小波分析

小波分析摘要小波分析是将小波函数和小波理论结合起来，解决图像和信号处理的一门学科，并且在科技信息产业得以广泛应用。

若将图像作为二维信号，那么信号和图像处理就可以归并为信号处理。

对于理想状态，即不随时间变化的稳定信号，多数情况下使用傅里叶分析。

然而实际工作中不稳定的信号居多，故此专用于处理非稳定信号的小波分析较傅里叶分析的使用情况更为普遍。

关键词小波分析，小波函数，小波去噪，支持向量机（SVM）1．引言统计学是通过对数据在收集，整理，分析的过程中，得到该数据的本质特征，并根据已知数据所表现出来规律对事物的未来发展进行预测的科学。

作为近几年应用广泛并且发展迅速的学科之一，统计学的范围也是非常广泛的。

常用的分析数据方法有高等代数里面的线性代数方程组，矩阵特征值的求法，常微分方程里的微分方程数值解法，数学分析里的函数的数值逼近问题，运筹学里面的最优化计算问题，以及统计学专业里的傅里叶变换，通过小波函数和小波分析的方法等，至于分析数据的软件，最常用的非专业一点儿是SPSS，SAS 则是相对来说比较专业的需要编程用的统计分析软件，以及在函数拟合方面有很大优势的SVM（支持向量机）。

另外，对于数据分析过程中的数据挖掘，可以使用CLEMENTINE，而在经济学范畴的则可以利用计量经济学中的E-PLUS和STSTE来分析数据。

下面简单说说傅里叶变换和小波分析。

传统的傅里叶变换是常用的分析信号的方法，但它有两点局限性：一方面，其三种形式下的傅里叶系数是不随时间变化而变化的常数，只能用于处理平稳信号，也就是有频谱成分不变的这个限制。

然而，在对频谱不变的稳定信号进行处理时，误差的存在对分析结果有很大的误导性，但这又是不可避免的。

而另一方面，傅里叶系数的求法是在全时间域上取加权平均，这样一部分突变信息就被正负相互消除，因而突变信息的作用就被忽略，不能在傅里叶变换中表现出来。

基于上述傅里叶变换的局限性，用来替代的一种更好的方法——小波分析进入了研究者的视线并逐渐得到了青睐。

首先，小波系数的变化，是随着频率的不同而改变的，在不同时刻，即使是对于同一个频率指标，小波系数也是不同的。

因为小波级数是对数据的两重求和，有频率和时间双指标。

其次，各个频率水平下小波系数的求法，针对不同的时刻，只需用到这个时刻旁边的信息即可，因为紧支撑，即某一区间外为零是小波函数特有的性质[1]。

小波分析最为重要的应用就是滤波，而小波函数必不可少的线性相位是为了在对滤波的处理中不失真。

另外在连续小波函数中，还可以对突变信号进行捕捉和分析。

因此，小波函数也成为很多专家学者在处理和数据时最常用的方法之一。

本文首先介绍了小波分析发展的历史，作为统计学里数据分析的主要方法，小波分析是怎样从原始的绳结计数，逐步发展成初等数学，再到高等数学，最终统计学也发展成熟，而小波分析也成为统计学中一个重要的方法。

接下来是小波分析的应用。

小波分析既然是一个重要的分析方法，那么他在实际生活中能解决什么具体问题呢？本文将通过小波去噪的例子来说明小波分析在统计学，乃至生活中的实用性和重要性。

其次，既然介绍了历史，应用，那么究竟什么是小波分析，为什么他这么重要，他在解决具体问题的时候，方法步骤又是什么。

所以本文将会从理论方面作为切入点，系统的介绍一下什么是小波分析。

为了使结果更加直观，将会对一组已知的数据运用小波分析的方法进行试验，看看经过小波分析后的数据是什么样子的，看看这样的结果对于我们去解决实际问题有什么帮助。

最后是总结。

众所周知小波分析只是统计学中处理数据的一种方法。

那么小波分析和其他方法相比，优势是什么，弊端又是什么。

就针对各种方法对已知的数据的处理结果，本文会进行简单的对比分析，得出一个结论，究竟在什么条件下运用小波分析的方法解决问题最为合适。

2.小波介绍2.1 数学的发展对于数据的统计分析，最早起源于古巴比伦人，随后是上古时期中国人，随后公元前五世纪的初等数学，延续了两千多年后到公元十七世纪，高等数学时期正式登上历史舞台。

高等数学不同与其他学科的特征主要有两点：微积分是数学分析的基础，其对变量的研究是它的特征之一。

现实中的事物多是有限的，而无穷作为对他们本质的概括，是又一个鲜明的特征。

2.2 小波函数随着高等数学的蓬勃发展，在二十世纪初期，一个发展与若干相异的思路息息相关的“小波”出现了，它像炎炎夏日里一阵清凉的风，为高等数学的发展开辟了又一条道路，并且逐渐登上了数学历史的舞台。

在当时对小波函数理论有较为杰出贡献的是 Jean Morlet 和Pierre Goupillaud，以及 Alex Grossman。

第一个出现的小波，即哈尔小波（Haar），由 Alfred Haar 在1909年给出；五十年代以来有 Jean Morlet 以及 Alex Grossman ；而Yves Meyer，Stephane Mallat，Ingrid Daubechies，Ronald Coifman，Victor Wickerhauser [2]则是在八十年代前后提出的。

2.3 小波变换小波变换概念的首次出现是在1974年，由在法国进行石油信号处理，地质物理学家J.Morlet 提出的。

虽然他的理论没有得到当时专业人士的认可，但是他的成就—通过物理学方面的知识，物理的信号处理和直观的实际需要，相应的建立了反演公式，还是为后人的研究提供了宝贵的参考资料。

小波分析是由法国的数学科学研究者Grossman 和 Morlet 在针对地震的信号进行分析[3]的时候提到了平移，伸缩在二十世纪八十年代中期前后发现并迅速发展的一门基于数学理论的方法。

2.3 小波变换理论2.3.1 发展小波变换理论在上个世纪七十年代，A.Calderon 和Hardy[4]分别发表的对于定理的发现，空间的原子分解机无条件基的深入研究，给小波变换理论的诞生奠定了坚实的理论基础。

同时J.O.Stromberg 还构筑了一种和现在特别相近的小波基，尽管在当时没有引起数学界的关注。

随后Meyer在1985证明了小波函数的存在性，进一步的理论研究上进行了深入，并且是在一维空间的前提下。

Mallat在多分辨的分析思想上，提出了Mallet算法，这在小波应用的发展之路上铺下了一块非常重要的基石。

终于到了1986年，数学家在一个很偶然的条件下构造出了小波基，同时，在与S.Mallat 一起建立并统一了多尺度分析，即构造小波基的方法之后，小波基才逐渐广为人知并得以大量运用。

之后的比利时科学家I.Daubechies 的潜心著作《小波十讲》（Ten Lectures on Wavelets ）[5]，着重分析了小波基的应用范围，对小波的蓬勃发展起到了推波助澜的作用。

2.3.2 连续小波变换ϕ(t)∈2(R)N 2(N (R)))表示能量有限的信号空间，平方可积的实数空间里 Fourier ϕω∧其变换为（）。

ϕω∧当（）满足容许条件 2()R d C ϕϕωωω∧=⎰ （2-1）＜∞时，称(t)ϕ为一个Mother Wavelet ，即基小波或母小波。

将基小波(t)ϕ经过平移，伸缩后，就可以得到一个小波序列： 1/2,(t)a b t a ab ϕϕ--⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2-2）2.4 小波2.4.1 小波定义小波是朝着稀疏表示的方向选择和收缩系数，用完全标准的正交基来表示函数。

具有很少一部分孤立隆起的函数，是可以用很少一部分隆起的基函数表示的，就像光滑的函数是可以用很少一部分样条的基函数表示是一种类型的。

小波基在进行压缩方面以及信号处理的工作时是非常方便且受欢迎的，因为它运用其自身独特的方式，使得被称做频率和时间局部性的一种现象，局部隆起或者是光滑的函数被清晰有效的表示出来。

如上图所示，纵轴Ψ指小波不同的频率，其标度有高有低。

然而现实中，在每一个标度下，小波都会并排地完全将时间轴填满。

小波利用最小二乘的方法拟合小波基的系数，然后自动过滤掉相比之下比较小的，只需保留有效的系数。

介于每个不同频率标度下都有很多的基函数，故而可以丢弃掉不需要的而使用有效的部分，这样可以更准确的得到频率和时间的局部性。

2.4.2 小波基函数由上述小波定义介绍，可以得到小波基函数如下三个特点：（1）波动性。

因为由（2-1），()d t 0R ϕ=⎰，也就是直流分量为0，所以可以断定小波具有波动性，其表现形式为正负交替的。

（2）带通性，因为()(t)dt 0R oωϕωϕ∧===⎰，所以可得出(t)ϕ具有带通性。

（3）紧支性，由于2(t)(R)N ϕ∈，(t)R dt ϕ∞⎰，则表明(t)ϕ具有快速的衰减性。

另外，小波中“小”的来源，就是因为是局部非零的具有紧支性的函数。

2.5 一维小波分解函数2.5.1 对常用的函数比如dwt、wavedec、appcoef的常用格式进行举例说明。

[ca, cd]=dwt(X,’wname’) % 单尺度一维离散小波分解[C, L]=wavedec(X,N,’wname’) %多尺度一维小波分解（多分辨分析函数）ca=appcoef(C,L,’wname’,N) % 提取一维小波变换低频系数对此有三点说明：（1）小波分解函数和系数提取函数的结果都是分解系数；（2）小波系数是信号在做小波分解时所选择的小波函数空间的投影。

就像我们知道的，一个信号可以分解为一组三角函数之和的傅里叶级数，而傅里叶变换又一一对应于傅里叶级数的系数；同样，一个信号可以用一组小波基函数之和来表示，那么小波的系数就自然对应于这组小波基函数的系数。

（3）多尺度分解的过程是严格根据多分辨分析理论进行的，分解的尺度越大，分解系数的长度就越小，其值往往是上一个尺度的二分之一。

通过这样的分解，不难发现得到的小波低频系数的变化规律和原始信号相似，但要同时可以发现低频系数的数值和长度与原始信号以及之后重构得到的各层信号是不一样的。

2.5.2 举例%载入原始信号load leleccum;s=leleccum(1:3920);ls=length(s);（1）单尺度一维离散小波分解函数dwt的应用[ca1,cd1]=dwt(s,'db1'); %用小波函数db1对信号s进行单尺度分解figure(1);subplot(411); plot(s); ylabel('s');title('原始信号s及单尺度分解的低频系数ca1和高频系数cd1');subplot(423); plot(ca1); ylabel('ca1');subplot(424); plot(cd1); ylabel('cd1');注：figure(1)中原始信号s的长度是3920，为ca1和cd1的长度1960的二倍。