§3收敛定理的证明

数学分析第十五章傅里叶级数收敛定理第三讲若以数学分析第十五章傅里叶级数注尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数, 函数的要求却比幂级数要低得多, 所以应用更广. 而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉.概念解释1. 若f 的导函数在[,]a b 上连续, 则称f 在[a ,b ]上光滑.2. 如果定义在[,]a b 上函数f 至多有有限个第一类间断点, 在且连续, 极限存在, 但它对其导函数在[a , b ]上除了至多有限个点外都存f 的左、右并且在这有限个点上导函数[,]a b 上按段光滑.则称f 在数学分析第十五章傅里叶级数f '[,]a b (iii) 在补充定义在上那些至多有限个不存在f 'f '导数的点上的值后( 仍记为), 在[a ,b ]上可积.从几何图形上讲, 在区间[a ,b ] 上按段光滑函数, 多有有限个第一类间断点(图15-1).光滑弧段所组成,151-图O x ()y f x =1x 2x 3x 4x b a y 是由有限个它至若数学分析第十五章傅里叶级数表达式,(),(π,π],ˆ()(2π),((21)π,(21)π],1,2,.f x x f x f x k x k k k ∈-⎧=⎨-∈-+⎩=±± 解为它是定义在整个数轴上以2π为周期的函数,但我们认为它是周期函数. 注2在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时, 经常只(π,π]-[π,π)-给出函数在(或)上的解析式, (π,π]-上的解析如f 为但应理即函数本身不一定是定义在整个数轴上的周期函数,那么周期延拓后的函数为数学分析第十五章傅里叶级数ˆ152()y fx -=图实线与虚线的全体表示O x()y f x =π3π-π-3π5πy如图15-2所示.ˆf的傅里叶级数.因此当笼统地说函数的傅里叶级数时就是指函数。

第十五章 Fourier 级数§1 Fourier 级数的一些概念教学目标 掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理． 教学要求(1) 基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数．(2) 较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义 (包括物理意义和数学意义)． 教学建议(1) 向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)．(2) 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展开的方法与步骤． 教学程序一、 Fourier 级数的定义背景：⑴ 波的分析：频谱分析 . 基频T1( ωπ2=T ) . 倍频.⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 .⑶ n R 中用Descartes 坐标系建立坐标表示向量思想的推广:调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier 建立了Fourier 分析理论的基础. （一） 定义 设()f x 是(,)-∞+∞上以2π为周期的函数，且()f x 在[,]ππ-上绝对可积，称形如01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 的函数项级数为()f x 的 Fourier 级数或三角级数(()f x 的 Fourier 展开式)，其中01()a f x dx πππ-=⎰，1()cos ,1,2,n a f x nxdx n πππ-==⎰L ， 1()sin ,1,2,n b f x nxdx n πππ-==⎰L称为()f x 的 Fourier 系数，记为01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑定理15.1 若级数∑∞=++10) |||| (2||n n n b a a 收敛 , 则级数 01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 在R 内绝对且一致收敛 . 证明： 用M 判别法. （二）说明1）在未讨论收敛性，证明01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑一致收敛到()f x 之前，不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑是()f x 的Fourier 级数，或者说()f x 的 Fourier 级数是01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑. 2) 要求[,]ππ-上()f x 的 Fourier 级数,只须求出Fourier 系数.例1 设()f x 是以2π为周期的函数，其在[,]ππ-上可表示为1,0()0,0x f x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩ , 求()f x 的 Fourier 展开式.3) 计算()f x 的 Fourier 系数的积分也可以沿别的长度为2π的去件来积.如2001()a f x dx ππ=⎰，201()cos ,1,2,n a f x nxdx n ππ==⎰L ，201()sin ,1,2,n b f x nxdx n ππ==⎰L例2 设()f x 是以2π为周期的函数,其在[0,2)π上等于x ,求()f x 的 Fourier 级数. 4) 如果()f x 仅定义在长为2π的区间上,例如定义在[0,2)π上, 此时()f x 不是周期函数, 从而不能按上述方法展开为Fourier 级数.但可对()f x 在[0,2)π外补充定义,使其以2π为周期, 如定义~()(2)f x f x n π=-, (2,2(1))x n n ππ∈+它有下述性质: a) [0,2)x π∈时,~()()f x f x =； b) ~()f x 以2π为周期.例3 (),()x f x e x ππ=-≤<,求()f x 的 Fourier 级数. 内积和正交: 由R 3中的内积与正交概念引入.设函数f 和g 在区间] , [b a 上 ( R )可积 . 定义内积为 ⎰=><ba dx x g x f g f )()( , .当>< , g f =0时 , 称函数)(x f 和)(x g 在区间] , [b a 上正交函数的正交性与区间有关 . 例如函数)(x f =x -和2)(x x g =在区间] 1 , 0 [上并不正交 ( 因为>< , g f =41-) , 但在区间] 1 , 1 [-却是正交的 . 正交函数系统 : 标准正交系 ( 幺正系 ) , 完全系 二、 以π2为周期函数的Fourier 级数 定理15.2 若在整个数轴上)(x f =∑∞=++10 , sin cos 2n n n nx b nx a a 且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式 π1=n a ⎰-ππnxdx x f cos )(， Λ, 2 , 1 , 0=nπ1=n b ⎰-ππnxdx x f sin )( ， Λ, 2 , 1=n三、 收敛定理:（一） 按段光滑函数: .定义：若)(x f 的导函数)(x f '在区间] , [b a 上连续 , 则称函数)(x f 在区间] , [b a 上光滑. 若函数)(x f 在区间] , [b a 上至多有有限个第一类间断点, 且)(x f '仅在区间] , [b a 上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称)(x f 是区间] , [b a 上的按段光滑函数. 按段光滑函数的性质: 设函数)(x f 在区间] , [b a 上按段光滑, 则 ⑴ )(x f 在区间] , [b a 上可积;⑵ 对∈∀x ] , [b a , )0(±x f 都存在 , 且有)0()0()(lim 0+'=+-++→x f tx f t x f t ,)0()0()(lim 0-'=----+→x f tx f t x f t . ( 用Lagrange 中值定理证明 ) ⑶ )(x f '在区间] , [b a 上可积 . （二）收敛定理:定理15.3 设函数)(x f 是以π2为周期的周期函数且在区间] , [ππ-上按段光滑 , 则在∀∈x ] , [ππ-, )(x f 的Fourier 级数∑∞=++1sin cos 2n n n nx b nx a a 收敛于)(x f 在点x 的左、右极限的算术平均值 , 即=-++2)0()0(x f x f ∑∞=++10 sin cos 2n n n nx b nx a a 其中n a 和n b 为函数)(x f 的Fourier 系数. ( 证明放到以后进行 )推论 若)(x f 是以π2为周期的连续函数 , 在] , [ππ-上按段光滑,且 则)(x f 的Fourier 级数在) , (∞+∞-内收敛于)(x f .四、 正弦级数和余弦级数 （一）定义形如1sin n n b nx ∞=∑的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如01cos 2n n a a nx ∞=+∑的三角级数(函数项级数称为余弦级数.（二） 如果()f x 是以2π为周期的函数,在[,]ππ-上绝对可积, 若()f x 是奇函数,则有1()~sin n n f x b nx ∞=∑；若()f x 是偶函数,则有01()~cos 2n n a f x a nx ∞=+∑. （三）设()f x 仅在[0,]π上有定义, 如果按奇函数的要求,补充定义()(),[,0)f x f x x π=--∈-,然后再作2π周期延拓,必得奇函数, 所得Fourier 级数必为正弦级数. 对应地, 补充定义()(),[,0)f x f x x π=-∈-后,再作2π周期延拓,必得偶函数, 所得Fourier 级数必为余弦级数.例4 1,0()0,x hf x h x π≤<⎧=⎨≤<⎩ (0h π<<),将()f x 展开成余弦函数.五、 一般周期函数的Fourier 级数设()f x 是周期为T 的函数,且在[0,]T 上绝对可积, 则有0122()~(cos sin )2n n n a n n f x a x b x T T ππ∞=++∑,其中002()Ta f x dx T =⎰，022()cos ,1,2,T n n a f x xdx n T T π==⎰L 022()sin ,1,2,T n n b f x xdx n T Tπ==⎰L 例5: 求(),11f x x x =-≤≤的Fourier 展开式. 六、 Fourier 级数的复数表示形式设01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑, 则其复数表示形式为 ()~inx n f x C e +∞-∞∑,其中, 复的Fourier 系数201()22inx n n n n a ib C f x e dx C ππ---===⎰.作业 教材P70：1，2，3，4，5，6，7，8.§2 以l 2为周期的函数的展开式教学目的 掌握以l 2为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，正弦级数，余弦级数． 教学要求(1)掌握以l 2为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法．(2)掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本 方法． 教学建议三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置少量习题使学生了解展开 的方法与步骤． 教学程序一、 以l 2为周期的函数的Fourier 级数设函数)(x f 以l 2为周期 , 在区间] , [l l -上 (R )可积 . 作代换πtl x =, 则函数)()(πltf t F =以π2为周期. 由πtl x =是线性函数, )(t F 在区间] , [ππ-上(R )可积 .函数)(t F 的Fourier 系数为⎰-=πππntdt t F a n cos )(1, Λ, 2 , 1 , 0=n⎰-=πππntdt t F b n sin )(1, Λ, 2 , 1 =n)(t F ～ ∑∞=++10. sin cos 2n n n nt b nt a a还原为自变量x , 注意到l xt x f t l f t F , )() ()(ππ===, 就有 )()(t F x f =～∑∞=++10. sin cos 2n n n l x n b l x n a a ππ其中 ⎰-=πππntdt t F a n cos )(1⎰-=====l l lx t dx l xn x f l ππcos)(1, Λ, 2 , 1 , 0=n=n b ⎰-l l dx l xn x f l πsin )(1, Λ, 2 , 1 =n当函数)(x f 在区间] , [l l -上按段光滑时, )(x f 可展开为Fourie r 级数. 註明三角函数系 } , sin , cos, , sin, cos, 1 {ΛΛl xn l x n lxlxππππ是区间] , [l l -上的正交函数系统 .例１把函数⎩⎨⎧<≤<<-=50 , 3 , 05, 0 )(x x x f 展开成Fourier 级数. 二、 偶函数和奇函数的Fourier 级数（一）区间[ , ]l l -上偶函数和奇函数的Fourier 级数设f 是以2l 为周期的偶函数，或是定义在[],l l -上的偶函数，则()()()01cos 2cos ,0,1,2.,sin 0,1,2,.ln l l l n l n xa f x dxl ln x f x dx n l l n x b f x dx n l πππ--⎫=⎪⎪⎪⎪==⎬⎪⎪⎪===⎪⎭⎰⎰⎰L L (6) 于是()01cos2n n a n xf x a l π∞=+∑: （7）其中n a 如(6)所示，（7）的右边为余弦级数。

本文讨论了一类递推数列1()n n x f x +=的单调性与收敛性问题,同时也推广与包含了近期一些文献中的结果、运用单调有界性来证明收敛,而能用单调有界定理证明收敛的有四种情况:➢ 易知单调递增或递减,需证有上界或下界。

➢ 易知有上界或下界,需证单调递增或递减。

➢ 易知既有上界又有下界,需证单调。

➢ 易知单调,需证既有上界又有下界。

①用导数来求证1()n n x f x +=单调有界性如果'()0f x ≥,即函数()f x 单调递增时,数列{}n x 具有单调性就是可以肯定的,而研究递增递减那要瞧1x 跟2x 的比较了(如果12=x x 的话,那么1n =x x )具体的说若12x x >时,由12()()f x f x >,那么可以判定{}n x 为减数列。

若12x x <时,由12()()f x f x <,那么可以判定{}n x 为增数列。

例题1、{}1+12=0,n 1=2-cos ,23n n n x x x x ππ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭当时，证明数列收敛并且极限值位于，证:记()=2-cos f x x ,则'()=sin 0f x x >因为10x =,2=1x ,则120=13x x =<≤,由于[]()03f x 在，上递增所以123()()()f x f x f x <<,即233x x <≤那么{}n x 具有单调有界性,上界为3 然后对数列两边取极限,记极限为A 则A -cosA =2、设函数()=-+cos g x x x 2,其中A 为方程()g x 的根,由于()g x 在[]03，上连续,在()03，内可导,则'()=1-sin 0g x x > 所以函数递增,又由于-424-10()=0,()02236g g ππππ<=> 所以()g x 的根在223ππ⎛⎫⎪⎝⎭，内。

§3 收敛定理的证明(一) 教学目的：了解收敛定理的证明．(二) 教学内容：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理； 收敛定理的证明．(1) 基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点． (2) 较高要求：理解收敛定理的证明． (三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的证明要点． (2) 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题．——————————————————————————Dini 定理 设以π 2为周期的函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 则在每一点∈x ] , [ππ-, f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 的左、右极限的算术平均值, 即nx b nx a a x f x f n n n sin cos 22)0()0(10++=-++∑∞= ,其中n a 和n b 为f 的Fourier 系数.证明思路: 设)(x f ～∑∞=++10 . sin cos 2n n nnx b nx aa 对每个∈x ] , [ππ-, 我们要证明)(→x S n 2)0()0(-++x f x f . 即证明0 2)0()0(lim =⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→n n S x f x f .方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann —Lebesgue 定理证明相应积分的极限为零.1 写出)(x S n =∑=++nk k kkx b kx aa 10 sin cos 2的简缩形式.⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(.称这一简缩形式为)(x S n 的积分形式, 或称为Dirichlet 积分,2 利用该表示式, 式2)0()0(-++x f x f )(x S n -可化为2)0()0(-++x f x f )(x S n -=2)0()0(-++x f x f ⎰-++-πππdt t t n t x f 2sin2212sin)(1=2)0(+x f ⎰++-ππ2sin2212sin)(1dt t t n t x f+2)0(-x f ⎰-++-2sin2212sin)(1ππdt t tn t x f ,于是把问题归结为证明[∞→n lim2)0(+x f ⎰++-ππ2sin2212sin)(1dtt t n t x f ]0=,[∞→n lim2)0(-x f ⎰-++-2sin2212sin)(1ππdtt t n t x f ]0=.这两式的证明是相同的, 只证第一式. 1为证上述第一式, 先利用三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n建立所谓Dirichlet 积分⎰=+ππ12sin212sin1dt t tn , 利用该式把2)0(+x f 表示为积分,即把2)0(+x f 表示为Dirichlet 积分2)0(+x f =⎰++ππ2sin2212sin)0(1dt t t n x f .于是又把上述1中所指的第一式左端化为[∞→n lim2)0(+x f ⎰++-ππ2sin2212sin)(1dtt t n t x f ]=∞→=n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f .2 利用所谓Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明Bessel 不等式, 再建立Riemann — Lebesgue 定理, 然后把以上最后的式子化为∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f .3 把上式化为应用Riemann — Lebesgue 定理的形式, 即令] , 0( , 2sin2)0()()(πϕ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=t t tt x f t x f t , 则 ∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=→πϕπ21sin )(1limtdt n t n . 为使最后这一极限等于零, 由Riemann — Lebesgue 定理, 只要函数)(t ϕ在区间] , 0 [π上可积. 因此希望)00(+ϕ存在. 由函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 可以验证)00(+ϕ存在.预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论. 预备定理1 ( Bessel 不等式) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有Bessel 不等式∑⎰∞=-≤++122220)(1) ( 2n n n dx x f b a a πππ,其中n a 和n b 为函数f 的Fourier 系数.推论1 ( Riemann — Lebesgue 定理 ) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有 ⎰-∞→=ππ0cos )(lim nxdx x f n , ⎰-∞→=ππ0sin )(limnxdx x f n .推论2 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有 ⎰=+∞→π0)21sin()(limxdx n x f n ,⎰-∞→=+0)21sin()(limπxdx n x f n .预备定理2 若)(x f 是以π 2为周期的周期函数, 且在区间] , [ππ-上可积, 则函数)(x f 的Fourier 级数部分和)(x S n 有积分表示式⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(.当0=t 时, 被积函数中的不定式由极限212sin2)21sin(lim 0+=+→n t t n t来确定.Dirichlet 积分:⎰=+ππ12sin212sin1dt t tn .证 由三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n⇒⎰=+ππ2sin212sin1dt t t n ⎰-=+πππdt t t n 2sin2212sin1(ϕϕϕπππn cos 2cos cos 211++++=⎰- )dt1=.三维空间中 k a j a i a r 321++=则∑=≤ii r r r a 22),( (1)将此结论推广到 n 维空间, 即为若 ),1,,0(,2211=+++=i n n e e a e a e a r ,则 22),(r r r a ii =≤∑对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数∑∞=++=10)sin cos (2)(n n nnx b nx aa x f自然应有 ⎰∑-=≤++πππdx x f f f b aa nnn)(1),()(22222这就是有名的Bessel 不等式, 其证明和三维空间中 (1) 式的证明思路完全一样, 都是利用坐标系的正交性.1. Parseval 等式 ( 或称Ляпинов等式 ) 设可积函数)(x f 的Fourie 级 数在区间] , [ππ-上一致收敛于)(x f , 则成立Parseval 等式⎰-=πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .证法一 注意到此时函数)(x f 在区间] , [ππ-可积 , 由Bessel 不等式, 有⎰-≥πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .现证对0 >∀ε, 有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .事实上, 令)(x S n =∑=++nk k kkx b kx aa 10 , )sin cos (2由)(x S n 一致收敛于)(x f ,对N n N , , 0 ≥∃>∀ε对x ∀∈] , [ππ-, 有 2|)()(|ε<-x S x f n , 因此 ,[]⎰⎰⎰∑---=+--=-≥ππππππππεnk k k n b a a dx x f dx x S x f dx 122222)(2)()()( 2.即当N n ≥时有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑=++nk k kb aa 12220)(2.令∞→n , ⇒)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 由0 >ε的任意性, 有)(12⎰-≤πππdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .综上即得所证 .证法二 由)(x S n 一致收敛于)(x f , ⇒ 0|)()(|sup lim ],[=--∞→x S x f n n ππ.而()⎰⎰∑--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-ππππππnk k k n b a a dx x f dx x S x f 1222022)(2)(1)()(1. 因此, ⎰--≤πππdx x f )(102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk k k b a a 1222)(2≤()⎰--πππ2|)()(|sup1x S x f n()) ( , 0|)()(|sup 22∞→→-=n x S x f n . 由两边夹原则, 即得所证等式 .证法三 利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书 ) , 有⎰-><=ππππ)( , )(1)(12x f x f dx x f=><∞→∞→)(lim , )(lim 1x S x S n n n n π=⎰-∞→∞→==><=ππππdx x Sx S x S nn n n n )(1lim)( , )( lim 12=∞→n lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk kk b a a 12220)(2= ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . Parseval 等式的意义：设在幺正系}, sin , cos , , sin , cos, 21{ πππππnxnx x x *)下函数)(x f 的Fourier 系数为n A 和n B ，可见⎰-==ππππdx x f x f A )(21)21, )((02 )(1220220a dx x f A πππππ=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰-； ⎰-===πππππn n a nxdx x f nxx f A cos )(1)cos, )((22 n n a A π=；同理有 22 n n b B π=; 其中n a 和n b 为函数)(x f 的通常Fourier 系数.于是 ,Parseval 等式即成为()⎰∑∑-∞=∞=++=++=πππππ1122202222) (2)(n n n n nnB A A b aa dx x f .注意到⎰-=><=ππ22)( )( , )( )(x f x f x f dx x f , 就有()∑∞=++=122202)(n n n B AA x f ,这是勾股定理的推广, 可称Parseval 等式是无穷维空间中的勾股定理.Fourier 级数与三角级数: Fourier 级数与三角级数的区别：Fourier 级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier 级数.一个三角级数是Fourier 级数( 即是某个可积函数的Fourier 级数 ) 的必要条件为: 若三角级数nx b nx a a n n n sin cos 210++∑∞=为Fourier 级数, 则数项级数∑∞=1n n nb 收敛.( 参阅复旦大学编《数学分析》下册P116—117 ). 比如正弦级数∑∞=2ln sin n nnx 是收敛的三角级数(利用Dirichlet 判别法), 由级数∑∞=2ln 1n nn 发散, 正弦级数∑∞=2ln sin n nnx 不是Fourier 级数.例 证明: 当210≤<α时, 三角级数∑∞=1sin n nnx α在R 内收敛, 但其和函数)(x f 在区间] , [ππ-上不是( R )可积的 .证 由Dirichlet 判别法, 可得该级数在) , (∞+∞-内收敛. 反设和函数)(x f 在区间在] , [ππ-上( R )可积, 则该三角级数是函数)(x f 的Fourier 级数 . 由于)(2x f 也在] , [ππ-上( R )可积 , 则有Bessel 不等式⎰∑-∞=≤ππαπdx x f nn )(11212.即有上式左端的正项级数收敛 . 但由∑∞=⇒≤<121 , 120n nαα+∞=, 矛盾. 可见, 函数)(x f 在区间在] , [ππ-上不是( R )可积的 . 因此, 本例中的三角级数不是Fourier 级数.一个三角级数是否为Fourier 级数, 与所用积分有关. 在某种积分意义下不是Fourier 级数, 或许在另一种积分意义下是Fourier 级数. 近代或现代有些积分的建立, 其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier 级数. 最新的一个研究结果是: 在所谓SCP 积分( Symmetric Cesaro Perron 积分 ) 意义下, 上例中的三角级数是Fourier 级数.利用傅里叶级数的一致收敛性定理, 我们很容易导出有广泛应用 维尔斯特拉斯逼近定理 定理 ( 维尔斯特拉斯逼近定理) 若函数)(x f 在闭区间 ],[b a 上连续, 则对任意给定的0>ε,存在多项式)(x P n 对一切 ],[b a x ∈, 成立ε<-|)()(|x P x f n傅里叶 ( J.B.J.Fourier 1768.3.21-1830.3.16)法国数学家，出生在一个裁缝家庭，家境贫寒，八岁时成为孤儿，由于才华出众，1790年成为巴黎工科大学教授。

收敛性定理引理1：迭代1(*)()(1())()()[]()t t t t t t Q x a x Q x a x P Q x +=-+。

假设*1()(1())()()[]()t t t t t Q x a x Q x a x P Q x +=-+ 产生的{()}t Q x 序列以概率1收敛到*Q 。

其中t P 为映射:Q Q t P →。

如果下面的条件满足：0<γ<1和序列{|0}t t λλ≥以概率1收敛到0。

若**t t t P Q P Q Q Q γλ-≤-+P P P P 对Q Q ∀∈成立，且()t a x 满足01t a ≤<(x)，0()ti a x ∞==∞∑，20()t i a x ∞=<∞∑，则迭代(*)产生的序列{()}t Q x 当t →∞时，以概率1收敛到*()Q x 。

定理1：贝尔曼方程虽然直接，但状态的数量通常会很巨大（随问题维度指数增加），所以迭代全空间来精确求解Bellman 方程是不可行的。

所以一般会采用近似的方法，采用Q Learning -算法去求解。

经典的Q Learning -方程： '1(,)(1)(,)[(,)max (,)]t t t t t a Q s a Q s a r s a Q s a ααγ+=-++产生的序列{(,)}t Q s a 收敛到*(,)Q s a 对s S ∀∈，a A ∀∈成立。

其中 '*''(,)(,)(|,)()s Q s a r s a p s s a V s γ=+∑证明：定义'(,)(,)max (,)]t t aPQ s a r s a Q s a γ=+。

有**max (,)(,)t s SPQ PQ PQ s a PQ s a ∈-≤-P P 。

其中P 是空间Q 到Q 的映射。

同理有**'(,)(,)max (,)aPQ s a r s a Q s a γ=+。

§3 收敛定理的证明为了证明傅里叶级数 的收敛定理 ，先证明下面两个预备定理．预备定理1（贝塞耳（Bessel ）不等式） 若函数f 在],[ππ-上可积，则()⎰∑-∞=≤++πππdx x f b a a n n n )(12212220 (1)其中n a ，n b 为f 的傅里叶系数.(1)式称为贝塞耳不等式．证 令()∑=++=mn n n m nx b nx a a x S 1sin cos 2)( .考察积分⎰⎰⎰⎰----+-=-ππππππππdx x S dx x S x f dx x f dx x S x f m m m )()()(2)()]()([222． (2)由于)sin )(cos )(()(2)()(10⎰∑⎰⎰⎰-=---++=ππππππππnxdx x f b nxdx x f a dx x f a dx x S x f n m n n m ． 根据傅里叶系数公式(§1(10))可得∑⎰=-++=mn n n m b a a dx x S x f 12220)(2)()(ππππ.(3)对于)(2x S m 的积分,应用三角函数的正交性,有⎰-ππdx x S m)(2=()dx nx b nx a a m n n n 210sin cos 2⎰∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππ=⎰∑⎰⎰-=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππππmn n n nxdx b nxdx a dx a 1222222sin cos 2=∑=++mn n n b a a 1222)(2ππ.(4)将(3),(4)代入(2),可得 []⎰∑⎰-=-+--=-≤ππππππmn n n m b a a dx x f dxx S x f 1222022).(2)()()(0因而[],)(1)(2122222∑⎰=-≤++m n n n n dx x f b a f a πππ它对任何正整数m 成立.而[],)(12dx x f ⎰-πππ为有限值,所以正项级数∑∞=++122.20)(2n n n b a a的部分和数列有界,因而它收敛且有不等式(1)成立． □ 推论1 若f 为可积函数,则⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰-∞→-∞→ππππ,0s i n )(lim ,0cos )(lim nxdx x f nxdx x f n n(5)因为(1)的左边级数收敛,所以当∞→n 时,通项,022→+n n b a 亦即有0→n a 与0→n b 这就是(5)式.这个推论也称为黎曼—勒贝格定理．推论2 若f 为可积函数,则⎪⎭⎪⎬⎫=+=+⎰⎰-∞→∞→00.0)21sin()(lim ,0)21sin()(lim ππxdx n x f xdx n x f n n (6)证 由于,cos 2sin sin 2cos )21sin(nx xnx x x n +=+所以,cos )(sin )(cos ]2sin )([sin ]2cos )([)21sin()(21000nxdx x F nxdx x F nxdx x x f nxdx x x f xdx n x f ⎰⎰⎰⎰⎰--+=+=+πππππππ （7）其中⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≤≤=.0,0,0,2sin )()(,0,0,0,2cos )()(21x x x x f x F x x x x f x F ππππ显见1F 与2F 和f 一样在],[ππ-上可积．由推论1，(7)式右端两积分的极限在∞→n 时都等于零，所以左边的极限为零．同样可以证明⎰-∞→=+0.0)21sin()(lim πxdx n x f n□预备定理 2 若)(x f 是以π2为周期的函数,且在],[ππ-上可积,则它的傅里叶级数部分和)(x S n 可写成dt t tn t x f x S n ⎰-++=πππ2sin2)21sin()(1)(，（8）当0=t 时,被积函数中的不定式有极限212sin 2)21sin(lim+=+→n t tn t 来确定．证 在傅里叶级数部分和kx b kx a a x S nk k k n ∑=++=1sin cos 2)(中，用傅里叶系数公式代入，可得.du )]x u (k cos )[u (f du])kx sin ku sin kx cos ku (cos )[u (f ]kx sin )kudu sin )u (f (kx cos )kudu cos )u (f [(du )u (f )x (S nk nk nk n -+=++=++=⎰∑⎰∑∑⎰⎰⎰-=-==---ππππππππππππππ111211211121 令t x u +=,得dt kt t x f x S nk x x n ]cos 21[)(1)(1∑⎰=---++=πππ有上面这个积分看到，被积函数是周期为π2的函数，因此在],[x x ---ππ上的积分等于],[ππ-上的积分，再由第十二章§3,(21)式，即,2sin2)21sin(cos 211t t n kt nk +=+∑= （9） 就得到dt t tn t x f x S n ⎰-++=πππ2sin2)21sin()(1)( . □(8)式也称为f 的傅里叶级数部分和的积分表示式．现在证明定理15.3(收敛定理),重述如下：若以π2为周期的函数f 在],[ππ-上按段光滑,则在每一点],[ππ-∈x ,f 的傅里叶级数（§1，（12））收敛于f 在点x 的左右极限的算术平均值,即,s i n c o s 22)0()0(10nx b nx a a x f x f nn n n ∑=++=-++其中n a ，n b 为f 的傅里叶级数．证 只要证明在每一点x 处下述极限成立：,0)](2)0()0([lim =--++∞→x S x f x f n n 即,0]2sin2)21sin()(12)0()0([lim =++--++⎰-∞→dt t tn t x f x f x f n πππ 或证明同时有,0]2s i n2)21s i n ()(12)0([lim 0=++-+⎰∞→dt t t n t x f x f n ππ (10) 与,0]2sin2)21sin()(12)0([lim 0=++--⎰-∞→dt t tn t x f x f n ππ (11)现在先证明(10)式,对(9)式积分有1)c o s 21(12s i n2)21s i n (11=+=+⎰∑⎰-=-dx kx dx x x n n k ππππππ. 由于上式左边为偶函数,由此两边乘以)0(+x f 后得到dt t tn x f x f ⎰++=+ππ02sin2)21sin()0(12)0(从而(10)式可以改为02s i n2)21s i n ()]()0([1lim 0=++++⎰∞→dt tt n t x f x f n ππ. （12） 令(]πϕ,0,s i n])0()([s i n 2)0()()(222∈+-+-=+-+-=t t x f t x f x f t x f t ttt ． 由§1(13)式得)0(1)0()(l i m ''0+-=⋅+-=+→x f x f t t ϕ． 再令)0()0('+-=x f ϕ，则函数ϕ在点0=t 右连续,因为ϕ在],0[π上至多只有有限个第一类间断点,所以ϕ在],0[π上可积，根据预备定理1的推论20)21s i n ()(1lim 2sin2)21sin()]()0([1lim 00=+=++-+⎰⎰∞→∞→tdt n t dt ttn t x f x f n n ππϕππ．这就证得(12)式成立，从而(10)式成立． 用同样方法可证(11)也成立．作业布置：Ｐ８３ ２．。

序列的收敛性与子序列的收敛性摘要:本文研究序列的收敛性与子序列的收敛性之间的关系情况，分析和推导Bolzano-Welerstrass 定理和一些结论，得出序列和子序列的收敛的几种判定方法并应用于控制收敛定理的一个重要推广，这对于我们进一步了解序列与子序列之间的关系有着一定的意义。

关键词: 序列；子序列；收敛；极限1 引言在数学分析里，对于序列的研究主要是极限问题，但没有较系统地讨论序列的收敛性与子序列的收敛性的关系;本文主要分析序列与子序列之间的关系，从中得出一些定理和结论，这对于我们对序列收敛性判定和研究序列与子序列间的关系具有很大的帮助。

2 序列和子序列的定义及其相互关系2.1 序列和子序列的定义定义：若函数f 的定义域为整个全体正整数集合N +，则称 :f N R +→ 或 (),f n n ∈N + 为序列。

因为正整数集合N +的元素可按照由大到小的顺序排列，故序列)(n f 也可以写为1234,,,,,,na a a a a 或者简单地记为{}n a ，其中n a 称为该序列的通项。

序列可分为有界序列，无界序列，单调序列，常序列或周期序列等。

从序列{}n a 中将其项抽出无穷多项来，按照它们在原来序列中的顺序排成一列： 1n a ，2n a ， ，k n a ， 又得一个新的序列{}k n a ，称为原来序列的子序列。

易见{}k n a 中的第k 项是{}n a 中的第k n 项，所以总有k n k >，事实上{}n a 本身也是{}n a 的一个子序列，且是一个最大的子序列（k n =k 时）。

2.2序列与子序列之间的若干关系定理1（Bolzano-Welerstrass ）：若序列{}n a 有界，则必存在收敛子序列{}kn a ，若序列{}n a 无界，则必存在子序列{}k n a ，使kn a∞→（或k n a -∞→）.证明：（1）不妨设{}n a 中有无限多个不同的项，否则结论显然成立．用有限覆盖定理(见注释①)来证明结论．设序列{}n a 为一有界序列，则存在,m M ，使 n m a M ≤≤ ()1,2,n =下面先证明在[],m M 中存在一点c ，使该点任一邻域内有{}n a 中的无穷多项．用反证法,若此断言不成立，则对任意[],a m M ∈都存在一邻域(),a a a a δδ-+，0a δ≠在此邻域内它有{}n a 中的有限项，()[]{},,,a a a a a m M δδA =-+∈构成[],m M 的一开区间覆盖．由有限覆盖定理,存在有限子覆盖，即存在*j a ()1,2,,j k = ，使 []()****1,,jjk j j a aj m M a a δδ=⊂-+依反证假设，()****1,jjk jj a a j aa δδ=-+ 中至多含有{}na 的有限项与()1,2,n m a M n ≤≤= 矛盾．据以上证明，存在()11,1n a c c ∈-+，又在11,22c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭中，存在一项2n a 使21n n >，否则与c 的任何邻域中有{}n a 的无穷项矛盾，同样我们可以在11,33c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭中找到一项3n a ，使32n n >> 在11,c c k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭中找到一项k n a 使1k k n n ->> ，最终得到一个序列{}k n a 满足：（i ） {}k n a 是{}n a 的子序列（ii ） 1k n a c k-<于是，由（i ）和（ii ）知，k n a 是n a 的收敛子序列．（2）另外对于无界序列{}n a ，则可以利用序列无界定义，类似（1）后面一部分可以证明出存在子序列{}k n a ∞→.例1：对于有界序列(){}1k-，它存在子序列(){}21k-收敛于1，当k →∞.例2：对于无界序列{}n ，它的一切子序列都发散到+∞.以上是关于序列与其子序列在序列有界和无界的情况下进行的关系探讨，进一步对于单调有界序列分析，我们有如下定理：定理2：若{}n a 为单调有界序列，{}k n a 为{}n a 的一个子序列，且有k n a a →，()k →∞则有n a a → ()n →∞．证明：由于{}n a 是单调有界序列，可根据序列单调有界定理(见注释②)知道，{}n a 收敛，而lim n n a →∞存在，现假设记为b ，即l i m n n a b →∞=，由定义，对0ε∀>，∃1N ，使当1n N >时候，有2n a b ε-<由于{}k n a 是{}n a 的子序列，且k n a a → ()k →∞，故对上述0ε>，∃2N >0，使当k n >k >2N 时，就有2k n a a ε-<又取{}12max ,N N N =，当k N >时，就有2k n N >，于是有：2k n a b ε-<由k k k k n n n n b a b a a a b a a a -=-+-<-+-=k k n n a b a a -+-22εε<+=ε即有 a b =成立，所以lim n x a a →∞=成立.例 3设序列n a =，{}2k a 为{}n a 的一个子序列且有22k a →，()k →∞, 则有2n a → ()n →∞.3 序列与子序列的三个定理定理3：序列{}n x 收敛于a 的充要条件是它的任何子序列{}k n x 也都收敛于同一个极限a ．证明：依题意，设lim n n x a →∞=，{}k n x 为{}n x 的一个子序列，于是对于任给的0ε>，存在N ，使得n N >当时就有n x a ε-<，因为{}k n x 是{}n x 的子序列，故有k n k ≥，所以当k N >时, k n N >, 从而有：k n x a ε-<按照序列极限定义知lim n n x a →∞=,即{}k n x 收敛且与{}n x 的极限相同．反之若序列{}n x 的任一子序列都收敛，且有相同的极限a ，因为{}n x 本身为自己的一个子序列，所以有lim n n x a →∞=.定理4：序列{}n a 收敛的充要条件是奇子序列{}21k a -与偶子序列{}2k a 都收敛，且它们的极限相等.证明：根据定理3，序列{}n a 的奇子序列{}21k a -与偶子序列{}2k a ，且它们的极限相等.设212lim lim k k k k a a a -→∞→∞==.根据序列极限的定义，即1121222,21,.0,,2,.k k k N k k a a k N k k a a εεε-⎧∃∈∀->-<⎪∀>⎨∃∈∀>-<⎪⎩有有{}12max ,.N k k ∃=于是，n N ∀>，有 n a a ε-<，即 lim n n a a →∞=. （证毕）定理5：若序列{}n x 收敛于a 的充要条件是{}n x 的任一子序列{}k n x 中必有子序列{}'n k x ,使得'n k x a →()k →∞.证明：由定理3我们可以知道: 若序列{}n x 收敛于a ，则它的任何子序列{}k n x 也都收敛于同一个极限a ，由题意必要性得证.已知序列{}n x 的任一子序列{}kn x 中必有子序列{}'n kx,使得'n kxa →()k →∞，则由定理3有n k x a →()k →∞.用反证法,假设lim n x x a →∞≠则必然存在00ε>，对于任意自然数N ，都有00n >时,有00n x a ε-≥当1N =时，11n >，使 10n x a ε-≥ 当1N n =时，有12n n >，使 20n x a ε-≥ …………当1k N n -=时，有1k k n n ->，使0k n x a ε-≥ …………由此可以得到{}n x 的一个子序列{}k n x ，它的每一项k n x 都满足0k n x a ε-≥，故{}k n x 不收敛于a ，且{}k n x 中不存在收敛于a 的子序列, 这与已知矛盾，因此lim n n x a →∞=成立。

数学中的收敛现象-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数学中的收敛现象是数学分析中一个重要的概念和研究领域。

它深入探讨了数列和函数的极限性质，揭示了数学中一种趋于稳定的动态变化过程。

收敛是指数列或函数在某个极限点附近逐渐趋于稳定的现象。

对于数列而言，当数列的项随着项数的增加而逐渐趋近于某个常数时，我们说该数列收敛于该常数。

类似地，对于函数而言，当函数的取值随着自变量的变化而逐渐趋近于某个特定值时，我们说该函数在某个点上收敛。

收敛的研究源远流长，最早可以追溯到古希腊数学家Zeno提出的著名悖论——阿基里斯与乌龟赛跑问题。

这个问题涉及了无穷个阶段的竞争，但每个阶段都只是短暂的瞬间。

数学家们通过引入极限的概念，成功地解决了这个问题，从而开启了数学中收敛现象的研究。

数学中的收敛现象具有广泛的应用价值。

首先，在实际问题建模中，许多动态系统的变化趋势都可以通过收敛的方式进行描述。

例如，在经济学中，利率的变动趋势、股票价格的波动等都可以利用收敛理论来研究和预测。

其次，收敛现象也在数学分析和物理学等学科的证明和推导中起到重要的作用。

一些重要的收敛定理，如柯西收敛准则和黎曼积分收敛定理等，为我们提供了判断和证明数列、级数和函数收敛的有效工具，从而推动了这些学科的发展和深入研究。

最后，收敛现象还在计算机科学和优化问题中扮演着重要角色。

在计算机科学中，许多数值计算和算法设计都需要考虑数列的收敛性，以保证计算结果的准确性和稳定性。

在优化问题中，通过研究目标函数的收敛性质，我们可以找到最优解或次优解。

未来，收敛现象的研究将与数学的发展密切相关。

随着人工智能和大数据时代的到来，对于更加复杂动态系统的研究需求会增加，这将进一步推动收敛现象的理论和应用的发展。

相信在不久的将来，收敛现象将在更多领域发挥重要作用，为人类认识和探索世界提供更深刻的见解。

文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将以数学中的收敛现象为主题，探讨收敛的概念、数学中的收敛定理以及收敛现象的重要性、应用领域和未来发展。

§ 3 收敛定理的证明定理15.3（收敛定理Dini 定理） 设以π 2为周期的函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 则在每一点∈x ] , [ππ-, f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 的左、右极限的算术平均值, 即nx b nx a a x f x f n n n sin cos 22)0()0(1++=-++∑∞= ,其中n a 和n b 为f 的Fourier 系数.证明思路: 设)(x f ～∑∞=++10 . sin cos 2n n n nx b nx a a 对每个∈x ] , [ππ-, 我们要证明)(→x S n 2)0()0(-++x f x f . 即证明0 2)0()0(lim =⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→n n S x f x f .方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann —Lebesgue 定理证明相应积分的极限为零.施证方案:1. 写出)(x S n =∑=++nk k k kx b kx a a 1sin cos 2的简缩形式. 称这一简缩形式为)(x S n 的积分形式, 或称为Dirichlet 积分, 即⎰-++=πππdt t tn t x f x S n 2sin2212sin)(1)(. 利用该表示式, 式 2)0()0(-++x f x f )(x S n -可化为2)0()0(-++x f x f )(x S n -==2)0()0(-++x f x f ⎰-++-πππdt t tn t x f 2sin2212sin )(1==2)0(+x f ⎰++-ππ02sin 2212sin )(1dt t t n t x f + 2)0(-x f ⎰-++-02sin2212sin )(1ππdt t t n t x f ,于是把问题归结为证明[∞→n l i m 2)0(+x f ⎰++-ππ02s i n2212s i n )(1dt t tn t x f ]0=,和 [∞→n lim 2)0(-x f ⎰-++-02sin2212sin )(1ππdt t tn t x f ]0=.这两式的证明是相同的, 只证第一式.2. 为证上述第一式, 先利用三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n 建立所谓Dirichlet 积分⎰=+ππ12sin 212sin 1dt t tn , 利用该式把2)0(+x f 表示为积分, 即把2)0(+x f 表示为Dirichlet 积分2)0(+x f =⎰++ππ02sin2212sin)0(1dt t t n x f . 于是又把上述1中所指的第一式左端化为[∞→n l i m 2)0(+x f ⎰++-ππ02s i n2212s i n )(1dt t tn t x f ]= ∞→=n lim []⎰++-+ππ02sin2212sin )()0(1dt ttn t x f x f . 3. 利用所谓Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明Bessel 不等式( [1]P 101预备定理1 ), 再建立Riemann — Lebesgue 定理, 然后把以上最后的式子化为 ∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f .4. 把上式化为应用Riemann — Lebesgue 定理的形式, 即令] , 0( , 2sin2)0()()(πϕ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=t t tt x f t x f t , 则 ∞→n lim []⎰++-+ππ02sin2212sin )()0(1dt t tn t x f x f ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→πϕπ0021sin )(1lim tdt n t n . 为使最后这一极限等于零, 由Riemann — Lebesgue 定理, 只要函数)(t ϕ在区间] , 0 [π上可积. 因此希望)00(+ϕ存在. 由函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 可以验证)00(+ϕ存在.预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论.预备定理1 ( Bessel 不等式) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有Bessel 不等式∑⎰∞=-≤++122220)(1 ) ( 2n n n dx x f b a a πππ , （1）其中n a 和n b 为函数f 的Fourier 系数.证 P 78 .推论1 ( Riemann — Lebesgue 定理 ) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有 ⎰-∞→=ππ0cos )(lim nxdx x f n ,⎰-∞→=ππ0sin )(lim nxdx x f n . （5）证 P 179 .推论2 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有⎰=+∞→π00)21sin()(limxdx n x f n , ⎰-∞→=+00)21sin()(lim πxdx n x f n . （6）证 P 179 .预备定理2 若)(x f 是以π 2为周期的周期函数, 且在区间] , [ππ-上可积, 则函数)(x f 的Fourie r 级数部分和)(x S n 有积分表示式⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(. （8） 当0=t 时, 被积函数中的不定式由极限212sin2)21sin(lim0+=+→n t tn t 来确定.证 P 80— 81.Dirichlet 积分:⎰=+ππ12sin 212sin 1dt t t n . 证 由三角公式2sin 2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n , ⇒ ⎰=+ππ02sin212sin 1dt t t n=(⎰⎰--=+ππππππ12sin2212sin1dt t tn ϕϕϕn cos 2cos cos 21++++ )dt 1=.定理15.3（收敛定理Dini 定理）的证明: P81—82 .附註1. Parseval 等式 ( 或称Ляпинов等式 ) 设可积函数)(x f 的Fourie r 级数 在区间] , [ππ-上一致收敛于)(x f , 则成立Parseval 等式⎰-=πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .证法一 注意到此时函数)(x f 在区间] , [ππ-可积 , 由Bessel 不等式, 有⎰-≥πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .现证对0 >∀ε, 有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .事实上, 令)(x S n =∑=++nk k k kx b kx a a 1, )sin cos (2由)(x S n 一致收敛于)(x f ,对N n N , , 0 ≥∃>∀ε对x ∀∈] , [ππ-, 有 2|)()(|ε<-x S x f n , 因此 ,[]⎰⎰⎰∑---=+--=-≥ππππππππεnk k k n b a a dx x f dx x S x f dx 1222022)(2)()()( 2.即当N n ≥时有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑=++nk k k b a a 12220)(2.令∞→n , ⇒)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 由0 >ε的任意性, 有)(12⎰-≤πππdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .综上即得所证 .证法二 由)(x S n 一致收敛于)(x f , ⇒ 0|)()(|sup lim ],[=--∞→x S x f n n ππ.而()⎰⎰∑--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-ππππππn k k k nb a a dx x f dx x Sx f 1222022)(2)(1)()(1. 因此, ⎰--≤πππdx x f )(102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk k k b a a 12220)(2≤()⎰--πππ2|)()(|sup 1x Sx f n =()) ( , 0|)()(|sup 22∞→→-=n x S x f n .由双逼原理, 即得所证等式 .证法三 利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书 ) , 有⎰-><=ππππ)( , )(1)(12x f x f dx x f =><∞→∞→)(lim , )(lim 1x S x S n n n n π=⎰-∞→∞→==><=ππππdx x S x S x S nn n n n )(1lim)( , )( lim 12=∞→n l i m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=n k k k b a a 12220)(2= ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .Parseval 等式还可用公式⎰∑-∞=++=ππβααπ100)(2)()(1n n n n n b a a dx x g x f ( 其中n a 、n b 与n α、n β分别是函数)(x f 和)(x g 的Fourier 系数（ 参阅吉林大学邹承祖等编《数学分析习题课讲义》上册P 427 ）证明；也可用所谓卷积函数证明（ 参阅数学分析教案90—3—12 P 335 ）Parseval 等式的意义：设在幺正系} , sin , cos , , sin , cos, 21{ πππππnxnx x x *)下函数)(x f 的Fourier 系数为n A 和n B ，可见 ⎰->==<ππππdx x f x f A )(2121, )(0 ， 2 )(122022a dx x f A πππππ=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰-； ⎰-=>==<πππππn n a nxdx x f nxx f A cos )(1cos, )(， 22 nn a A π=； 同理有 22 nn b B π=; 其中n a 和n b 为函数)(x f 的通常Fourier 系数. 于是 , Parseva l 等式即成为()⎰∑∑-∞=∞=++=++=πππππ1122202222) (2)(n n nn nnB A A b a a dx x f . 注意到⎰-=><=ππ22)( )( , )( )(x f x f x f dx x f , 就有()∑∞=++=12222)(n nn B A A x f , 这是勾股定理的推广, 即在坐标系*)中的勾股定理. 因此, 可称Parseval 等式是无穷维空间中的勾股定理 . ( 与三维空间中的勾股定理做比较 ) .2. Fourier 级数与三角级数: Fourier 级数与三角级数的区别：Fourier 级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier 级数.一个三角级数是Fourier 级数( 即是某个可积函数的Fourier 级数 ) 的必要条件为:若三角级数 nx b nx a a n n n sin cos 210++∑∞=为Fourier 级数, 则数项级数∑∞=1n n nb收敛.( 参阅复旦大学编《数学分析》下册P 116—117 ). 比如正弦级数∑∞=2ln sin n nnx是收敛的三角级数(利用Dirichlet 判别法), 由级数∑∞=2ln 1n n n 发散, 正弦级数∑∞=2ln sin n n nx 不是Fourier 级数.例 证明: 当210≤<α时, 三角级数∑∞=1sin n nnxα在R 内收敛, 但其和函数)(x f 在区间], [ππ-上不是( R )可积的 .证 由Dirichlet 判别法, 可得该级数在) , (∞+∞-内收敛. 反设和函数)(x f 在区间在] , [ππ-上( R )可积, 则该三角级数是函数)(x f 的Fourier 级数 . 由于)(2x f 也在] , [ππ-上( R )可积 , 则有Bessel 不等式⎰∑-∞=≤ππαπdx x f nn )(1 1212. 即有上式左端的正项级数收敛 . 但由∑∞=⇒≤<121, 120n n αα+∞=, 矛盾. 可见, 函数 )(x f 在区间在] , [ππ-上不是( R )可积的 . 因此, 本例中的三角级数不是Fourier 级数.一个三角级数是否为Fourier 级数 , 与所用积分有关. 在某种积分意义下不是Fourier 级数, 或许在另一种积分意义下是Fourier 级数. 近代或现代有些积分的建立,其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier 级数. 最新的一个研究结果是: 在所谓SCP 积分( Symmetric Cesaro Pe rron 积分 ) 意义下, 上例中的三角级数是Fourier 级数.补充一 Riemann （黎曼）引理1 Riemann （黎曼）引理 设()f x 在（有界或无界）区间,a b <>上绝对可积，则()cos 0baf x pxdx →⎰，()s i n 0baf x p x d x →⎰()p →∞.推论1 在[0,]T 上绝对可积函数()f x 的Fourier 系数022()cos 0,()T n n a f x xdx n T T π=→→∞⎰；022()sin 0,()T n n b f x xdx n T Tπ=→→∞⎰二 Fourier 级数收敛的充要条件定理1 l i m()0,()(0,n n T x s εδδεπ→∞=⇔∀>∃=∈和()N N ε=, 使得当()n N ε≥时成立 01sin()2(),n u u du uδϕε+<⎰其中()()()2u f x u f x u ϕδ=++--.三 Fourier 级数收敛的Dini 判别法1 推论2: 设()f x 在[0,2]π上除去有限点外存在有界导数,则()f x 的Fourier 级数点点收敛,且001(()()),(0,2)2(cos sin )12((0)(2)),022n n n f x f x x a a nx b nx f f x πππ∞=⎧++-∈⎪⎪++=⎨⎪++-=⎪⎩∑或特别地, (0,2)x π∈是()f x 的连续点时,1(()())()2f x f x f x ++-=,即 01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑2 推论2的应用:例1 设()f x 是以2π为周期的函数，其在[,]ππ-上可表示为1,0()0,0x f x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩,判定()f x 的Fourier 级数的收敛性.例2 设()f x 是以2π为周期的函数,其在[0,2)π上等于x ,判定()f x 的 Fourier 级数的收敛性例3; (),axf x e = ()x ππ-≤< (0)a ≠四 Jordan 判别法设()f x 在[0,2]π上单调(或有界交差),则推论2的结论成立,即001(()()),(0,2)2(cos sin )12((0)(2)),022n n n f x f x x a a nx b nx f f x πππ∞=⎧++-∈⎪⎪++=⎨⎪++-=⎪⎩∑或补充Fourier 级数的性质 一 逐项积分定理1 定理 设周期为2π的函数()f x 局部绝对可积且在[,]ππ-上01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑，则1n n b n∞=∑收敛, 且逐项积分公式成立：01()(cos sin )2xxx n n n a f t dt dt a nt b nt dt ∞==++∑⎰⎰⎰.2 注意：（1）以上是默认在[,]ππ-上讨论的,一般的逐项积分公式为：1()(cos sin )2xxx n n ccc n a f t dt dt a nt b nt dt ∞==++∑⎰⎰⎰,其中,c x 是[,]ππ-上任意两点; (2 ) 逐项积分定理中,并没有要求()f x 的Fourier 级数是收敛的, 但逐项积分后所得的级数总是收敛的; (3 ) 并非每个三角技术都能成为局部绝对可积函数的Fourier 级数.例 2s i n ()ln n nx s x x∞==∑. 3 逐项积分定理的应用: 求()f x 在[0,2]π上的Fourier 展开并证明22116n n π∞==∑.二 Fourier 级数的逐项求导问题假定()f x 在[0,2]π上连续可微, 且01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑, 02x π≤≤,问是否成立下式:1'()~()'(cos sin )'2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑, 02x π≤≤.这就是Fourier 级数的逐项求导问题.。