2019届北师大版(文科数学) 古典概型与几何概型 单元测试

单元评估检测(七) 立体几何初步(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．中央电视台正大综艺以前有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为( )图1A2．(2017·衡阳模拟)如果一个几何体的三视图如图2所示，正视图与侧视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形(单位：cm)，则此几何体的侧面积是( )图2A．2 3 cm2B．4 3 cm2C．8 cm2D．14 cm2C3．若三棱锥的三视图如图3所示，则该三棱锥的体积为( )图3A．80 B．40C ．803D ．403D4．(2017·泉州模拟)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，以下命题正确的是( )A ．若l ∥α，α∥β，则l ∥βB ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥βC ．若l ⊥α，α⊥β，则l ∥βD ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD5．正四面体P ­ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．平面PDF ⊥平面ABC C ．DF ⊥平面PAED ．平面PAE ⊥平面ABC B6．(2017·武汉模拟)在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( )【导学号：00090399】A ．34B ．32C ．334D ． 3B7．如图4，四面体ABCD 中，AB ＝DC ＝1，BD ＝2，AD ＝BC ＝3，二面角A ­BD ­C 的平面角的大小为60°，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角的余弦值是( )图4A ．13B ．33C ．63D ．223B8．如图5，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误的是( )图5A ．直线BD 1与直线B 1C 所成的角为π2B ．直线B 1C 与直线A 1C 1所成的角为π3C ．线段BD 1在平面AB 1C 内的投影是一个点 D ．线段BD 1恰被平面AB 1C 平分 D9．如图6，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 为线段CD 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的投影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成集合的长度为( )图6A ．32B ．233C ．π2D ．π3D10．(2017·九江模拟)棱长为43的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为( )【导学号：00090400】A ． 2B ．22 C ．24D ．26B11．(2017·南阳模拟)如图7是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )图7A ．6＋2π3B ．8＋π3C ．4＋2π3D ．4＋π3C12．下列命题中错误的是( )A ．如果α⊥β，那么α内一定有直线平行于平面βB ．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC ．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．半径为336π的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为________． 8814．(2017·运城模拟)如图8，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的体积为V 1，四棱锥A ­BCC 1B 1的体积为V 2，则V 1V 2＝________.图83215．如图9，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，底面是∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .图9a或2a16．(2017·菏泽模拟)如图10，ABCD­A1B1C1D1为正方体，下面结论：图10①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为60°.错误的有________．(把你认为错误的序号全部写上)④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2017·南昌模拟)如图11所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2 m，高为7 m，制造这个塔顶需要多少面积的铁板？图11制造这个塔顶需要8 2 m2的铁板．18．(12分)如图12，已知四棱锥P­ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M，N分别为PB，PC的中点．图12(1)证明：MN ∥平面PAD ．(2)若PA 与平面ABCD 所成的角为45°，求四棱锥P ­ABCD 的体积V . [解] (1)因为M ，N 分别是棱PB ，PC 的中点，所以MN ∥BC ， 又四边形ABCD 是正方形，所以AD ∥BC ，于是MN ∥AD ．⎭⎪⎬⎪⎫MN ∥ADAD ⊂平面PAD MN ⊄平面PAD ⇒MN ∥平面PAD ． (2)由PD ⊥底面ABCD ，知PA 与平面ABCD 所成的角为∠PAD ，所以∠PAD ＝45°， 在Rt △PAD 中，知PD ＝AD ＝2，故四棱锥P ­ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.19．(12分)如图13，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，CA ＝CB ，D ，E ，F 分别为AB ，A 1D ，A 1C 的中点，点G 在AA 1上，且A 1D ⊥EG .图13(1)求证：CD ∥平面EFG . (2)求证：A 1D ⊥平面EFG . 略20．(12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图14，四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．图14(1)证明MN ∥平面PAB ；(2)求四面体N ­BCM 的体积. 【导学号：00090401】 (1)略 (2)45321．(12分)(2017·新乡模拟)如图15①，在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD ＝PC ，若沿AB 将三角形PAB 折起，使∠PAD ＝θ，构成四棱锥P ­ABCD ，且PC PF ＝CD CE＝2，如图15②.(1)求证：平面BEF ⊥平面PAB ．(2)当异面直线BF 与PA 所成的角为60°时，求折起的角度θ.图15[解] (1)因为2BD ＝PC ，所以∠PDC ＝90°， 因为AB ∥CD ，且PC PF ＝CDCE＝2，所以E 为CD 的中点，F 为PC 的中点，CD ＝2AB ，所以AB ∥DE 且AB ＝DE ，所以四边形ABED 为平行四边形，所以BE ∥AD ，BE ＝AD ， 因为BA ⊥PA ，BA ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ，所以BA ⊥平面PAD ，因为AB ∥CD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PD 且CD ⊥AD ，又因为在平面PCD 中，EF ∥PD (三角形的中位线)，于是CD ⊥FE . 因为在平面ABCD 中，BE ∥AD ， 于是CD ⊥BE ，因为FE ∩BE ＝E ，FE ⊂平面BEF ，BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥平面BEF ， 又因为CD ∥AB ，AB 在平面PAB 内，所以平面BEF ⊥平面PAB ．(2)因为∠PAD ＝θ，取PD 的中点G ，连接FG ，AG ，所以FG ∥CD ，FG ＝12CD ，又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，所以FG ∥AB ，FG ＝AB ，从而四边形ABFG 为平行四边形，所以BF ∥AG ，所以BF 与PA 所成的角即为AG 与PA 所成的角，即∠PAG ＝60°，因为PA ＝AD ，G 为PD 中点，所以AG ⊥PD ，∠APG ＝30°，所以∠PDA ＝30°，所以∠PAD ＝180°－30°－30°＝120°.故折起的角度为120°.22．(12分)正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝12CD ＝2，点M 在线段EC 上且不与E ，C 重合．图16(1)当点M 是EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF . (2)当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥M ­BDE 的体积． [解] (1)取ED 的中点N ，连接MN ，AN ，又因为点M 是EC 的中点， 所以MN ∥DC ，MN ＝12DC ，而AB ∥DC ，AB ＝12DC ，所以MN 綊AB ，所以四边形ABMN 是平行四边形， 所以BM ∥AN ，而BM ⊄平面ADEF ，AN ⊂平面ADEF ， 所以BM ∥平面ADEF .(2)取CD 的中点O ，过点O 作OP ⊥DM ，连接BP ，BO ， 因为AB ∥CD ，AB ＝12CD ＝2，所以四边形ABOD 是平行四边形， 因为AD ⊥DC ，所以四边形ABOD 是矩形， 所以BO ⊥CD ，因为正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，ED ⊥AD ， 所以ED ⊥平面ADCB ， 所以平面CDE ⊥平面ADCB ， 所以BO ⊥平面CDE ， 所以BP ⊥DM ，所以∠OPB 是平面BDM 与平面DCE (即平面ABF )所成锐二面角， 因为cos ∠OPB ＝66， 所以sin ∠OPB ＝306， 所以OB BP ＝306，解得BP ＝2305. 所以OP ＝BP cos ∠OPB ＝255，所以sin ∠MDC ＝OP OD ＝55， 而sin ∠ECD ＝225＝55，所以∠MDC ＝∠ECD ，所以DM ＝MC ，同理DM ＝EM ，所以M 为EC 的中点， 所以S △DEM ＝12S △CDE ＝2，因为AD ⊥CD ，AD ⊥DE ， 且DE 与CD 相交于点D ， 所以AD ⊥平面CDE ， 因为AB ∥CD ，所以三棱锥B ­DME 的高＝AD ＝2， 所以V M ­BDE ＝V B ­DEM ＝13S △DEM ·AD ＝43.。

第二节古典概型[考纲传真].理解古典概型及其概率计算公式.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．基本事件的特点()任何两个基本事件是互斥的．()任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．．古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．()试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果．()每个基本事件出现的可能性相等．．古典概型的概率公式()＝＝.[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )()掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )()从－，－，－中任取一数，取到的数小于与不小于的可能性相同．( ) ()利用古典概型的概率可求“在边长为的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于”的概率．( )[答案]()×()×()√()×．(教材改编)下列试验中，是古典概型的个数为( )①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形内，任意抛掷一点，点恰与点重合；③从四个数中，任取两个数，求所取两数之一是的概率；④在线段[]上任取一点，求此点小于的概率．．．．．[由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]．(·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是，，中的一个字母，第二位是中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )【导学号：】．．．．[∵Ω＝{()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()}，∴事件总数有种．∵正确的开机密码只有种，∴＝.]．(·全国卷Ⅰ)如果个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这个数为一组勾股数，从中任取个不同的数，则这个数构成一组勾股数的概率为( ) ．．．．[从中任取个不同的数共有如下个不同的结果：()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，其中勾股数只有()，所以概率为.故选．]．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝种颜色的运动服中选择种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．[甲、乙两名运动员选择运动服颜色的情况为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共种．所以所求概率＝＝.](对应学生用书第页)卷Ⅱ)从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一。

2019届北师大版（文科数学） 立体几何 (2) 单元测试一、选择题 1．(必修2 P 10B 组T 1改编)如图，若Ω是长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是( )A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台解析：选D ．因为EH ∥A 1D 1，A 1D 1∥B 1C 1，EH ⊄平面BCC 1B 1，所以EH ∥平面BCC 1B 1． 又因为平面EFGH ∩平面BCC 1B 1＝FG ，所以EH ∥FG ，且EH ＝FG ，由长方体的特征知四边形EFGH 为矩形，Ω为五棱柱，所以选项A ，B ，C 都正确．故选D ．2．(必修2 P 61练习、P 71练习T 2、P 73练习T 1改编)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n解析：选D ．A 中，两直线可能平行，相交或异面；B 中，两平面可能平行或相交；C 中，两平面可能平行或相交；D 中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选D ．3．(必修2 P 78A 组T 7改编)正四棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为( )A ．25πB ．252πC ．253πD ．254π解析：选C ．由三视图画出直观图与其外接球示意图，且设O 1是底面中心．由三视图知，O 1A ＝2，O 1P ＝3，所以正四棱锥P -ABCD 的外接球的球心O 在线段O 1P 上．设球O 的半径为R ．由O 1O 2＋O 1A 2＝OA 2得(3－R )2＋(2)2＝R 2． 所以R ＝523．则外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π·⎝⎛⎭⎫5232＝253π． 4．(必修2 P 79 B 组 T 2改编)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1D ∩平面A 1BC 1＝H ． 有下列结论． ①B 1D ⊥平面A 1BC 1；②平面A 1BC 1将正方体体积分成1∶5两部分； ③H 是B 1D 的中点；④平面A 1BC 1与正方体的六个面所成的二面角的余弦值都为33．则正确结论的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．对于①，连接B 1C 与A 1D ，由正方体性质知，BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥A 1B 1， 又A 1B 1∩B 1C ＝B 1，A 1B 1，B 1C ⊂平面A 1B 1CD ． 所以BC 1⊥平面A 1B 1CD ． 又B 1D ⊂平面A 1B 1CD ． 所以B 1D ⊥BC 1．同理B 1D ⊥A 1B ，A 1B ∩BC 1＝B ． 所以B 1D ⊥平面A 1BC 1，故①正确．对于②．设正方体棱长为a ． 则V 三棱锥B -A 1B 1C 1＝13·12a ·a ·a ＝16a 3．所以平面A 1BC 1将正方体分成两部分的体积之比为16a 3∶(a 3－16a 3)＝1∶5．故②正确．对于③，设正方体棱长为a ， 则A 1B ＝2a ．由V B 1-A 1BC 1＝16a 3，得13×34×(2a )2·B 1H ＝16a 3， 所以B 1H ＝33a ，而B 1D ＝3a ． 所以B 1H ∶HD ＝1∶2，即③错误．对于④，由对称性知，平面A 1BC 1与正方体六个面所成的二面角的大小都相等． 由①知B 1H ⊥平面A 1BC 1，而A 1B 1⊥平面B 1BCC 1． 所以∠A 1B 1H 的大小即为所成二面角的大小． cos ∠A 1B 1H ＝B 1H A 1B 1＝33aa ＝33．故④正确．故选C ．二、填空题5．(必修2 P 53 B 组 T 2改编)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，点A 1在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为________．解析：连接A 1D ，AD ，A 1B ，易知∠A 1AB 为异面直线AB 和CC 1所成的角，设三棱柱的侧棱长与底面边长均为1，则AD ＝32，A 1D ＝12，A 1B ＝22，由余弦定理得cos ∠A 1AB ＝1＋1－122×1×1＝34． 答案：346．(必修2 P 79 B 组 T 1改编)如图在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC ，AE ⊥DC ，M ，N 分别是AD ，BE 的中点，将△ADE 沿AE 折起．则下列说法正确的是________．(填上所有正确说法的序号)①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥平面DEC ； ②不论D 折至何位置都有MN ⊥AE ；③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥AB ； ④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC ⊥AD ； ⑤无论D 折至何位置，都有AE ⊥DC ． 解析：如图，设Q ，P 分别为CE ，DE 的中点，可得四边形MNQP 是矩形，所以①②正确；不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN 与AB 是异面直线，不可能MN ∥AB ，所以③错；当平面ADE ⊥平面ABCD 时，可得EC ⊥平面ADE ，故EC ⊥AD ，④正确．无论D 折到何位置，均有AE ⊥平面CDE ．故AE ⊥CD ．故⑤正确．答案：①②④⑤ 三、解答题7．(必修2 P 79B 组T 1改编)如图，边长为33的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，将△AED ，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A ′．(1)求证：A ′D ⊥EF ．(2)当BE ＝BF ＝13BC 时，求三棱锥A ′­EFD 的体积．解：(1)证明：因为A ′D ⊥A ′E ，A ′D ⊥A ′F ，A ′E ∩A ′F ＝A ′，所以A ′D ⊥平面A ′EF ， 因为EF ⊂平面A ′EF ， 所以A ′D ⊥EF ．(2)由(1)知，A ′D ⊥平面A ′EF ，所以A ′D 的长即为三棱锥D -A ′EF 的高，则A ′E ＝A ′F ＝23BC ＝23，EF ＝BE 2＋BF 2＝6，作A ′O ⊥EF 于点O ， 所以A ′O ＝A ′E 2－⎝⎛⎭⎫12EF 2＝422，则V A ′­EFD ＝V D -A ′EF ＝13A ′D ·S △A ′EF ＝13×33×12EF ·A ′O ＝13×33×12×6×422＝3212． 8．(必修2 P 78 A 组 T 4改编)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 、M 分别是C 1B 1，C 1D 1和AB 的中点．(1)求证：MD 1∥平面BEFD ． (2)求M 到平面BEFD 的距离． 解：(1)证明：连接BF ．因为M 、F 分别为AB 与C 1D 1的中点，且ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体． 所以MB ═∥D 1F ．所以四边形MBFD 1为平行四边形， 所以MD 1∥BF ．又MD 1⊄平面BEFD ，BF ⊂平面BEFD ． 所以MD 1∥平面BEFD ． (2)过E 作EG ⊥BD 于G ． 因为正方体的棱长为2，所以BE ＝5，BG ＝12(BD －EF )＝12(22－2)＝22．所以EG ＝BE 2－BG 2＝5－12＝322． 所以S △EBD ＝12BD ×EG ＝12×22×322＝3．又S △MBD ＝12MB ×AD ＝12×1×2＝1．E 到平面ABCD 的距离为2，设M 到平面BEFD 的距离为d ． 由V 三棱锥M -BDE ＝V 三棱锥E -MBD 得13S △EBD ·d ＝13S △MBD ×2． 所以d ＝S △MBD ×2S △EBD ＝1×23＝23．所以M 到平面BED 的距离为23．。

第2讲　古典概型一、选择题1．(2014·全国Ⅰ卷改编)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为( )A. B. C. D.12132356解析　设两本不同的数学书为a 1，a 2,1本语文书为b .则在书架上的摆放方法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率P ＝＝.4623答案　C2．(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )A. B. C. D.1525825925解析　设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形．故甲被选中的概率P ＝＝.41025答案　B3．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A. B. C. D.15253545解析　设正方形的四个顶点分别是A ，B ，C ，D ，中心为O ，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB ，AC ，AD ，AO ，BC ，BD ，BO ，CD ，CO ，DO ，共有10种，其中只有顶点到中心O 的距离小于正方形的边长，分别是AO ，BO ，CO ，DO ，共有4种．故所求事件的概率P ＝1－＝.41035答案　C4．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为( )A. B. C. D.12133425解析　点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为＝.2613答案　B5．设m ，n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋mx ＋n ＝0有实根的概率为( )A. B. C. D.1136736711710解析　先后两次出现的点数中有5的情况有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，其中使方程x 2＋mx ＋n ＝0有实根的情况有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种．故所求事件的概率P ＝.711答案　C 二、填空题6．在集合Error!中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝的概率是12________．解析　基本事件总数为10，满足方程cos x ＝的基本事件数为3，故所求概率为12P ＝.310答案　3107．(2016·四川卷)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．解析　从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8), 共12种取法，其中log a b 为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P ＝＝.21216答案　168．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．解析　设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P (A )＝＝.2613答案　13三、解答题9．(2015·山东卷)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解　(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15人，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝＝.154513(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个．因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝.21510．在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？解　用(x ，y )(x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设甲获胜的事件为A ，则事件A 中包含的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个，则P (A )＝＝.102525(2)设甲获胜的事件为B ，乙获胜的事件为C .事件B 所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共有10个；则P (B )＝＝.∴P (C )＝1－P (B )＝.10252535∵P (B )≠P (C )，∴这样规定不公平．11．(2017·衡水中学质检)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A. B.1613C.D.1412解析　由题意知，向量m 共有4×3＝12个，由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即a ＝b ，则满足m ⊥n 的m 有(3,3)，(5,5)，共2个，故所求概率P ＝＝.21216答案　A12．某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为( )A. B.11219C.D.53616解析　先后掷两次骰子的结果共6×6＝36种．以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为＝.336112答案　A13．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋4＜0成立的事件发生的概率为________．解析　由题意知(a ，b )的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a －2b ＋4＜0 有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共4种结果．故所求事件的概率P ＝＝.41614答案　1414．海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区A B C 数量50150100(1)求这6件样品来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解　(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，650＋150＋100150所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×＝1,150×＝3,100×＝2.150150150所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以这2件商品来自相同地区的概率P (D )＝.415。