近五年椭圆高考题汇编

文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.第六节 椭圆 强化训练当堂巩固1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15答案:B解析:由2a,2b,2c 成等差数列,所以2b=a+c. 又222b a c =-,所以222()4()a c a c +=-. 所以53a c =.所以35c e a ==.2.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P.若AP 2PB =,则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12答案:D解析:对于椭圆,∵AP 2PB =,则OA 2OF =, ∴a=2c.∴12e =.3.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的左、右焦点分别为1(0)F c -,、2(0)F c ,,若椭圆上存在一点P 使1221sin PFF sin PF F a c =,∠∠则该椭圆的离心率的取值范围为 . 答案:(211)-,解析:因为在△12PF F 中,由正弦定理得211221sin PFF sin PF F PF PF ||||=,∠∠则由已知,得1211a c PF PF =,||||即a|1PF |=c|2PF |. 由椭圆的定义知|1PF |+|2PF |=2a,则c a |2PF |+|2PF |=2a,即|2PF |22a c a=,+ 由椭圆的几何性质知|2PF |<a+c,则22a c a<+a+c,即2220c c a +->, 所以221e e +-,解得21e <-或21e >-.又(01)e ∈,,故椭圆的离心率(211)e ∈,.4.椭圆22192y x +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上,若|1PF |=4,则|2PF |= ;12F PF ∠的大小为 .答案:2 120解析:∵2292a b =,=,∴c ===∴|12F F|=又|1PF |=4,|1PF |+|2PF |=2a=6, ∴|2PF |=2.又由余弦定理,得cos 1212F PF ∠==-,∴12120F PF ∠=,故应填2,120.5.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的离心率e =连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程;(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A 的坐标为(-a,0). ①若|AB|=求直线l 的倾斜角;②若点0(0)Q y ,在线段AB 的垂直平分线上,且QA QB ⋅=4.求0y 的值.解:(1)由c e a==得2234a c =.再由222c a b =-,解得a=2b. 由题意可知12242a b ⨯⨯=,即ab=2.解方程组 22a b ab =,⎧⎨=,⎩ 得a=2,b=1.所以椭圆的方程为2214x y +=. (2)①由(1)可知点A 的坐标是(-2,0).设点B 的坐标为11()x y ,,直线l 的斜率为k. 则直线l 的方程为y=k(x+2).于是A,B 两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+,⎧⎪⎨+=.⎪⎩ 消去y 并整理,得 2222(14)16(164)0k x k x k +++-=.由212164214k x k --=,+得2122814k x k -=+.从而12414k y k =+. 所以|AB|==由|AB|==. 整理得42329230k k --=,即22(1)(3223)0k k -+=,解得1k =±. 所以直线l 的倾斜角为4π或34π.②设线段AB 的中点为M,由①得M 的坐标为22282()1414k k k k-,++. 以下分两种情况:(ⅰ)当k=0时,点B 的坐标是(2,0),线段AB 的垂直平分线为y 轴, 于是0QA (2)y =-,-,0QB (2)y =,-. 由QA QB ⋅=4,得022y =±.(ⅱ)当0k ≠时,线段AB 的垂直平分线方程为222281()1414k k y x k k k -=-+++.令x=0,解得02614k y k=-+.由0QA (2)y =-,-,QB 110()x y y =,-,整理得272k =.故147k =±,所以02145y =±.综上022y ,=±或02145y =±.课后作业巩固提升见课后作业A题组一 椭圆的离心率问题1.椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的右焦点为F,其右准线与x 轴的交点为A,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是( )A.2(0]2,B.1(0]2,C.[211)-,D.1[1)2,答案:D解析:|AF|22a b c c c =-=,而|PF|a c ≤+, 所以2b a c c+≥, 即2210e e +-≥,解得112e ≤<.2.已知12F F ,是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△2ABF 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )A.32B.22C.21-D.2答案:C解析:根据题意:2145AF F ∠=2222b c e e a,=,+-1=0,又(01)e ∈,,∴21e =-.3.设椭圆22221(0y x m m n+=>,n>0)的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为( )A.2211216y x += B.2211612y x += C.2214864y x += D.2216448y x += 答案:B解析:由题意可知:c=2,且焦点在x 轴上.由12e =,可得m=4,∴22212n m c =-=.故选B.题组二 椭圆的定义4.设P 是椭圆2212516y x +=上的点.若12F F ,是椭圆的两个焦点,则|1PF |+|2PF |等于( ) A.4 B.5 C.8 D.10 答案:D解析:因为a=5,所以|1PF |+|2PF |=2a=10.5.设直线l :2x+y-2=0与椭圆2214y x +=的交点为A 、B,点P 是椭圆上的动点,则使△PAB 面积为13的点P的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案:D解析:联立方程组 2222014x y y x +-=,⎧⎪⎨+=,⎪⎩ 消去y 整理解得:02x y =,⎧⎨=⎩ 或 10x y =,⎧⎨=,⎩|AB|= 结合图象知P 的个数为4.题组三 椭圆的综合应用6.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为 .答案:221369y x += 解析:212e a a ==,=6,b=3,则所求椭圆方程为221369y x +=. 7.已知1F 、2F 是椭圆C:22221(y x a b a b+=>>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥.若△12PF F 的面积为9,则b= .答案:3解析:依题意,有 1212222122184PF PF a PF PF PF PF c ||+||=,⎧⎪||⋅||=,⎨⎪||+||=,⎩ 可得2436c +24a =,即229a c -=,∴b=3.8.在平面直角坐标系xOy 中1212A A B B ,,,,为椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的四个顶点,F 为其右焦点,直线12A B 与直线1B F 相交于点T,线段OT 与椭圆的交点M恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为 .答案:5-解析:直线12A B 的方程为:1yx ab+=-;直线1B F 的方程为:1y x c b +=-;二者联立解得点()2()b a c ac T a c a c+,,--则OT 中点()()2()b a c ac M a c a c +,--在椭圆22221(y x a b a b+=>>0)上, 222222()11030()4()a c c c ac a a c a c ++=,+-=,--3e +10e-3=0, 解得5e =-.9.已知椭圆C:2212x y +=的两焦点为12F F ,,点00()P x y ,满足2200012x y <+<,则|1PF |+|2PF |的取值范围为,直线02x x+01y y =与椭圆C 的公共点个数为 .答案:[222), 0解析:延长1PF 交椭圆C 于点M,故|12F F |≤|1PF |+|2PF |<|1MF |+|2MF |=2a,即2≤|1PF |+|2PF |22<;当00y =时2002x ,<<,直线0012x xy y +=为x=02(2)(2)x ∈-∞,-⋃,+∞与椭圆C 无交点; 当00y ≠时,直线0012x xy y +=为0012x xy y -=,代入2212x y +=中有 222000()222x y x x x +-+-2020y =. ∵2222000044()(22)2x x y y ∆=-+-∴直线与椭圆无交点.10.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D,且2BF FD =,则椭圆C 的离心率为 .答案:33解析:如图,不妨设B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点, 设D(x,y).由2BF FD =,得(c,-b)=2(x-c,y),即 2()2c x c b y =-,⎧⎨-=,⎩ 解得 322c x b y ⎧=,⎪⎨⎪=-,⎩ 3()22c b D ,-.由2BF FD =,可得|FD |12=|BF |2a =, ①又由椭圆第二定义知,|FD |2233()()22a c a c c e c c a=-⋅=-⋅. ②由①②解得223a c =,即213e =,∴33e =. 11.如图,椭圆C:22221y x a b+=的顶点为1212A A B B ,,,,焦点为12F F ,,|11A B |7=,1122B A B A S11222B F B F S =.(1)求椭圆C 的方程;(2)设n 为过原点的直线,l 是与n 垂直相交于P 点.与椭圆相交于A,B 两点的直线,|OP |=1.是否存在上述直线l 使0OA OB ⋅=成立?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)由|11A B |7=知227a b +=, ① 由112211222B A B A B F B F SS=知a=2c, ②又222b a c =-, ③由①②③,解得2243a b =,=,故椭圆C 的方程为22143y x +=. (2)设A,B 两点的坐标分别为1122()()x y x y ,,,,假设使0OA OB ⋅=成立的直线l 存在,①当l 不垂直于x 轴时,设l 的方程为y=kx+m ,由l 与n 垂直相交于P 点且|OP |=1得211m k ||=,+即221m k =+.由0OA OB ⋅=得12120x x y y +=.将y=kx+m 代入椭圆方程,得由求根公式可得122834km x x k-+=,+ ④212241234m x x k -=+. ⑤ 将④⑤代入上式并化简得222222(1)(412)8(34)0k m k m m k +--++=. ⑥ 将221m k =+代入⑥并化简得25(1)0k -+=,矛盾. 即此时直线l 不存在.②当l 垂直于x 轴时,满足|OP |=1的直线l 的方程为x=1或x=-1, 则A,B 两点的坐标为33(1)(1)22,,,-或(-133)(1)22,,-,-,当x=1时33(1)(1)22OA OB ,⋅=,⋅,-=504-≠;当x=-1时3(1)(12OA OB ,⋅=-,⋅-,32-5)04=-≠,∴此时直线l 也不存在.综上可知,使0OA OB ⋅=成立的直线l 不存在.12.如图,已知椭圆22221y x a b+=（a>b>0)过点2(1)2,,离心率为22,左 、右焦点分别为F 1 、F 2.点P 为直线l:x+y=2上且不在x 轴上的任意一点,直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A B ,和C ,(1)求椭圆的标准方程.(2)设直线1PF ,PF 2的斜率分别为1k ,k 2.(ⅰ)证明:12312k k -=.(ⅱ)问直线l 上是否存在点P,使得直线OA OB OC OD ,,,的斜率k OA ,k OB ,k OC ,k OD 满足+OA k +0OB OC OD k k k +=?若存在,求出所有满足条件的点P 的坐标;存不存在,说明理由.解:(1)因为椭圆过点22(1e ,=所以2221112c a a b+=,=.又222a b c =+,所以21a b c ==,=1.故所求椭圆的标准方程为2212x y +=. (2)(ⅰ)证明:方法一:由于1(10)F -,,F 21(10)PF ,,,PF 2的斜率分别为1k ,k 2,且点P 不在x 轴上,所以121200k k k k ≠,≠,≠.又直线12PF PF ,的方程分别为12(1)(1)y k x y k x =+,=-,联立方程解得 122112212k k x k k k k y k k +⎧=,⎪-⎪⎨⎪=,-⎪⎩所以121221212()k k k k P k k k k +,--. 由于点P 在直线x+y=2上,所以12122122k k k k k k ++=-.因此1212230k k k k +-=, 即12312k k -=,结论成立. 方法二:设00()P x y ,,则00120011y yk k x x =,=+-. 因为点P 不在x 轴上,所以0y ≠. 又002x y +=,所以000012000013(1)422312x x x y k k y y y y +---=-===. 因此结论成立.(ⅱ)设()()()A A B B C C A x y B x y C x y ,,,,,,()D D D x y ,.联立直线1PF 与椭圆的方程得 122(1)12y k x x y =+,⎧⎪⎨+=,⎪⎩ 化简得2222111(21)4220k x k x k +++-=,因此221122114222121A B A B k k x x x x k k -+=-,=,++由于OA,OB 的斜率存在,所以00A B x x ≠,≠,因此2101k ≠,. 因此11(1)(1)A B A B OA OB A B A By y k x k x k k x x x x +++=+=+ 12121k k =--. 相似地,可以得到220001C D x x k ≠,≠,≠,,22221OC OD k k k k +=-,- 故1222122()11OA OB OC OD k k k k k k k k +++=-+-- 121222122(1)()(1)(1)k k k k k k -+=---. 若0OA OB OC OD k k k k +++=,须有120k k +=或121k k =.①当120k k +=时,结合(ⅰ)的结论,可得22k =-,所以解得点P 的坐标为(0,2);②当121k k =时,结合(ⅰ)的结论,解得23k =或21(k =-此时11k =-,不满足12k k ≠,舍去),此时直线CD 的方程为y=3(x-1),联立方程x+y=2得5344x y =,=.因此53()44P ,.综上所述,满足条件的点P 的坐标分别为(0532)()44,,,.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 8文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.。

椭圆的试题及答案高中一、选择题1. 椭圆的焦点在x轴上，且离心率为\(\frac{1}{2}\)，若椭圆的长轴长为6，则椭圆的短轴长为（）。

A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B解析：已知椭圆的离心率e=\(\frac{c}{a}\)=\(\frac{1}{2}\)，长轴长2a=6，所以a=3。

根据离心率公式，可以得出c=\(\frac{3}{2}\)。

再根据椭圆的性质，b²=a²-c²，代入a和c的值，可得b²=\(\frac{9}{4}\)，所以b=2，短轴长为2b=4。

2. 已知椭圆C的方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中a>b>0，若椭圆C上存在一点P，使得\(\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{F_1F_2} = 0\)，则a的取值范围是（）。

A. \(a>1\)B. \(a>2\)C. \(a>3\)D. \(a>4\)答案：B解析：已知\(\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{F_1F_2} = 0\)，说明OP垂直于F1F2，即点P在椭圆的短轴端点上。

根据椭圆的性质，短轴端点到焦点的距离为b，而焦点到原点的距离为c。

由于\(\overrightarrow{F_1F_2} = 2c\)，所以\(\overrightarrow{OP} = b\)。

根据勾股定理，有\(a^2 = b^2 + c^2\)。

由于\(\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{F_1F_2} = 0\)，所以\(b = 2c\)。

代入勾股定理，得到\(a^2 = 5c^2\)。

又因为椭圆的离心率e=\(\frac{c}{a}\)，所以\(a = \frac{5}{4}c\)。

椭圆的定义及简单的几何性质1、从椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点1F，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且//AB OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是（C）A．24B．12C．22D．322、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ⊥∠=︒，则C 的离心率为333、设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且π4CBA∠=.若4AB=，2BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为___463____.椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2.若直线l :3()y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于___31-_____已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝___12___． [解析] 设MN 的中点为G ，则点G 在椭圆C 上， 设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ， 点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ， 则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D .若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于___3____． [解析] 由题意A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，F 1(－c ，0)， 则直线F 1B 的方程为y －0＝－b 2a2c (x ＋c )．令x ＝0，得y ＝－b 22a ，即D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，则向量DA ＝⎝⎛⎭⎫c ，3b 22a ，F 1B →＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b 2a . 因为AD ⊥F 1B ，所以 DA →·F 1B →＝2c 2－3b 42a 2＝0，即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)，整理得(3e －1)(e ＋3)＝0，所以e ＝33(e >0)． 故椭圆C 的离心率为33.7、[2019年东北三省四市教研体高考模拟试卷二10]（文科数学）椭圆22143x y+=的左右焦点F1、F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点M，F1关于F2的对称点为N，则△MF1N的周长为（ D ）A.6B.8C.10D.128、[哈师大附中2019年高三第四次模拟考试6]（文科数学）已知椭圆2221(3x yaa+=>0)的一个焦点(1,0)，则椭圆C的离心率为（ A ）A.12B.14C.33D.139、[齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试15]（文科数学）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若点F到直线AB的距离为51414b，则该椭圆C的离心率为2310、[2018年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试15]（文科数学），，线段PF2的垂已知点P为中心在坐标原点的椭圆C上的一点，且椭圆的右焦点F2(50)直平分线为y=2x，则椭圆C的方程为11、[齐齐哈尔市2018届高三第二次模拟考试6]（文科数学）已知椭圆22221(x y a a b+=>b >0)的离心率为32，短轴长大于2，则该椭圆的长轴长的取值范围是（ B ）A.(2)+∞，B.(4,)+∞C.(2,4)D.(4,8)12、[2018年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试16]（理科数学）椭圆221(x my m +=>1)的左右顶点分别为A 、B ，过点B 作x 轴的垂线l ，点P 是直线l 上的一点，连接P A 交椭圆于点C ，坐标原点为O ，且OP ⊥BC ，则m =13、[2017届齐齐哈尔市高三第二次模拟考试7]（文科数学）椭圆2221(4x yaa+=>2)的左、右焦点分别为F1、F2，点P是椭圆上的一点，若1260F PF︒∠=，那么△PF1F2的面积为（）A.233B.332C.334D.43314、[2017年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试10]（文科数学）“关于x 的方程20x mx n -+=有两个正根”是“221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件15、[2017年高考模拟冲刺•押题卷10]（文科数学）已知椭圆22221(x y a a b +=>b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上位于y 轴右侧的点，直线AF 1与y 轴交于点B ，12F B AB =，12AF AF ⊥，则椭圆的离心率为（ B ） A.21- B.31- C.22 D.3216、[大庆实验中学2017届高三得分训练四11]（文科数学）在平面直角坐标系xoy中，P是椭圆22143y x+=上的一个动点，点A(1,1)、B(0,1)-，则PA PB+的最大值为（）A.5B.4C.6D.817、[2019年全国Ⅰ理10]、[2019年全国Ⅰ文12]已知椭圆C 的焦点为F 1(1,0)-、F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A 、B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（ ）A.2212x y +=B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y +=18、[2019年全国Ⅱ理21（1）]已知点A (2,0)-，B (2,0)，动点M (,)x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-. 记M 的轨迹为曲线C .求C 的方程；并说明C 是什么曲线？19、[2019年北京理4]已知椭圆22221(x y a a b +=>0，b >0)的离心率为12，则（ B ） A.222a b = B.2234a b = C.2a b = D.34a b =20、[2019年全国III 理15]、[2019全国III 文15]+=的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2设F1、F2为椭圆C：13620为等腰三角形，则M的坐标为（3，15）21、[2018年全国Ⅱ卷理]已知F1、F2是椭圆C：221(aa b+=>0，b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，12120F F P︒∠=，则C的离心率为（D ）A.23B.12C.13D.1422、[2018年上海理、文]设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ C ）A. B. C. D.23、[2017年浙江理、文] 椭圆22194x y +=的离心率为（ B ）A.3B.3C.23D.5924、[2017年新课标Ⅲ理、文]已知椭圆C ：22221(x y a a b+=>0，b >0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ A ）A. 63B.33C.23D.1325、[2016年全国Ⅲ理、文]已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(x yaa b+=>0，b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PF x⊥轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ A ）A.13B.12C.23D.3426、[2016年浙江理]已知椭圆1C ：2221(x y m m +=>1)与双曲线2C ：2221(x y n n-=>0)的焦点重合，12e e 、分别为12C C 、的离心率，则（ ）A.m >n ，且12e e >1B.m >n ，且12e e <1C.m <n ，且12e e >1D.m <n ，且12e e <127、[2014年福建理、文]设P 、Q 分别为22(6)2x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P 、Q 两点间的最大距离是（ ）A.52B.462+C.72+D.6228、[2013年新课标Ⅰ理、文]已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的右焦点为(3,0)F,过点F的直线交椭圆于,A B两点.若AB的中点坐标为(1,1)-,则E的方程为（）A.2214536x y+= B.2213627x y+= C.2212718x y+= D.221189x y+=29、[2012年新课标理、文]设F1、F2是椭圆E：22221(x yaa b+=>b>0)的左、右焦点，P为直线32x a=上一点，△F2PF1是底角为30︒的等腰三角形，则E的离心率为（ C ）A.12B.23C.34D.4530、[2018年浙江理、文]已知点P(0,1)，椭圆22(>1)4xy m m+=上两点A、B满足2AP PB=，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大.31、[2018年北京理]已知椭圆M：22221(x yaa b+=>b>0)，双曲线N：22221x ym n-=.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为.32、[2016年江苏理]如图，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(x y a a b +=>b >0)的右焦点，直线2by =与椭圆交于B 、C 两点，且90BFC ︒∠=，则该椭圆的离心率为6333、[2015年新课标Ⅰ理]一个圆经过椭圆221164x y+=的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴，则该圆的方程为过点M(1,1)作斜率为12-的直线与椭圆C：22221(x yaa b+=>b>0)相交于A、B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于设F 1、F 2分别是椭圆E ：2221(0<<1)y x b b+=的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若113AF BF =，AF 2x ⊥轴，则椭圆E 的方程为 22312x y +=椭圆22221(x y a a b+=>b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别为F 1、F 2，若1121AF F F F B 、、成等比数列，则此椭圆的离心率为设F1、F2分别为椭圆2213xy+=的左、右焦点，点A、B在椭圆上，若125FA F B=，则点A的坐标是38、[2019年全国Ⅱ文9]若抛物线22(>0)y px p =的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p =（ D ） A.2 B.3 C.4 D.839、[2019年浙江文15]已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率为40、[2018年全国I 文]已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为（ C ）A.13 B.12 C.241、[2018年全国Ⅱ文]已知F 1、F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上一点，若PF 1⊥PF 2，且2160PF F ︒∠=，则C的离心率为（ D ）A.1B.2 142、[2017年新课标I 文]设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，则m 的取值范围是（ ）A.(][)0,19,+∞B.([)9,+∞C.(][)0,14,+∞ D.([)4,+∞43、[2016年全国I 文]直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ B ） A.13 B.12 C.23 D.3444、[2015年新课标I 文]已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：28y x =的焦点重合，A 、B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（ B ）A.3B.6C.9D.1245、[2015年广东文]已知椭圆222125x y m +=（m >0）的左焦点为F 1（4,0-），则m =（ B ） A.2 B.3 C.4 D.946、[2015年福建文]已知椭圆E ：22221(x y a a b+=>b >0)的右焦点为F .短轴的一个端点为M ，直线l ：340x y -=交椭圆E 于A 、B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A.0,2⎛ ⎝⎦ B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.2⎫⎪⎪⎣⎭D. 3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭47、[2013年广东文]已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是（ D ） A.22134x y += B.2214x = C.22142x y += D.22+143x y =48、[2015年浙江文]椭圆22221(x y a a b +=>b >0)的右焦点(,0)F c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 2双曲线的定义及简单的几何性质1、双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ C ） A.25B ．45CD2、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(3,0)F ，离心率等于32，在双曲线C 的方程是（ B ）A.2214x -=B ．22145x y -=C ．22125x y -= D．2212x =3、已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ D ）A.实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等4、若双曲线22221x y a b-=B ）A .y =±2xB ．y=C ．12y x =±D．y x =5、双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为____34y x =±______.6、设12,F F 是双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30，则C7、双曲线22116x y m -=的离心率为54，则m 等于____9____.8、已知π04θ<<，则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的（ D ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等9、已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>则C 的渐近线方程为（ C ）A ．14y x =± B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =±10、双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ B ）A.21B ．22 C ．1 D ．211、双曲线221y x m-=的充分必要条件是（ ） A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >12、设F 1、F 2是双曲线C ：221a b-= (a >0，b >0)的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为1_____.13、双曲线221169x y -=的离心率为___54____.14、已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点，,P Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点()5,0A 在线段PQ 上，则PQF ∆的周长为_____44_____.15、设12F F 、分别为双曲线22221(x y a a b-=>0，b >0)的左、右焦点，若双曲线上存在一点P使得123PF PF b +=，1294PFPF ab =，则该双曲线的离心率为（ B ） A.34 B.35 C.49D.3【解析】.,35,5,4,3,34∴,2-,49,3,,,22221B a c c b a b a b a c a n m ab mn b n m n m PF n PF m 选令解得则且设====∴=+====+>==16、已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ A ）A. B .3 CD .3m【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+=设)F，一条渐近线y x =，即0x -=，则点F 到C 的一条渐近线的距离d =，选A.17、已知双曲线22221x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l ：210y x ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ A ）A.221520x yB.221205x y C.2233125100x y D.2233110025x y【解析】依题意得22225ba cc a b ，所以25a，220b，双曲线的方程为221520x y .18、若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ D ） A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.19、已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为（ A ） A.20x y ±= B.20x y ±= C.20x y ±= D.20x y ±=20、设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________渐近线方程为________.21、设F 1、F 2分别为双曲线22221x y a b 0,0a b 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( D )A. 2B.15 C ．4 D.17 [解析] ∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ，∴4a 2＝b 2－3ab ，两边同除以a 2，得⎝⎛⎭⎫b a 2－3·b a －4＝0，解得b a ＝4，∴e ＝c a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋16＝17.22、设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1，0)，则C 的方程为221x y -=． [解析] 由题意设双曲线的方程为x 2－y 2b2＝1(b >0)，又∵1＋b 2＝(2)2，∴b 2＝1，即双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.23、若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( D )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 [解析] ∵0<k <5，∴5－k >0，16－k >0.对于双曲线：x 216－y 25－k ＝1，其焦距是25－k ＋16＝221－k ；对于双曲线：x 216－k －y 25＝1，其焦距是216－k ＋5＝221－k .故焦距相等．24、设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [解析] 由方程t 2cos θ＋t sin θ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－tan θ，不妨设点A (0，0)，B (－tan θ，tan 2θ)，则过这两点的直线方程为y ＝－x tan θ，该直线恰是双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A25、双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( C )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 [解析] 易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程是y ＝±b a x ，不妨设焦点(c ，0)到其中一条渐近线bax －y ＝0的距离为3，则bca⎝⎛⎭⎫b a 2＋1＝3，整理得b ＝ 3.又双曲线C 的离心率e ＝ca＝2，c 2＝a 2＋b 2，所以c ＝2，即2c ＝4，即双曲线C 的焦距等于4.26、已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( D )A ．2 B.62 C.52D ．1 [解析] 因为c 2＝a 2＋3，所以e ＝c a＝a 2＋3a2＝2，得a 2＝1，a ＝1.27、双曲线x 24－y 2＝1的离心率等于．答案：5228、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ A ）A.53B.43C.54D.3229、方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ A ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率30、曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的（ A ） A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同31、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 14-32、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是_____221916x y -=______抛物线的定义及简单的几何性质1、设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A 、B 两点.若|AF |=3|BF |，则直线l 的方程为1)y x =-或1)y x =-2、[2013年新课标Ⅰ文]O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =，则POF ∆的面积（ C ）A ．2B ．C ．D ．43、抛物线28y x =的焦点到直线0x -=的距离是（ D ）A ．B ．2CD ．14、[2013年江西文]已知点A (2，0)，抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |：|MN |=5、[2013年北京文]若抛物线22y px =的焦点坐标为(1，0)则p = 2 ，准线方程为 1x =- .6、已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程 2213y x -=7、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ A ） A.43 B ．75 C ．85D ．38、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ D ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．49、已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M （32,3-），求它的标准方程.2x y =80、抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ B ） A.12 B．2C ．1 D11、抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则P = 612、抛物线28y x =的准线方程是2x =-13、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p =（ C ） A ．1 B ．32C ．2D ．314、[2014年新课标Ⅰ文]已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（ C ）A .72 B .52C .3D .215、[2014年新课标Ⅱ文]设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ D ）A.334B.938 C. 6332 D. 9416、[2014年湖南文9]。

2024全国高考真题数学汇编椭圆一、单选题1．（2024全国高考真题）已知曲线C ：2216x y （0y ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y（0y ）B ．221168x y （0y ）C ．221164y x （0y ）D ．221168y x （0y ）二、解答题2．（2024天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b椭圆的离心率12e ．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024全国高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点 4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y 轴．参考答案1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x ，因为M 为PP 的中点，所以02y y ，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y 上，所以22416(0)x y y ，即221(0)164x y y ，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y .故选：A2．(1)221129x y (2)存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx， 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ，再根据0TP TQ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e，故2a c，b ，其中c 为半焦距，所以2,0,0,,0,2A c B C，故122ABC S c △故ca ，3b ，故椭圆方程为：221129x y .（2）若过点30,2的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx ，设 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx可得223412270k x kx ，故 222Δ144108343245760k k k 且1212221227,,3434k x x x x k k而 1122,,,TP x y t TQ x y t，故121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t22121233122kx x k t x x t22222731231342342k k k t t kk2222222327271812332234k k k t t t k k22223321245327234t t k t k，因为0TP TQ 恒成立，故 223212450332702t t t，解得332t .若过点30,2的动直线的斜率不存在，则 0,3,0,3P Q 或 0,3,0,3P Q ，此时需33t ，两者结合可得332t.综上，存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.3．(1)221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)22143x y (2)证明见解析【分析】（1）设 ,0F c ，根据M 的坐标及MF x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y ，结合韦达定理化简前者可得10Q y y ，故可证AQ y 轴.【详解】（1）设 ,0F c ，由题设有1c 且232b a ，故2132a a ，故2a，故b ，故椭圆方程为22143x y .（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y，由223412(4)x y y k x 可得 2222343264120k x k x k ，故 422Δ102443464120k k k ，故1122k ，又22121222326412,3434k k x x x x k k ，而5,02N，故直线225:522y BN y x x ，故22223325252Qy y y x x，所以 1222112225332525Q y x y y y y y x x12224253425k x x k x x222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x2222212824160243234025k k k k k x ，故1Q y y ，即AQ y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x 、12x x （或12y y 、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。