21D
C B A
D C B
A
“三角形中的边角关系”的复习
一、复习目标
1．了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），知道三角形三边关系的两个定理，会画出任意三角形的高、中线、角平分线．
2．了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义说明三角形内角和等于180°，探索并理解三角形内角的和定理的三个推论． 3.了解三角形的按边、按角进行的分类。
4．了解定义、命题、真命题、假命题、原命题、逆命题、反例等概念，会判断命题的条件与结论，知道原命题与逆命题关系。
5．公理、定理、证明、演绎推理、辅助线等概念，会进行简单的推理证明 6. 提高学生的推理证明及学生的概括与归纳能力。 二、重难点
重点是：梳理本章知识，强化知识之间的联系；
难点是：提高学生的推理证明及学生的概括与归纳能力。 三、知识归纳
1．三角形的概念
不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．
①三角形有三条边，三个内角，三个顶点.②组成三角形的线段叫做三角形的边;③相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角; ④相邻两边的公共端点是三角形的顶点， ④三角形ABC 用符号表示为△ABC ，⑤三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.
注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；
（2）三角形是一个封闭的图形；
（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． 2．三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；
（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．
3．三角形的中线、角平分线、高
（1）三角形中线：连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：① AD 是△ABC 的BC 上的中线.
② BD=DC=1
2
BC. 注意：①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
（2）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段。
D C B A 表示法：① AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.
② ∠1=∠2=1
2
∠BAC.
注意：①三角形的角平分线是线段；
②三角形三条角平分线全在三角形的内部；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线．
（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：① AD 是△ABC 的BC 上的高线.
② AD ⊥BC 于D.
③ ∠ADB=∠ADC=90°.
注意：① 三角形的高是线段；
② 锐角三角形三条高全在三角形的内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；钝角三角形有两条高在形外，另一条在内部。
③ 三角形三条高所在直线交于一点．
4．三角形的分类：
按边分：⎧⎪
⎧⎨⎨⎪⎩⎩三不等边三角形角形腰与底不相等的等腰三角形等腰三角形腰与底相等的等边三角形
按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形 或：⎧⎪
⎨⎪⎩锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形
5． 对“定义”的理解：
能明确界定某个对象含义的语句叫做定义。 注意：确界定某个对象有两种形式：
① 揭示对象的特征性质；
例如：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
② 明确对象的范围。例：整数和分数统称为有理数
6．有关“命题”的概念
用来判断它是真（正确）、假（错误）的语句或式子叫做命题。 注意：① 命题有真命题和假命题两种，
② 命题由题设和结论两部分组成的. 前一部分，也称之为 条件，后一部分称之为 结论。 ③ 命题通常是用“如果······, 那么······.”的形式给出.
④ “如果p, 那么q.”中的题设与结论互换，得一个新命题： “如果q, 那么p.” 这两个命题称为互逆命题.其中一个命题叫原命题，另一个命题叫做逆命题 ⑤ 当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
⑥ 符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子，称之为反例. 要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可
7．有关“公理、定理、证明、推论、演绎推理、辅助线”等概念
2
1A
M （1）公理：从长期实践中总结出来的，不需要再作证明的真命题。
（2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并被选作判断命题真假的依据的真命题。
（3）演绎推理：从已知条件出发，依据定义、公理、定理，并按照逻辑规则，推导出结论的方法。 （4）证明：演绎推理的过程就是演绎证明，简称“证明”。 （5）推论：由公理、定理直接得出的真命题。
（6）辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线段或直线。 8．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
（1）从折叠可以看出：∠A+∠B+∠C=1800
(2) 从剪拼可以看出：∠A+∠B+∠C=1800
(3) 由推理可知：∠A+∠B+∠C=1800 推理过程： 一、作CM ∥AB ，则∠4=∠1，∠5=∠2,∵∠3+∠4+∠5=1800， ∴∠3+∠1+∠2=1800，即∠A+∠B+∠ACB=1800．
二、作MN ∥BC ，则∠2=∠B ，∠3=∠C ，而∠1+∠2+∠3=1800， 即∠BAC+∠B+∠C=1800． 注意：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．
（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角． 9．三角形的外角的定义: 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角. 如:∠ACD 、∠BCE 都是△ABC 的外角，且∠ACD=∠BCE. 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.
10．三角形外角的性质
(1） 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和． （2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．
注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；
（2）三角形外角的性质的证明：
作CM ∥AB ，由于B 、C 、D 共线 ∴∠A=∠1， B=∠2. 即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B. 那么∠ACD>∠A., ∠ACD>∠B. 四、典题分析：
考点一、数三角形的个数
例1 图中三角形的个数是（ ）
B A C
D
