数的两数差：15，17； 间隔六个数的两数差：18；这28个差数中，3出现3次，6出现3次，14出现3次，其余都不超过2次， 故k 取值为：3，6，14时，方程i j x x k -=至少有六组不同的解， 所以k 的可能取值为：{}3,6,14， 故答案为：{}3,6,1418．（2021·北京·高三开学考试）记正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点组成的集合为S .若集合M S ⊆，满足i X ∀，j X M ∈，k X ∃，l X M ∈使得直线i j k l X X X X ⊥，则称M 是S 的“保垂直”子集. 给出下列三个结论：①集合{}1,,,A B C C 是S 的“保垂直”子集；②集合S 的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集；③若M 是S 的“保垂直”子集，且M 中含有5个元素，则M 中一定有4个点共面. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】② 【分析】首先弄清楚可取其中的5，6，7，8个点时，符合M 是S 的“保垂直”子集，且正方体的两条体对角线不垂直，然后根据定义逐项判断可得答案. 【详解】对于①，当取体对角线1AC 时，找不到与之垂直的直线，①错误； 对于②，当8个点任取6个点时，如图当M 集合中的6个点是由上底面四个点和下底面两个点；或者由上底面两个点和下底面四个点构成时，必有四点共面，根据正方体的性质，符合M 是S 的“保垂直”子集； 当M 集合中的6个点是由上底面三个点和下底面三个点构成时，如{}111,,,,,M B C A C A B =，则存在11,,,B A A B 四点共面，根据正方体的性质，符合M 是S 的“保垂直”子集； 如{}111,,,,,M B C A C A D =，取,B A 存在11BC A D ⊥，取,B C 存在11BC C D ⊥，取,C A 存在1AC BD ⊥，符合M 是S 的“保垂直”子集，所以②正确；对于③，举反例即可，如{}11,,,,M B C D C A =，③错误.故答案为：②.19．（2021·江苏扬州·模拟预测）对于有限数列{}n a ，定义集合()1212,110k i i i k a a a S k s s i i i k ⎧⎫+++⎪⎪==≤<<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，其中k ∈Z 且110k ≤≤，若n a n =，则()3S 的所有元素之和为___________.【答案】660【分析】可得()3S 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭，得出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，求出每个数字被选中的次数即可求解.【详解】()1231233,1103i i i a a a S s s i i i ⎧⎫++⎪⎪==≤<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭， 则()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，1,2,,10每个被选出的次数是相同的，若()110i i ≤≤被选中，则共有29C 种选法，即1,2,,10每个被选出的次数为29C ，则()3S 的所有元素之和为()()29101109812102266033C ⨯+⨯⨯⋅+++==. 故答案为：660.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，再求出每个数字被选中的次数.20．（2021·北京东城·一模）设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题：①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ≠∅，则12A A 具有性质P ； ③若12,A A 具有性质P ，则12A A 具有性质P ；④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则A R 不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②④【分析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法，结合举反例判断④.【详解】对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；对于②，取12,x y A A ∈，则1x A ∈，2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈，所以12A A 具有性质P ，故②正确；对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A ∈，23A ∈，但1223A A +∉，故③错误；对于④，假设A R 具有性质P ，即对任意,x y A ∈R ，都有,x y A xy A +∈∈R R ，即对任意,x y A ∉，都有,x y A xy A +∉∉，举反例{}|2,A x x k k Z ==∈，取1A ∉，3A ∉，但134A +=∈，故假设不成立，故④正确；故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于基础题.。

课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。

2023年高考数学复习----排列组合隔板法典型例题讲解【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）六元一次方程12610x x x +++=的正整数解有________组．【答案】126【解析】12610x x x +++=的正整数解的组数为59987612624C ⨯⨯⨯==， 故答案为：126．例2．（2022·全国·高三专题练习）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ） A ．720种B ．420种C ．120种D ．15种【答案】D 【解析】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为26C =15，故选： D例3．（2022春·山东济宁·高三济宁一中校考开学考试）()112x y z ++展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ）A ．12项B ．24项C ．39项D ．78项【答案】D 【解析】()112x y z ++展开之后必有形如a b c mx y z 的式子出现，其中,,,m R a b c N ∈∈，且11a b c ++=．构造14个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，利用隔板法，共有分法213C 种； 每组去掉一个小球的数目分别为()112x y z ++的展开式中,,x y z 各字母的次数； 小球分组模型与各项的次数是一一对应的，故()112x y z ++的展开式中，合并同类项之后的项数为213131278 2C⨯==项．故选：D。

用数学归纳法证明用数学归纳法证明1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-n+2/2^n.1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-(n+2)/2^n.1、当n=1时候，左边=1/2;右边=2-3/2=1/2左边=右边，成立。

2、设n=k时候，有：1/2+2/2^2+3/2^3+......+k/2^k=2-(k+2)/2^k成立，则当n=k+1时候：有：1/2+2/2^2+3/2^3+.....+k/2^k+(k+1)/2^(k+1)=2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1)=2-/2^(k+1)=2-(k+3)/2^(k+1)=2-/2^(k+1)得证。

我觉得不是所有的猜想都非要用数学归纳法.比如a1=2,a(n+1)/an=2,这显然是个等比数列如果我直接猜想an=2^n,代入检验正确,而且对所有的n都成立,这时候干嘛还用数学归纳法啊.可是考试如果直接这样猜想是不得分的,必须要用数学归纳法证明.我觉得如果是数列求和,猜想无法直接验证,需要数学归纳法,这个是可以接受的.但是上面那种情况,谁能告诉我为什么啊.我觉得逻辑已经是严密的了.结果带入递推公式验证是对n属于正整数成立.用数学归纳法,无论n=1,还是n=k的假设,n=k+1都需要带入递推公式验证,不是多此一举吗.我又不是一个一个验证,是对n这个变量进行验证,已经对n属于正整数成立了.怎么说就是错误的.怎么又扯到思维上了,论严密性我比谁都在意,虽然是猜出来的,毕竟猜想需要,我的问题是--------这样的验证方式严不严密,在没有其他直接证明方法的情况下,是不是一定要用数学归纳法-------,并没有说这样就是对待数学的态度,没有猜想数学怎么发展.这说明你一眼能看出答案，是个本领。

然而，考试是要有过程的，这个本领属于你自己，不属于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支会涨哪支会跌，但是不说出为什么，恐怕也不会令人信服。

☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，.第二章 函数2.3 函数与方程、不等式高考对函数应用的考查主要是函数零点个数的判断、零点所在的区间．近几年全国卷考查函数模型及其应用较少，但也要引起重视.题型一.函数零点的个数1．（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．y ＝cos xB ．y ＝sin xC ．y ＝lnxD ．y ＝x 2+1【解答】解：对于A ，定义域为R ，并且cos （﹣x ）＝cos x ，是偶函数并且有无数个零点；对于B ，sin （﹣x ）＝﹣sin x ，是奇函数，由无数个零点；对于C ，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D ，定义域为R ，为偶函数，都是没有零点；故选：A ．2．（2013•天津）函数f （x ）＝2x |log 0.5x |﹣1的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：函数f （x ）＝2x |log 0.5x |﹣1，令f （x ）＝0，在同一坐标系中作出y ＝（12）x ．与y ＝|log 0.5x |，如图，由图可得零点的个数为2．故选：B ．3．（2019•新课标Ⅲ）函数f （x ）＝2sin x ﹣sin2x 在[0，2π]的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：函数 f （x ）＝2sin x ﹣sin2x 在[0，2π]的零点个数，即方程2sin x ﹣sin2x ＝0 在区间[0，2π]的根个数，即2sin x ＝sin2x ＝2sin x cos x 在区间[0，2π]的根个数，即sin x ＝0 或 cos x ＝1 在区间[0，2π]的根个数，解得x ＝0或 x =π 或 x ＝2π．所以函数f （x ）＝2sin x ﹣sin2x 在[0，2π]的零点个数为3个．故选：B ．4．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），若函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|与y ＝f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则∑ m i=1x i ＝（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【解答】解：∵函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），故函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象也关于直线x ＝1对称，故函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|与 y ＝f （x ） 图象的交点也关于直线x ＝1对称，不妨设x 1＜x 2＜…＜x m ，则点（x 1，y 1）与点（x m ，y m ），点（x 2，y 2）与点（x m ﹣1，y m ﹣1），…都关于直线x ＝1对称，所以x 1+x m ＝x 2+x m ﹣1＝…＝x m +x 1＝2，由倒序相加法可得∑ m i=1x i =12×2m ＝m ， 故选：B ．5．（2012•辽宁）设函数f （x ）（x ∈R ）满足f （﹣x ）＝f （x ），f （x ）＝f （2﹣x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 3．又函数g （x ）＝|x cos （πx ）|，则函数h （x ）＝g （x ）﹣f （x ）在[−12，32]上的零点个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【解答】解：因为当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 3．所以当x ∈[1，2]时2﹣x ∈[0，1]，f （x ）＝f （2﹣x ）＝（2﹣x ）3，当x ∈[0，12]时，g （x ）＝x cos （πx ），g ′（x ）＝cos （πx ）﹣πx sin （πx ）； 当x ∈[12，32]时，g （x ）＝﹣x cos πx ，g ′（x ）＝πx sin （πx ）﹣cos （πx ）． 注意到函数f （x ）、g （x ）都是偶函数，且f（0）＝g（0），f（1）＝g（1）＝1，f（−12）＝f（12）=18，f（32）＝（2−32）3=18，g（−12）＝g（12）＝g（32）＝0，g（1）＝1，g′（1）＝1＞0，根据上述特征作出函数f（x）、g（x）的草图，函数h（x）除了0、1这两个零点之外，分别在区间[−12，0]，[0，12]，[12，1]，[1，32]上各有一个零点．共有6个零点，故选：B．题型二.已知函数零点求参1．（2018•新课标Ⅲ）已知函数f（x）={e x，x≤0lnx，x＞0，g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．2．（2019•天津）已知函数f （x ）={2√x ，0≤x ≤1，1x，x ＞1．若关于x 的方程f （x ）=−14x +a （a ∈R ）恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ）A ．[54，94]B ．（54，94]C ．（54，94]∪{1}D ．[54，94]∪{1} 【解答】解：作出函数f （x ）={2√x ，0≤x ≤1，1x，x ＞1．的图象，以及直线y =−14x 的图象，关于x 的方程f （x ）=−14x +a （a ∈R ）恰有两个互异的实数解，即为y ＝f （x ）和y =−14x +a 的图象有两个交点，平移直线y =−14x ，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，可得a =94或a =54，考虑直线与y =1x 在x ＞1相切，可得ax −14x 2＝1，由△＝a 2﹣1＝0，解得a ＝1（﹣1舍去），综上可得a 的范围是[54，94]∪{1}． 故选：D ．3．（2016•天津）已知函数f （x ）={x 2+(4a −3)x +3a ，x ＜0log a (x +1)+1，x ≥0（a ＞0，且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f （x ）|＝2﹣x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，23]B ．[23，34]C ．[13，23]∪{34}D ．[13，23）∪{34} 【解答】解：y ＝log a （x +1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a ＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：{3−4a 2≥00＜a ＜102+(4a −3)⋅0+3a ≥log a (0+1)+1；解得，13≤a ≤34； 由图象可知，在[0，+∞）上，|f （x ）|＝2﹣x 有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f （x ）|＝2﹣x 同样有且仅有一个解，当3a ＞2即a ＞23时，联立|x 2+（4a ﹣3）x +3a |＝2﹣x ，则△＝（4a ﹣2）2﹣4（3a ﹣2）＝0，解得a =34或1（舍去），当1≤3a ≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为[13，23]∪{34}， 故选：C ．4．（2016•山东）已知函数f （x ）={|x|，x ≤m x 2−2mx +4m ，x ＞m，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 （3，+∞） ．【解答】当m ＞0时，函数f （x ）={|x|，x ≤mx 2−2mx +4m ，x ＞m的图象如下：∵x ＞m 时，f （x ）＝x 2﹣2mx +4m ＝（x ﹣m ）2+4m ﹣m 2＞4m ﹣m 2，∴y 要使得关于x 的方程f （x ）＝b 有三个不同的根，必须4m ﹣m 2＜m （m ＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．5．（2021•濂溪区校级开学）已知f （x ）={−sin π2x ，−2≤x ≤0，|lnx|，x ＞0，若关于x 的方程f （x ）＝k 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4.（其中x 1＜x 2＜x 3＜x 4）则x 1+x 2+x 3+2x 4的取值范围是（ ）A ．（0，2e +1e −2）B ．（0，e +1e −2）C ．（1，e +1e −2）D ．（1，2e +1e −2） 【解答】解：关于x 的方程f （x ）k 有四个实根，则y ＝f （x ）与y ＝k 有四个交点，横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4．则x 1+x 2＝﹣2，1e ＜x 3＜1＜x 4＜e ，且ln |x 3|＝ln |x 4|，即x 3x 4＝1， ∴x 1+x 2+x 3+2x 4=−2+x 3+2x 4=x 3+2x 3−2， 令g(x)=x +2x −2，x ∈(1e ，1)，则g′(x)=1−2x 2＜0，所以g （x ）在(1e ，1)上单调递减， ∴1＜g(x)＜2e +1e −2，即x 1+x 2+x 3+2x 4的取值范围为(1，2e +1e −2)．故选：D ．6．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +a （e x ﹣1+e ﹣x +1）有唯一零点，则a ＝（ ）A ．−12B ．13C ．12D ．1【解答】解：f （x ）＝x 2﹣2x +a （e x ﹣1+e﹣x +1）＝（x ﹣1）2+a （e x ﹣1+e ﹣x +1）﹣1， 令t ＝x ﹣1，则y ＝t 2+a （e t +e ﹣t ）﹣1为偶函数，图象关于t ＝0对称，若y ＝0有唯一零点，则根据偶函数的性质可知当t ＝0时，y ＝﹣1+2a ＝0，所以a =12．故选：C ．题型三.函数与不等式1．（2014•新课标Ⅲ）设函数f （x ）={e x−1，x ＜1x 13，x ≥1，则使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是 x ≤8 ． 【解答】解：x ＜1时，e x ﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x ≥1时，x 13≤2，∴x ≤8，∴1≤x ≤8，综上，使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是x ≤8．故答案为：x ≤8．2．（2018•新课标Ⅲ）设函数f （x ）={2−x ，x ≤01，x ＞0，则满足f （x +1）＜f （2x ）的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，0） 【解答】解：函数f （x ）={2−x ，x ≤01，x ＞0，的图象如图： 满足f （x +1）＜f （2x ），可得：2x ＜0＜x +1或2x ＜x +1≤0，解得x ∈（﹣∞，0）．故选：D ．3．（2013•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）={−x 2+2x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，若|f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0] B ．（﹣∞，1] C ．[﹣2，1] D ．[﹣2，0]【解答】解：由题意可作出函数y ＝|f （x ）|的图象，和函数y ＝ax 的图象，由图象可知：函数y ＝ax 的图象为过原点的直线，当直线介于l 和x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数y ＝|f （x ）|在第二象限的部分解析式为y ＝x 2﹣2x ，求其导数可得y′＝2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D ．4．（2014•辽宁）已知f （x ）为偶函数，当x ≥0时，f （x ）={cosπx ，x ∈[0，12]2x −1，x ∈(12，+∞)，则不等式f （x ﹣1）≤12的解集为（ ） A ．[14，23]∪[43，74]B ．[−34，−13]∪[14，23]C ．[13，34]∪[43，74]D ．[−34，−13]∪[13，34]【解答】解：当x ∈[0，12]，由f （x ）=12，即cosπx =12， 则πx =π3，即x =13，当x ＞12时，由f （x ）=12，得2x ﹣1=12，解得x =34， 则当x ≥0时，不等式f （x ）≤12的解为13≤x ≤34，（如图）则由f （x ）为偶函数，∴当x ＜0时，不等式f （x ）≤12的解为−34≤x ≤−13， 即不等式f （x ）≤12的解为13≤x ≤34或−34≤x ≤−13，则由13≤x ﹣1≤34或−34≤x ﹣1≤−13，解得43≤x ≤74或14≤x ≤23，即不等式f （x ﹣1）≤12的解集为{x |14≤x ≤23或43≤x ≤74}，故选：A ．1．已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，则函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：因为函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，且x ≤0时f （x ＝﹣2x （x +2）＝﹣2（x +1）2+2； 所以f （x ）的图象如图，由图可得：y ＝f （x ）与y ＝3只有两个交点； 即函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是2； 故选：B ．2．已知函数f （x ）＝log 2（x +1）+3x +m 的零点在区间（0，1]上，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪（0，+∞）D ．[﹣4，0）【解答】解：因为f （x ）＝log 2（x +1）+3x +m 在区间（0，1]上是单调递增， 函数f （x ）＝log 2（x +1）+3x +m 的零点在区间（0，1]上， 所以{f(0)＜0f(1)≥0，即{m ＜0log 22+3+m ≥0，解得﹣4≤m ＜0．故选：D ．3．设偶函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2．又函数g （x ）＝|cos （πx ）|，则函数h （x ）＝g （x ）﹣f （x ）在区间[−12，32]上的零点个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：∵f （x ）＝f （2﹣x ），故f （x ）的图象关于x ＝1对称， 又函数f （x ）是R 上的偶函数，∴f （x +2）＝f （﹣x ）＝f （x ），∴f（x）是周期函数，T＝2，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝f（﹣x）＝x2．令h（x）＝0，则f（x）＝g（x），在同一坐标系中作y＝f（x）和y＝g（x）在区间[−12，32]上的图象，由图象可得y＝f（x）和y＝g（x）有5个交点，故函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点个数为5．故选：A．4．已知函数f（x）={ax+1，x＜0lnx，x＞0若函数f（x）的图象上存在关于坐标原点对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[−12，0]D．(12，1]【解答】解：函数f（x）={ax+1，x＜0lnx，x＞0若函数f（x）的图象上存在关于坐标原点对称的点，可得x＞0时，ax﹣1＝lnx，有解；可得a=lnx+1x，令g（x）=lnx+1x，g′（x）=−lnxx2，所以x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数是增函数，x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）是减函数，所以g（x）的最大值为：g（1）＝1，所以a≤1．故选：B．5．已知函数f(x)=lnxx，g（x）＝xe﹣x，若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则x1x2的最小值为（）A．﹣1B．−2e C．−2e2D．−1e【解答】解：g（x）＝xe﹣x=xe x=lnexe x=f（e x），函数f（x）定义域{x|x＞0}，f′（x）=1−lnx x2，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＝1时，f（1）＝0，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0；x∈（1，e）时，f（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，此时f（x）＞0，所以若存在x 1∈（0，+∞），x 2∈R ，使得f （x 1）＝g （x 2）＝k （k ＜0）成立， 则0＜x 1＜1且f （x 1）＝g （x 2）＝f （e x 2），所以x 1＝ex 2，即x 2＝lnx 1，所以x 1x 2＝x 1 lnx 1，x 1∈（0，1）， 令h （x ）＝xlnx ，x ∈（0，1）， h ′（x ）＝lnx +1，当x ∈（1e ，1）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，当x ∈（0，1e）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，所以当x =1e时，h （x ）min ＝h （1e）=1e ln 1e =−1e．故选：D ．6．（多选）已知函数f （x ）＝e x +x ﹣2的零点为a ，函数g （x ）＝lnx +x ﹣2的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ） A ．e a +lnb ＞2B ．e a +lnb ＜2C ．a 2+b 2＜3D ．ab ＜1【解答】解：由f （x ）＝0，g （x ）＝0得e x ＝2﹣x ，lnx ＝2﹣x ，函数y ＝e x 与y ＝lnx 互为反函数， 在同一坐标系中分别作出函数y ＝e x ，y ＝lnx ，y ＝2﹣x 的图象， 如图所示，则A （a ，e a ），B （b ，lnb ），由反函数性质知A ，B 关于（1，1）对称，则a +b ＝2，e a+lnb ＝2，ab ＜(a+b)24=1，∴A 、B 错误，D 正确．∵f '（x ）＝e x +1＞0．∴f （x ）在R 上单调递增，且f （0）＝﹣1＜0，f(12)=√e −32＞0， ∴0＜a ＜12．∵点A （a ，e a ）在直线y ＝2﹣x 上，即e a ＝2﹣a ＝b ， ∴a 2+b 2=a 2+e 2a ＜14+e ＜3．C 正确．故选：CD ．。

第一章集合、常用逻辑用语、不等式考情探究本章内容分为两部分．第一部分为集合与简易逻辑、第二部分为不等式．第一部分内容是高考必考内容，难度小，分值为5分，重点考查集合的基本运算，充分、必要条件的判断和含有一个量词命题的否定，集合的基本运算常与不等式结合，考查集合的交、并、补集运算，充分、必要条件的判断常与向量、数列、立体几何、不等式、函数等结合，考查基本概念、定理等，复习时以基础知识为主．第二部分不等式内容在高考题中多作为载体考查其他知识，例如，结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域的求解、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值问题或恒成立问题．此部分考题以中低档题为主，主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分．对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握．第一讲集合知识梳理·双基自测知识梳理知识点一集合的基本概念一组对象的总体构成一个集合．1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性．2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.4.五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．知识点二集合之间的基本关系关系定义表示相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中的任意一个元素都是B中的元素A⊆B真子集A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A A B 注意：(1)空集用∅表示．(2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n －1，非空真子集的个数为2n－2.(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．知识点三集合的基本运算1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.2．A∪A＝A，A∪∅＝A.3．A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.5．∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{1，－1,0}．(×)(3){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(×)(4)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．(×)(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)(6)设U＝R，A＝{x|lg x<1}，则∁U A＝{x|lg x≥1}＝{x|x≥10}．(×)[解析](4)当m＝－1时，m＋2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，故(4)错．(6)中A＝{x|0<x<10}，∁U A＝{x|x≤0或x≥10}，故(6)错．题组二走进教材2．(多选题)(必修1P9T1改编)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(ACD)A．∅⊆A B．－2∈AC．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}[解析]易知A＝{0,2}，A，C，D均正确．3．(必修1P35T9改编)已知集合U＝{x|－4<x<3}，A＝{x|－2≤x<1}，则∁U A ＝(A)A．(－4，－2)∪[1,3)B．[－2,1)C．(－4，－2]∪(1,3)D．(－2,1][解析]根据集合补集的运算解答即可．由题知，集合U＝{x|－4<x<3}，A ＝{x|－2≤x<1}，所以∁U A＝{x|－4<x<－2，或1≤x<3}，即∁U A＝(－4，－2)∪[1,3)，故选A.4．(必修1P13T1改编)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝{x|x≥－1}，∁U(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}.题组三走向高考5．(2023·全国甲文，1,5分)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪∁U M＝(A)A．{2,3,5}B．{1,3,4}C．{1,2,4,5}D．{2,3,4,5}[解析]因为U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,4}，所以∁U M＝{2,3,5}，所以N∪∁U M＝{2,3,5}．故选A.6．(2023·新课标Ⅰ，1,5分)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(C)A．{－2，－1,0,1}B．{0,1,2}C．{－2}D．{2}[解析]由x2－x－6≥0得x≥3或x≤－2，∴N＝{x|x≥3或x≤－2}，因此M∩N＝{－2}，故选C.7．(2023·新课标Ⅱ，2,5分)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝(B)A．2B．1D．－1C.23[解析]若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足A ⊆B；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，满足A⊆B.故选B.考点突破·互动探究集合的基本概念——自主练透1.已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，则B等于(C)A．{0,1}B．{0,1,2}C．{1,2,3}D．{1,2,3,4}[解析]因为A＝{x|x2≤4}＝[－2,2]，B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，所以B＝{1,2,3}．2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*}，B＝{(x，y)|y>x＋1}，则A∩B 中元素的个数为(B)A.2B．3C．4D．5[解析]求得集合A的元素，由此求得A∩B的元素，从而确定正确选项．依题意A＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(7,1)}，其中满足y>x＋1的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，所以A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)}，有3个元素．故选B.3．设集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是(C) A．2<m<5B．2≤m<5C．2<m≤5D．2≤m≤5[解析]∵1∈A，∴m>2，又∵2∉A，∴m≤5，因此2<m≤5.故选C.4．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}0，ba，b a2025＋b2024＝0.[解析]由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则ba＝－1，所以a＝－1，b＝1，故a2025＋b2024＝－1＋1＝0.名师点拨：1．用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．2．集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.集合之间的基本关系——师生共研[解析]方法一(列举法)：A …，－12，12，32，52，72，…B …，－12，0，12，1，32，2，52，3，72，…显然AB .方法二(描述法)：集合A x |x ＝k ＋12，k ∈Zx|x ＝2k ＋12，k ∈Z B x|x ＝k2，k ∈Z 2k ＋1可以表示任意奇数，k 可以表示任意整数，故A B .2．(多选题)已知集合A ＝{－3,2}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，且B ⊆A ，则实数a 的可能取值为(BD )A ．－13B ．0C ．12D ．13[解析]由题知B ⊆A ，B ＝{x |ax ＋1＝0}，所以B ＝{－3}，{2}，∅.当B ＝{－3}时，－3a ＋1＝0，解得a ＝13；当B ＝{2}时，2a ＋1＝0，解得a ＝－12；当B ＝∅时，a ＝0.综上可得实数a 的可能取值为13，0，－12，故选BD.名师点拨：判断集合间关系的3种方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．描述法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系.【变式训练】1．设集合M |x ＝k 2＋14，k ∈ZN |x ＝k4＋12，k ∈(A )A ．M NB ．M ＝NC ．N MD ．M ∩N ＝∅[解析]分别将集合M ，N 中的x 通分，分母相同，只需比较分子即可．对于集合M ：x ＝k 2＋14＝2k ＋14，k ∈Z ，当k ∈Z 时，2k ＋1为奇数，对于集合N ：x＝k 4＋12＝k ＋24，k ∈Z ，当k ∈Z 时，k ＋2为整数，故M N ，故选A.2．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围是(A )A ．(－∞，2]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．[0,2][解析]当B ≠∅时，要满足B⊆A ，－m ≥－1，＋m ≤3，－m ≤1＋m ，解得0≤m ≤2；当B ＝∅时，1－m >1＋m ，此时m <0.综上，m 的取值范围为m ≤2.集合的基本运算——多维探究角度1集合的运算1.(2024·江苏盐城模拟)已知集合U ＝{x |1<x <6，x ∈N }，A ＝{2,3}，B ＝{2,4,5}，则(∁U A )∩B 等于(A )A ．{4,5}B ．{2,3,4,5}C ．{2}D ．{2,4,5}[解析]由题意得，U ＝{2,3,4,5}，又A ＝{2,3}，则∁U A ＝{4,5}，因为B ＝{2,4,5}，所以(∁U A)∩B＝{4,5}．故选A.[解析]集合M中的元素是被3除余1的数，集合N中的元素是被3除余2的数，所以集合∁U(M∪N)中的元素是被3整除的数，即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A.3．(多选题)(2022·潍坊质检)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是(BD)A．A∩B＝∅B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪∁R B＝{x|x≤－1或x>2}D．A∩∁R B＝{x|2<x≤3}[解析]∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，A不正确；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，B正确；∵∁R B＝{x|x<－2或x>2}，∴A∪∁R B＝{x|－1<x≤3}∪{x|x<－2或x>2}＝{x|x<－2或x>－1}，C不正确；A∩∁R B＝{x|－1<x≤3}∩{x|x<－2或x>2}＝{x|2<x≤3}，D正确．角度2利用集合的运算求参数1.已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是(B)A．(0,3)B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)[解析]因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A ，所以a 2－3a <0，解得0<a <3.又a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.2．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}≠∅，若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为_[2,3]__.[解析]由A ∩B ＝B 知，B ⊆A.又B ≠∅m －1≥m ＋1，＋1≥－2，m －1≤5，解得2≤m ≤3，则实数m 的取值范围为[2,3]．[引申1]本例2中若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}情况又如何？[解析]应对B ＝∅和B ≠∅进行分类．①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅，由例得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．[引申2]本例2中是否存在实数m ，使A ∪B ＝B ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析]由A ∪B ＝B ，即A ⊆B＋1≤－2，m －1≥5，≤－3，≥3，不等式组无解，故不存在实数m ，使A ∪B ＝B .[引申3]本例2中，若B ＝{x |m ＋1≤x ≤1－2m }，A B ，则m 的取值范围为(－∞，－3].[解析]＋1≤－2，－2m ≥5，解得m ≤－3.名师点拨：集合的基本运算的关注点1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解．【变式训练】1．(角度1)(2023·全国乙文，2,5分)设全集U＝{0,1,2,4,6,8}，集合M＝{0,4,6}，N＝{0,1,6}，则M∪∁U N＝(A)A．{0,2,4,6,8}B．{0,1,4,6,8}C．{1,2,4,6,8}D．U[解析]易得∁U N＝{2,4,8}，又M＝{0,4,6}，∴M∪∁U N＝{0,2,4,6,8}．故选A.2．(角度1)(2024·上海控江中学月考)设集合A＝{x∈Z|x2<4}，B＝{x|y＝x－1}，则A∩(∁R B)＝(C)A．{x|－2<x<1}B．{x|－2<x≤1}C．{－1,0}D．{－1}[解析]A＝{x∈Z|x2<4}＝{－1,0,1}，B＝{x|y＝x－1}＝[1，＋∞)，则∁R B ＝(－∞，1)，所以A∩(∁R B)＝{－1,0}，故选C.3．(多选题)(角度2)若集合A＝{x|x<a}，B＝{x|lg x≥0}，且满足A∪B＝R，则实数a的值可以为(AC)A．2B．－1C．1D．－2[解析]集合A＝{x|x<a}，B＝{x|lg x≥0}，由题意得B＝{x|x≥1}，因为A∪B＝R，所以a≥1.所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．故选AC.4．(角度2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是[－1，＋∞).[解析]∵B⊆A，①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2，②当B ≠∅m －1≤m ＋1，m －1≥－3，＋1≤4，解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)．名师讲坛·素养提升集合中的新定义问题非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}；②{x |x 2－6x ＋1≤0}|y ＝2x ，x ∈[1，4]其中是“互倒集”的序号是②③.[解析]①中，{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}，二次方程判别式Δ＝a 2－4，故－2<a <2时，方程无根，该数集是空集，不符合题意；②中，{x |x 2－6x ＋1≤0}，即{x |3－22≤x ≤3＋22}，显然0∉A ，又13＋22≤1x ≤13－22，即3－22≤1x ≤3＋22，故1x也在集合中，符合题意；|y ＝2x ，x ∈[1，，|12≤y≤，0∉A ，又12≤1y ≤2，故1y也在集合A 中，符合题意．名师点拨：集合新定义问题的“3定\”1．定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．2．定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．3．定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素．【变式训练】(多选题)(2024·重庆市长寿中学月考)若一个集合是另一个集合的子集，则这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合为“蚕食”，对于集合A＝{－1,0,2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的值可以为(ACD)A．0B．1C．12D．－1[解析]若B⊆A，则B＝∅，解得a≤0，故选AD；若两个集合有公共元素，则－1∈B，解得a＝2，若2∈B，解得a＝12，经检验符合题意，故选C.因此选ACD.提能训练练案[1]A组基础巩固一、单选题1．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{m|m2－1∈A，m－1∉A}，则集合B中所有元素之和为(C)A.0B．1C．－1D．2[解析]根据题意列式求得m的值，即可得出答案．根据条件分别令m2－1＝－1,0,1，解得m＝0，±1，±2，又m－1∉A，所以m＝－1，±2，B＝{－1，2，－2}，所以集合B中所有元素之和是－1，故选C.2．(2023·山西河津中学模拟)下列四个选项中正确的是(D)A．{1}∈{0,1}B．1⊆{0,1}C．∅∈{0,1}D．1∈{0,1}[解析]对于A：{1}⊆{0,1}，故A错误；对于B：1∈{0,1}，故B错误；对于C：∅⊆{0,1}，故C错误；对于D：1∈{0,1}，故D正确．故选D.3．下列各组集合中表示同一集合的是(B)A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}[解析]由集合元素的无序性，易知{2,3}＝{3,2}．故选B.4．(2023·天津，1,5分)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3}，B＝{1,2,4}，则A∪(∁U B)＝(A)A．{1,3,5}B．{1,3}C．{1,2,4}D．{1,2,4,5}[解析]由题意知∁U B＝{3,5}，∴A∪(∁U B)＝{1,3,5}，故选A.5．(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B ＝(B)A．{－1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{－1,4}[解析]B＝{x|0≤x≤2}，故A∩B＝{1,2}．故选B.6．设集合A，3，a2－3a，a＋2a＋B＝{|a－2|,0}．已知4∈A且4∉B，则实数a的取值集合为(D)A．{－1，－2}B．{－1,2}C．{－2,4}D．{4}[解析]由题意可得，①当a2－3a＝4且|a－2|≠4时，解得a＝－1或4.当a ＝－1时，集合A＝{2,3,4,4}，不满足集合中元素的互异性，故a≠－1；当a＝4时，集合A，3，4B＝{2,0}，符合题意．②当a＋2a＋7＝4且|a－2|≠4时，解得a＝－1，由①可得不符合题意．综上，实数a的取值集合为{4}．故选D.7．设集合M |x＝k3＋16，k∈ZN|x＝k6＋13，k∈结论正确的是(B)A．M＝N B．M NC．N M D．M∩N＝∅[解析]解法一：由题意知M，－12，－16，16，12，56，76，N，－16，0，16，13，12，23，56，M N .故选B.解法二：M|x ＝2k ＋16，k ∈Z N|x ＝k ＋26，k ∈2k ＋1表示所有奇数，而k ＋2表示所有整数(k ∈Z )，∴M N .故选B.8．(2023·全国乙理，2,5分)设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x <1}，N ＝{x |－1<x <2}，则{x |x ≥2}＝(A )A ．∁U (M ∪N )B ．N ∪∁U MC ．∁U (M ∩N )D ．M ∪∁U N[解析]集合M ，N在数轴上的表示如图．由图可知∁U (M ∪N )＝{x |x ≥2}．二、多选题9．(2022·全国模拟预测)设集合A ＝{2，a 2－a ＋2,1－a }，若4∈A ，则a 的值为(BC )A ．－1,2B ．－3C ．2D ．3[解析]由集合中元素的确定性知a 2－a ＋2＝4或1－a ＝4.当a 2－a ＋2＝4时，a ＝－1或a ＝2；当1－a ＝4时，a ＝－3.当a ＝－1时，A ＝{2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去；当a ＝2时，A ＝{2,4，－1}满足集合中元素的互异性，故a ＝2满足要求；当a ＝－3时，A ＝{2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a ＝－3满足要求．综上，a ＝2或a ＝－3.故选BC.10．已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |2a －3<x <a －2}，下列说法正确的是(AD )A ．不存在实数a 使得A ＝BB ．当a ＝4时，A ⊆BC ．当0≤a ≤4时，B ⊆AD ．存在实数a 使得A ⊆(∁R B )[解析]由集合相等列方程组验算；选项B 由a ＝4得B ＝∅，故不满足A⊆B；选项C通过假设B⊆A求出实数a的取值范围可判定，通过举例判断D.若集合A＝B，a－3＝1，－2＝2，因为此方程组无解，所以不存在实数a使得集合A＝B，故选项A正确；当a＝4时，B＝{x|5<x<2}＝∅，不满足A⊆B，故选项B 错误，若B⊆A，则①当B＝∅时，有2a－3≥a－2，a≥1；②当B≠∅时，有<1，a－3≥1，－2≤2，此方程组无实数解；所以若B⊆A，则有a≥1，故选项C错误；当a＝1时，B＝∅，∁R B＝R，A⊆∁R B，故D正确，故选AD.11．已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B＝B，则下列关系一定正确的是(CD)A．A∩B＝∅B．A∩B＝BC．A∪B＝U D．(∁U B)∪A＝A[解析]令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁U A)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；由(∁U A)∪B＝B，知∁U A⊆B，∴U＝A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，由∁U A⊆B，知∁U B⊆A，∴(∁U B)∪A＝A，故C，D均正确．12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2<2x≤8}，则下列判断正确的是(CD)A．A∪B＝BB．(∁R B)∪A＝RC．A∩B＝{x|1<x≤2}D．(∁R B)∪(∁R A)＝{x|x≤1或x>2}[解析]因为x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}；因为2<2x≤8，所以1<x≤3，所以B＝{x|1<x≤3}．所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝{x|1<x≤2}．(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．三、填空题136a －1∈N |a ∈_{1,2,3,6}__.[解析]根据已知条件，先求出a 的值，即可求解．∵6a －1∈N 且a ∈N ，∴a －1＝1或a －1＝2或a －1＝3或a －1＝6，解得a ＝2或a ＝3或a ＝4或a ＝7，∴6a －1对应的值为6,3,2,16a －1∈N |a ∈{1,2,3,6}．14．(2024·九省联考试题)已知集合A ＝{－2,0,2,4}，B ＝{x ||x －3|≤m }，若A ∩B ＝A ，则m 的最小值为_5__.[解析]∵A ∩B ＝A ，∴m >0，∴B ＝[3－m,3＋m ]，－m ≤－2，＋m ≥4，∴m ≥5，故填5.15．(2022·天津模拟)已知集合A ＝{x |x 2＝x }，集合B ＝{x |1<2x <4}，则集合A 的子集个数为_4__；A ∩B ＝_{1}__.[解析]A ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，B ＝{x |1<2x <4}＝{x |0<x <2}，故集合A 的子集个数为N ＝22＝4，A ∩B ＝{1}．16．已知集合A ＝{x |(x －1)(x －3)<0}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∩B ＝_(2,3)__，A ∪B ＝_(1,4)__，(∁R A )∪B ＝_(－∞，1]∪(2，＋∞)__.[解析]由已知得A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2<x <4}，所以A ∩B ＝{x |2<x <3}，A ∪B ＝{x |1<x <4}，(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．17．(2024·衡水模拟)已知集合A ＝{x |0<x <1}，集合B ＝{x |－1<x <1}，集合C ＝{x |x ＋m >0}，若(A ∪B )⊆C ，则实数m 的取值范围是_[1，＋∞)__.[解析]∵集合A ＝{x |0<x <1}，集合B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |－1<x <1}，集合C ＝{x |x ＋m >0}＝{x |x >－m }，又(A ∪B )⊆C ，∴－m ≤－1，解得m ≥1.∴实数m 的取值范围是[1，＋∞)．B 组能力提升1．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤0}，B ＝{x |x 2≤4}，C ＝{x |x ∈B ，且x ∉A }，则集合C ＝(B )A．∅B．(0,2]C．[－3,2]D．[－3,4][解析]先根据一元二次不等式的性质求出集合B＝{x|－2≤x≤2}，然后再根据集合C中元素的特征即可求解．由题意可知：B＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，因为集合A＝{x|－3≤x≤0}，集合C＝{x|x∈B，且x∉A}，所以C＝(0,2]，故选B.2．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为(C)A．1B．2C．4D．8[解析]B＝{－1,1,3,5}，A∩B＝{1,3}，所以集合A∩B的子集个数为22＝4.3．(多选题)(2023·重庆北碚区模拟)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为(BD)A．{2,3,4}B．{3,4,5}C．{4,5,6}D．{3,5,6}[解析]由log2x<3得0<x<23，即0<x<8，于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，因为∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则有A∩B＝{3},3∈B，C不正确；若B＝{2,3,4}，则A∩B＝{2,3}，∁U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，A不正确；若B＝{3,4,5}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B正确；若B＝{3,5,6}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D正确．4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x|log2x≤1}，则A∩(∁U B)＝(D)A．(2,3]B．∅C ．[－1,0)∪(2,3]D ．[－1,0]∪(2,3][解析]集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2x ≤1}＝{x |0<x ≤2}，所以∁U B ＝{x |x ≤0或x >2}，所以A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤0或2<x ≤3}＝[－1,0]∪(2,3]，故选D.5．(2023·湖北孝感模拟)已知集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}，B ＝{x |x 2≤x }，则∁A ∪B (A ∩B )＝(C )A ．(－∞，0)B －12，1C ．(－∞，0)∪12，1D －12，0[解析]根据题意可知A ∞B ＝[0,1]，所以A ∪B ＝(－∞，1]，A ∩B＝0∁A ∪B (A ∩B )＝(－∞，0)∪12，1，故选C.6．(多选题)设集合A ＝{x |x ＝m ＋3n ，m ，n ∈N *)，若对于任意x 1∈A ，x 2∈A ，均有x 1⊕x 2∈A ，则运算⊕可能是(AC )A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法[解析]由题意可设x 1＝m 1＋3n 1，x 2＝m 2＋3n 2，其中m 1，m 2，n 1，n 2∈N *，则x 1＋x 2＝(m 1＋m 2)＋3(n 1＋n 2)，x 1＋x 2∈A ，所以加法满足条件，A 正确；x 1－x 2＝(m 1－m 2)＋3(n 1－n 2)，当n 1＝n 2时，x 1－x 2∉A ，所以减法不满足条件，B 错误；x 1x 2＝m 1m 2＋3n 1n 2＋3(m 1n 2＋m 2n 1)，x 1x 2∈A ，所以乘法满足条件，C正确；x 1x 2＝m 1＋3n 1m 2＋3n 2，当m 1m 2＝n 1n 2＝λ(λ>0)时，x 1x 2∉A ，所以除法不满足条件，D 错误．7．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝_－1__，n ＝_1__.[解析]A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.8．已知集合A x|y ＝log x －12B ＝{x |x <2m －1}，且A ⊆∁R B ，则m 的最大值是34.[解析]依题意，A x |y ＝log x －12x |x >12∁R B ＝{x |x ≥2m －1}，又A ⊆∁R B ，所以2m －1≤12，解得m ≤34.故m 的最大值为34.。

专题19 演绎推理与合情推理解题技巧【知识要点】1．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理．当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理．数学中常见的合情推理有：归纳和类比推理．(1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)演绎推理的一般模式——“三段论”①大前提——已知的一般性的原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论.证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想3.演绎推理演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法.是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.4.注意归纳和类比的结论的可靠性有待于证明.1．直接证明(1)从原命题的条件逐步推得命题成立的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(2)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．推证过程如下：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(3)从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的充分条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．推论过程如下：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件．P—表示条件，Q—表示要证的结论．2．间接证明——反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法的特点：先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．推论过程如下：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件．P—表示条件，Q—表示要证的结论．2．间接证明——反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做_________．(2)反证法的特点：先假设原命题__________成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．2.关于反证法使用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式、事实矛盾等.反证法的步骤：(1)反设；(2)推出矛盾；(3)下结论.矛盾的主要类型：(1)与假设矛盾；(2)与数学公式、法则、公理、定理、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾；(4)自相矛盾.1.数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法.它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善.2.证明代数恒等式的关键是第二步，将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式——凑结论.3.用数学归纳法证明不等式的关键是第二步，利用证明不等式的方法(如放缩)把式子化为n ＝k ＋1成立时的式子.4.用数学归纳法证明几何问题时，要注意结合几何图形的性质，在求由“n ＝k 到n ＝k ＋1”增加的元素个数时，可以先用不完全归纳法找其变化规律.5.由有限个特殊事例进行归纳、猜想，而得出一般性结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法，研究与正整数有关的数学问题，此方法尤为重要，如猜想数列的通项a n 或前n 项和S n ，解决与自然数有关的探索性、开放性问题等.这里猜想必须准确，证明必须正确.既用到合情推理，又用到演绎推理.猜想的准确与否可用证明来检验，否则不妨再分析，再猜想，再证明，猜想是证明的前提，证明可论证猜想的可靠性，二者相辅相成. 题型典例分析 1.归纳法例1已知数列{}{},n n a b 满足，，则2017b =（ ）A.20172018 B. 20182017 C. 20152016 D. 20162015练习1.将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……………则在表中数字2017出现在（ ）A. 第44行第80列B. 第45行第80列C. 第44行第81列D. 第45行第81列练习2. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，则按照以上规律，若具有 “穿墙术”，则n=A. 35B. 48C. 63D. 80练习3．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A. nB. 2n C. 1n - D. 1n +练习4.九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如： 2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则7S 为（ ） A. 1089 B. 680 C. 840 D. 2520故练习5. 如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．练习6．(导学号：05856327)观察下列等式：1＝12＋13＋16；1＝12＋14＋16＋112；1＝12＋15＋16＋112＋120；…，以此类推，1＝12＋16＋17＋＋120＋130＋142，其中n∈N*.则n＝________.练习7. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．A. (－3，－1)∪(1,2)B. (1,2)C. (－1,2)D. (－3,2)练习4 ．已知数列{a n}为等差数列，若a m＝a，a n＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则.类比上述结论，对于等比数列{b n}(b n>0，n∈N*)，若b m＝c，b n＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到b m＋n 等于()A. nB. mC. nD. m练习5. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是，则1227用算筹表示为（）A. B.C. D.练习6.ABC 的三边长分别为,,a b c ， ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则；类比这个结论可知: 四面体P ABC -的四个面的面积分别为，内切球的半径为R ，四面体P ABC -的体积为V ， R = ( )A. B.C.D.3.数学归纳法例3. 1．下面四个判断中，正确的是（ ） A. 式子，当1n =时为1B. 式子，当1n =时为1+kC. 式子，当1n =时为111++123D. 设，则练习1. 用数学归纳法证明时，从“到”左边需增乘的代数式为( )A. B. C. D.练习2. 如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N)个点，相应的图案中总的点数记为a n，则等于()A. 20122013B.20132012C.20142015D.201420134．分析法例4.淮北一中艺术节对摄影类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）.A. A作品B. B作品C. C作品D. D作品练习1.某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高。