湖北省武汉市2021年中考数学试卷一、单选题1.（2019·朝阳）3的相反数是（ ）A. 3B. -3C. 13 D. −13 2.（2021·武汉）下列事件中是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数 C. 打开电视机，正在播放广告D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级3.（2021·武汉）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A.B.C.D.4.（2021·武汉）计算 (−a 2)3 的结果是（ ）A. −a 6B. a 6C. −a 5D. a 55.（2021·武汉）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）A. B. C. D.6.（2021·武汉）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（ ）A. 13 B. 12 C. 23 D. 347.（2021·武汉）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱.多出3钱；每人出7钱，差4钱.问人数，物价各是多少？若设共有 x 人，物价是 y 钱，则下列方程正确的是（ ） A. 8(x −3)=7(x +4) B. 8x +3=7x −4 C.y−38=y+47D.y+38=y−478.（2021·武汉）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返同，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离 y （单位： km ）与慢车行驶时间 t （单位： h ）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（ ）A. 53h B. 32h C. 75h D. 43h 9.（2021·武汉）如图， AB 是 ⊙O 的直径， BC 是 ⊙O 的弦，先将 BC ⌢ 沿 BC 翻折交 AB 于点 D .再将 BD⌢ 沿 AB 翻折交 BC 于点 E .若 BE ⌢=DE ⌢ ，设 ∠ABC =α ，则 α 所在的范围是（ ）A. 21.9°<α<22.3°B. 22.3°<α<22.7°C. 22.7°<α<23.1°D. 23.1°<α<23.5°10.（2021·武汉）已知 a ， b 是方程 x 2−3x −5=0 的两根，则代数式 2a 3−6a 2+b 2+7b +1 的值是（ ）A. -25B. -24C. 35D. 36二、填空题11.（2018八下·兴义期中）计算 √(−5)2 的结果是________12.（2021·武汉）我国是一个人口资源大国，第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这组数据的中位数是________.13.（2021·武汉）已知点 A(a,y 1) ， B(a +1,y 2) 在反比例函数 y =m 2+1x（ m 是常数）的图象上，且y 1<y 2 ，则 a 的取值范围是________.14.（2021·武汉）如图，海中有一个小岛 A ，一艘轮船由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60° 方向上；航行 12n mile 到达 C 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30° 方向上.小岛 A 到航线 BC 的距离是________ n mile （ √3≈1.73 ，结果用四舍五入法精确到0.1）.15.（2021·武汉）已知抛物线 y =ax 2+bx +c （ a ， b ， c 是常数）， a +b +c =0 ，下列四个结论：①若抛物线经过点 (−3,0) ，则 b =2a ；②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=−2；③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线上，若0<a<c，则当x1<x2<1时，y1>y2.其中正确的是________（填写序号）.16.（2021·武汉）如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，边AB上的点D从顶点A 出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x=AD，y=AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点(0,2)，则图象最低点的横坐标是________.三、解答题17.（2021·武汉）解不等式组{2x≥x−1 ①4x+10>x+1 ②请按下列步骤完成解答.（1）解不等式①，得________；（2）解不等式②，得________；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集是________.18.（2021·武汉）如图，AB//CD，∠B=∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F.求证：∠DEF=∠F.19.（2021·武汉）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A 组“ t<5”，B组“ 5≤t<7”，C组“ 7≤t<9”，D组“ t≥9”.将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图.根据以上信息，解答下列问题：（1）这次抽样调查的样本容量是________，C组所在扇形的圆心角的大小是________；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数.20.（2021·武汉）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE=2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积；（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H，使BH=DH.⌢的中点，过点C作AD 21.（2021·武汉）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上两点，C是BD的垂线，垂足是E.连接AC交BD于点F.（1）求证：CE是⊙O的切线；=√6，求cos∠ABD的值.（2）若DCDF22.（2021·武汉）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元.市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒.（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润. 23.（2021·武汉）问题提出如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？（1）问题探究：先将问题特殊化.如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形.如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.（3）问题拓展如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC，EC= kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系.24.（2021·武汉）抛物线y=x2−1交x轴于A，B两点（A在B的左边）.（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上.①如图（1），若点C的坐标是(0,3)，点E的横坐标是3，直接写出点A，D的坐标；2②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标；（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF （不含端点）于G，H两点，若直线l与抛物线只有一个公共点，求证FG+FH的值是定值.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】相反数及有理数的相反数【解析】【解答】解：根据相反数的定义知：3的相反数是-3，故答案为：B.【分析】只有符号不同的两个数叫作互为相反数，根据定义即可直接得出答案.2.【答案】D【考点】随机事件【解析】【解答】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件；B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件；C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件.故答案为：D.【分析】必然事件是指一定会发生或一定不会发生的事件。
四川省雅安市2021年中考数学试卷一、单选题1.（2021·长丰模拟）-2021的绝对值等于（）A. 2021B. -2021C. 12021 D. −120212.（2021·雅安）我国在2020年10月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国2020年总人口达到14.1亿（）.A. 14.1×107B. 14.1×108C. 1.41×109D. 1.41×10103.（2021·雅安）在平面直角坐标系中，点A(−3,−1)关于y轴的对称点的坐标是（）A. (−3,1)B. (3,1)C. (3,−1)D. (−1,−3)4.（2021·雅安）下列运算正确的是（）A. (x2)3=x6B. 3x2−2x=xC. (−2x)3=−6x3D. x6÷x2=x35.（2020八上·唐山月考）若|x|−1x−1的值为零，则x的值为（）A. -1B. 1C. ±1D. 06.（2021·雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点F为AC中点，DE是△ABC的中位线，若DE=6，则BF=（）A. 6B. 4C. 3D. 57.（2021·雅安）甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数（）A. 甲和乙左视图相同，主视图相同B. 甲和乙左视图不相同，主视图不相同C. 甲和乙左视图相同，主视图不相同D. 甲和乙左视图不相同，主视图相同8.（2021·雅安）下列说法正确的是（）A. 一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为 23B. 一个抽奖活动的中奖概率为 12 ，则抽奖2次就必有1次中奖C. 统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现： x 甲̅̅̅̅=x 乙̅̅̅̅ ， S 甲2>S 乙2，说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定D. 要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式9.（2021·雅安）若直角三角形的两边长分别是方程 x 2−7x +12=0 的两根，则该直角三角形的面积是（ ）A. 6B. 12C. 12或3√72D. 6或3√7210.（2021·雅安）如图，将 △ABC 沿 BC 边向右平移得到 △DEF ， DE 交 AC 于点G.若 BC:EC =3:1 . S △ADG =16 .则 S △CEG 的值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 811.（2021·雅安）如图，四边形 ABCD 为⊙ O 的内接四边形，若四边形 OBCD 为菱形， ∠A 为（ ）.A. 45°B. 60°C. 72°D. 36°12.（2021·雅安）定义： min{a,b}={a(a ≤b)b(a >b) ，若函数 y =min(x +1，−x 2+2x +3) ，则该函数的最大值为（ ）A. 0B. 2C. 3D. 4二、填空题13.（2021·雅安）从-1， 12 ，2中任取两个不同的数作积，则所得积的中位数是________.14.（2021·雅安）已知一元二次方程 x 2+x −2021=0 的两根分别为m ，n ，则 1m +1n 的值为________. 15.（2021·雅安）如图， ABCDEF 为正六边形， ABGH 为正方形，连接CG ，则∠BCG+∠BGC=________.16.（2021·雅安）若关于x的分式方程2−1−kx−2=12−x的解是正数，则k的取值范围是________.17.（2021·雅安）如图，在矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD 于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N.交AB于点E，连接FN，EM.有下列结论：①四边形NEMF为平行四边形，② DN2=MC⋅NC；③ △DNF为等边三角形；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形.正确结论的序号________.三、解答题18.（2021·雅安）（1）计算：(12)−2+(3.14−π)0+|3−√12|−4sin60°（2）先化简，再求值：(1x−1−x+1)÷x−2x2−1，其中x=√2.19.（2021·雅安）为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计.（1）分别求m，n的值；（2）若把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替（如60～70的中间值为65）估计全校学生的平均成绩；（3）从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率.20.（2021·雅安）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大.21.（2021·雅安）如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B使OB=OD，其对角线AC，BD 交于点E.（1）求证：△OAF≌△DAB；（2）求DF的值.AF22.（2021·雅安）已知反比例函数y=m的图象经过点A(2,3).x（1）求该反比例函数的表达式；的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG （2）如图，在反比例函数y=mx交直线CH于点D.①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D 三点共线；②若AC=2OA，求证：∠AOD=2∠DOH.23.（2021·雅安）如图，在⊙O中，AB是直径，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB 的延长线交于点E, 连接CE.（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为3，CE=4，求sin∠DEC.24.（2021·雅安）已知二次函数y=x2+2bx−3b.（1）当该二次函数的图象经过点A(1,0)时，求该二次函数的表达式；（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;（3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围.答案解析部分一、单选题 1.【答案】 A【考点】绝对值及有理数的绝对值【解析】【解答】解：﹣2021的绝对值即为：|﹣2021|＝2021． 故答案为：A ．【分析】根据绝对值的定义得出。
湖南省长沙市中考数学试卷一、（在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）（2016•长沙）下列四个数中，最大的数是（）A．﹣2 B．C．0 D．6【答案】D.【解析】试题分析：根据正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，可得6＞13＞0＞﹣2，所以这四个数中，最大的数是6．故答案选D．考点：有理数的大小比较.2．（3分）（2016•长沙）大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车，通车后，从长沙到株洲只需24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路全长99500米，则数据99500用科学记数法表示为（）A．0.995×105 B．9.95×105C．9.95×104D．9.5×104【答案】C.【解析】考点：科学记数法.3．（3分）（2016•长沙）下列计算正确的是（）A．×= B．x8÷x2=x4C．（2a）3=6a3D．3a5•2a3=6a6【答案】A．考点：二次根式乘法运算；合同底数幂的乘除运算；积的乘方运算.4．（3分）（2016•长沙）六边形的内角和是（）A．540°B．720°C．900°D．360°【答案】B．【解析】试题分析：根据多边形的内角和公式可得六边形的内角和是（6﹣2）×180°=720°，故答案选B．考点：多边形的内角和公式.6•长沙）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【答案】C．考点：解一元一次不等式组.6．（3分）（2016•长沙）如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）【答案】B.【解析】试题分析：观察可得，从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形，所以该几何体的主视图为，故答案选B.考点：几何体的三视图.7．（3分）（2016•长沙）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．6 B．3 C．2 D．11【答案】A.【解析】试题分析：根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边可得4＜第三边长＜10，所以符合条件的整数为6，故答案选A．考点：三角形三边关系.8．（3分）（2016•长沙）若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（﹣1，﹣1）D．（﹣2，0）【答案】C.考点：坐标与图形变化﹣平移.9．（3分）（2016•长沙）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】试题分析：两个角的和等于90°（直角），则这两个角互为余角．由此可得只有选项B中，∠1+∠2=90°，即∠1与∠2互为余角，故答案选B．考点：余角的定义.10．（3分）（2016•长沙）已知一组数据75，80，80，85，90，则它的众数和中位数分别为（）A．75，80 B．80，85 C．80，90 D．80，80【答案】D.【解析】考点：中位数；众数.11．（3分）（2016•长沙）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A．160m B．120m C．300m D．160m【答案】A.考点：解直角三角形的应用.12．（3分）（2016•长沙）已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D．考点：二次函数的图象与系数的关系.二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2016•长沙）分解因式：x2y﹣4y=．【答案】y（x+2）（x﹣2）．【解析】试题分析：提取公因式y，后再利用平方差公式分解，即x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x+2）（x﹣2）．考点：分解因式.14．（3分）（2016•长沙）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．【答案】m＞﹣4．【解析】试题分析：已知方程有两个不相等的实数根，可知△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，解得m ＞﹣4．考点：一元二次方程根的判别式.15．（3分）（2016•长沙）如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为．（结果保留π）【答案】2π．【解析】试题分析：已知扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，根据弧长公式可得扇形的弧长为1203180π⨯=2π．考点：弧长公式.16．（3分）（2016•长沙）如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长为．【答案】13．考点：垂径定理；勾股定理.17．（3分）（2016•长沙）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC 于点E，则△BCE的周长为．【答案】13．【解析】考点：线段的垂直平分线的性质.18．（3分）（2016•长沙）若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是．【答案】56．【解析】试题分析：由题意作出树状图如下：一共有36种情况，“两枚骰子朝上的点数互不相同”有30种，所以，P=305 366．考点：列表法与树状图法.三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。
重庆市2021年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1. 2的相反数是（ ） A. 12- B. 12 C. 2 D. 2-【答案】D【解析】【分析】根据相反数的概念解答即可．【详解】2的相反数是-2，故选D ．2. 计算63a a ÷的结果是（ ）A. 63aB. 52aC. 62aD. 53a【答案】D【解析】【分析】根据单项式除以单项式法则、同底数幂除法法则解题．【详解】解：63a a ÷=53a ，故选：D ．【点睛】本题考查同底数幂相除、单项式除以单项式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3. 不等式2x ≤在数轴上表示正确的是（ ）A.B. C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆圈表示，把已知解集表示在数轴上即可．【详解】解：不等式2x ≤在数轴上表示为：．故选：D ．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟悉相关性质是解题的关键．4. 如图，△ABC 与△BEF 位似，点O 是它们的位似中心，其中OE =2OB ，则△ABC 与△DEF 的周长之比是（ ）A. 1：2B. 1：4C. 1：3D. 1：9【答案】A【解析】 【分析】利用位似的性质得△ABC ∽△DEF ，OB ：OE = 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．∴△ABC ∽△DEF ，OB ：OE = 1：2，∴△ABC 与△DEF 的周长比是：1：2．故选：A ．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．5. 如图，四边形ABCD 内接于☉O ，若∠A =80°，则∠C 的度数是（ ） A. 80°B. 100°C. 110°D. 120°【答案】B【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C=180°-∠A=100°，故选：B．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6. 计算1472⨯-的结果是（）A. 7B. 62C. 72D. 27【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法再算减法即可得到答案；⨯-【详解】解：1472=⨯⨯-2772722=-=，62故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．7. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不等判断△ABC≌△DEF的是（）A. AB=DEB. ∠A=∠DC. AC=DFD. AC∥FD【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．【详解】解：BF=EC，BC EF ∴=A. 添加一个条件AB =DE ，又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF SAS ∴△≌△故A 不符合题意；B. 添加一个条件∠A =∠D又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF AAS ∴≌故B 不符合题意；C. 添加一个条件AC =DF ，不能判断△ABC ≌△DEF ，故C 符合题意；D. 添加一个条件AC ∥FDACB EFD ∴∠=∠又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF ASA ∴≌故D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s ．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y （单位：m ）与无人机上升的时间x （单位：s ）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）A. 5s 时，两架无人机都上升了40mB. 10s 时，两架无人机的高度差为20mC. 乙无人机上升的速度为8m /sD. 10s 时，甲无人机距离地面的高度是60m【答案】B【解析】【分析】根据题意结合图象运用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机距离地面的高度y （米）和上升的时间x （分）之间的关系式，进而对各个选项作出判断即可．【详解】解：设甲的函数关系式为y ax =甲，把(5，40)代入得：405a =，解得8a =，∴8y x =甲，设乙的函数关系式为y kx b =+乙，把(0，20) ，(5，40)代入得：20540b k b =⎧⎨+=⎩，解得420k b =⎧⎨=⎩， ∴420y x =+乙，A 、5s 时，甲无人机上升了40m ，乙无人机上升了20m ，不符合题意；B 、10s 时，甲无人机离地面810⨯=80m ，乙无人机离地面41020⨯+=60m ，相差20m ，符合题意；C 、乙无人机上升的速度为402045-=m /s ，不符合题意； D 、10s 时，甲无人机距离地面的高度是80m ．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，读懂图形中的数据是解本题的关键．9. 如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，过点O 做ON ⊥OM ，交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是1，则AB 的长为（ ）A. 12 C. 2 D. 22【答案】C【解析】【分析】先证明()MAO NDO ASA ≅，再证明四边形MOND 的面积等于，DAO 的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．【详解】解：在正方形ABCD 中，对角线BD ⊥AC ，90AOD ∴∠=︒ON OM ⊥90MON ∴∠=︒AOM DON ∴∠=∠又45,MAO NDO AO DO ∠=∠=︒=()MAO NDO ASA ∴≅MAO NDO S S ∴=四边形MOND 的面积是1，1DAO S ∴=∴正方形ABCD 的面积是4，24AB ∴=2AB ∴=故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10. 如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和N D ．甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i =1：1.25．若58ND DE =，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（ ）（参考数据：2 1.41,3 1.73≈≈）A. 9.0mB. 12.8mC. 13.1mD. 22.7m【答案】C【解析】 【分析】分别解直角三角形Rt DEF △和Rt MBC ，求出NE 和MB 的长度，作差即可．【详解】解：∵50FE m =，DF 的坡度i =1：1.25，∴:1:1.25DE EF =，解得40m DE =， ∴5258ND DE m ==， ∴65NE ND DE m =+=，∵60MCB ∠=︒，30m BC =，∴tan60MB BC =⋅︒=，∴顶端M 与顶端N的高度差为6513.1NE MB m -=-≈，故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键．11. 若关于x 的一元一次不等式组()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩的解集为6x ≥，且关于y 的分式方程238211y a y y y+-+=--的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A. 5B. 8C. 12D. 15 【答案】B【解析】 【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到562a +<解得7a <，再解分式方程得到5=2a y +，根据分式方程的解是正整数，得到5a >-，且5a +是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a 的值，最后求和．【详解】解：()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩①②解不等式①得，6x ≥， 解不等式②得，5+2a x > 不等式组的解集为：6x ≥562a +∴< 7a ∴< 解分式方程238211y a y y y+-+=--得 238211y a y y y +--=-- 2(38)2(1)y a y y ∴+--=- 整理得5=2a y +， 10,y -≠ 则51,2a +≠ 3,a ∴≠-分式方程的解是正整数，502a +∴> 5a ∴>-，且5a +是2的倍数，57a ∴-<<，且5a +是2的倍数，∴整数a 的值为-1, 1, 3, 5,11358∴-+++=故选：B ．【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB ∥X 轴，AO ⊥AD ，AO =A D ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，DE =4CE ．反比例函数()0k y x x =>的图象经过点E ，与边AB 交于点F ，连接OE ，OF ，EF ．若118EOF S =，则k 的值为（ ）A. 73B. 214C. 7D. 212【答案】A【解析】【分析】延长EA 交x 轴于点G ，过点F 作x 轴的垂线，垂足分别为H ，则可得△DEA ≌△AGO ，从而可得DE =AG ，AE =OG ，若设CE =a ，则DE =AG =4a ，AD =DC =DE +CE =5a ，由勾股定理得AE =OG =3a ，故可得点E 、A 的坐标，由AB 与x 轴平行，从而也可得点F 的坐标，根据EOF EOG FOH EGHF SS S S =+-梯形 ，即可求得a 的值，从而可求得k 的值．【详解】如图，延长EA 交x 轴于点G ，过点F 作x 轴的垂线，垂足分别为H∵四边形ABCD 是菱形∴CD =AD =AB ，CD ∥AB∵AB ∥x 轴，AE ⊥CD∴EG ⊥x 轴，∠D +∠DAE =90゜∵OA ⊥AD∴∠DAE +∠GAO =90゜∴∠GAO =∠D∵OA =OD∴△DEA ≌△AGO (AAS )∴DE =AG ，AE =OG设CE =a ，则DE =AG =4CE =4a ，AD =AB =DC =DE +CE =5a在Rt △AED 中，由勾股定理得：AE =3a∴OG =AE =3a ，GE =AG +AE =7a∴A （3a ,4a ），E (3a ,7a )∵AB ∥x 轴，AG ⊥x 轴，FH ⊥x 轴∴四边形AGHF 是矩形∴FH =AG =3a ，AF =GH∵E 点在双曲线()0k y x x=>上 ∴221k a = 即221a y x = ∵F 点在双曲线221a y x=上，且F 点的纵坐标为4a ∴214a x =即214a OH = ∴94a GH OH OG =-=∵EOF EOG FOH EGHF SS S S =+-梯形 ∴1191211137(74)4224248a a a a a a a ⨯⨯++⨯-⨯⨯= 解得：219a = ∴217212193k a ==⨯= 故选：A ．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA ≌△AGO ，从而求得E 、A 、F 三点的坐标．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13. 计算：031_______．【答案】2．【解析】【分析】分别根据绝对值的性质、0指数幂的运算法则计算出各数，再进行计算即可．【详解】解：031312，故答案是：2．【点睛】本题考查的是绝对值的性质、0指数幂，熟悉相关运算法则是解答此题的关键．14. 在桌面上放有四张背面完全一样的卡片．卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是_______．【答案】1 4【解析】【分析】画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之积为负数的结果，再由概率公式即可求得答案．【详解】画树状图如图：共有16个等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为负数的结果有4个，∴两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率=41 164=．故答案为：14．【点睛】本题考查了列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．15. 若关于x的方程442xa-+=的解是2x=，则a的值为__________．【答案】3 【解析】【分析】将x =2代入已知方程列出关于a 的方程，通过解该方程来求a 的值即可． 【详解】解：根据题意，知4242a -+=， 解得a =3． 故答案是：3．【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．16. 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点A ，C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB ，CD 于点E ，F ．若BD ＝4，∠CAB ＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．【答案】45π 【解析】【分析】利用矩形的性质求得OA =OC =OB =OD =2，再利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且BD =4， ∴AC=BD ＝4，OA =OC =OB =OD =2， ∴22362423605AOE S S ππ⨯⨯===阴影扇形，故答案为：45π． 【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，正确的识别图形是解题的关键．17. 如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF ＝4，CF ＝6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，AF ＝EF ，则四边形ADFE 的面积为__________．【答案】53 【解析】【分析】根据折叠的性质得到DE 为ABC 的中位线，利用中位线定理求出DE 的长度，再解t R ACE △求出AF 的长度，即可求解．【详解】解：∵将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合， ∴DE 垂直平分AF ，AD DF =，AE EF =，ADE EDF ∠=∠， ∵DE ∥BC ，∴ADE B ∠=∠，EDF BFD ∠=∠，90AFC ∠=︒， ∴B BFD ∠=∠， ∴BD DF =，∴BD AD =，即D 为AB 的中点， ∴DE 为ABC 的中位线， ∴152DE BC ==， ∵AF ＝EF ，∴AEF 是等边三角形，在t R ACE △中，60CAF ∠=︒，6CF =， ∴23tan 60CFAF ==︒，∴3AG =， ∴四边形ADFE 的面积为12532DE AG ⋅⨯=，故答案为：53【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键． 18. 某销售商五月份销售A 、B 、C 三种饮料的数量之比为3：2：4，A 、B 、C 三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A 饮料增加的销售占六月份销售总额的115，B 、C 饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A 饮料单价上调20%且A 饮料的销售额与B 饮料的销售额之比为2：3，则A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为_____________．【答案】9 10【解析】【分析】设销售A饮料的数量为3x，销售B种饮料的数量2x, 销售C种饮料的数量4x，A种饮料的单价y．B、C两种饮料的单价分别为2y、y．六月份A饮料单价上调20%，总销售额为m，可求A饮料销售额为3xy+115m，B饮料的销售额为91210xy m+，C饮料销售额：171420xy m+，可求=15m xy，六月份A种预计的销售额4xy，六月份预计的销售数量103x，A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比103:3x x计算即可【详解】解：某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，设销售A饮料的数量为3x，销售B种饮料的数量2x, 销售C种饮料的数量4x，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．,设A种饮料的单价y．B、C两种饮料的单价分别为2y、y．六月份A饮料单价上调20%后单价为（1+20%）y,总销售额为m，A饮料增加的销售占六月份销售总额的1 15A饮料销售额为3xy+115m，A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，B饮料的销售额为3191 3=215210 xy m xy m ⎛⎫++⎪⎝⎭B饮料的销售额增加部分为3134 215xy m xy ⎛⎫+-⎪⎝⎭∴C饮料增加的销售额为13134 2215xy m xy ⎡⎤⎛⎫+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴C饮料销售额：131171 34+42215420 xy m xy xy xy m ⎡⎤⎛⎫+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴191171315210420xy m xy m xy m m +++++=∴=15m xy六月份A种预计的销售额1315415xy xy xy+⨯=，六月份预计的销售数量()1041+20%y 3xy x ÷=∴A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比1093:9:10=310x x = 故答案为910【点睛】本题考查销售问题应用题，用字母表示数，列代数式，整式的加减法，单项式除以单项式，掌握销售额=销售单价×销售数量是解题关键三、解答题：（本大题7个小题，没小题10分，共70分）19. 计算（1）()()22x y x x y -++；（2）2241244a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭． 【答案】（1）222x y +；（2）22a - 【解析】【分析】（1）利用完全平方公式和整式的乘法运算法则计算即可； （2）根据分式混合运算的运算法则计算即可． 【详解】解：（1）()()22x y x x y -++ =x 2﹣2xy +y 2+x 2+2xy =2x 2+y 2；（2）2241244a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭=22(2)(2))22(2)a a a a a a a ++--÷+++（ =22(2)2(2)(2)a a a a +⨯++- =22a -． 【点睛】本题考查整式的混合运算、分式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键．20. “惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位：kg ），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x 表示，共分为四个等级：A ．1x <，B ． 1 1.5x ≤<，C ． 1.52x ≤<，D ． 2x ≥），下面给出了部分信息．七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3． 八年级10个班的餐厨垃圾质量中B 等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2． 七八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 A 等级所占百分比 七年级 1.3 1.1 a 0.26 40% 八年级1.3b1.00.23m %根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中a ，b ，m 的值；（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A 等级的班级数；（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．【答案】（1）0.8, 1.0,20a b m ===；（2）6个；（3）见解析 【解析】【分析】（1）根据题中数据及众数、中位数的定义可解a ，b 的值，由扇形统计图可解得m 的值； （2）先计算在10个班中，八年级A 等级的比例，再乘以30即可解题； （3）分别根据各年级的众数、中位数、方差等数据结合实际分析解题即可．【详解】解：（1）根据题意得，七年级10个班的餐厨垃圾质量中，0.8 出现的此时最多，即众数是0.8 ； 由扇形统计图可知%150%10%20%20%m =---=，八年级的A 等级的班级数为10×20%=2个，八年级共调查10个班，故中位数为第5个和第6个数的平均数，A等级2个班，B等级的第3个数和第4个数是1.0和1.0，故八年级10个班的餐厨垃圾质量的中位数为（1.0+1.0）÷2=1.0∴=20m∴===；a b m0.8, 1.0,20（2）∵八年级抽取的10个班级中，餐厨垃圾质量为A等级的百分比是20%，∴估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为：30×20%＝6（个）；答：估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为6个．（3）七年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为：①七年级各班餐厨垃圾质量的众数0.8低于八年级各班的餐厨垃圾质量的众数1.0；②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的40%高于八年级各班餐厨垃圾质量A等级的20%；八年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为：①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.0低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.1；②八年级各班餐厨垃圾孩子里那个的方差0.23低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差0.26．【点睛】本题考查统计表、扇形统计图、众数、中位数、方差、用样本估计总体等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21. 如图，在ABCD中，AB>AD．（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出符合题意的答案；（2）先证明∠ADE=∠CDE，再利用平行线性质“同旁内角互补”，得出∠CPD=90︒即可得出答案．【详解】解：（1）解：如图所示：E，F即为所求；（2）△CDP 是直角三角形． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ，AD ∥BC ．∴∠CDE =∠AED ，∠ADC +∠BCD =180°， ∵AD =AE ， ∴∠ADE =∠AED ． ∴∠CED =∠ADE =12∠ADC ． ∵CP 平分∠BCD ， ∴∠DCP =12∠BCD ， ∴∠CDE +∠DCP =90°． ∴∠CPD =90°．∴△CDP 是直角三角形．【点睛】本题主要考查了基本作图以及平行四边形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．22. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数2241x y x -=+的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象； x… －5－4－3 －2－112345…2241x y x -=+ … －2126 －1217－12324 0 …（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；（3）已知函数332y x =-+的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式2234321x x x --+>+的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）【答案】（1）从左到右，依次为：311221,,,221726--，图见解析；（2）该函数图象是轴对称图象，对称轴是y 轴；（3）0.3,12x x <-<< 【解析】【分析】（1）直接代入求解即可；（2）根据函数图象，写出函数的性质即可； （3）根据图象交点写出解集即可．【详解】解：（1）表格中的数据，从左到右，依次为：311221,,,221726--． 函数图象如图所示．；（2）①该函数图象是轴对称图象，对称轴是y 轴；②该函数在自变量的取值范围内，有最大值，当0x =，函数取得最大值4；③当0x <是，y 随x 的增大而增大；当0x >是，y 随x 的增大而减小；（以上三条性质写出一条即可）（3）当0.2x =-时，33 3.32x -+=，224 3.81x x -≈+；当0.4=-x 时，33 3.62x -+=，224 3.311x x -≈+；所以0.3x =-是2234321x x x --+=+的一个解；由图象可知1x =和2x =是2234321x x x --+=+的另外两个解；∴2234321x x x --+>+的解集为0.3,12x x <-<<．【点睛】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．23. 某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A 产品，乙车间生产B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A 产品的销售单价比B 产品的销售单价高100元，1件A 产品与1件B 产品售价和为500元．（1）A 、B 两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B 产品的生产车间．预计A 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a %；B 产品产量将在去年的基础上减少a %，但B 产品的销售单价将提高3a %．则今年A 、B 两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2925a %．求a 的值． 【答案】（1）A 产品的销售单价为300元，B 产品的销售单价为200元；（2）20【解析】【分析】（1）设B 产品的销售单价为x 元，则A 产品的销售单价为（x +100）元，根据题意列出方程解出即可；（2）设去年每个车间生产产品的数量为t 件，根据题意根据题意列出方程()()()293001%20013%1%5001%25a t a t a t a ⎛⎫+⋅++⋅-=⋅+ ⎪⎝⎭解出即可； 【详解】解：（1）设B 产品的销售单价为x 元，则A 产品的销售单价为（x +100）元．根据题意，得()100500x x ++=．解这个方程，得200x =．则100300x +=．答：A 产品的销售单价为300元，B 产品的销售单价为200元．（2）设去年每个车间生产产品的数量为t 件，根据题意，得()()()293001%20013%1%5001%25a t a t a t a ⎛⎫+⋅++⋅-=⋅+ ⎪⎝⎭设a %=m ，则原方程可化简为250m m -=． 解这个方程，得121,05m m ==（舍去）． ∴a=20．答：a 的值是20．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程．24. 如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，并把数M 分解成M A B =⨯的过程，称为“合分解”．例如6092129=⨯，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，609∴是“合和数”．又如2341813=⨯，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，234∴不是“合和数”．（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”M 进行“合分解”，即M A B =⨯．A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为()P M ；A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的差的绝对值记为()Q M ．令()()()P M G M Q M =，当()G M 能被4整除时，求出所有满足条件的M ． 【答案】（1）168不是“合和数”，621是“合和数，理由见解析；（2）M 有1224，1221，5624，5616．【解析】【分析】（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，再判断168，621是否是“合和数”；（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示A 个位及十位上的数，同时也可以用来表示B ．然后整理出：()()()P M G M Q M =，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的M ． 【详解】解：（1） 168不是“合和数”，621是“合和数”．1681214=⨯，2410+≠，168∴不“合和数”，6212327=⨯，十位数字相同，且个位数字3710+=，621∴是“合和数”．（2）设A 的十位数字为m ，个位数字为n （m ，n 为自然数，且39m ≤≤，19n ≤≤），则10,1010A m n B m n =+=+-． ∴()10210,()()(10)210P M m n m n m Q M m n m n n =+++-=+=+-+-=-．∴()()21054()2105P M m m G M k Q M n n ++====--（k 是整数）． 39m ≤≤，8514m ∴≤+≤，k 是整数，58m ∴+=或512m +=，①当58m +=时， 5851m n +=⎧⎨-=⎩或5852m n +=⎧⎨-=⎩， 36341224M ∴=⨯=或3733=1221M =⨯．②当512m +=时，51251m n +=⎧⎨-=⎩或51253m n +=⎧⎨-=⎩， 76745623M ∴=⨯=或78725616M =⨯=．综上，满足条件的M 有1224，1221，5624，5616．【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力．25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ∥x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PDE 周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c =++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．【答案】（1）2712y x x =--；（2）t =2时，△PDE8+， 点P 的坐标为（2，﹣4）；（3）满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），过程见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；（2）先求出直线AB 的函数表达式和点C 坐标，设P 27,12t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0<t <4，则E 22727,12t t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，证明△PDE ∽△AOC，根据周长之比等于相似比可得()()2251022828555l t t ⎡⎤=⋅--+=--++⎣⎦，根据二次函数求最值的方法求解即可； （3）分以下情况①若AB 是平行四边形的对角线；②若AB 是平行四边形的边，1）当 MN ∥AB 时；2）当 NM ∥AB 时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可．【详解】解（1）∵抛物线2y x bx c =++经过点A （0，﹣1），点B （4，1），∴11641c b c =-⎧⎨++=⎩， 解得721b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴该抛物线的函数表达式为2712y x x =--； （2）∵A （0，-1），B （4，1），∴直线AB 的函数表达式为112y x =-， ∴C （2，0），设P 27,12t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0<t <4， ∵点E 在直线112y x =-上，PE ∥x 轴， ∴E 22727,12t t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∠OCA =∠DEP ， ∴PE =()2228228t t t -+=--+，∵PD ⊥AB ，∴∠EDP =∠COA ，∴△PDE ∽△AOC ，∵AO =1，OC =2，∴AC∴△AOC 的周长为令△PDE周长为l ，则3AC l PE+=， ∴())2222828l t t ⎡⎤=--+=-+⎣⎦， ∴当t =2时，△PDE 8+， 此时点P 的坐标为（2，﹣4），（3）如图所示，满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为24y x x =-，对称轴为直线2x =．①若AB 是平行四边形的对角线，当MN 与AB 互相平分时，四边形ANBM 是平行四边形，即MN 经过AB 的中点C （2，0），∵点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2，∴点M 的坐标为（2，-4）；②若AB 是平行四边形的边，1）MN ∥AB 时，四边形ABNM 是平行四边形，∵A （0，-1），B （4，1），点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2﹣4=﹣2，∴点M 的坐标为（﹣2，12）； 2）当 NM ∥AB 时，四边形ABMN 是平行四边形，∵A （0，-1），B （4，1），点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2+4=6，∴点M 的坐标为（6，12），综上，满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．【点睛】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）26. 在ABC 中，AB AC =，D 是边BC 上一动点，连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转至AE 的位置，使得180DAE BAC ∠+∠=︒．（1）如图1，当90BAC ∠=︒时，连接BE ，交AC 于点F ．若BE 平分ABC ∠，2BD =，求AF 的长； （2）如图2，连接BE ，取BE 的中点G ，连接AG ．猜想AG 与CD 存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在（2）的条件下，连接DG ，CE ．若120BAC ∠=︒，当BD CD >，150AEC ∠=︒时，请直接写出BD DG CE-的值． 【答案】（12（2）12AG CD =，证明见解析；（3）62BD DG CE -=． 【解析】【分析】（1）连接CE ，过点F 作FH BC ⊥，垂足为H ，证明ABF HBF ≌，得：AF HF =，再在等腰直角FHC 中，找到2FH =，再去证明FCE △为等腰三角形，即可以间接求出AF 的长； （2）作辅助线，延长BA 至点M ，使AM AB =，连接EM ，在BEF 中，根据三角形的中位线，得出12 AG ME=，再根据条件证明：△ADC≌△AEM，于是猜想得以证明；（3）如图（见解析），先根据旋转的性质判断出ADE是等边三角形，再根据180ABC AEC∠+∠=︒证出,,,A B C E四点共圆，然后根据等腰三角形的三线合一、角的和差可得CDE△是等腰直角三角形，设2CE DE a==，从而可得2,22AD a CD a==，根据三角形全等的判定定理与性质可得120BDP BAP∠=∠=︒，从而可得90AGD GDP APD∠=∠=∠=︒，根据矩形的判定与性质可得四边形AGDP是矩形，DG AP=，最后根据等量代换可得BD DG AC AP CPCE CE CE--==，解直角三角形求出6CP a=即可得出答案．【详解】解：（1）连接CE，过点F作FH BC⊥，垂足为H．BE平分ABC∠，90BAC∠=︒，FA FH∴=．AB AC=，45ABC ACB∴∠=∠=︒，22FH∴=，180BAC DAE∠∠︒+=，90BAC DAE∴∠=∠=︒，BAD CAE∴∠=∠，在ABD△和ACE中，=AB ACBAD CAEAD AE⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS∴≌，2BD CE ∴==，45ABD ACE ∠=∠=︒，90BCE ∴∠=︒， BE 平分ABC ∠，ABF CBF ∴∠=∠.AFB BEC ∴∠=∠，AFB EFC ∠=∠，BEC EFC ∴∠=∠，CEB EFC ∴∠=∠． 2=22AF CF ∴=． （2）12AG CD =延长BA 至点M ，使AM AB =，连接EM ．G 是BE 的中点，12AG ME ∴=． 180BAC DAE BAC CAM ∠+∠=∠+∠=︒，DAE CAM ∴∠=∠，DAC EAM ∴∠=∠，在ADC 和AEM △中，AD AE DAC EAM AC AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC AEM SAS ∴≌，。
