2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)试题及点评

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥，则U A ð=A. ∅B. {2}C.{5}D.{2,5} 2.已知i 是虚数单位，,a b R ∈则“a =b =1”是“2()2a bi i +=”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是A. 902cmB. 1292cmC.1322cmD.1382cm 4.为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数3y x =的图象A. 向右平移4π个单位 B. 向左平移4π个单位 C. 向右平移12π个单位 D. 向左平移12π个单位5.在64(1)(1)x y ++的展开式中，记mnx y 项的系数为(,)f m n ，则(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=A.45B. 60C. 120D.2106.已知函数32()f x x ax bx c =+++，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，则A. 3c ≤B. 36c <≤C. 69c <≤D.9c >7.在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =>=的图象可能是A. B. C. D.8.记,,,,max{,}min{,},,,,x x y y x y x y x y y x y x x y ≥≥⎧⎧==⎨⎨<<⎩⎩，设,a b 为平面向量，则 A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ B. min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C. 2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+D. 2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =. 则A. 1212,()()p p E E ξξ><B. 1212,()()p p E E ξξ<>C. 1212,()()p p E E ξξ>>D. 1212,()()p p E E ξξ<< 10.设函数221231(),()2(),()|sin 2|,,0,1,2,,99.399i if x x f x x x f x x a i π==-===，记10219998|()()||()()||()()|,1,2,3.k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a k =-+-++-=则A.123I I I <<B. 213I I I <<C. 132I I I <<D. 321I I I <<非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是 12．随机变量ξ的取值为0,1,2.若1(0),()1,5P E ξξ===，则()D ξ=13．当实数,x y 满足240,10,1x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是14．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）.15．设函数22,0,(),0.x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤，则实数a 的取值范围是16．设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A ，B.若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是 17．如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确命中目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若1525,30,AB cm AC cm BCM ==∠=，则tan θ的最大值是 （仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）.三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，已知22,cos cos cos a b c A B A A B B ≠=-=.（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积.19.（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足*123(2)()n b n a a a a n N =∈.若{}n a 为等比数列，且1322,6a b b ==+. （Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设*11()n n nc n N a b =-∈.记数列{}n c 的前n 项和为n S . （ⅰ）求n S ；（ⅱ）求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n S S ≥.20.（本题满分15分）如图，在四棱锥A-BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC= 2. （Ⅰ）证明：DE ⊥平面ACD ； （Ⅱ）求二面角B-AD-E 的大小.21.（本题满分15分）如图，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限.（Ⅰ）已知直线l 的斜率为k ，用a,b,k 表示点P 的坐标； （Ⅱ）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 距离的最大值为a b -.22.（本题满分14分）已知函数3()3||()f x x x a a R =+-∈.（Ⅰ）若()f x 在[1,1]-上的最大值和最小值分别记为(),()M a m a ，求()()M a m a -； （Ⅱ）设b R ∈，若2[()]4f x b +≤对[1,1]x ∈-恒成立，求3a b +的取值范围.(第20题图)C(第21题图)2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学理科试题答案与解读一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【解读与点评】设全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥，则U A ð=A. ∅B. {2}C.{5}D.{2,5} 解析1 ∁U A ＝{x ∈N |2≤x <5}＝{2}，故选B. 解析2 5A ∈，故选B. 点评：（1）本题考查集合的基本运算，并涉及一元二次不等式的求解.（2）集合的基本运算是高中数学最基础的知识，试题的起点低，属容易题；求解一元二次不等式可以采用分解因式法、二次函数图像法等；从答案入手解决也比较容易．2．【解读与点评】已知i 是虚数单位，,a b R ∈则“a =b =1”是“2()2a bi i +=”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件解析1 由a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝2i, 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，2ab ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.故选A ． 解析2 由(1＋i)2＝2i 得(-1-i)2＝2i ，故选A ．点评：（1）本题考查复数的乘法运算法则以及充分条件、必要条件的判断．（2）解析1是通过求2()2a bi i +=的充要条件来解决问题的，解析2则是将a =b =1代入先确定充分性然后寻找是否必要来解决的．（3）本题即可以通过推理来判断充分性或者必要性；也可利用集合间的关系判断充分性或者必要性：若A 是B 的真子集，则x A ∈是x B ∈的充分不必要条件；若A ＝B ，则x A ∈是x B ∈的充要条件．（4）充分或必要条件的问题可以涉及各方面的知识，是推理与证明的一个重要工具． 3．【解读与点评】某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是A. 902cmB. 1292cmC.1322cmD.1382cm 解析 此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的，其直观图如图（第3题解答图），所以该几何体的表面积为2(4×3＋6×3＋6×4)＋2×12×3×4＋4×3＋3×5－3×3＝138(cm 2)，故选D.．点评：（1）本题考查识别三视图所表示的空间几何体、空间几何体表面积的计算和空间想象能力以及识图能力，涉及三视图、空间几何体的表面积计算等知识点．（2）问题的解决分两步：首先根据三视图得出直观图，判断几何体的形状；再选用相应的表面积公式计算即可．（3）对立体几何学习中强调的空间想象能力以及识图能力做了明确的考查．涉及数形结合思想．4．【解读与点评】为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数3y x =的图象A. 向右平移4π个单位B. 向左平移4π个单位C. 向右平移12π个单位 D. 向左平移12π个单位 解析 y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选C点评： （1）本题考查三角恒等变换以及三角函数图像变换，涉及两角差的余弦公式的逆用（辅助角公式或合一变形公式）、三角函数的相位变换等知识点．（2）问题的解决分两步：首先逆用两角差的余弦公式将函数化简为sin()y A x ωϕ=+的形式，然后利用三角函数相位变换的规则解决即可．（3）对三角函数恒等变换和图像变换做了明确的考查．涉及数形结合和变换的思想． 5．【解读与点评】在64(1)(1)x y ++的展开式中，记mnx y 项的系数为(,)f m n ，则(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=A.45B. 60C. 120D.210解析1 含x m y n 项的系数为f (m ，n )＝C m 6C n 4，故原式＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120，故选C.解析2 观察问题结构可以发现，我们要解决的实际上是关于x 、y 的三次项的系数问题，64(1)(1)x y ++是10个一次式相乘，故系数为310=120C ，选C.点评：（1）本题主要考查二项展开式的通项公式．涉及二项展开式的通项公式的求法、组合数的计算等知识点．（2）解析1根据题意直接利用二项式定理求通项的系数，解析2关注的是问题的结构，即指数和是3，问题可转化为整体考虑，即问题的本质实际是分步乘法计数原理的直接运用．（3）可涉及化归的思想和基本量的方法． （4）此题与2008年浙江省数学高考理科试题第4题有异曲同工之妙，展示了浙江卷试题的一脉相承．附题：在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是（ ） A ．-15 B ．85 C ．-120 D ．274 6．【解读与点评】 已知函数32()f x x ax bx c =+++，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，则 A. 3c ≤ B. 36c <≤ C. 69c <≤ D.9c >解析1 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，而0<f (－1)≤3，故0<－6＋c ≤3， ∴6<c ≤9，故选C.解析2 由题意，f (x )=(x +1)(x +2)(x +3)+c -6，故0< c －6≤3，∴6<c ≤9，故选C ． 解析3 取(1)(2)(3)=3f f f -=-=-，则c=9，故选C ．点评：（1）本题主要考查三次函数．涉及三次函数的解析式，解方程及不等式等知识点． （2）解析1直接利用已知条件求出系数a 、b ，代入后求解不等式，为常规解法，运算量较大．解析3为特殊值法，有一定的偶然性，较之解析1简洁，是一种行之有效的．解析2则蕴含了函数的零点与解析式之间的关系：设(1)(2)(3)=f f f m -=-=-，则1,2,3---为三次函数()y f x m =-的零点，故()(1)(2)(3)y f x m x x x =-=+++，故m =c -6．从试题结构看，本题的背景就是多项式函数的零点与解析式之间的关系．（3）可涉及化归的思想和基本量的方法． 7．【解读与点评】在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =>=的图象可能是A. B. C. D.解析1 只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图象在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选D ．解析2 取a ＝12，选D ．点评：（1）本题考查含参数的幂函数和对数函数的图象，需要考生结合函数图象进行分类讨论分析．（2）本题的解决可分两步：首先可以观察对数函数的图象，再看幂函数的图象．选项A,B,D 中对数函数的底数0＜a ＜1，选项A 的另一个函数为指数函数，审题不仔细的考生可能会在此选项上出错；选项B 中幂函数的指数a ＞1，不合题意；选项D 中幂函数的指数0＜a ＜1，符合题意；而选项C 中对数函数的底数要求a ＞1，而幂函数的指数要求0＜a ＜1．解析2中的特殊值法有助于一部分抽象思维不理想的考生解决此题．（3）可涉及分类讨论、数形结合的思想方法． 8．【解读与点评】记,,,,max{,}min{,},,,,x x y y x y x y x y y x y x x y ≥≥⎧⎧==⎨⎨<<⎩⎩，设,a b 为平面向量，则 A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ B. min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C. 2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+D. 2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+解析1 对于A ，当0,0a b =≠时，不等式不成立；对于B ，当0a b =≠时，不等式不成立； 对于C ，D ，设OA →＝a ，OB →＝b ，构造平行四边形OACB ，根据平行四边形法则，∠AOB 与∠OBC 至少有一个大于或等于90°，根据余弦定理，2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+成立，故选D.解析2 对于min{||,||}a b a b +-与min{||,||}a b ，相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两边的较小者比较，没有一定的值，因此A ，B 均错；而对于||,||a b a b +-的较大者与||,||a b 可构成非锐角三角形，因此有2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+．故选D.解析3 由222222||||max{||,||}||||2a b a b a b a b a b ++-+-≥=+可知选D ．点评：（1）本题主要考查平面向量的几何意义和最值关系问题.涉及平面向量的平行四边形法则以及平行四边形的几何意义，或余弦定理.（2）解析1，2从选择题的角度通过排除法结合几何意义来解决，是比较常规的思路；解析3的切入点则略有不同：2222||||||||2a b a b a b ++-=+和22||||4a b a b a b +--=⋅是两个重要的向量恒等式，等式1的几何意义是平行四边形的对角线与边之间的关系，等式2则是近年来浙江卷中较为热门的极化恒等式.本题的命制背景也许就是2222||||||||2a b a b a b ++-=+，但此题的抽象度有些高，形式化的感觉很强烈，还需要学生深刻理解max ，min 的含义以及诸如max{,}(min{,})22a b a ba b a b ++≥≤或 等结论. （3）可涉及构造法、几何法等各种数学方法以及转化与化归、数形结合的数学思想．（4）向量问题往往具有几何背景，值得探究． 9．【解读与点评】 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，从乙盒中随机抽取(1,2)i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =. 则A. 1212,()()p p E E ξξ><B. 1212,()()p p E E ξξ<>C. 1212,()()p p E E ξξ>>D. 1212,()()p p E E ξξ<<解析1 p 1＝m m ＋n ×22＋n m ＋n ×12＝2m ＋n 2（m ＋n ），p 2＝C 2m C 2m ＋n ×33＋C 1m C 1m C 2m ＋n ×23＋C 2nC 2m ＋n ×13＝3m 2－3m ＋4mn ＋n 2－n 3（m ＋n ）（m ＋n －1），则p 1－p 2＝mn ＋n （n －1）6（m ＋n ）（m ＋n －1）>0；E (ξ1)＝1×n m ＋n ＋2×mm ＋n ＝2m ＋n m ＋n，E (ξ2)＝1×C 2n C 2m ＋n ＋2×C 1m C 1n C 2m ＋n ＋3×C 2mC 2m ＋n＝3m 2－3m ＋4mn ＋n 2－n（m ＋n ）（m ＋n －1），E (ξ1)－E (ξ2)＝－m 2＋m －mn（m ＋n ）（m ＋n －1）<0，故选A.解析2不妨取m ＝n ＝3，此时，p 1＝36×22＋36×12＝34，p 2＝C 23C 26×33＋C 13C 13C 26×23＋C 23C 26×13＝23，则p 1>p 2；E (ξ1)＝1×36＋2×36＝32，E (ξ2)＝1×C 23C 26＋2×C 13C 13C 26＋3×C 23C 26＝2，则E (ξ1)<E (ξ2)．故选A.解析3 从概率的直观意义（本质）来看，乙盒中既有红球也有蓝球，从乙盒中逐步取球放入甲盒后，则甲盒中红球“被稀释”了，故从甲盒中取1个球是红球的概率减小，即12p p >；从期望来看，随着乙盒中的球放入甲盒，甲盒中的红球显然不会减少，故12()()E E ξξ<.点评：（1）本题主要考查随机事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算．（2）概率解题首先是题意的准确理解，其次要准确找出随机变量的可能取值，区分概率模型，计算出相应的概率．解析1是解决这类问题的一般方法，如果此题是一道解答题，如此解决无可厚非，但作为选择题的解决方法显然是不合适的.解析2利用取特殊值的方法简化运算，是众多考生采用的策略，也是一种有效的解决办法.但换个角度来看，如果命题者是希望考生如此解决，那就没有必要将问题设计为“乙盒中有m 个红球和n 个蓝球”，而直接设计为“乙盒中有3个红球和3个蓝球”，这样对相关知识点和方法的考查目标也能同样达到，而且作为一道试题就更具亲和力了.当我们再从解析3的角度来认识这个问题时，可以发现此题其实是不用计算的，如果给出具体的数值反而有引导学生“死算”的嫌疑.命题者想考什么？考概率和期望本身的含义而不是具体的计算，所以这是一道漂亮的选择题！如果改成解答题，反而失去了它的味道——那种直透本质的数学思考，而变成一道普普通通的计算题.（3）涉及化归与转化、分类与整合、或然与必然等基本数学思想，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力．考查抽象概括、运算求解能力和应用意识．10．【解读与点评】设函数221231(),()2(),()|sin 2|,,0,1,2,,99.399i if x x f x x x f x x a i π==-===，记10219998|()()||()()||()()|,1,2,3.k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a k =-+-++-=则A.123I I I <<B. 213I I I <<C. 132I I I <<D. 321I I I <<解析1 对于I 1，由于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫i 992－⎝⎛⎭⎫i －1992＝2i －1992(i ＝1，2，…，99)，故I 1＝1992(1＋3＋5＋…＋2×99－1)＝992992＝1；对于I 2，由于2⎪⎪⎪⎪⎪⎪i 99－i －199－⎝⎛⎭⎫i 992＋⎝⎛⎭⎫i －1992＝2992|100－2i |(i ＝1，2，…，99)，故I 2＝2992×2×50（98＋0）2＝100×98992＝992－1992<1；对于I 3，由于3324303253493743503753991[(()())(()())(()())(()())]31242574754[sin(2)sin(2)sin(2)sin(2)]139********I f a f a f a f a f a f a f a f a ππππ=-+-+-+-≈⨯+⨯-⨯-⨯≈>，故I 2<I 1<I 3，故选B ．解析2 对于I 1，111()()0i i f a f a +->，故119910()()101I f a f a =-=-=；对于I 2，由于2()f x 关于12x =对称，故当12x ≤时，111()()0i i f a f a +->，故2249495022()2219999I f a =⨯=⨯⨯⨯<；对于I 3，根据三角函数的对称性，3324144844()sin 133993I f a π≈⨯≈≈>，故I 2<I 1<I 3，故选B ．点评：(1)本题主要考查函数的单调性和数列求和，涉及特殊函数单调性（或函数图象）、特殊数列求和、绝对值问题处理、三角函数值的计算等知识点.(2)解析1根据数列的求和公式通过化简计算最后的结果，思路清晰；解析2则充分利用函数图像的特征（尤其是对称性）进行化简，毕竟这是一道函数背景的试题.作为选择题的把关题，本题对函数和数列的考查都是比较深入的，而且计算有一定的难度，试题的设问方式比较抽象和复杂也造成了大部分考生的畏难心理.如何破解？根据函数性质估算即可.（3）涉及化归与转化、分类与整合、数形结合等基本数学思想，考查分析综合问题的能力.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．【解读与点评】某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是 ．解析 第一次运行，S ＝1，i ＝2；第二次运行，S ＝4，i ＝3；第三次运行，S ＝11，i ＝4；第四次运行，S ＝26，i ＝5；第五次运行，S ＝57，i ＝6，此时S >n ，输出i ＝6.点评：（1）本题主要考查对程序框图的识图能力和算法处理能力． （2）这类程序框图问题的一般解法是逐步执行，一步一步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错．（3）涉及程序化的基本方法，考查推理的严谨性． 12．【解读与点评】随机变量ξ的取值为0,1,2.若1(0),()1,5P E ξξ===，则()D ξ= ．解析1 设P (ξ＝1)＝x ，P (ξ＝2)＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝45，x ＋2y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝35，y ＝15，所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25．解析2 由随机变量ξ的取值为0,1,2及()1E ξ=可得1(2)(0)5P P ξξ====，故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25．点评：（1）本题主要考查随机变量的分布列、期望和方差的计算.（2）本题思路清晰，根据期望和方差的计算方法按部就班即可解决，解析1给出了具体的步骤；解析2则利用了直观感知的一些结论来快速运算，是解决小题的一种有效策略.（3）涉及方程思想和简单的计算能力. 13．【解读与点评】当实数,x y 满足240,10,1x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ．解析1 实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，图中A (1，0)，B (2，1)，C ⎝⎛⎭⎫1，32.当a ≤0时，0≤y ≤32，1≤x ≤2，所以1≤ax ＋y ≤4不可能恒成立；当a >0时，借助图像得，当直线z ＝ax ＋y 过点A 时z 取得最小值，当直线z ＝ax ＋y 过点B 或C 时z 取得最大值，故⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.故a ∈⎣⎡⎦⎤1，32. 解析2 由14,1ax y x ≤+≤≥可得1－y x ≤a ≤4－y x ，即m ax m in 14()()y ya x x--≤≤，由上图可得a ∈⎣⎡⎦⎤1，32. 点评：（1）本题考查线性规划问题，涉及用平面区域表示二元一次不等式组、直线方程中参数的几何意义、直线的斜率等知识．（2）解决这种类型的线性规划问题，一是要准确画出可行域，重点关注边界点、边界线，二是确定目标函数的几何意义，然后利用数形结合解决．一般来说，目标函数在边界点处取得最值，利用这一点可以帮助简化解题的分析过程．解析2则利用参数和变量分离的方法将问题转化为求最值问题，1－y x 的含义则是（0,1）与可行域内的点的连线的斜率的相反数.（3）涉及数形结合的数学思想．14．【解读与点评】 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）.解析 分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有C 23A 24＝36种；另一种是三人各获得一张奖券，有A 34＝24种．故共有60种获奖情况．点评：（1）本题考查了分类加法计数原理与分步乘法计数原理以及排列组合的概念、排列数和组合数的计算等知识点．（2）排列组合问题一般解决方法较多，但分类和分步的问题是常见的排列组合问题．本题的切入点是根据获奖人数分类,解决的步骤是先分类再分步，注意点是5张无奖的奖券是相同元素．（3）涉及分类与整合的基本数学思想． 15．【解读与点评】设函数22,0,(),0.x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤，则实数a 的取值范围是 ．解析 函数f (x )的图像如图所示，令t ＝f (a )，则f (t )≤2，由图像知t ≥－2，所以f (a )≥－2，则a ≤ 2.点评：（1）本题考查分段函数和二次不等式求解，涉及分段函数的图象、复合函数、求解二次不等式等知识点.（2）本题的解题步骤是将f (a )看成一个整体并求出范围，再代入原条件解决问题.（3）涉及分类讨论和数形结合的数学思想. 16．【解读与点评】设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A ，B.若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是 ．解析1 双曲线的渐近线为y ＝±bax ，渐近线与直线x －3y ＋m ＝0的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a －3b ，－bm a －3b .设AB 的中点为D ，由|P A |＝|PB |知AB 与DP 垂直，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2m （a ＋3b ）（a －3b ），－3b 2m （a ＋3b ）（a －3b ），k DP ＝－3，解得a 2＝4b 2，故该双曲线的离心率是52. 解析2 双曲线的渐近线为y ＝±bax ，渐近线与直线x －3y ＋m ＝0的交点A,B 的横坐标分别为－am a ＋3b ，－am a －3b ，设AB 的中点为D ，则点D 的横坐标为－a 2m(a －3b )(a ＋3b )，由|P A |＝|PB |知AB 与DP 垂直，则DP 的方程为3x ＋y －3m ＝0，由方程组⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝03x ＋y －3m ＝0可得点D 的横坐标45m ，则－a 2m (a －3b )(a ＋3b )=45m ，解得a 2＝4b 2，故该双曲线的离心率是52.解析3 双曲线的渐近线为x 2a 2－y 2b2＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝0x －3y ＋m ＝0可得(a 2－9b 2)x 2＋2ma 2x ＋a 2m 2＝0，则AB 的中点D 的横坐标为－a 2ma 2－9b 2，以下同解析1或解析2. 点评：（1）本题考查了双曲线的性质以及直线与直线的位置关系，涉及双曲线的渐近线、离心率、求两条直线的交点、两条直线垂直的位置关系（斜率或直线方程）等知识以及运算能力．（2）此题思路清晰而自然，按照问题提供的信息按部就班的解决即可，三种解析的思路类似，只是具体的细节处理有所不同.解析1首先求出直线x －3y ＋m ＝0与两条渐近线的交点A ,B 的坐标，并进而求出中点D 坐标，将|P A |＝|PB |转化为AB 与DP 垂直，利用垂直直线间的斜率关系求出a ,b 的关系，并进一步转化为所求的离心率；解析2则是利用垂直关系写出线PD 的方程求出点D 的坐标，利用算两次的思想求解；解析3则是将两条渐近线看成二次曲线并利用韦达定理直接求出点D 的坐标.另外，本题的运算实际上是可以简化的，比如令a ＝1，问题的本质并没有变化，但运算相对要简单的多——特殊值法在解决小题时有很大的简化作用，是解决小问题的利器，值得好好研究和利用.（3）本题涉及方程思想、化归思想和数形结合的数学思想方法． 17．【解读与点评】如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确命中目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若1525,30,AB cm AC cm BCM ==∠=，则tan θ的最大值是 （仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）．解析 由勾股定理得BC ＝20 m ．如图，过P 点作PD ⊥BC 于D ，连接AD, 则由点A 观察点P 的仰角θ＝∠P AD ，tan θ＝PDAD.设PD ＝x ，则DC ＝3x ，BD ＝20－3x ，在Rt △ABD 中，AD ＝152＋（20－3x ）2＝625－403x ＋3x 2，所以tan θ＝x625－403x ＋3x2＝1625x 2－403x＋3＝1625⎝⎛⎭⎫1x －2036252＋2725≤539，故tan θ的最大值为539.点评：（1）本题考查直线与平面所成的角，涉及线面角的计算、二次函数（需要转化）的最值求解等知识和方法，考查阅读理解、空间想象能力，要求考生能从实际应用问题中提取出相应的几何元素．（2）本题的思路简洁，先根据定义找出线面角，然后根据条件求解，转化为基本初等函数求最值．另外，将“AB ＝15cm ，AC ＝25cm ”改写为“AB ＝3cm ，AC ＝5cm ”，答案显然不变，而运算则要简单得多．（3）本题涉及函数与方程、数形结合以及转化与化归的数学思想． （4）本题的函数结构和2013年浙江卷理科第17题的函数结构相似．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．【解读与点评】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知22,cos cos cos a b c A B A A B B ≠=-=.（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积. 解析1 （Ⅰ）由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ，即32sin 2A －12cos2A ＝32sin 2B －12cos 2B ，sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6. 由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.（Ⅱ）由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85.由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3 310.所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝8 3＋1825.解析2 （Ⅰ）由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ，即cos 2A －cos 2B ＝3sin 2A －3sin 2B ，则－2sin (A ＋B )sin (A －B )＝23cos (A ＋B )sin (A －B )，∵a ≠b ，则sin (A －B )≠0，故tan (A ＋B )＝－3,即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.点评：（1）本题主要考查三角恒等变换、解三角形，可涉及二倍角公式的逆用（降幂公式）、两角和与差的正弦、余弦公式的逆用（或称之为辅助角公式、合一变形公式）、诱导公式、正弦定理、三角形面积公式等知识点，考查灵活运用公式的能力和运算求解能力．（2）此题方法常规，思路清晰．问题（Ⅰ）的条件降次之后产生的式子可以化成各种形式，解析1将同角的三角函数放在同侧利用辅助角公式化简，可以产生sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6，sin (π6－2A )＝sin (π6－2B ),cos (π3＋2A )＝cos (π3＋2B )等形式，然后在利用诱导公式的时候要注意选择合适的公式；解析2则是将函数名称相同的放在同侧利用和差化积公式解决（注：和差化积公式没有要求学生记忆，试卷上也未提供，从某种意义上说这种方法是超纲的）.问题（Ⅱ）的解题目标明确，关键是选择正确的解题途径.（3）可涉及方程思想，转化与化归的思想方法． 19．【解读与点评】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足*123(2)()n b n a a a a n N =∈.若{}n a 为等比数列，且1322,6a b b ==+.（Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设*11()n n nc n N a b =-∈.记数列{}n c 的前n 项和为n S . （ⅰ）求n S ；（ⅱ）求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n S S ≥. 解析 （Ⅰ）由题意*123(2)()n b n a a a a n N =∈，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)． 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n (n ＋1)2＝(2)n (n＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．（Ⅱ）(i)由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)．所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．(ii)因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0， 当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）2n －1， 而n （n ＋1）2n －（n ＋1）（n ＋2）2n +1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0， 得n （n ＋1）2n≤5×（5＋1）25<1，所以，当n ≥5时，c n <0. 综上，若对任意n ∈N *恒有S k ≥S n ，则k ＝4.． 点评：（1）本题考查等比数列、数列的前n 项和、数列的最值，涉及等比数列的通项公式、指数运算法则、等差数列的前n 项的和、分组求和、裂项法求和、数列的单调性及最值等知识点，考查运算求解能力和问题分析能力．（2）利用方程的思想将两个数列进行适当的分离，逐个解决是第（Ⅰ）问的基本思路；第（Ⅱ）问中的第(i)小问同时考查了数列的分组求和与裂项求和，有一定的综合性，要求考生熟知两类数列的求和方法；第(ii)小问则是将求S n 的最大值问题转化为判断c n 的正负问题，这在等差数列中属于常见问题，放在数列c n ＝12n －⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1中就对考生提出了较高的能力要求，毕竟这种判断是不容易的，当然，此题还可以通过以下方法解决：当n ≥5时，2n ＝(1＋1)n ≥1＋C 1n ＋C 2n ＋C n －2n ＋C n －1n ＋1＝n 2＋n ＋2＞n (n ＋1)，故c n <0．（3）可涉及基本量的方法和方程的思想，转化与化归的思想．20．【解读与点评】（本题满分15分）如图，在四棱锥A-BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC= 2.（Ⅰ）证明：DE ⊥平面ACD ； （Ⅱ）求二面角B-AD-E 的大小.解析1 (1)证明：在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝2，由AC ＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC ⊥DE .又DE ⊥DC ，从而DE ⊥平面ACD .(2)方法一：过B 作BF ⊥AD ，与AD 交于点F ，过点F 作FG ∥DE ，与AE 交于点G ，连接BG .由(1)知DE ⊥AD ，则FG ⊥AD .所以∠BFG 是二面角B - AD - E 的平面角．在直角梯形BCDE 中，由CD 2＝BC 2＋BD 2， 得BD ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ，从而BD ⊥AB .由AC ⊥平面BCDE ，得AC ⊥CD .在Rt △ACD 中，由DC ＝2，AC ＝2，得AD ＝ 6. 在Rt △AED 中，由ED ＝1，AD ＝6，得AE ＝7.在Rt △ABD 中，由BD ＝2，AB ＝2，AD ＝6，得BF ＝2 33，AF ＝23AD .从而GF ＝23ED ＝23.在△ABE ，△ABG 中，利用余弦定理分别可得cos ∠BAE ＝5 714，BG ＝23.在△BFG 中，cos ∠BFG ＝GF 2＋BF 2－BG 22BF ·GF ＝32.所以，∠BFG ＝π6，即二面角B - AD - E 的大小是π6.方法二：以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D - xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：(第20题图)CBD (0，0，0)，E (1，0，0)，C (0，2，0)， A (0，2，2)，B (1，1，0)．设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 平面ABD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．可算得AD ＝(0，－2，－2)，AE ＝(1，－2，－2)，DB →＝(1，1，0)． 由⎩⎨⎧m ·AD ＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎨⎧－2y 1－2z 1＝0，x 1－2y 1－2z 1＝0，可取m ＝(0，1，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎨⎧－2y 2－2z 2＝0，x 2＋y 2＝0，可取n ＝(1，－1，2)．于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝33×2＝32. 由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B - AD - E 的大小是π6.点评：（1）本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角、空间向量等基础知识，可涉及垂直关系的转化、线面垂直的判定、二面角的平面角、用空间向量解决立体几何问题的方法．（2）新课程对立体几何的问题解决提供了两套方案，一是利用空间向量解决，二是利用传统方法解决．空间向量侧重于将几何关系转化为代数计算，对推理论证能力的要求较低，而对运算能力的要求较高；传统方法着重强调了空间想象能力和推理论证能力．就空间向量而言，解决问题的步骤为：合理建系设点（本题也可以以点C 为原点建立空间直角坐标系），利用向量运算求解，得到结论．就传统方法而言，关键是二面角的平面角的构造．（3）涉及数形结合，化归与转化等基本数学思想，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．21．【解读与点评】（本题满分15分）如图，设椭圆2222:1(0)x yC a b a b +=>>，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限.（Ⅰ）已知直线l 的斜率为k ，用a,b,k 表示点P 的坐标；（Ⅱ）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 距离的最大值为a b -.解析 （Ⅰ）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0.由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，解得点P 的坐标为(第21题图)。