17.1.1勾股定理的认识优秀课件
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人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
人教版八年级下册数学优质课件：17.1.1勾股定理
从而在数轴上画出表 示 3 ， 4 ， 5 …… 的点．
１１ １
12 13 11 10 １
9１
8
１
7
１
１2 １3
4
6１
5１
１１
5.以直角三角形三边为半径作半圆， 这3个半圆的面积之间有什么关系？
C
Sb Sa
A
B Sa+Sb=Sc
Sc
10.长为 3 的线段是直角边为 正整数___2___，___1___的直角三角 形的斜边．
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
1
1
美丽的勾股树
3.小明用火柴棒摆直角三角形，已知 他摆两条直角边分别用了6根和8根火 柴棒，他摆完这个直角三角形共用火 柴棒多少根?
4.小亮想知道学校旗杆的高度．他发现 旗杆上的绳子垂到地面还多2米；当他 把绳子的下端拉开4米后，下端刚好接 触地面．你能帮他把学校旗杆的高求出 来吗？
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
x2 =81+144 x =15
①
y2 =169-144
y=5 ②
z2 =625-576 z=7 ③
2.求下列直角三角形中未知边的长:
5
x
16
20
x 12 8
17
x
方法: 可用勾股定理建立方程.
3.在Rt△ABC中, ∠C=90°
C
8
BC
13
解：（1）在Rt△ABC中,由 （2）在Rt△ABC中,由
八年级数学下册教学课件《勾股定理 单元解读》
教材内容
勾股定理分为两节。第17.1节介绍勾股定理及其应用，第17.2节介绍勾 股定理的逆定理及其应用.
17.1 勾股定理. 首先结合引言了解到在我国古代就对直角三角形有了初步认识，然后通过对等腰直 角三角形的三边关系进行探究到一般的直角三角形的三边关系，最后介绍了我国古 代，“赵爽弦图”通过对图形的切割，拼接巧妙地证明了勾股定理.
17.1 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理
数学活动 小结
4课时 3课时
2课时
教学建议
1.重视提高学生分析问题、解决问题的能力 在勾股定理的教学中，一方面要重视学生观察、 猜想能力的培养，
另一方面也要重视从特殊结论到一般结论的严密逻辑思维能力的培养. 从勾股定理到它的逆定理，学生往往会从直觉出发想当然地认为勾股 定理的逆命题也一定成立.而从这种直觉上升到逻辑严密的思考和证 明，认识到两个结论有联系但却并不相同，认识到新的结论仍需要经 过严格的证明，这是思维能力提高的重要体现，这在教学中是应该引 起重视的另外，逆命题的教学也是一个教学难点，怎样写出一个命题 的逆命题，原命题和逆命题真假的多种可能性，怎样的命题可以称为 逆定理，这些都是学生容易出错的知识点.
直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质.本章所研究的勾股 定理，就是直角三角形非常重要的性质之一，有极其广泛的应用．不仅在平面 几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基 础，对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响．本章教学时间约需9个课 时，具体安排如下（仅供参考）：
通过这一节内容的学习，可以培养 学生逻辑思维能力、分析问题和解 决问题的能力.
教材内容
勾股定理分为两节。第17.1节介绍勾股定理及其应用，第17.2节介绍勾 股定理的逆定理及其应用.
17.1.1 勾股定理 (共24张PPT)
A
B
探
C
索
勾
股 A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC 定 理
（1）观察图1
正方形A中含有 9 个
C
小方格，即A的面积是
A
9 个单位面积。
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是 18 个单位面积。
B C
图1
A
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
A
图1-1 图1-2
C
C
B
总统巧证勾股定理
C
D
c
a
cb
Ab
Ea B
美国第二十任 总统伽菲尔德
返回
走 进 数 学 史
勾股定理的证明方法
证 法 一
走
证
进
法 二
数
学
证 法
史
三
（邹元治证明）
（赵爽证明） 赵爽:我国古代数学家
应用勾股定理
a
c
确定斜边 c2= a2+b2
？
b
a
b
确定斜边 b2= a2+c2
？
c
b
a
确定斜边 a2= b2+c2
来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有
பைடு நூலகம்
业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，
甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容
易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我
国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。
的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百 牛定理”．）
勾股定理ppt课件
弦
勾
股
那么勾、股、弦之间有什么关系呢？这 就是我们今天要探究的问题。
推进新课
知识点 1 勾股定理的发现
毕达哥拉斯在朋友家里做客 时，从砖铺成的地面中发现了直 角三角形三边的数量关系．
观察
你从图片中发现了什么？
思考 三个正方形的面积有什么关系？
发现
两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.
思考
等腰直角三角形三条边长度 之间有怎样的特殊关系？
课堂小结
勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a ，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
课后作业
1.课后练习1、2； 2.完成练习册本课时的习题。
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标 1.了解勾股定理的文化背景，了解常见的利用 拼图验证勾股定理的方法. 2.知道勾股定理的内容. 教学重点：掌握勾股定理并运用勾股定理解决 简单的实际问题。 教学难点：勾股定理的证明。
新课导入
提问 你知道在古代，人们
如何称呼直角三角形的三 边吗？
拓展延伸
如图，已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C 落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的长. 解：∵∠A=∠C′=∠C=90°, ∠AEB=∠C′ED，AB=C′D, ∴△AEB≌△C′ED.∴AE=C′E, ∴C′E=AD-ED=8-ED.又在△EC′D中，
ED2 CE2 CD2 . ED2 8 ED2 42，解得ED 5.
赵爽弦图
思考 你是如何理解的？你会证明吗？
证明
c
a
b
bbc
a S=a2+b2
a
小正方形的面b积= (b-a)a2 =c2-4×1 ab
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
八年级数学17.1 勾股定理 (共19张PPT)优秀课件
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统〞证法。
拼图证明
bc
a
拼图证明
求以下直角三角形中未知边的长:
5
17 8
x
x
16
20
x 12
x＝１５
x＝１２ x＝１３
方法小结: ①可用勾股定理建立方程.
大话勾股定理
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 在国国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 定理理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年 年希希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。
这是用“割〞的方法
A
R
P
C
B
Q
观察的探究一所得到的数据，你有什么发现？
P Ca B
Qb c
R A
SP+SQ=SR
a2+b2=c2
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
A
a2+b2=c2
b
c
Ca
B
勾 股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半局 部称为"勾"，下半局部称为"股"。我国古代学者 把直角三角形较短的直角边称为“勾〞，较长的 直角边称为“股〞，斜边称为“弦〞.
Hale Waihona Puke 勾股定理邮票赏 析这是1955年希腊曾经发行的 一枚纪念邮票。 观察这枚邮票图案小方格的个 数，你有什么发现？
人教版数学八年级下册：17.1 勾股定理 课件(共35张PPT)
探究 如图，以Rt△ 的三边为边向外作正方形，
其面积分别为 S1 、S2、S3，请同学们想一想
S1 、S2、S3 之间有何关系呢？
S2 + S3 =a2+b2
S1=c2
B
S1c a S2
b
A S3 C
∵a2+b2=c2
S2 + S3 = S1
探究S1、S2、S3之间的关系
S2
S3
1 2
a 2
2
1 2
b 2
2
1 a2 1 b2
8
8
S1
1 2
c 2
2
1
8
c2
由勾股定理得 a2+b2=c2
∴S2+S3=S1
S2
c
SS3 2
A
S1
S1
动手操作：例2如图，Rt△ABC中
，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别 以AB、BC、AC为直径作三个半圆 ，那么阴影部分的面积为__24_ .
A
E
D
B
F
C
A
A =625
225
400
81
B =144
225
2、如图所示的图形中，所 有的四边形都是正方形，所 有的三角形都是直角三角形 ，其中最大的正方形的边长 是8厘米，则正方形A，B， C，D的面积之和是 __6_4_____平方厘米
利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题
能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）
利用勾股定理解决平面几何问题1— —最短路径问题
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SC
每块砖都是等腰直角三角形
新知探究
SA+SB=SC
我们可以发现：以等 腰直角三角形两直角边为 边长的小正方形面积之和， 等于以斜边为边长的大正 方形的面积.
SA SB
SC
a2+b2=c2
ab c
新知探究
A 3cm
C
5cm
B 4cm
新知探究
《 周 髀 算 经 》
新知探究
但是，所有的公式定理，不是光靠实验和猜 想就能够说明清楚的.特殊的数据永远替代不了一 般的规律.
章前图
17.1.1 勾股定理的认识
情境引入
相传古希腊数学家毕达哥拉斯有一次他在朋友家做客时，发现朋友家用 砖铺成的地面中反映了正方形A、B、C三者面积之间的数量关系，进而发 现直角三角形三边的某种数量关系．
我们也来观察右图的地面，你 能猜想出正方形A、B、C面积 之间有什么数量关系吗？
SA SB
24m
9m
?
成果展示
5.如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急.接警后“119”迅 速赶到现场，并决定从断裂 处将旗杆折断.现在需要划 出一个安全警戒区域，那么 你能确定这个安全区域的半 径至少是多少米吗？
课堂测课评堂小结
课后作业
1.必做题：导学案《课后检测》 2.选做题：
课本第30页“阅读与思考”，了解勾股定理 的多种证法.
（1）若 a 3，b 5 ，则 c 34 . （2）若 a 6 ，c 8 ，则 b 2 7 . （3）若 c 61，b 60 ，则 a 11 .
成果展随示堂练习
D 2. 下列说法正确的是（
）
A、若 a 、b、c 是 ABC的三边，则 a2 b2 c2 .
B、若 a 、b、c是 RtABC的三边，则 a2 b2 c2 .
C 思考解：：连接AC. 在Rt △ ABC中， ∠ ABC=90 ° （1）∴木A板C 横2 =着AB能2否+ 通BC过2 =？1 2+ 2 2 =5
（2）∴木A板C 竖= 着5能≈否2.2通4 （过？m ）
A
B （3）在因长为方AC形大A于B木CD板中的宽A度B、2.2AmC，、所B以C木哪板能一条
C、若 a 、b、c是 RtABC的三边，A 90， 则 a2 b2 c.2
D、若 a 、b、c是 RtABC的三边，C 90，则 a2 b2 c2.
成果展示
3. 已知S1=1，S2=3， S3=2，S4=4 , 求S5 、S6 、S7的值.
4. 一个直角三角形的两边长分别为 5cm 和12cm , 则第三边的长为 13cm 或 119 cm 。
从门框内通过 .
线最长？
小结反课思堂小结
本节课我们学到了什么？
一个定理 勾股定理
一种思想 一次探索
以形证数 从特殊到一般
一份自豪 作为中国人的民族自豪感
课堂小结
结束
课后作课业堂小结
作业： 1、导学案《课后作业》 2、收集“勾股定理”的证明方法
结束
成果展示
1. 已知在 RtABC 中，C 90，
结束
新知探究
新知探究
加菲尔德是美国政治
家、数学家,生于俄亥俄 州,1880年加菲尔德当选 为第20任总统.他在数学 方面的贡献主要是在勾股 定理证明方面的新成就， 他也是美国历史上唯一一 位数学家出身的总统。
新知探究
勾股定理
在直角三角形中，两直角边的平方和 等于斜边的平方.
章前图的意义
典例分析
例1.求图中直角三角形的未知边的长度 .
于是当时的数学家们由验证的过程转为了论 证的过程. 对一般的直角三角形进行严格的论证．
拼图游戏
b c bcbc b c
a
a
a
a
规则：请同学们以这四个直角三角形
的边为界，围成一个正方形，并且要求这
四个直角三角形位于这个正方形的形内 .
刘徽（约公元225年—
295年），山东邹平县 人，魏晋期间伟大的数 学家，中国古典数学理 论的奠基人之一。是中 国数学史上一个非常伟 大的数学家，他的杰作 《九章算术注》和《海 岛算经》，是中国最宝 贵的数学遗产。
A
A
8
Hale Waihona Puke AC 10C B6
12
13
B
C
BC 5
典例分析
例2. 已知在 RtABC中，
（1）若 C 90 ，c 10 ，b 8 ，
则a 6 . （2）若 c 10 ，b 8 ，则 a
6 或 2 41 . 分类讨论
典例分随析堂练习
例3.一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m,宽 2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
每块砖都是等腰直角三角形
新知探究
SA+SB=SC
我们可以发现：以等 腰直角三角形两直角边为 边长的小正方形面积之和， 等于以斜边为边长的大正 方形的面积.
SA SB
SC
a2+b2=c2
ab c
新知探究
A 3cm
C
5cm
B 4cm
新知探究
《 周 髀 算 经 》
新知探究
但是，所有的公式定理，不是光靠实验和猜 想就能够说明清楚的.特殊的数据永远替代不了一 般的规律.
章前图
17.1.1 勾股定理的认识
情境引入
相传古希腊数学家毕达哥拉斯有一次他在朋友家做客时，发现朋友家用 砖铺成的地面中反映了正方形A、B、C三者面积之间的数量关系，进而发 现直角三角形三边的某种数量关系．
我们也来观察右图的地面，你 能猜想出正方形A、B、C面积 之间有什么数量关系吗？
SA SB
24m
9m
?
成果展示
5.如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急.接警后“119”迅 速赶到现场，并决定从断裂 处将旗杆折断.现在需要划 出一个安全警戒区域，那么 你能确定这个安全区域的半 径至少是多少米吗？
课堂测课评堂小结
课后作业
1.必做题：导学案《课后检测》 2.选做题：
课本第30页“阅读与思考”，了解勾股定理 的多种证法.
（1）若 a 3，b 5 ，则 c 34 . （2）若 a 6 ，c 8 ，则 b 2 7 . （3）若 c 61，b 60 ，则 a 11 .
成果展随示堂练习
D 2. 下列说法正确的是（
）
A、若 a 、b、c 是 ABC的三边，则 a2 b2 c2 .
B、若 a 、b、c是 RtABC的三边，则 a2 b2 c2 .
C 思考解：：连接AC. 在Rt △ ABC中， ∠ ABC=90 ° （1）∴木A板C 横2 =着AB能2否+ 通BC过2 =？1 2+ 2 2 =5
（2）∴木A板C 竖= 着5能≈否2.2通4 （过？m ）
A
B （3）在因长为方AC形大A于B木CD板中的宽A度B、2.2AmC，、所B以C木哪板能一条
C、若 a 、b、c是 RtABC的三边，A 90， 则 a2 b2 c.2
D、若 a 、b、c是 RtABC的三边，C 90，则 a2 b2 c2.
成果展示
3. 已知S1=1，S2=3， S3=2，S4=4 , 求S5 、S6 、S7的值.
4. 一个直角三角形的两边长分别为 5cm 和12cm , 则第三边的长为 13cm 或 119 cm 。
从门框内通过 .
线最长？
小结反课思堂小结
本节课我们学到了什么？
一个定理 勾股定理
一种思想 一次探索
以形证数 从特殊到一般
一份自豪 作为中国人的民族自豪感
课堂小结
结束
课后作课业堂小结
作业： 1、导学案《课后作业》 2、收集“勾股定理”的证明方法
结束
成果展示
1. 已知在 RtABC 中，C 90，
结束
新知探究
新知探究
加菲尔德是美国政治
家、数学家,生于俄亥俄 州,1880年加菲尔德当选 为第20任总统.他在数学 方面的贡献主要是在勾股 定理证明方面的新成就， 他也是美国历史上唯一一 位数学家出身的总统。
新知探究
勾股定理
在直角三角形中，两直角边的平方和 等于斜边的平方.
章前图的意义
典例分析
例1.求图中直角三角形的未知边的长度 .
于是当时的数学家们由验证的过程转为了论 证的过程. 对一般的直角三角形进行严格的论证．
拼图游戏
b c bcbc b c
a
a
a
a
规则：请同学们以这四个直角三角形
的边为界，围成一个正方形，并且要求这
四个直角三角形位于这个正方形的形内 .
刘徽（约公元225年—
295年），山东邹平县 人，魏晋期间伟大的数 学家，中国古典数学理 论的奠基人之一。是中 国数学史上一个非常伟 大的数学家，他的杰作 《九章算术注》和《海 岛算经》，是中国最宝 贵的数学遗产。
A
A
8
Hale Waihona Puke AC 10C B6
12
13
B
C
BC 5
典例分析
例2. 已知在 RtABC中，
（1）若 C 90 ，c 10 ，b 8 ，
则a 6 . （2）若 c 10 ，b 8 ，则 a
6 或 2 41 . 分类讨论
典例分随析堂练习
例3.一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m,宽 2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？