1．曲线的极坐标方程．
(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．
(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．
极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．
(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．
2．直线的极坐标方程．
(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．
(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．
(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．
3．圆的极坐标方程．
(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．
(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．
(3)圆心在过极点且与极轴成π
2
的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，
如图3所示．
4．极坐标与直角坐标的互化．
若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内任意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ
或者ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，
其中要结合点所在的象限确定角θ的值．
1．曲线的参数方程的定义．
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．
2．常见曲线的参数方程．
(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：
⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)， 其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．
根据t 的几何意义，有以下结论：
①设A ，B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2
－4t A ·t B ；
②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B 2.
(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ.
中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧x ＝x 0＋acos α，
y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．
(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p (t 为参数，p>0)． 注：sec θ＝1cos θ.
3．参数方程化为普通方程．
由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x ，y 的限制．
1．已知点A 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A 的直角坐标是(2，－23)．
2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π6．
3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2
＋(y －2)2
＝4．
4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6．
5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩
⎪⎨
⎪⎧x ＝3cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．
解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y
2
4＝1.所以椭
圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.
