七年级数学竞赛 第21讲 相交线与平行线

第21讲相交线与平行线知能概述相交或平行是同一平面内两条直线的基本位置关系。

当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识，它们在角的计算与证明中有广泛的应用。

与平行线相关的问题一般都是平行线判定与性质的综合运用，有以下两方面的应用：角的计算与证明；两条直线位置关系的确定。

问题解决例1．(1)O为平面上一点，过O在这个平面上引2005条不同的直线l1，l2，l3…，l2005，则可形成对以O为顶点的对顶角。

(山东省聊城市竞赛题) (2)若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有对同旁内角。

(江苏省竞赛题)解题思路：对于(1)，从简单情形出发，利用递推关系；对于(2),4条直线两两相交，每两个交点之间就有一条线段，而每条线段的两侧各有一对同旁内角，于是将问题转化为确定线段的条数。

例2．如图，两直线AB，CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（）A．630° B．720° C．800° D．900°(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：分别过E，F，G，H作AB，CD的平行线，运用同旁内角互补求解。

例3．如图，AB，CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A，C两点，点E是橡皮筋上一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A，∠C，∠AEC之间具有怎样的关系?并说明理由。

解题思路：这是一道结论开放的探究性问题，由于E点位置的不确定性，可引起对E点不同位置的分类讨论(如夹在AB，CD之间或之外、内折或外折等)，这是解本例的关键。

例4．如图，已知AF∥CD，∠A=∠D，∠B=∠E，求证：BC∥EF。

解题思路：怎样利用条件AF∥CD?如何证明BC∥EF?需作辅助线，对内连线或向外补形可得到不同的证法。

例5．平面上有6条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°。

(莫斯科市竞赛题)分析与解：把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等的，这样，我们就可将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时，情况就相对简单得多。

在平面上任取一点O ，过O 点分别作这6条直线的平行线l 1’，l 2’，l 3’，l 4’，l 5’，l 6’，则由平行线的特性，知l 1’，l 2’，l 3’，l 4’，l 5’，l 6’之间互成的角与原来的6条直线l 1，l 2，l 3，l 4，l 5，l 6之间互成的角相等。

现在我们考虑l 1’，l 2’，l 3’，l 4’，l 5’，l 6’的情况。

我们只考察与l 1’与l 2’， l 2’与l 3’， l 3’与l 4’，……，l 5’与l 6’，l 6’与l 1’所成的角，由图不难发现这6个角成一个平角，即这6个角的和为180°。

假设这6个角没有一个小于31°，则这6个角都大于或等于31°，从而这6个角的和至少为31°×6=186°，这是不可能的所以，这6个角中至少有一个小于31°，不妨设l 1’与l 2’所成的角小于31°，则原来的直线l 1与l 2所成的角也必小于31°。

例6．(1)请你在平面上画出6条直线(没有3条共点)，使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法；(2)能否在平面上画出7条直线(任意3条都不共点)，使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交?如果能，请画出一例；如果不能，请简述理由。

(“希望杯”邀请赛试题) 解：(1)如图，在平面上作两组平行直线，m 1∥m 2//m 3，n 1//n 2∥n 3，由于彼此平行的直线不相交，所以图中每条直线都恰与另3条直线相交； (2)在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另3条直线相交。

理由如下:假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其他3条相交，因为两直线相交只有一个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点。

我们按直线去计数这些交点，共有3×7=21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线的交点总数为212个，因为交点个数应为整数，矛盾。

所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的。

基本图形分析法平面图形是平面几何的研究对象，复杂的图形是由一个或者若干个最简单、最基本的图形复合而成，发现这些基本图形也就找到了解决问题的关键所在。

所谓基本图形是指组成一个图形中最基本却又具有特定性质、能彰显应用条件和应用方法的图形；基本图形是图形化的公式，是结论化的图形。

平行线的折线连接，有下面基本形式：l 6l 5l 4l 3l 2l 11n1n 2n3m 1m 2m3了解相关结论、解决问题的方法是解相关问题的关键。

例7．已知直线AB∥CD。

(1)如图①，若GN平分∠CNE，FM平分∠AMG，F，M，E在同一条直线上，且∠G+12∠E=60，求∠AMG的度数；(2)如图②，若直线BM平分∠ABE，直线DN平分∠CDE，BM，DN相交于点F，求∠F : ∠E的值。

解题思路：过折点作平行线是解决问题的关键，而恰当地引入字母代数化，能使解题过程清晰明了。

刻意练习1．如图，已知AB∥CD，BC∥DE，若∠A=20°，∠C=120，则∠AED的度数是。

(2016年浙江省金华市中考题)2．如图，已知AB∥CD，∠EF A=30，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM= 。

(“希望杯”邀请赛试题)3．如图是一块电脑主板模型，每一个转角处都是直角，其数据如图所示(单位：cm)，则该主板的周长是cm。

(重庆市竞赛题)4．已知∠A 的两条边和∠B 的两条边分别平行，且∠A 比∠B 的3倍少20°，则∠B = 。

(北京市“迎春杯”竞赛题)5．如图，已知平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，则图中的同旁内角有对。

(全国初中数学联赛题)6．如图，∠AOB 的一边OA 为平面镜，∠AOB =37°36’，在OB 上有一点E ，从点E 射出一束光线经OA 上一点D 反射，反射光线DC 恰好与OB 平行，则∠DEB 的度数是( )A ．75°36′B ．75°12’C ．74°36’D ．74°12’(2016年山东省枣庄市中考题)7．如图，若AB ∥CD ，则∠1+∠3−∠2的度数等于（ ） A ．90° B ．120° C ．150° D ．180° (北京市竞赛题)8．某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则这两次拐弯的角度可能是( )A ．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C ．第一次向右拐70°，第二次向左拐110°D ．第一次向左拐70°，第二次向左拐110°(“希望杯”竟赛题)9．如图，若K ∥L ，∠4−∠3=∠3−∠2=∠2−∠1=d °>0，其中∠3<90°，∠1=50°，则∠4最大可能的整数值是（ ）A ．107B ．108C ．109D ．110 (北京市竞赛题)A BC DE FGH10．如图，有一个形状由2004个连接的小方块组成的图形，小方块的边长是1厘米，请问整个形状的周长是多少厘米?( )A．4008 B．4010 C．6012 D．6016 E．806(英国中学数学竞赛题)11．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点，怎样安排才能办到?(只要求画出符合条件的10条直线。

)(吉林省竞赛题)12．如图，已知CD∥EF，∠1+∠2=∠ABC，求证：AB∥GF。

(重庆市竞赛题)13．点D在∠ABC内，点E为边BC上一点，连接DE，CD(1)如图①，连接AE，若∠AED=∠A+∠D，求证：AB//CD。

(2)在(1)的结论下，若过点A的直线MA//ED，①如图②，当点E在线段BC上时，猜想并验证∠MAB与∠CDE的数量关系；②如图③，当点E在线段BC的延长线上时，猜想并验证∠MAB与∠CDE的数量关系。

14．已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，(1)如图①，若∠E=80，求∠BFD的度数；(2)如图②，已知∠ABM=13∠ABF，∠CDM=13∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系并证明你的结论；③②①图图图D(3)若∠ABM =1n ∠ABF ，∠CDM =1n∠CDF ，设∠E =m °，直接用含有n ，m °的代数式表示∠M = 。

15．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°，请说明理由。

(“华罗庚金标”少年数学邀请赛试题)16．两条直线相交，四个交角中的一个锐角(或一个直角)称为这两条直线的“夹角”(如图)，如果在平面上画L 条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是15°，30°，45°，60°，75°，90°之一，问：(1)L 的最大值是多少?(2)当L 取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少？(“华罗庚全杯”少年数学邀请赛试题)17．已知五个城市两两相连所得的10条道路中，至少有一个交叉路口(如图①)，又已知三个村庄和三个城市相连所需的9条道路中，至少有一个交叉路口(如图②)。

利用上述结论，用15条道路把6个城市两两相连，至少会产生多少个交叉路口(青少年国际数学邀请赛试题)18．平面上画11条水平线段和11条竖直线段，求证：不可能每条水平线段恰与10条竖直线段相交，而每条竖直线段恰与10条水平线段相交。

(俄罗斯圣彼得堡数学奥林匹克试题)②①图图②①图图点线的乐章点与线是构成图形的最基本元素，点动成线，线动成面，面动成体，点与线的运动、组合、变化、数字化，可生成复杂的图形，宛如演奏出气势磅礴的优美乐章。

简单地看，连点得线，线交于点，深入地想，屏幕是如何呈现图像的?计算机是怎样画图的?归根到底是基于点的显示。

德国著名工业设计家德灵格教授认为：少数几条折线并不能给人以特别的感觉。

然而，一旦折线的条数非常多，而且密集、杂乱、随机堆放，那么将产生强烈的视觉冲击。

右图是他在大型平板笔绘仪上完成的作品。

19．(1)平面上有6条直线，共有12个不同的交点，画出它们可能的位置关系(画三种图形)。