《例谈数学思想在2011高考解析几何中的应用》

湖北省孝感高级中学高中数学《例谈数学思想在2011高考解析几何中
的应用》论文
在数学的知识和技能中，蕴含着具有普遍性的数学思想，它是数学的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁，是人们对数学事实与理论经过高度提炼概括后产生的本质认识，是数学知识和方法产生的根本源泉，是解决数学问题过程中的指路明灯.对数学思想的应用，是数学学习走向更深层次的一个标志，它能指导我们有效的应用数学知识探寻解题方向.本文就数学思想在解析几何中的应用作一些探讨.
例1（湖北理20）平面内与两定点()()()12,0,,00A a A a a ->连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上12,A A 两点所成的曲线C 可以是圆，椭圆或双曲线.（1）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系.（2）当1m =-时，对应的曲线为1;C 对给定的
()()1,00,,m ∈-+∞ 对应的曲线为2,C 设12,F F 是2C 的两个焦点.试问：在1C 上，是否存
在点,N 使得12F NF ∆的面积2
?S m a =若存在，求12tan F NF ∠的值；若不存在，请说明理由. 分析（1）问先用直接法求轨迹方程，再根据曲线的概念进行分类讨论；（2）问是探索性问题，根据是否存在及绝对值的运算性质分类.
解析（1）设(),,M x y 当x a ≠±时，由条件可得12
222
,MA MA y y y k k m x a x a x a ⋅=⋅==+--即()222.mx y ma x a -=≠±又()()12,0,,0A a A a -的坐标满足222,mx y ma -=故曲线C 的
方程为22
22
1,x y a ma +=-①当1m =-时，C 是圆心在原点的圆；②当1m <-时，C 是焦点在y
轴上的椭圆；③当10m -<<时，C 是焦点在x 轴上的椭圆；④当0m >时，C 是焦点在y 轴上的双曲线.（2）由（1）知，当1m =-时，1C 的方程为2
2
2
;x y a +=当
()()
1,00,,m ∈-+∞ 2C 的两个焦点为()()
12,.F F -对给定的
()()1,00,,m ∈-+∞ 1C 上存在点()()000,0N x y y ≠使得2S m a =的充要条件是
222000,0,
12.
2
x y a y ⎧+=≠⎪
⎨⋅⎪⎩
故00,y a <=
m ≤≤且0,m ≠
故当m ⎫⎛∈⎪ ⎪ ⎭⎝ 时，存在点,N 使
2;
S m a =
当
m ⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，不存在点,N 使2
.S m a =
由
(
)()
100200,,,,NF x y NF x y =--=--
可得12NF NF ⋅=
()2
2
2
2
001.
x m a y ma -++=-令
112212,,,
NF r NF r F NF θ==∠=
则由
21212cos NF NF r r ma
θ⋅==- 可
得
2
12,
cos ma r r θ
-=从而
222121sin 1
sin tan ,22cos 2ma S r r ma m a θθθθ-===-=故2tan .m m θ=-综上可得：
当
m ⎫∈⎪⎪⎭时，在1C 上存在点,N 使得2
,S m a =且12tan 2;F NF =
当m ⎛∈ ⎝时
，
在
1
C 上存在点,N 使得
2,
S m a =且
12tan 2;
F NF =-
当
m ⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，在1C 上不存在点,N 使得2
.S m a = 点评本题具有课本背景，利用分类讨论思想引领可以准确快速解决此问题.
2数形结合思想
解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中要善于将数形结合的数学思想运用于对圆锥曲线和平面几何的性质以及相互关系的研究. 例2（广东理19）设圆C 与两
圆
(
(2
2
2
24,4x y x y +=+=中的一个内切，
另一个外切.（1）求圆C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知
点
)
,,M F 且P 为L 上动点，求MP FP
-的
最
大
值
及
此
时
点
P 的坐标.
解析（1）由定义法求得轨迹方程为2
2 1.4
x y -=（过程略）.（2）由图1知，,MP FP MF -≤故当,,M P F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，
MP FP -取得最大值,MF
且 2.
MF ==直线MF 的方程
为2y x =-+
与双曲线方程联立得22
21,4
y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩
整理得2
15840.x -+=解
得1x =
，2x y ==故当MP FP -取得最大值2时，点P 的坐标
为. 点评将“距离差的绝对值”这一抽象问题转化为形象直观的“三角形两边之差小于第三边”这一基本常识，体现了数形结合解题的简洁性.
例3（上海理23）已知平面上的线段l 及点,P 在l 上任取一点,Q 线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(),.d P l （1）求点()1,1P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离
(),.d P l （2）设l 是长为2的线段，求点集(){}|,1D P d P l =≤所表示的图形面积.（3）写
出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合()(){}
12|,,,P d P l d P l Ω==其中
12,,,,,l AB l CD A B C D ==是下列三组点中的一组.①()()()()1,3,1,0,1,3,1,0.
A B C D --②()()()()1,3,1,0,1,3,1,2.A B C D ---③()()()()0,1,0,0,0,0,2,0.A B C D
解析（1）设(),3Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，则
)35,
PQ x =
=≤≤当
3
x =时，
()min ,d P l PQ ==（2）设线段l 的端点分别为,,A B 以直线AB 为x 轴，线段AB 的中
点为坐标原点建立直角坐标系，则()()1,0,1,0,A B -点集D 由如图2的曲线围成，
()()12:11,:11,l y x l y x =≤=-≤
()()()()2
2
2212:111,:111,C x y x C x y x ++=≤--+=≥其面积为4.S π=+（3）①选择
()()()()(){}1,3,1,0,1,3,1,0,,|0,
A B C D x y x --Ω==如图 3.②选择
()()()()(){}(){}21,3,1,0,1,3,1,2,,|0,0,|4,20
A B C D x y x y x y y x y ---Ω==≥=-≤<
(){},|10,1.x y x y x ++=>
如图4.③选择()()()()0,1,0,0,0,0,2,0,A B C D
(){},|0,0x y x y Ω=≤≥(){},|,01x y y x x =<≤ (){}2,|21,12x y x y x =-<≤
(){},|4230,2.x y x y x --=> 如图
5.
点
评对这样一道新定义综合创新试题，文字语言显得苍白无力，但是利用图形引领，集合语言跟进，问题便迎刃而解.体现了数与形的完美组合. 3函数思想
在解析几何中应用函数思想就是用运动变化，联系的观点，分析问题中的数量关系，构造函数来解决问题.
例4（北京理19）已知椭圆2
2:1,4
x G y +=过点(),0m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于
,A B 两点.（1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.
解析（1）略；（2）由题知1,m ≥当1m =时，切线l 的方程为1,x =
则,1,,A B ⎛
⎛ ⎝⎝此
时AB =
当1m =-时，同理可
得AB =当1m >时，设切线l 的方程为
(),y k x m =-将其代入
2
214
x y +=消去y 并化简整理得，
()2
2
222148440,
k x
k mx k m +-+-=设
()()1122,,,,
A x y
B x y 则
222121222
844
,,1414k m k m x x x x k k -+==++又l 与圆221x y +=相切
得1,=即
222 1.m k k =+
故
2AB x =-==
2,=
当且仅当“m =”时取等号.综合上述知，max 2.
AB =
点评构建弦长关于斜率这一函数关系，是解决此类最值问题的高效方法之一. 4方程思想
解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线的相交问题利用韦达定理进行整体处理，以及直线方程思想的应用，都可以大大简化解题过程. 例5（浙江理21）已知抛物线21:.C x y =圆()2
22:41C x y +-=的圆心为点M.（1）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（2）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线交抛物线1C 于A ，B 两点，若过点M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程. 分析这里仅分析第（2）问，原解答中两次利用二次方程思想，一是构造利用1020,(,)x x x x 或为根的一元二次方程，解出12,x x 两点的坐标，解决了12,x x 与12,k k 的关系；二是构造了以12,k k 为根的一元二次方程，较为复杂.如果根据相切条件利用直线方程思想，只需构造一次便可得到关于直线AB 的方程，从而求出直线AB 的斜率.于是得到下面的一个简解. 简解如图6，设()
()()2001122,,,,,,P x x A x y B x y 由题意得00120,1,,x x x x ≠≠±≠
2210
11001010
,,,PA y y x y x y k x x PA x x -==∴=
=+∴- 直线方程为
()()20100,y x x x x x -=+-即()10010,x x x y x x PA +--= 与圆
2C 相
切，1,=化简得()2220110061150,x x x x x +-+-=即
()220101061150,x x x y x +-+-=同理可得()220202061150,x x x y x +-+-=由直线方程思
想得直线AB 的方程为()
220
0002
0661150,,1AB x x x x y x k x +-+-=∴=
-
()2202
002
0064423,1,,15PM
AB PM l x x k k k x k l x x --=∴⋅==-∴=∴=±∴
- 的直线方程为4.y x -= 点评合理构造与斜率相应的直线方程，通过方程将未知量与已知量间的关系显性化，从而找
图6
到解决本题的简单方法. 5转化与化归思想
数学对象的内部，或者不同的数学对象之间，往往会以某种形式相互联系，在一定的条件下能够相互转化，经过转化，能促进问题的解决.可以说，数学解题的过程就是不断化归与转化的过程.
例6（全国理21）已知O 为坐标原点，F 为椭圆2
2
:12
y C x +=在y 轴正半
轴上的焦点，过点F
且斜率为的直线l 与C 交于,A B 两点，点P 满足
0.OA OB OP ++=
（1）证明：点P 在C 上；
（2）设点P 关于点O 的对称点为,Q 证明：,,,A P B Q 四点在同一圆上.
分析证明四点共圆的等价方法很多，可以利用圆心到四个点,,,A P B Q 的距离相等来证明；也可以通过四边形的两对角互补证明；也可以利用割线定理
证明；也可以利用托勒密定理逆定理证明.这里利用“同底同侧等顶角的三角形”这一新方法证明.
证明（1）设()(
)1122,,,,: 1.A x y B x y l y =+
由2
2
122
y x y ⎧=+⎪⎨
+=⎪⎩消去y
得
2
410,
x --=
故
12121
.
4
x x x x +==-由
OA OB OP ++=
得
(
)(
)(
)
)121211121121,P P x x x y y y x x =-+==-+=-++=+-=-
将1P ⎛⎫- ⎪ ⎪
⎝⎭
代入椭圆方程得()2
2
11,2⎛-+= ⎝故P 在C 上.（2）如图7，由（1
）得1x
=
2x =
故A
B 又由（1
）知(1),P Q -
故AQ k =
BP k =又
因
为
PQ AB k k ==故由到角公式得
tan AQP
∠=
=
tan ABP ∠=
=故,
∠=∠从而,,,
A P
B Q四点在同一圆上.
ABP AQP
点评等价转化思想是将难以解决的新问题转化为已解决问题的一种重要数学思想.解决复杂问题的关键是将条件中的隐性复杂关系通过某些手段显化为目标条件.
在数学学习中，若不研究数学思想的应用，所谓的解题方法就无基础，解题的过程只不过是简单的机械的活动而已.数学思想犹如一盏为船只指明航向的明灯，只要能自觉应用它指导解题，思路就能豁然开朗，解题自然成为一种享受.。