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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分 开卷速查58 随机抽样

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开卷速查(五十八) 随机抽样
A 级 基础巩固练
1．(1)某学校为了了解2013年高考数学的考试成绩，在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会．Ⅰ.简单随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法．
问题与方法配对正确的是( ) A ．(1)Ⅲ，(2)Ⅰ B ．(1)Ⅰ，(2)Ⅱ C ．(1)Ⅱ，(2)Ⅲ
D ．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ
解析：通过分析可知，对于(1)，应采用分层抽样法，对于(2)，应采用简单随机抽样法．
答案：A
2．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋1－l 20≤k ≤37－l 20.由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个．
答案：B
3．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n ＝( )
A ．54
B ．90
C ．45
D ．126
解析：依题意有3
3＋5＋7×n ＝18，由此解得n ＝90，即样本容量为
90.
答案：B
4．要从已编号(1～50)的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( )
A ．5,10,15,20,25
B ．1,2,3,4,5
C ．2,4,8,16,22
D ．3,13,23,33,43
解析：系统抽样方法抽取到的导弹编号应该是k ，k ＋d ，k ＋2d ，k ＋3d ，k ＋4d ，其中d ＝50
5＝10，k 是1～10中用简单随机抽样方法得到的数.
答案：D
5．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人．现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为( )
A ．5,10,15
B ．3,9,18
C ．3,10,17
D ．5,9,16
解析：高级、中级、初级职称的人数所占的比例分别为15
150＝10%，45150＝30%，90
150＝60%，
则所抽取的高级、中级、初级职称的人数分别为10%×30＝3,30%×30＝9,60%×30＝18.
答案：B
6．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )
A ．7
B ．9
C ．10
D ．15
解析：由已知条件可知，应该把总体分成32组，每组960
32＝30人，根据系统抽样的方法可知，i ＝9，k ＝30，在第1组到第32组依次抽取到的是9,9＋30,9＋2×30，…，9＋31×30，由于9＋15×30＝459，而9＋24×30＝729，故而有24－15＋1＝10人，故选C .
答案：C
7．一支游泳队有男运动员32人，女运动员24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为14的样本，则抽取男运动员的人数为______．
解析：设抽取男运动员人数为x ，则x 14＝32
32＋24
，x ＝8.
答案：8
8．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查某维生素是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第1组抽出的号码是11，则第61组抽出的号码为__________．
解析：∵3 000
150＝20.
∴需把3 000袋奶粉按0,1,2,3，…，2 999编号，然后分成150组，每组20个号码．
∴第61组抽出的号码为11＋(61－1)×20＝1 211. 答案：1 211
9．某市有A 、B 、C 三所学校，共有高三文科学生1 500人，且A 、B 、C 三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为n 的样本，进行成绩分析，若从B 校学生中抽取40人，则n ＝__________.
解析：设A 、B 、C 三所学校学生人数分别为x ，y ，z ，由题知x ，y ，z 成等差数列，所以x ＋z ＝2y ，又x ＋y ＋z ＝1 500，所以y ＝500，用分层抽样方法抽取B 校学生人数为n
1 500×500＝40，得n ＝120.
答案：120
10．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本．如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n.
解析：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，
系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36，抽取工程师n 36×6＝n
6，抽取技术员n 36×12＝n 3，抽取技工n 36×18＝n
2.所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18,36.
当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35，系统抽样的间隔为35
n ＋1，因为35
n ＋1
必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n ＝6.
B 级 能力提升练
11．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是__________．
解析：由题意知：m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.
答案：76
12．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号分为40组，分别为1～5,6～
10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．
解析：将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁
以下年龄段中应抽取x人，则40
200＝
x
100，解得x＝20.
答案：3720
13．某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
(1)
(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
(3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？
解析：(1)按老年、中年、青年分层，用分层抽样法抽取，抽取比
例为40
2 000＝1 50.
故老年人，中年人，青年人各抽取4人，12人，24人．
(2)按管理、技术开发、营销、生产分层，用分层抽样法抽取，抽
取比例为25
2 000＝1
80，
故管理，技术开发，营销，生产各抽取2人，4人，6人，13人．
(3)用系统抽样，
对全部2 000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1 900，共20人组成一个样本．
14．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．
解析：(1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，在大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目．所以，
经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．
(2)应抽取大于40岁的观众人数为 2745×5＝35×5＝3(名)．
(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁的有2名(记为Y 1，Y 2)，大于40岁的有3名(记为A 1，A 2，A 3).5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y 1Y 2，Y 1A 1，Y 1A 2，Y 1A 3，Y 2A 1，Y 2A 2，Y 2A 3，A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3.
设A 表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”，则A 中的基本事件有6种：
Y 1A 1，Y 1A 2，Y 1A 3，Y 2A 1，Y 2A 2，Y 2A 3， 故所求概率为P(A)＝610＝35.。

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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分 开卷速查52 椭圆

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分 开卷速查52 椭圆

开卷速查(五十二) 椭 圆A 级 基础巩固练1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．43D ．12解析：如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，则△ABC 的周长为|AB |＋|AC |＋|BC |＝(|AB |＋|BF |)＋(|AC |＋|CF |)＝4a ＝4 3.答案：C2．已知2，m,8构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 22＝1的离心率为( )A.22 B ． 3C.22或 3D.22或62解析：因为2，m,8构成一个等比数列，所以m 2＝2×8＝16，即m ＝±4.若m ＝4，则圆锥曲线方程为x 24＋y 22＝1，此时为椭圆，其中a 2＝4，b 2＝2，c 2＝4－2＝2，所以a ＝2，c ＝2，离心率为e ＝c a ＝22.若m ＝－4，则圆锥曲线方程为y 22－x 24＝1，此时为双曲线，其中a 2＝2，b 2＝4，c 2＝4＋2＝6，所以a ＝2，c ＝6，离心率为e ＝c a ＝62＝ 3.所以选C.答案：C3．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：将椭圆的方程转化为标准形式为y 2(m －2)2＋x 2(10－m )2＝1，显然m －2＞10－m ，即m ＞6且(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8.答案：D4．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m ＜0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34 B ．1 C ．2D ．4解析：圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2，则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m ＜0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)． 由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2. 答案：C5．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.答案：B6．椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是__________．解析：设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →＜0， 即x 2－3＋y 2＜0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24＜0，34x 2＜2，∴x 2＜83.解得－263＜x ＜263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－263，263 7．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为__________．解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴m 2－n 2＝4①，e ＝12＝2m ，∴m ＝4，代入①得，n 2＝12，∴椭圆方程为x 216＋y212＝1.答案：x 216＋y 212＝18．椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是__________．解析：设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立． 此时4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2， 所以e ＝c a ＝23. 答案：239．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．解析：∵直线y ＝3(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为60°， ∴∠MF 1F 2＝60°， ∠MF 2F 1＝30°.∴∠F 1MF 2＝90°，即F 1M ⊥F 2M . ∵|MF 1|＝c ，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， ∴|MF 2|＝2a －c .∵|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2.∴c 2＋(2a －c )2＝4c 2，即c 2＋2ac －2a 2＝0. ∴e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1. 答案：3－110．[2014·课标全国Ⅱ]设F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解析：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12， ca ＝－2(舍去)． 故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a . ①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎨⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1. ② 将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.B 级 能力提升练11．[2014·福建]设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2B ．46＋ 2C ．7＋ 2D ．6 2解析：设圆的圆心为C ，则C (0,6)，半径为r ＝2， 点C 到椭圆上的点Q (10cos α，sin α)的距离|CQ |＝(10cos α)2＋(sin α－6)2＝46－9sin 2α－12sin α＝50－9⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋232≤50＝52，当且仅当sin α＝－23时取等号， 所以|PQ |≤|CQ |＋r ＝52＋2＝62， 即P ，Q 两点间的最大距离是62，故选D. 答案：D12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能解析：因为椭圆的离心率e ＝12，所以c a ＝12，即a ＝2c ，b ＝a 2－c 2＝4c 2－c 2＝3c ，因此方程ax 2＋bx －c ＝0可化为2cx 2＋3cx －c ＝0， 又c ≠0，∴2x 2＋3x －1＝0，x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74＜2，即点(x 1，x 2)在x 2＋y 2＝2内．答案：A13．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e .(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解析：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)， 因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以(a －c )2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1＝0，解得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ， 可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2， 直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )， 所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离 d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2. 因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.14．[2014·天津]设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切．求直线l 的斜率．解析：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以，椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.设P (x 0，y 0)，由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ①- 11 - 又因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c 2＝1. ②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c 3，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53c .设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即|k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3－2c 3|k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k＝4±15.所以，直线l 的斜率为4＋15或4－15.。

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 5-5

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第五章
第五节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
1．已知 x＞0，y＞0，x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y a＋b2 成等比数列，则 的最小值是( cd A．0 C．2 B．1 D．4 )
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第五章
第五节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
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高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
(2)数列应用题常见模型： ①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型 是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差； ②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的 数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比； ③递推数列模型： 如果题目中给出的前后两项之间的关系不 固定，随项的变化而变化时，应考虑是 an 与 an－1 的递推关系， 或前 n 项和 Sn 与 Sn－1 之间的递推关系．
2 解析：a3＋a9≥2 a3a9＝2 a6 ＝2a6＝2b7＝b4＋b10，当且仅当 a3
＝a9 时，不等式取等号．
答案：B
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第五章Leabharlann 第五节高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
2π 4．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为 3 ，公 π 差为 ，则这个多边形的边数为________． 36
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(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召， 决定加大减排力度．在 2012 年刚好按原计划完成减排任务的条件 下， 自 2013 年起， SO2 的年排放量每年比上一年减少的百分率为 p， 为使 2020 年这一年 SO2 的年排放量控制在 6 万吨以内， 求 p 的取值 范围． 8 2 9 2 参考数据： ≈0.950 5， ≈0.955 9 3 3
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分 开卷速查67 离散型随机变量及其分布列

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分 开卷速查67 离散型随机变量及其分布列

开卷速查(六十七) 离散型随机变量及其分布列A 级 基础巩固练1．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为质量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．解析：(1)根据频率分布直方图可知，质量超过505克的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12.(2)Y 的可能取值为0,1,2，且Y 服从参数为N ＝40，M ＝12，n ＝2的超几何分布，故P(Y ＝0)＝C 012C 228C 240＝63130，P(Y ＝1)＝C 112C 128C 240＝2865，P(Y ＝2)＝C 212C 028C 240＝11130.所以Y 的分布列为2.每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．(1)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(2)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (3)随机选取3件产品，求这3件产品都不能通过检测的概率． 解析：(1)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A ，事件A 等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”，∴P(A)＝610＋410×23＝1315.(2)由题可知X 的可能取值为0,1,2,3.P(X ＝0)＝C 34C 06C 310＝130，P(X ＝1)＝C 24C 16C 310＝310，P(X ＝2)＝C 14C 26C 310＝12，P(X ＝3)＝C 04C 36C 310＝16.∴X 的分布列如下：(3)设“随机选取3件产品都不能通过检测”的事件为B ，事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”，所以，P(B)＝130·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝1810.B 级 能力提升练3．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1个选项，答对得5分，不答或答错得0分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有2道题都可判断2个选项是错误的，有1道题可以判断1个选项是错误的，还有1道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：(1)得60分的概率； (2)所得分数X 的分布列．解析：(1)设“选对可判断2个选项是错误的2道题之一”为事件A ，“选对可判断1个选项是错误的1道题”为事件B ，“选对不理解题意的1道题”为事件C.则P(A)＝12，P(B)＝13，P(C)＝14， 所以得60分的概率P ＝12×12×13×14＝148.(2)依题意得，所得分数X 可能的取值为40,45,50,55,60. P(X ＝40)＝12×12×23×34＝18；P(X ＝45)＝C 12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝1748；P(X ＝50)＝12×12×23×34＋C 12×12×12×13×34＋C 12×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748；P(X ＝55)＝C 12×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝748；P(X ＝60)＝12×12×13×14＝148. 所以所得分数X 的分布列为：4.2014年1065周年，来自北京大学和清华大学的6名大学生志愿者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有1名北京大学志愿者的概率是35.(1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率；(2)设随机变量ξ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ξ的分布列．解析：(1)记“至少有1名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A ，则事件A 的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者x 名，1≤x<6，那么P(A)＝1－C 26－x C 26＝35，解得x ＝2，即来自北京大学的志愿者有2名，来自清华大学的志愿者有4名．记“打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名”为事件B ，则P(B)＝C 12C 14C 26＝815，所以打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率是815.(2)在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数ξ服从超几何分布，其中N ＝6，M ＝2，n ＝2，于是P(ξ＝k)＝C k 2C 2－k 4C 26，k ＝0,1,2，∴P(ξ＝0)＝C 02C 24C 26＝25，P(ξ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P(ξ＝2)＝C 22C 04C 26＝115.所以ξ的分布列为。

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 5-2

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课前学案
基础诊断
夯基固本 基础自测
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1．等差数列的定义 1 ______项起每一项与它相邻的前面一 如果一个数列从第 □ 2 __________，那么这个数列就叫做等差数列，这 项的差等于 □ 3 ____，通常用字母□ 4 ____表示． 个常数叫做等差数列的□
(2)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，S8＝4a3，a7＝－2，则 a9 ＝( ) A．－6 C．－2 B．－4 D．2
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(3)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm
)
3 1 3 A. B. C．－ 2 2 2
1 D．－ 2
3π 3π 解析：∵a2＋a6＝ ，∴2a4＝ . 2 2
3π π π π 1 ∴sin 2a4－ ＝sin － ＝－cos ＝－ . 3 3 3 2 2
答案：D
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►名师点拨 等差数列基本量运算问题的常见类型及解题策略 (1)化基本量求公差 d 或项数 n.通项公式和前 n 项和公式是解决 此类问题的基础和核心，在求解时，一般要运用方程思想． (2)化基本量求通项．a1 和 d 是等差数列的两个基本元素，只要 把它们求出来，其余的元素便可以求出． (3)化基本量求特定项．利用通项公式或等差数列的性质求解． (4)化基本量求前 n 项和， 直接将基本量代入前 n 项和公式求解， 或利用等差数列的性质求解．