§15.3 收敛定理的证明 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件

例3
f ( x )可逐项积分， a 2 f ( x )dx 0 f ( x )dx 2 [ an f ( x ) cos nxdx bn f ( x ) sin nxdx ]
a0 a0 f ( x )dx 2
第一节 傅里叶（Fourier）级数
• • • • • 一 二 三 四 五 问题的提出 三角级数 正交函数系 以2 为周期的函数的Fourier级数 收敛定理 小结
一、问题的提出
1, 当 t 0 非正弦周期函数:矩形波 u( t ) 当0 t 1, u
1 1 2 1 1 2 2 ( ), 8 3 5
1 1 1 2 2 2 2 , 2 4 6 1 1 1 3 1 2 2 2 , 2 3 4
2

4

1 2
4
,
1 2 2 , 3 24
2 1 2 , 6
上述三角函数系为正交函数系
三、函数展开成傅里叶级数
问题: 1.若能展开, ai , bi 是什么? 2.展开的条件是什么? 1.傅里叶系数
a0 若有 f ( x ) (ak cos kx bk sin kx) 2 k 1 (1) 求a0 . a0 f ( x )dx dx [ (ak cos kx bk sin kx)]dx 2 k 1
周期延拓(T 2) F ( x ) f ( x ) ( , )
1 端点处收敛于 [ f ( 0) f ( 0)] 2
x , x 0 展开为傅立叶 例 2 将函数 f ( x ) x, 0 x

ln
|
x
a
|
1 2a
ln
|
x
a
|
1 ln x a C. 2a x a
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例3 求 x 1 x2dx.
解
x 1 x2dx 1
1
1 x2 2d(x2 )
2
1
1
1 x2 2d 1 x2
2
1 2 1 x2
3
2 C
23
1 1 x2
3
dx 所以(1)式成立.
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第一换元积分法亦称为凑微分法, 即
g(( x))( x)dx g(( x))d( x) G(( x)) C,
其中 G(u) g(u). 常见的凑微分形式有
(1) adx d(ax);
(2) dx d( x a);
(3)
xdx
1
1
d(x 1
a2 x2 dx a cos t d(a sin t)
a2
cos2t
dt
a2 2
(1 cos 2t)dt
a2 2
t
1 2
sin
2t
C
a2 2
arcsin
x a
x a
1
x a
2
C
1 2
a2
arcsin
x a
x
a2
x2
C.
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例8 求
解 设x
dx
a2 a tan
或 ( x) 0, x [a,b]. 因此 u ( x) 是严格单调
函数,从而 u ( x) 存在反函数 x 1(u), 且
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dx 1
.

二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 已证明过以下几个极限：
x x0
lim C = C ,
x x0
lim x = x0 ,
x x0
lim sin x = sin x0 ,
1 lim = 0, x x
x
lim arctan x =

2
x x0
lim cos x = cos x0 ;
$d 2 > 0,当0 < x - x0 < d 2时有 f ( x) - B < e ,
A - B = ( f ( x) - A) - ( f ( x) - B) f ( x) - A + f ( x) - B < 2e .
(2)
取d = min(d1 , d 2 ), 则当0 < x - x0 < d时(1), (2)同时成立，故有
0
0
1） 2）
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B
；
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B ：
f ( x) A lim = x x0 g ( x ) B
3） B 0,
定理3.7之3）的证明 1 = 只要证 xlim x
0
lim g ( x ) = B ， $ d 1 > 0 使得当 0 < x - x0 < d 1 x x
.
（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用.
.
.
利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些 “简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。
例１ 例２ ( 利用极限
.

vn收敛 ====> un收敛

定理12.7比式判别法(达朗贝尔判别法)设正项级数 un 若正整数 N 0及常数q (0 q 1). un1 q 1 un 收敛. (i) 若 n N 0 , 有 un un1 1 un发散. (ii) 若 n N 0 , 有 un
lim un l (i) 当 l 1 时, 级数 un 收敛; n (ii) 当 l 1 时, 级数 un发散. n 证 lim un l , 当取 >0时, N0,
n
n
当n > N, 有 l un l . Th12.8(i) n (i) 当 l 1 时, 0 (取) < 1-l , un l + 1 ===> un 收敛 (ii) 当 l >1 时, 1-l (取)> 0,
收敛性是级数研究中最基本的问题, 本节将对最简单
的正项级数建立收敛性判别法则. 一、正项级数收敛性的一般判别原则 二、比式判别法和根式判别法 三、积分判别法 *四、拉贝判别法
一、正项级数收敛性的一般判别原则
正项级数：∑un, un0 正项级数敛散性. 定理12.5 正项级数 vn 收敛 部分和数列{Sn}有界, 即M0, 对nN 有 Sn M .
1 收敛, ∵正项级数 n 2 n( n 1)
1 ∴由比较原则得, 级数 2 收敛. n n1

例Z2 若级数 u , v 收敛, 则级数 unvn 收敛.
2 n 2 n
证
∵级数
2 2 un , vn 收敛，∴
2 2 2unvn un vn , 又 unvn
(iii) 当 l 且 v 发散时, u 也发散. 1 1 ;(2) sin 收敛性？ 例3 级数 (1) 2 n n