9 勾股定理
【知识点介绍】
1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即： 222cba。
2、勾股数
满足22ba=2c的三个正整数，称为勾股数。
如（1）3，4，5； （2）5，12，13；
（3）6，8，10； （4）8，15，17
（5）7，24，25 （6）9, 40, 41
【考点解析】
考点一：勾股定理的直接应用
例1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ ）
A、第三边一定为10 B.三角形的周长为24
C.三角形的面积为24 D.第三边有可能为10
例2．如图，由Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm，
则正方形M与正方形N的面积之和为2_____cm
例3. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，
若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，
小红和小颖家的直线距离为（ ）。
A、600米 B、800米 C、1000米 D、不能确定
考点二：求第三条边的长
例1．若RtABC中，90C且c=37,a=12，则b=（ ）
A、50 B、35 C、34 D、26
例2．若一个直角三角形的三边分别为a、b、c, 22144,25ab,则2c（ ）
A、169 B、119 C、169或119 D、13或25
9
考点三：与高、面积有关
例1．一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是( )
A．4 B．310 C.25 D．512
cbaHGFEDCBAbacbaccabcab第一讲 勾股定理及勾股定理的逆定理
一 、勾股定理
（一）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc
使用范围：必须在直角三角形中
（二）勾股定理的证明：请用拼图求面积的方法来证明勾股定理
图一 图二
二 、勾股定理的逆定理
（一）如果三角形三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
（二）勾股数：满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：
（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )
三 、类型题训练
考点一：利用勾股定理求面积、
例1： 四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
例2 、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．
例3、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积和是_____________
考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边
例1、（易错题）已知直角三角形的两边长为3、2，（1）则第三边的平方为（ ）
（2）则斜边的平方为（ ）。
例2、 已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求三角形的面积及斜边上的高
练习：
1、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）
A． 2倍 B． 4倍 C． 6倍 D． 8倍
17.2 勾股定理的逆定理（第一课时）
一、知识点：理解勾股定理的逆定理；了解勾股定理逆定理的证明；能够根据勾股定理的逆定理判定三边能否组成直角三角形；了解勾股数；
重点：根据勾股定理的逆定理判定三边能否组成直角三角形
难点：勾股定理逆定理的证明
思想方法：数形结合思想
二、例题：
☆学习勾股定理逆定理及其证明后讲解；
例1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=13，b=14，c=15；
（3）a=1.5，b=2，c=2.5；
（4）a=22，b=3，c=17；
（5）a：b：c=3：4：5
（6）a：b：c= 1：1：2
☆学习勾股数的概念后讲解：
例2、判断下列哪些是勾股数：
（1）6，8，10； （2）0.3 ，0.4，0.5 （3）1，1，2 （4）9，40，41
例3、已知三角形三边长为4，7.5，8.5，求这个三角形的面积。
例4、如图，AD是△ABC的中线，AB＝10cm，BC＝12cm，AD＝8cm，求AC的长
A
B C D 三、检测题：
1、判断线段a、b、c为边长组成的三角形是不是直角三角形，若是直角三角形的指出哪个角是直角：
（1）a=24，b=25，c=7 （2） a=3n，b=4n，c=5n（n是正整数）
（3）a：b：c=2：2：2 （4）a=3，b=4，c=5
（5）a=23，b=24，c=25
（6） a=2n－1，b=n2，c=2n+1（n是整数，且n>1）
2、判断下列三个数是不是勾股数：
（1）3n，4n，5n （n为正整数） （2）2n－1，n2，2n+1，（n是整数，且n>1）
3、如图，已知四边形ABCD中，AD⊥DC，AB＝13，BC＝12 ，DC＝3 ，AD＝4
求：四边形ABCD的面积。
4、T3变式：如图，已知凹四边形ABCD中，AD⊥DC，AB＝13，BC＝12 ，DC＝3 ，AD＝4，求：四边形ABCD的面积。 A B C
- 1 - 第一讲、勾股定理及其逆定理
一、勾股定理：
（1）文字表述：在任何一个直角三角形（Rt△）中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。
（2）数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c（斜边对应的角为直角），那么222cba=+。（a：勾，b：股，c：弦）。能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222cba=+中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 ，常见的勾股数有3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25等。
二、勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。
三、勾股定理的逆定理也是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。若c为最长边，且222cba=+，则△ABC是直角三角形。如果222cba>+，则△ABC是锐角三角形。如果222cba<+，则△ABC是钝角三角形。勾股弦的比例的特殊三角形：1：3：2 （一个锐角为30°的直角三角形）； 1：1：2（等腰直角三角形）。
四、在数轴上画出带根号的无理数：利用勾股定理可在数轴上画出带根号的数。如长为13的线段是直角边为正整数3和2的直角三角形的斜边；5的线段是直角边为正整数1和2的直角三角形的斜边。
五、互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题。原命题和逆命题是一对互逆命题。
如：（1）原命题“两直线平行，同位角相等”（真命题）；逆命题“同位角不相等，则两直线不平行”（真命题）。
（2）原命题“如果a>b，那么|a|>|b|”（假命题） 逆命题“如果|a|>|b|，那么a>b”（假命题）。
六、与勾股定理相关的知识点
1、平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。用数学语言表达即为：若ax=2，则x叫做a的平方根。
