数值分析(研究生)第七章常微分方程的数值解法一

y0
a x b 一阶方程初值问题
y y(a)
f
( x, y0
y, y) a x , y(a) y0
b
高阶方程初值问题
y1
y2
f1( x, y1 , y2 ) f2 ( x, y1 , y2 )
y1( x0 ) y1 方程组初值问题 y2( x0 ) y2
.微分方程"解析解"存在的条件 P186 定理1
f ( xn1 , yn1 )
yn1
2 xn1 yn1
yn hK1
2 xn1 yn hK1
K2
h yn1 yn 2 (K1 K2 )
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三 局部截断误差和方法的阶数 局部截断误差 将方程精确解y( x)代入数值求解公式左右两端， 左右两端之差T =y( xn1 ) yn1为方法的局部截断误差。 方法的精度 若T O(hp1 )，则称此方法具有p阶精度或称方法是p阶的。 Euler 公式的局部截断误差与精度
改进的Euler公式
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例2
求解初值问题
y y 2x y
0 x1 （h 0.1）
y(0) 1
解 f (x, y) y 2x
y
Euler公式
yn1
yn
hf
( xn ,
yn )
yn
h( yn
2 xn yn
)
改进Euler公式
f
( xn ,
yn )
yn
2 xn yn
K1
yn1 yn hf ( xn , yn ) yn hK1
xn )
y( ) ( x 2!
xn )2
令x xn1 :

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➢ 数值积分方法(Euler公式)
设将方程 y=f (x, y)的两端从 xn 到xn+1 求积分, 得
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx :
xn
xn1 F ( x)dx
xn
用不同的数值积分方法近似上式右端积分, 可以得到计算 y(xn+1)的不同的差分格 式.
h2 2
y''( )
Rn1
:
y( xn1)
yn1
h2 2
y''( )
h2 2
y''( xn ) O(h3 ).
局部截断误差主项
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➢ 向后Euler法的局部截断误差
向后Euler法的计算公式
yn1 yn hf ( xn1, yn1 ), n 0, 1, 2,
定义其局部截断误差为
y 计算 的n递1 推公式，此类计算格式统称为差分格式.
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数值求解一阶常微分方程初值问题
y' f ( x, y), a x b,
y(a)
y0
难点: 如何离散 y ?
➢ 常见离散方法
差商近似导数 数值积分方法 Taylor展开方法
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➢ 差商近似导数(Euler公式)
(0 x 1)
y(0) 1.
解 计算公式为
yn1
yn
hfn
yn
h( yn
2xn ), yn
y0 1.0
n 0, 1, 2,
取步长h=0.1, 计算结果见下表
13

yi+1)中，因此?，通常用迭代法求解。具体做法是：先
《 数
用欧拉公式(6―3)?求出一个y(0)i+1作为初始近似，然后
值 分
再用改进的欧拉公式(6―5)进行迭代，即
析
》
yi(01) yi hf (xi, yi )
yi(k11)
yi
h[ 2
f
(xi,
yi )
f
(xi1,
y(k) i1
)
k 0,1,2,
y0，y1，y2，…，yn
常取离散点x0，x1，x2，…，xn为等距，即
《
x i+1-xi=h，i=0，1，2，…，n-1
数 值
h称为步长。图61表示为初值问题(6―1)在n+1个
分 析
离散点上的准确解y(x)的近似值。
》
第6章 常微分方程数值解法
§2 欧拉法和改进的欧拉法
2.1 欧拉法(折线法)
数 值
法进行改进，将在一点(xi，yi)的切线斜率f(xi?，yi)用
分 两点的平均斜率来代替，即
析
》
f(xi,yi)1 2[f(xi,yi)f(xi 1,yi 1)]
第6章 常微分方程数值解法
代入(6―3)式得
yi1
yi
h[f 2
(xi,
yi)
f
(xi1,
yi1)]
i 0,1,2, ,n1
(6―5)
《 数 值 分 析 》
第6章 常微分方程数值解法
《 数 值 分 析 》
图 6.2
第6章 常微分方程数值解法
《 数 值 分 析 》
图 6.3
第6章 常微分方程数值解法
2.2 改进的欧拉法

h2 h3 y ( xi 1 ) y ( xi h) y ( xi ) hy '( xi ) y ''( xi ) y '''( xi ) 2! 3!
丢掉高阶项，有
y( xi 1 ) y( xi h) y( xi ) hy '( xi ) yi hf ( xi , yi )
| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 | ,
那么模型问题在 [ a, b] 存在唯一解。
Lipschitz 连续： | f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 | .
(1) 比连续性强: y1 y2 可推出 f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) ; (2) 比连续的 1 阶导弱：具有连续的 1 阶导，则
f | f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) || ( ) || y1 y2 | L | y1 y2 | . y
常微分方程数值解法
目标：计算出解析解 y ( x) 在一系列节点 a x0 x1 xn1 xn b 处的近似值 yi y( xi ) ，即所谓的数值解。节点间距 hi xi 1 xi ，一般 取为等距节点。
常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类： (1)单步法：在计算 yn 1 时，只用到前一步的值，即用到 xn1 , xn , yn ，则给定初
值之后，就可逐步计算。例如 Euler 法、向后欧拉法、梯形公式、龙格-库塔法；
(2) 多步法： 这 类 方 法 在 计算 yn 1 时 ， 除 了 用 到 xn1 , xn , yn 外 ， 还 要 用到