结构力学专题十(多自由度体系的动力计算)

2
5 k 3 m
2
P0 sin t P0 sin t
k m
P0 sin t
P0 sin t
P0 sin t
1
1
P0 K
?
?
?
一班课后练习
例4：用振型叠加法求图示结构的稳态振幅。
k1 3103 kN / m ; k2 2 103 kN / m; m1 m2 m 10200 kg;
1
讨论： （a）在简谐荷载作用下，各质点仍做简谐振动。
(b) 当 0 时，
同单自由度体系 同单自由度体系 发生共振。
(c) 当 时，
(d ) 当 i 时， i 1,2,n
２、动内力计算——动静法。（同单自由度体系）
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k 2 2k， m1 m，m2 2m；
?
y1st ?
1 ?
y2 st ?
2 ?
例5：对下图示体系，试证明： 当 y1 0 y2 0 ，y 1 0 y 2 0 时， 体系只按第二主振型振动。 提示： m1=m
l /3
m2=m
l /3
l /3
y(t ) 1(t )1 2 (t )2
m1
m2
l /3
y1 EI y 2
l /3
l /3
P
I1
I1 0.2936P I 2 0.2689P
A1
A2
I2
A1 0.025 Pl3 / EI A2 0.023 Pl3 / EI
1.2936 P
0.2689P
0.3173Pl

( i = 1, 2 )
第15章 结构的动力计算 8. 5 两自由度体系的振动分析
特例: 特例: 刚度形式
k11 k12 m k11 + k12 m
k11 = k22 , m1 = m2 = m
ω1 =
, ω2 =
柔度形式
δ11 = δ 22 , m1 = m2 = m
λ1 = (δ 11 + δ 12 )m
(i = 1, 2)
ωi =
K i* (i = 1, 2) * Mi
小结: 小结: → K * , M * → ω
第15章 结构的动力计算 8. 5 两自由度体系的振动分析
( 3 ) 位移的分解 任意一个给定位移向量,利用振型的正交性, 任意一个给定位移向量,利用振型的正交性,均可将 其分解成2个振型的线性组合 个振型的线性组合. 其分解成 个振型的线性组合.
(ω )1, 2
2
1 k11 k22 1 k11 k22 2 k11k22 k12 k21 = ( + ) ( + ) 2 m1 m2 4 m1 m2 m1m2
第15章 结构的动力计算 8. 5 两自由度体系的振动分析 ω1 ≤ ω 2
11 k12 k22 m1ω12 = = 2 21 k11 m1ω1 k21
11 12 φ1 = , φ2 = 21 22
1 1 φi = k21 ci = k11 ωi2 m1 ci k ω 2m k12 i 2 22
第15章 结构的动力计算 8. 5 两自由度体系的振动分析
柔度形式的方程
1 (δ11m1 2 )1 + δ12 m2 2 = 0 ω δ m + (δ m 1 ) = 0 22 2 21 1 1 ω2 2

结构力学中体系的计算自由度写在前面：①【自由度】：体系运动时所具有的独立运动方式数目，也就是体系运动时可以独立变化的几何参考数目，或者说确定体系位置所需的独立坐标数目。

如：一个点在平面中的自由度为2（两个平动）；一个刚片在平面中的自由度数为3（两个平动和一个转动）。

②【约束】：限制运动的装置称为联系（或约束），体系的自由度可因加入联系而减少，能减少一个自由度的装置称为一个联系（或约束）。

常用的联系有链杆和铰。

一根链杆为一个联系，一个单铰为两个联系，也就是相当于两根链杆的作用。

联结n 个刚片的复铰可以当做（n-1）个单铰，将减少2（n-1）个约束；联结n 个刚片的复刚结点可以当做（n-1）个单刚结点，将减少3（n-1）个约束。

在体系中加入一个联系，而并不能减少体系的自由度，这样的联系称为多余联系（联系）。

使体系成为几何不变而必须的约束称为必要联系（约束）。

方法一：结点法以结点为对象，以链杆为约束计算式：bj W -=2其中，W —计算自由度j —自由结点数（与地面紧连的不算）b —链杆数（包括支座链杆）方法二：刚片法以自由的刚片为对象，以结点和链杆为约束计算式：)23(m 3r b g W ++-=其中，W —计算自由度m —自由刚片数g —单刚结点的数目（复铰）b —单铰结点的数目（复铰）r —链杆的数目结点法例子：体系计算自由度020210=-⨯=W 说明：体系中除了与大地紧连的结点外一共有10个，链杆有20根。

刚片法例子：体系计算自由度[]116263317=⨯+⨯-⨯=W 说明：将刚片拆分成17根，刚结点4，铰结点14。

NOTE ：①刚片法中的单铰结点数和单刚结点数以及链杆数指刚片间的；②大地也是一大刚片，但大地作为参考系没有自由度，算自由刚片的时候不能算上，但是若是将支座链杆也看做是刚片的话，则需要考虑支座链杆与大地之间的单铰接点或单刚结点；③可以用计算自由度的方法分析体系的几何构造:0>W ,表明体系中缺少足够的约束，为几何常变体系；0=W ,表明体系具有成为几何不变所需要的最少联系数目。

2、方程的解：
设解的形式： y1 (t ) = Y1 sin(ωt + α ) y2 (t ) = Y2 sin(ωt + α )
惯性力 − m1 &&1 (t ) = m1ω 2Y1 sin(ωt + α ) y 2 − m2 &&2 (t ) = m2ω Y2 sin(ωt + α ) y
k12 M kn2
L
k1n k2n M =0
k 22 − ω 2 m2 L
L k nn − ω 2 mn
n个ω 2的解对应n各ω：ω1 < ω2 < Lωn
ω1 − − − 第一频率或基本频率
3、振型
对应于ωi，其质点的振幅比值是常数，所以有n各振型： Y11 Y12 Y1n Y Y Y Y 1 = 21 ；Y 2 = 22 LY n = 2 n M M M Yn1 Yn 2 Ynn CY1i Y1i CY Y 2i 2i i i 则：CY = 若Y = L L Yni CYni 为方程(K − ω 2 M)Y = 0的解 也为方程的解
( K − ω12 M )Y 1 = 0 17.414Y11 − 5Y21 + 0 × Y31 = 0 − 5Y11 + 6.707Y21 − 3Y31 = 0 0 × Y11 − 3Y21 + 1.707Y31 = 0
令：Y31 = 1；求得： Y21 = 0.569；Y11 = 0.163 0.163 第一振型：Y 1 = 0.569 1
ω2 = (
1 k11 k 22 1 k k k k −k k + ) ± [ ( 11 + 22 )]2 − 11 22 12 21 2 m1 m2 2 m1 m2 m1m2