高考数学优质专题（附经典解析）
三点共线问题
基本方法：
三点共线问题解题策略一般有以下几种：
①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；
②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；
③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；
④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，再证明第三点也在该直线上;
⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.
⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线.
在处理三点共线问题时，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.
一、典型例题
1．已知椭圆2
2:12x C y +=，41,33M ?? ???
为椭圆上一点，若,R S 是椭圆C 上的两个点，线段RS 的中垂线l 的斜率为12
且直线l 与RS 交于点P ，O 为坐标原点，求证：,,P O M 三点共线．
2．已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率
e =．过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，
交椭圆于A 、B 两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；
（3）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．
二、课堂练习
1．抛物线2:4C y x =，已知斜率为k 的直线l 交y 轴于点P ，且与曲线C
相切于点A ，点B 在曲线C 上，且直线PB x 轴，P 关于点B 的对称点为Q ，判断点,,A Q O 是否共线，并说明理由.
2．已知椭圆22
143x y +=，点F 是椭圆的右焦点. 是否在x 轴上存在定
点D ，使得过D 的直线l 交椭圆于,A B 两点.设点E 为点B 关于x 轴的对称点，且,,A F E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由.
三、课后作业
1. 已知抛物线2:4C y
x =的焦点为F ，直线l 过点()1,0-，直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . 证明：,,B F D 三点共线.
2．已知椭圆:E 22
162x y +=，其右焦点为F ，过x 轴上一点()3,0A 作直线l
与椭圆E 相交于,P Q 两点，设(1)AP AQ λλ=>，过点P 且平行于y 轴的直线与椭圆E 相交于另一点M ，试问,,M F Q 是否共线，若共线请证明；反之说明理由.
3．已知椭圆22
:132x y E +=，过定点()3,4P -且斜率为k 的直线交椭圆E 于
不同的两点,M N ，在线段MN 上取异于,M N 的点H ，满足PM
MH
PN
NH =，证明：点H 恒在一条直线上，并求出这条直线的方程.
解析几何的经典结论
点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离 以焦点半径PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 2 2 x y x)x y 0 y 2 2= 1上，则过P °的椭圆的切线方程是 ~2 ~2 1. a b a b 2 2 第+打=1外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 P 、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是辱+_^?=1. a 2 b 2 a 2 b 2 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 MN 两点，_则MF 丄NF. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和氏Q 交于点M AP 和AQ 交于点N,则MF 丄NF. 二、双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△ PF .F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交 . 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .(内切：P 在右支；外切：P 在左支) 2 2 5. 若F 0(X 0,y °)在双曲线 务…占=1 ( a> 0,b > 0 )上，则过F 0的双曲线的切线方程是 x -出^=1. a b a b 2 2 x y 6. 若P 0(x 0,y 0)在双曲线 — 2 =1 (a > 0,b > 0 )外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为 R 、P 2,则切点弦P 1P 2的直线 a b 方程是彎一智九 有关解析几何的经典结论 、椭 圆 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. x 2 y 2 椭圆 2 =1 (a > b> 0)的左右焦点分别为 F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点.F 1PF^ '■，则椭圆的焦点角形的面积为 b 2 1 2 2 =b ta n 2 2 y_ 2 a 2 S F 1PF 2 X 2 椭圆二 2 =1 ( a> b > 0)的焦半径公式： a b I MF 1 | = a ex o , IMF 2 | = a - ex o ( F,-c,0) , F 2(c,0) M (x °, y °)). 若F 0(x °, y °)在椭圆 若F 0(x °, y °)在椭圆 2 2 AB 是椭圆x 匕 2 . 2 a b =1的不平行于对称轴的弦， M (x 0, y 0)为AB 的中点，_则k OM k AB = b 2 即K AB b x ° 2 a y ° F 0(x °, y °)在椭圆 _ _ 2 x y x)x y 0y x 0 2 2 =1内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 ~2 - b a b 2 _ a 2 F 0(x °, y °)在椭圆 2 x ~~2 a 2 2 2 ■占 二1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 —2 ■ ^2 b 2 a 2 b 2 X 0X y °y a 2 b 2
证明三点共线问题的方法 1、利用梅涅劳斯定理的逆定理 例1、如图1，圆内接ΔABC 为不等边三角形，过点A 、B 、C 分别作圆的切线依次交直线BC 、CA 、AB 于1A 、1B 、1C ，求证：1A 、1B 、1C 三点共线。 解：记,,BC a CA b AB c ===，易知1111AC C CC B S AC C B S ??= 又易证1 1 AC C CC B ?? .则112 2 2AC C CC B S AC b S CB a ????== ???. 同理12121212,BA c CB a A C b B A c ==.故111222 1112221AC BA CB b c a C B A C B A a b c ??=??=. 由梅涅劳斯定理的逆定理，知1A 、1B 、1C 三点共线。 2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线） 例2 、如图，以锐角ΔABC 的一边BC 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的两条切线，切点为M 、N ，点H 是ΔABC 的垂心.求证：M 、H 、N 三点共线。(96中国奥数 证明：射线AH 交BC 于D ，显然AD 为高。 记AB 与⊙O 的交点为E ，易知C 、H 、E 三点共线。 联结OM 、ON 、DM 、DN 、MH 、NH ， 易知090AMO ANO ADO ∠=∠=∠=， ∴A 、M 、O 、D 、N 五点共圆，更有A 、M 、D 、N 四点共圆， 此时，0+180AND ∠∠=AMD 因为2AM AE AB AH AD =?=?（B 、D 、H 、E 四点共圆）， 即 AM AD AH AM = ；又MAH DAM ∠=∠，所以AMH ADM ?? ，故AHM AMD ∠=∠ 同理，AHN AND ∠=∠。 因为0180AHM AHN AMD AND ∠+∠=∠+∠=，所以，M 、H 、N 三点共线。 3、利用面积法 如果S S EMN FMN =??，点E 、F 位于直线MN 的异侧，则直线MN 平分线段EF ，即M 、N 与 EF 的中点三点共线。 A B C C 1 B 1A 1
高三数学解答题难题突破 圆锥曲线中的三点共线问题 【题型综述】 三点共线问题证题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”. 【典例指引】 类型一 向量法证三点共线 例1 （2012北京理19）（本小题共14分）已知曲线C :22 (5)(2)8m x m y -+-=（m R ∈） (Ⅰ)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围； (Ⅱ)设m =4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N 三点共线.
MB方程为： 6 2 M M kx y x x + =-，则 3 1 6 M M x G kx ?? ? + ?? ，， ∴ 3 1 6 M M x AG x k ?? =- ? + ?? ，，()2 N N AN x x k =+ ，， 欲证A G N ，，三点共线，只需证AG，AN共线 即 3 (2) 6 M N N M x x k x x k +=- + 成立，化简得：(3)6() M N M N k k x x x x +=-+ 将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。 类型二斜率法证三点共线 例2.（2017?上海模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N． （1）求直线FN与直线AB的夹角θ的大小； （2）求证：点B、O、C三点共线．
三点共线与三线共点的证明方法 公理 1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面； 推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。 公理 3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 例1.如图，在四面体ABCD中作截图PQR， PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K．求证M、N、 K三点共线． 由题意可知，M、N、K分别在直线PQ、
RQ 、RP 上，根据公理1可知M 、N 、K 在平面PQR 上，同理，M 、N 、K 分别在直线CB 、DB 、DC 上，可知M 、N 、K 在平面BCD 上，根据公理3可知M 、N 、K 在平面PQR 与平面BCD 的公共直线上，所以M 、N 、K 三点共线． 例2.已知长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1AA 与AB 的中点，求证：1 D M 、DA 、CN 三线共点． 由M 、N 分别为1AA 与AB 的中点知1//MN A B 且112MN A B =，又1A B 与1D C 平行且相等，所以1//MN D C 且112MN D C =，根据推论3可知M 、N 、C 、1D 四点共面，且1D M 与CN 相交，若1D M 与CN 的交点为K ，则点K 既在平面11ADD A 上又在平面ABCD 上，所以点K 在平面11ADD A 与平面ABCD 的交线DA 上，故1 D M 、DA 、CN 三线交于点K ，即三线共点． 从上面例子可以看出，证明三线共点
立体与平面解析解析几何 1. 常见多面体：棱柱，棱锥，棱台 常见的旋转体：圆柱，圆锥，圆台，球 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α 直线一般用小写英语字母a, b, l或者大写字母直线上的两个点AB表示。 点与平面的关系：点A在平面内，记作；点不在平面内， 记作 点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A l； 直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。 4. 四个公理 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 符号语言 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 5. 直线和平面之间的位置关系 ★线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此 平面平行 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平
面的交线与该直线平行 ★面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ★线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 ★面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直 ⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 6. 思考途径 证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为二直线同与第三条直线平行； （2）转化为线面平行； 证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为线线平行； （2）转化为面面平行. 证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为线面平行； （2）转化为线面垂直. 证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为线面垂直； （2）转化为线与另一线的射影垂直； 证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （2）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （3）转化为该直线垂直于另一个平行平面； 证明平面与平面的垂直的思考途径
三点共线与三线共点的证明方法 公理1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面； 推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。 公理3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 例1.如图，在四面体ABCD 中作截图PQR ，PQ 、CB 的延长线交于M ，RQ 、DB 的延长线交于N ，RP 、DC 的延长线交于K ．求证M 、N 、K 三点共线． 由题意可知，M 、N 、K 分别在直线PQ 、RQ 、RP 上，根据公理1可知M 、N 、K 在平面PQR 上，同理，M 、N 、K 分别在直线CB 、 DB 、DC 上，可知M 、N 、K 在平面BCD 上， 根据公理3可知M 、N 、K 在平面PQR 与平面BCD 的公共直线上，所以M 、N 、K 三点共线． 例2.已知长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1AA 与AB 的中点，求证：1D M 、DA 、CN 三线共点． 由M 、N 分别为1AA 与AB 的中点知1//MN A B 且112MN A B =，又1A B 与1D C 平行且相等，所以1//MN D C 且112MN D C =，根据推论3可知M 、N 、C 、1D 四点共面，且1D M 与CN 相交，若1D M 与CN 的交点为K ，则点K 既在平面11ADD A 上又在平面ABCD 上，所以点K 在平面11 ADD A
与平面ABCD的交线DA上，故 D M、DA、CN三线交于点K，即三线 1 共点． 从上面例子可以看出，证明三线共点的步骤就是，先说明两线交于一点，再证明此交点在另一线上，把三线共点的证明转化为三点共线的证明，而证明三点共线只需要证明三点均在两个相交的平面上，也就是在两个平面的交线上。
向量法证明三点共线的又一方法及应用 蒋李萍 201１年１0月2４日 平面向量既具有数量特征,又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 原题 已知OB λOA μOC =+，其中1λμ+=. 求证:A 、B 、C 三点共线 思路:通过向量共线(如AB k AC =)得三点共线. 证明:如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+ ∴()OB OA μOC OA -=- ∴AB μAC = ∴A 、B 、C 三点共线. 思考：１. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O 具有灵活性; ２. 反之也成立(证明略):若A 、B 、C 三点共线,则存在唯一实数对λ、μ，满 足OB λOA μOC =+,且1λμ+=．揭示了三点共线的又一个性质; 3. 特别地,12λμ== 时,1 ()2 OB OA OC =+，点B 为AC 的中点,揭示了OAC 中线OB 的一个向量公式,应用广泛． 应用举例: 例1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且1 3 BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明BN λBM μBC =+,且1λμ+=. 证明:由已知BD BA BC =+,又点N 在BD 上,且1 3 BN BD = ,得 1111()3333BN BD BA BC BA BC ==+=+ 又点M 是AB 的中点, 1 2BM BA ∴=,即2BA BM = 21 33BN BM BC ∴=+ 而21133 += ∴M 、N 、C 三点共线． D A B C M N
平面向量中“三点共线定理”妙用 对平面内任意的两个向量b a b b a //),0(, 的充要条件是：存在唯一的实数 ，使b a 由该定理可以得到平面内三点共线定理： 三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点 的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB u u u v u v u u u v 且1x y 。 特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y 当点P 在线段AB 之外时，0xy 笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点 共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。 例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若 1200OB a OA a OC u u u r u u u r u u u r ，且A 、B 、C 三点共线， （设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100 B ．101 C ．200 D ．201 解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200() 1002 a a S ,故选A 。 点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。 例2 已知P 是ABC 的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP .,，则y x 4 1 的最小值是 解：Q 点P 落在ABC V 的边BC 上 B ，P,C 三点共线 AP xAB yAC u u u r u u u r u u u r Q 1x y 且x>0,y>0 14141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y Q x>0,y>040,0y x x y 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y ，取等号时
初中数学竞赛：证明三点共线 【内容提要】 1.要证明A，B，C三点在同一直线上， 常用方法有：①连结AB，BC证明∠ABC是平角 ②连结AB，AC证明AB，AC重合 ③连结AB，BC，AC证明AB＋BC＝AC ④连结并延长AB证明延长线经过点C 2.证明三点共线常用的定理有： ①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ②经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 ③三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 ④梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半 ⑤两圆相切，切点在连心线上 ⑥轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上 【例题】 例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，点P是形内的任一点，PM⊥AB， PN⊥CD 求证：M，N，P三点在同一直线上 ∵AB∥CD，∴EF∥CD ∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180 ∵PM⊥AB，PN⊥CD ∴∠1＝90 ，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180 ∴M，N，P三点在同一直线上 例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上 已知：平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点，O是AC和BD的交点
求证：M ，O ，N 三点在同一直线上 证明一：连结MO ，NO ∵MO ，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线 ∴MO ∥AB ，NO ∥AB 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ∴ M ，O ，N 三点在同一直线上 证明二：连结MO 并延长交BC 于N ， ∵MO 是△DAB 的中位线 ∴MO ∥AB 在△CAB 中 ∵AO ＝OC ，ON ， ∥AB ∴BN ， ＝N ， C ，即N ， 是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点， ∴点N ，和点N 重合 ∴ M ，O ，N 三点在同一直线上 例3.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90 ，M ，N 分别是AB 和CD 的中点，BC ，AD 的延长线相交于P 求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：∵∠A ＋∠B ＝90 ， ∠APB ＝Rt ∠ 连结PM ，PN 根据直角三角形斜边中线性质 PM ＝MA ＝MB ，PN ＝DN ＝DC ∴∠MPB ＝∠B ，∠NPC ＝∠B ∴PM 和PN 重合 ∴M ，N ，P 三点在同一直线上 ,
解析几何归纳总结 1、直线与圆的方程 对于直线方程，要理解直线的倾斜率和斜率的概念，掌握点到直线的距离公式等，特别是直线方程的几种形式 对于圆的方程，要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法，如求解圆的方程的待定系数法、圆的圆心与半径的配方法、求圆的弦心距的构造直角三角形法、判断直线与圆、圆与圆的位置关系的几何法、求圆的切线的基本方法等 例1：若直线 1x y a b +=通过点M （cos α,sin α）,则 A 221a b +≤ B 221a b +≥ C 22111a b +≤ D 22111a b +≥ 2、圆锥曲线的定义、标准方程 圆锥曲线的定义一般涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理解三角形等。 例2：（1）已知12,F F 为双曲线C ：22 2x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，122PF PF =,cos 12F PF ∠=___________________ （2）已知12,F F 为双曲线C: 22 1x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=?，则P 到x 轴的距离为___________ （3）已知12,F F 为双曲线C: 22 1927 x y -=的左、右焦点，点A 在C 上，M （2，0），AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF =____________________ （4）已知抛物线C ：2 4y x =的焦点为F ，直线y=2x-4与C 交于A,B 两点，则cos AFB ∠=___________ 3、圆锥曲线的离心率 求离心率的值（或其取值范围）的问题是解析几何中常见的问题，常规求值问题需要找等式，求范围问题需要找不等式：其归纳结底是利用定义寻求关于a,b,c 的相应关系式，并把式中的a,b,c 转化为只含有a,c 的齐次式或不等式，再转化为含e 的关系式，最后求解。小题中常涉及焦半径等，可利用第二定义来解决，避免了复杂的运算。 例3（1）已知F 为椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交在C 于点 D ，且2BF DF = ,则C 的离心率为_____________ （2）已知抛物线C ：2 2y px =（p>0）的准线为l ，过M （1，0l 交于点A ，与C 的一个交点为B,若AM MB = ，则p=_______________ 4、直线与圆锥曲线问题的常规解题方法
用向量证明三线共点与三点共线问题 山东徐鹏 三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则 简捷得多． 证明A、 B、 C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明AB AC ．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上． 例 1．证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A、B、C 共线，则存在实数、，且1， A B C O 图1 使得OC OA OB ；反之，也成立． 的终点 A 、 B 、 C 共线，则证明：如图 1 ，若OA 、OB 、 OC AB BC BC m AB BC OC OB AB OB OA OC OB m(OB OA) OC mOA (1 m)OB m, 1 m, , ,且1, OC OA OB OC OA OB 1, 1 OC OA (1 )OB OC OB OA OB BC BA BC和 BA OA OB OC 例 2．证明：三角形的三条中线交于一点． 证明：如图 2，D、E、F 分别是ABC三边上的中
C D E G A F B 图２ 点． 设 CA a, CB b, AD BE G．设 AG AD, BG BE ．则 AG AB BG (b a) BE (b a) ( BC 1 CA) b a ( 1 a b) 1 ( 2 1 b) 2 1 b 1）a (1 )b ，又 AG AD (AC CD) ( a a 2 2 2 1 1 2 2 3 所以解得 1 2 1 2 3 则 CG CA AG a 2 AD a 2 ( a 1 b) 1 a 1 b 1 1 3 2 3 2 3 3 CF a b，所以 CG CF ，所以G在中线CF上，所以三角形三条中线交于一点． 2 2 3
第三章 平面与空间直线 版权所有，侵权必究 §3.1 平面的方程 1．平面的点位式方程 在空间给定了一点M 0与两个不共线的向量a ，b 后，通过点M 0且与a ，b 平行的平面π 就惟一被确定. 向量a ，b 叫平面π 的方位向量. 任意两个与π 平行的不共线的向量都可作为平面 π 的方位向量. 取标架{}321,,;e e e O ，设点M 0的向径0r =0OM ={}000,,z y x ， 平面π 上任意一点M 的向径为r =OM = {x ，y ，z }（如图）. 点M 在平面π上的充要条件为向量M M 0与向量a ，b 共面. 由于a ，b 不共线，这个共面的条件可以写成 M M 0= u a ＋v b 而M M 0= r －r 0，所以上式可写成 r = r 0＋u a ＋v b (3.1－1) 此方程叫做平面π 的点位式向量参数方程，其中u ，v 为参数. 若令a = {1X ，1Y ，1Z }，b = {2X ，2Y ，2Z }，则由(3.1－1)可得 ?????++=++=++=v Z u Z z z v Y u Y y y v X u X x x 210210210 (3.1－2) 此方程叫做平面π 的点位式坐标参数方程，其中u ，v 为参数. (3.1－1)式两边与a ×b 作内积，消去参数u ，v 得 (r －r 0，a ，b ) = 0 (3.1－3) 此即 2 2 2 111000Z Y X Z Y X z z y y x x ---=0 (3.1－4)
这是π 的点位式普通方程. 已知平面π上三非共线点i M （i = 1，2，3）. 建立坐标系{O ；e 1, e 2, e 3}，设r i = i OM ={i x ， i y ，i z }，i = 1，2，3. 对动点M ，设r =OM ={x ，y ，z }，取21M M 和31M M 为方位向量，M 1 为定点，则平面π的向量参数方程，坐标参数方程和一般方程依次为 r = 1r ＋u(2r －1r )＋v(3r －r 1) (3.1－5) ?????-+-+=-+-+=-+-+=)()()()() ()(131211312113121z z v z z u z z y y v y y u y y x x v x x u x x (3.1－6) 1 31 31 3121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------= 0 (3.1－7) (3.1－5)，(3.1－6)和(3.1－7)统称为平面的三点式方程. 特别地，若i M 是π 与三坐标轴的交点，即1M (a ，0，0)，2M (0，b ，0)，3M (0，0，c )，其中abc ≠0，则平面π 的方程就是 c a b a z y a x 00---=0 (3.1－8) 即 1=++c z b y a x (3.1－9) 此方程叫平面π的截距式方程，其中a ，b ，c 称为π 在三坐标轴上的截距. 2．平面的一般方程 在空间任一平面都可用其上一点M 0(x 0，y 0，z 0)和两个方位向量a = {1X ，1Y ，1Z }，b = {2X ，2Y ，2Z }确定，因而任一平面都可用方程将其方程(3.1－4)表示. 将(3.1－4)展开就可写成 Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0 (3.1－10) 其中 A = 22 11 Z Y Z Y ，B =2 2 11X Z X Z ，C = 2 21 1 Y X Y X 由于a = {1X ，1Y ，1Z }与b = {2X ，2Y ，2Z }不共线，所以A ，B ，C 不全为零，这说明空间任一平面都可用关于a ，b ，c 的一三元一次方程来表示. 反之，任给一三元一次方程(3.1－10)，不妨设A ≠0，则(3.1－10)可改写成 02=++??? ? ? +ACz ABy A D x A
三点共线经典题型 例1如图△ABC，D是△ABC内的一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线，求证：AB=CD． 分析 由三角形的中位线得，MS∥AE，MS=0.5AE，HS∥CF，HS=0.5CF 由已知得HS=SM，从而得出∠SHM=∠SMH，则得出∠TGH=∠THG，GT=TH，最后不难看出AB=CD． 解答： 证明：取BC中点T，AF的中点S，连接GT，HT，HS，SM， ∵GHM分别为BD，AC，EF的中点， ∴MS∥AE，MS=0.5AE，HS∥CF，HS=0.5CF ∵GT∥CD，HT∥AB，GT=0.5CD，HT=0.5AB， ∴GT∥HS，HT∥SM ∴∠SHM=∠TGH，∠SMH=∠THG， ∴∠TGH=∠THG， ∴GT=TH，
∴AB=CD． 例2如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，△ADC内一点M满足∠AMC=120°，若直线BA与CM交于点P，直线BC与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线． 资料个人收集整理，勿做商业用途 分析 求证：P，D，Q三点共线就是证明平角的问题，可以求证∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，根据△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ，可以得出∠PAD=∠DCQ=60°；进而证明△PAD∽△DCQ，得出∠APD=∠CDQ，则结论可证资料个人收集整理，勿做商业用途 解答连接PD，DQ， 由已知∠PAC=120°，∠QCA=120°， ∴△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ．资料个人收集整理，勿做商业用途 ∴PA/AM=AC/MC,AC/AM=QC/MC ∴AC2=PA?QC，又AC=AD=DC． ∴PA/DC=AD/QC，又∠PAD=∠DCQ=60°， ∴△PAD∽△DCQ，∴∠APD=∠CDQ． 资料个人收集整理，勿做商业用途 ∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，
一、点共线问题 证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上． 1．如图1，正方体1111ABCD A BC D -中，1AC 与截面1DBC 交O 点，AC BD ，交M 点，求证：1C O M ，，三点共线． 证明：连结11AC ，1C ∈ 平面11A ACC ，且1C ∈平面1DBC ， 1C ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点． 又M AC M ∈∴∈ ， 平面11A ACC ． M BD M ∈∴∈ ，平面1DBC ． M ∴也是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点． 1C M ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的交线．O 为1AC 与截面1DBC 的交点， O ∴∈平面11A ACC O ∈，平面1DBC ，即O 也是两平面的公共点． 1O C M ∈∴，即1C M O ，，三点共线． 2．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线（在同一条直线上）． 分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线． 证明 ∵ AB//CD ， AB ，CD 确定一个平面β． 又∵AB ∩α＝E ，AB β，∴ E ∈α，E ∈β， 即 E 为平面α与β的一个公共点． 同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点． ∵ 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴ E ，F ，G ，H 四点必定共线． 点 评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．
解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究 王文彬 极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现.现将具体研究结果报告如下： §1.极点与极线的定义 1.1 几何定义 如图，P 是不在圆锥曲线上的点，过P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线. 由图1可知，同理PM 为点N 对应的极线，PN 为点 M 所对应的极线.MNP 称为自极三点形.若连接MN 交圆锥曲线于 点,A B ，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线. 事实上，图1也给出了两切线交点P 对应的极线的一种作法. 1.2 代数定义 已知圆锥曲线22 :220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线 0000:()()0l A x x C y y D x x E y y F ++++ ++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线. 事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2 x ，以02 x x +替换x (另一变量y 也是如此) 即可得到点00(,)P x y 极线方程. 特别地： (1)对于椭圆22 221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b +=； (2)对于双曲线22 221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=； (3)对于抛物线2 2y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. §2.极点与极线的基本结论 定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则极线l 是曲线Γ在P 点处的切线； (2)当P 在Γ外时，则极线l 是曲线Γ从点P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点 弦所在直线)； (3) 当P 在Γ内时，则极线l 是曲线Γ过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹. 证明：假设同以上代数定义，对22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=的方程，两边求 导得22220Ax Cyy D Ey ''+++=，解得Ax D y Cy E +'=-+，于是曲线Γ在P 点处的切线斜率 为00Ax D k Cy E +=-+，故切线l 的方程为0000()Ax D y y x x Cy E +-=--+，化简得 220000000Ax x Cy y Ax Cy Dx Ey Dx Ey +--++--=，又点P 在曲线Γ上，故有220000220Ax Cy Dx Ey F ++++=，从中解出2200Ax Cy +，然后代和可得曲线Γ在P 点 图1
向量法证明三点共线的又一方法及应用 平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 原题 已知OB λOA μOC =+u u u r u u u r u u u r ，其中1λμ+=. 求证：A 、B 、C 三点共线 思路：通过向量共线(如AB k AC =u u u r u u u r )得三点共线. 证明：如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴()OB OA μOC OA -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ∴AB μAC =u u u r u u u r ∴A 、B 、C 三点共线. 思考：1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O 具有灵活性； 2. 反之也成立（证明略）：若A 、B 、C 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满 足OB λOA μOC =+u u u r u u u r u u u r ,且1λμ+=.揭示了三点贡献的又一个性质； 3. 特别地，12λμ==时，1()2 OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，点B 为AC u u u r 的中点，揭示了OAC V 中线OB 的一个向量公式，应用广泛. 应用举例 例 1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且13 BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明 BN λBM μBC =+u u u r u u u u r u u u r ,且1λμ+=. D A B C M N
第107课 三点共线问题 基本方法： 三点共线问题解题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线； ④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，再证明第三点也在该直线上; ⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线. ⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线. 在处理三点共线问题时，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”. 一、典型例题 1．已知椭圆22:12x C y +=，41,33M ?? ??? 为椭圆上一点，若,R S 是椭圆C 上的两个点，线段RS 的中垂线l 的斜率为12 且直线l 与RS 交于点P ，O 为坐标原点，求证：,,P O M 三点共线．答案：见解析 解析：因为线段RS 的中垂线l 的斜率为12 ，所以直线RS 的斜率为2-.所以可设直线RS 的方程为2y x m =-+.由222,1,2 y x m x y =-+???+=??得2298220x mx m -+-=.设点()11,R x y ，()22,S x y ，()00,P x y .所以1289m x x += ，()1212128222222299 m m y y x m x m x x m m +=-+-+=-++=-?+=.所以120429x x m x +==，12029y y m y +==.因为0014y =，所以0014y x =.所以点P 在直线14y x =上.又点()0,0O ，41,33M ?? ???也在直线14y x =上，所以,,P O M 三点共线.2．已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点， 离心率e = 过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥ ，求m 的取值范围；
用向量证明三线共点与三点共线问题 山东 徐鹏 三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则简捷得多． 证明A 、B 、C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明AC AB λ=．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上． 例1． 证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则存在实数λ、μ， 且1=+μλ，使得OB OA OC μλ+=；反之，也成立． 证明：如图1，若OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则AB //BC ,故存在实数m,使得AB m BC =，又OB OC BC -=，OA OB AB -=，故)(OA OB m OB OC -=-， OB m OA m OC )1(++-=．令,1,m m +=-=μλ则存在,1,,=+μλμλ且使得 OB OA OC μλ+=． 若OB OA OC μλ+=，其中,1=+μλ则λμ-=1，OB OA OC )1(λλ-+=．从而有OC －OB ＝λ(OA －OB )，即BA BC λ=．又因为BA BC 和有公共点B,所以A 、B 、C 三点共线，即向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线. 例2． 证明：三角形的三条中线交于一点． 证明：如图2，D 、E 、F 分别是ABC ?三边上的中 A O B C 图1
点． 设BE BG AD AG G BE AD b CB a CA μ===?==,,,．设．则 =-+-=++-=+-=+=)2 1( )2 1()()(b a a b CA BC a b BE a b BG AB AG μμμ b a )1(1(2 1μμ-+-），又b a b a CD AC AD AG λλλλλ2 1)2 1()(+-=+-=+== ?????? ? ==??????? -=-=-323 2121121μλμλμλ解得 所以 则b a b a a AD a AG CA CG 3131)21(323 2+ = + -+=+ =+= b a CF 2 121+ = ，所以CF CG 3 2=，所以G 在中线CF 上，所以三角形三条中线交于一点． A B C E D F 图２ G
三点共线问题的一个重要结论及应用 一．命题及证明 命题 已知非零向量OA 、OP 、OB 满足OP mOA nOB =+，若1m n +=(m n R ∈，， 0)mn ≠且，则点A 、P 、B 共线，且P 分AB 所成的比为m n = λ． 证明：∵OP mOA nOB =+，1=+n m ，0mn ≠， ∴ 1n OP OA OB m m =+， ∴m n n OP OA OB m m +=+， ∴()n OP OA OB OP m -=-， 即n AP PB m =． ∴ 点A 、P 、B 共线，且P 分AB 所成的比为m n =λ． 下面思考其逆命题，即 逆命题 若点A 、P 、B 共线，且P 分AB 所成的比为λ，则有且只有一对非零实数m n ，，使得OP mOA nOB =+，且1=+n m （O 为平面上不同于A 、P 、B 的一点）．文档来自于网 络搜索 证明：∵ 点A 、P 、B 共线，设 01AP PB λλλ=≠≠-（且）， ∴()OP OA OB OP λ-=-， ∴()1OP OA OB λλ+=+， ∴111OP OA OB λ λλ= +++． 令111m n λλλ == ++，，则有OP mOA nOB =+，且1=+n m ，m n =λ． 于是，综上可得 结论 三点A 、P 、B 共线的充要条件是存在实数m n 、满足1=+n m ，且使得 OP mOA nOB =+．（O 为平面上不同于A 、P 、B 的一点）． 特别地，当12m n == 时，1 ()2 OP OA OB =+，点P 是线段AB 的中点；当0m =或0n =时，点P 与点B 或A 重合． 二．结论的应用 例１．（1）已知点Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，Ｏ在直线ＡＢ外，设, , OA a OB b OC c ===，且存在实数m 使30ma b c -+=，则点Ａ分BC 所成的比为（ ） Ａ．3 Ｂ．－3 Ｃ． 31 Ｄ．31 - 解：∵30ma b c -+=，∴1 33 m OB OA OC =+．