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第20届华杯赛⼩中组答案详解a卷第⼆⼗届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛初赛 A 卷（⼩学中年级组）总分：100 分时间：60分钟⼀、选择题．（每⼩题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有⼀个是正确的，请将表⽰正确答案的英⽂字母写在每题的圆括号内．）1.森林⾥举⾏⽐赛，要派出狮⼦、⽼虎、豹⼦和⼤象中的两个动物去参加．如果派狮⼦去，那么也要派⽼虎去；如果不派豹⼦去，那么也不能派⽼虎去；要是豹⼦参加的话，⼤象可不愿意去．那么，最后能去参加⽐赛的是（）．（A）狮⼦、⽼虎（B）⽼虎、豹⼦（C）狮⼦、豹⼦（D）⽼虎、⼤象【答案】B【题型】逻辑推理、逆否命题【解析】在逻辑推理中，原命题成⽴，则逆否命题也成⽴．从题意出发：（1）狮⼦去则⽼虎去，逆否命题：⽼虎不去则狮⼦也不去（2）不派豹⼦则不派⽼虎，逆否命题：派⽼虎则要派豹⼦（3）派豹⼦则⼤象不愿意去，逆否命题：⼤象去则不能派豹⼦从（2）出发可以看出答案为 B.题⽬要求有两个动物去，可以使⽤假设法，若狮⼦去，则⽼虎去，⽼虎去则豹⼦也去．三个动物去，⽭盾，所以狮⼦不去．若豹⼦不去则⽼虎不去，那么只有⼤象去，⽭盾，所以豹⼦去．豹⼦去则⼤象不去，由两种动物去得到结论，⽼虎要去．所以答案是 B，豹⼦和⽼虎去．2.⼩明有多张⾯额为 1 元、2 元和 5 元的⼈民币, 他想⽤其中不多于 10 张的⼈民币购买⼀只价格为 18 元的风筝, 要求⾄少⽤两种⾯额的⼈民币，那么不同的付款⽅式有（）种.（A）3（B）9（C）11（D）8【答案】C【题型】奇数：列表枚举【解析】5 元 2 元 1 元总张数3 0 3 63 1 1 52 4 0 62 3 2 72 2 4 812 1 6 9 2 0 8 10 1 6 1 8 1 53 9 14 5 108210共 11 种．3. 如右图，在由1 ?1 的正⽅形组成的⽹格中,写有 2015 四个数字（阴影部分）．其边线要么是⽔平或竖直的直线段、要么是连接1?1 的正⽅形相邻两边中点的线段，或者是1 ?1 的正⽅形的对⾓线. 则图中 2015 四个数字（阴影部分）的⾯积是（）．（A ）47（B ） 47 1（C ）48（D ） 48 122【答案】B【题型】⼏何：割补【解析】将⼩三⾓形移到空⽩处补成完整正⽅形再数正⽅形个数即可，共47.5 个．4. 新⽣⼊校后，合唱队、⽥径队和舞蹈队共招收学员 100 ⼈．如果合唱队招收的⼈数⽐⽥径队多⼀倍，舞蹈队⽐合唱队多 10⼈，那么舞蹈队招收（）⼈．（注：每⼈限加⼊⼀个队）（A ）30（B ）42（C ）46（D ）52【答案】C【题型】⼏何：割补【解析】设⽥径队员为a ⼈，则合唱队员2a ⼈，舞蹈队员(2 a +10) ⼈，2a + a + 2 a + 10 = 100 ，则a = 18 ，所以舞蹈队员18 ? 2 + 10 = 46 ⼈． 5. ⼀只旧钟的分针和时针每重合⼀次，需要经过标准时间 66 分．那么，这只旧钟的 24 ⼩时⽐标准时间的 24 ⼩时（）．（A ）快 12 分（B ）快 6 分（C ）慢 6 分（D ）慢 12 分【答案】D【题型】时钟问题【解析】时针速度为每分钟 0.5 度，分针速度为每分钟 6 度.分钟每⽐时针多跑⼀圈，即多跑 360 度，360 = 720 时针分针重合⼀次.经过 6 ? 0.5 11 分钟，旧钟时针分针重合⼀次，需要经过标准时间 66 分钟；则2旧钟的 24 ⼩时，相当于标准时间的(24 ? 60) ?66=1452分钟，所以⽐标准时间 24 ⼩时对应的7201124 ? 60 = 1440 分钟多了1452-1440=12分钟，即慢了12分钟6.⼀次考试共有 6 道选择题，评分规则如下：每⼈先给 6 分，答对⼀题加 4 分，答错⼀题减 1 分，不答得 0 分．现有 51 名同学参加考试，那么, ⾄少有（）⼈得分相同．（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】A【题型】组合：抽屉原理【解析】设答对 x 题，答错y题，x+y≤6；当x =6时，得分30分；当x =5时，y=0,1，对应得分26, 25；当x =4时，y=0,1, 2，对应得分22, 21, 20；当x =3时，y=0,1,2,3，对应得分18,17,16,15；当x =2时，y=0,1, 2,3,4，对应得分14,13,12,11,10；当x =1时，y=0,1,2,3,4,5，对应得分10,9,8, 7, 6,5；当x =0时，y=0,1,2,3,4,5,6，对应得分6,5, 4,3, 2,1, 0；共计 25 种得分，51?25=21，则⾄少2+1=3⼈得分相同．⼆、填空题 (每⼩题 10 分, 共 40 分)7.计算:(1000 + 15 + 314) ? (201 + 360 + 110) + (1000 ? 201 ? 360 ? 110) ? (15 + 314) =________．【答案】1000000【题型】计算：换元法【解析】令a =15+314, b =201+360+110；则(1000 + 15 + 314 )?(201 + 360 + 110 )+(1000 ? 201 ? 360 ? 110 )?(15 + 314)=(1000 +a)?b+(1000 ?b)?a=1000 a+ab+ 1000b?ab=1000 (a+b)=1000 ?(15 + 314 + 201 + 360 + 110)=10000008. ⾓可以⽤它的两边上的两个⼤写字母和顶点的字母表⽰,如右图的∠AOB 符号（“∠”表⽰⾓），也可以⽤∠O 表⽰（顶点处3只有⼀个⾓时）．下图的三⾓形 ABC 中，∠BAO=∠CAO，∠CBO=∠ABO，∠ACO =∠BCO ，∠AOC =110?，则∠CBO =________．【答案】20?【题型】⼏何：⾓度2 (∠CAO+∠ACO+∠CBO)= 180?，解得∠CBO =20?．【解析】由题意得，∠ CAO +∠ ACO +∠ AOC =180?∠ AOC =110?9.张叔叔和李叔叔两⼈年龄和是 56 岁，当张叔叔是李叔叔现在年龄的⼀半时，李叔叔当时的年龄是张叔叔现在的年龄．那么张叔叔现在有________岁．【答案】24【题型】应⽤题：年龄问题【解析】设张叔叔现在 x 岁，张叔叔减少y岁后是李叔叔年龄的⼀半，则李叔叔现在年龄为2( x ? y )岁，张叔叔是李叔叔现在年龄的⼀半时李叔叔为2 (x?y)?y岁，则( )= 56 y =8x +2 x ? y，解得，即张叔叔现在 24 岁．( x ? y) ? yx =2 x =24此题亦可运⽤线段图的解法，同学们可以⾃⼰思考！10.妈妈决定假期带⼩花驾车去 10 个城市旅游，⼩花查完地图后惊奇地发现：这 10 个城市的任意三个城市之间或者都开通了⾼速公路，或者只有两个城市间没有开通⾼速路．那么这 10 个城市间⾄少开通了________条⾼速公路．（注：两个城市间最多只有⼀条⾼速公路）【答案】40【题型】组合：最值构造【解析】 (1) 将 10 个城市设为A1,A2,,A10这 10 个点，两个城市间的⾼速路视为连接两个点的线段，则任意三点间⾄少连接两条线段．(2)先将 10 个点两量相连，共C102=45条线段（中年级不会组合公式的同学可以想想怎么得出 45 条线段）．(3)现在考虑最多能去掉多少条线段?4先任意去掉⼀条，不妨记为 A1 A2这⼀条，则线段 A1 A i或 A2 A（j i =3, 4,,10; j =3, 4,,10）均不能去掉，否则 A1, A2, A i或 A1, A2, A j三个点中只有⼀条线段．即只能在 A3, A4,, A10这8个点的连线中去掉⼀条，记为 A3 A4；同理可再去掉 A5 A6, A7 A8, A9 A10，故最多可去掉5条线段.(4)因此⾄少连接45 ? 5=40 条线段，即⾄少开通了 40 条⾼速公路．5。
总分 第十八届华罗庚金杯 少年邀请赛 决赛试题B （小学高年级组） （时间2013年4月20日10：00～11：30）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1．计算: 19×0.125+281×81+12.5=________. 解析：原式=（19+281+100）×0.125=400×0.125=502．农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……, 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2012年12月21日是冬至, 那么2013年的2月10日是________九的第________天.解析：31-21+1+31+10=52,52÷9=5…7，2013年的元旦是六九的第7天.3．某些整数分别被131********，，，除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是112927252，，，, 则满足条件且大于1的最小整数是________.解析：设整数为A, 分别被131********，，，除后, 所得的商分别为A A A A 11139117957，，，; )1(111311211113)1(911921911)1(7972179)1(5752157-++=-++=-++=-++=A A A A A A A A ，，，显然，当A-1是[5，7，9，3]的时候满足题意。
所以A-1=3465，A=3466。
4．如图所示, P, Q 分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线 AC 上的点, 且PD:AP =4:1, QC:AQ =2:3, 如果正方形ABCD 的面积为25, 那么三角形PBQ 的面积是 .解析：连接QD,做QE ⊥BC 于E, QF ⊥AD 于F, QG ⊥CD 于G, 正方形ABCD 的面积为25,所以AD=EF=5， QC: AQ =2:3,根据正方形对称性，所以QE=QG=2，QF=3, PD:AP =4:1, AP=1，PD=4。
2020华东杯数学建模解答2020年的华东杯数学建模竞赛在上海举行，旨在促进学生深入研究、开拓创新，利用科学的智慧解决实际问题。
本次比赛有十一个题目，引起了全国参赛者的热烈响应。
本文将以一、二、三题分别为例，详细讲解参赛者在数学建模中所使用的有效策略，以及解决这些问题的技术。
一题：拼图游戏在拼图游戏中，玩家需要将一副拼图拼出正确的图案，从而获得胜利。
参赛者首先要建立一个数学模型，用以描述拼图游戏的运行过程，以及计算拼图游戏中的每步移动和判断概率。
参赛者可以采用基于Markov链的概率模型来分析拼图游戏的运行机制，从而计算胜利的概率和最优的移动策略。
二题：机器学习技术参赛者需要使用机器学习技术解决朋友圈中的消息传播问题。
参赛者可以使用无向图模型来描述朋友圈中朋友间的关系，以及消息在朋友圈间的传播机制。
参赛者可以使用深度学习技术，如深度神经网络、卷积神经网络等，来预测消息的传播范围，以及网络中的朋友之间的可信度。
三题：模糊处理模糊处理是数学建模中的一种重要技术，可以用来解决模糊的实际问题。
参赛者需要使用模糊控制原理，运用交易系统和模糊算法，在模糊不确定性场景下对系统运行进行有效控制。
参赛者可以使用模糊隶属函数，用以描述在模糊不确定性条件下的系统变量，并将模糊隶属函数嵌入模糊控制算法中，从而解决模糊控制问题。
以上只是参赛者在解决数学建模中常用的技术，其他题目的解决方案也可以采用这些技术，例如旅行商问题可以用模糊算法来分析，极值优化可以用机器学习算法来解决等等。
本文以2020年华东杯数学建模参赛题为例，介绍了参赛者在解决这些问题的方法和技术，为数学建模竞赛的参赛者提供了一定的参考和借鉴，以便更好地把握未来的竞赛。
A题载波恢复DSP算法设计与实现给了很长的背景介绍，需要对整个算法基础知识有清楚的认识。
看起来通信相关专业的同学上手应该更快，感觉上是一个标准的工业算法分析改进的问题。
B题辛烷值损失模型可能是所有题中最简单的问题了，依据从催化裂化汽油精制装置采集的325个数据样本（每个数据样本都有354个操作变量），通过数据挖掘技术来建立汽油辛烷值（RON）损失的预测模型，并给出每个样本的优化操作条件，在保证汽油产品脱硫效果（欧六和国六标准均为不大于10μg/g，但为了给企业装置操作留有空间，本次建模要求产品硫含量不大于5μg/g）的前提下，尽量降低汽油辛烷值损失在30%以上。
问题一: 数据预处理问题二：寻找建模主要变量：根据提供的325个样本数据（见附件一），通过降维的方法从367个操作变量中筛选出建模主要变量，使之尽可能具有代表性、独立性（为了工程应用方便，建议降维后的主要变量在30个以下），并请详细说明建模主要变量的筛选过程及其合理性. (特征筛选，传统的PCA已经最近几年机器学习中提出的特征工程方法都可以使用)其他问题略过，感觉是个比较常规的数模题，校赛中就有类似题目。
C题脑电信号分析与判别模型给了P300脑电数据和睡眠脑电数据，如题目所言就是信号分析和分类的任务，可以查阅类脑认知科学中的相关论文，这方面的信号处理和脑电分类的模型或者算法是很多的。
问题一：设计或采用一个方法，在尽可能使用较少轮次（要求轮次数小于等于5）的测试数据的情况下，找出附件1中5个被试测试集中的10个待识别目标，并给出具体的分类识别过程，可与几种方法进行对比，来说明设计方法的合理性。
(构建基础的信号特征和分类模型，关键点在于对特征重要性进行分析，选择重要的特征，从而改变模型所需数据，减少采集数据量)问题二：请分析附件1所给数据，并设计一个通道选择算法，给出针对每个被试的、更有利于分类的通道名称组合（要求通道组合的数量小于20大于等于10，每个被试所选的通道可以不相同，具体的通道名称见图5和表1）。
…………○…………○…………订学校:___________班级：___________考号………装…………○………………线…………○…………绝密★启用前 2020年华杯数学深圳冬令营（惠州）小高年级组试题 一、填空题 1．1312.514 5.24254⨯+⨯=____。
2．在下面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同汉字代表不同数字。
当算式成立时，我爱数字的最大值是____。
2020+我爱数学冬令营 3．如图，在直角ABC 的两个直角边,AC BC 上分别作正方形ACDE 和CBFG 。
若14,28AC BC ==。
则BEG 的面积等于____。
4．方程：20202242462462020x x x x ++++=+++++++的解为____。
5．在33⨯的方格表中填入了9个自然数，使得方格表中每行、每列、两对角线上三个数的和都相等。
图中有两个格中填的数已经标出，则“？”格应填的数是____。
6.设1100n ≤≤，且81n +为完全平方式，则符合条件的整数n 的个数为____。
7．在一副扑克牌中任意选出6张，其中黑桃选3张，红桃选2张，梅花选1张，小明将这6张牌从左左到右摆放。
要求任意两张黑桃之间必须有其他花色的牌，那么共有____种符合要求的摆放方式。
…装……………………订………__姓名：_________：___________考号：____订…………○………………○…………………8．将一个棱长为整数厘米的长方体的各表面都涂满红色。
然后将该长方体恰分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，若其中任何一面都没有涂色的小正方体有17个，则原来的长方体的体积为____立方厘米。
9．甲乙丙三人进行1000米跑步场比赛，当甲跑完时，乙还差100米到终点，丙离乙还差90米，甲到终点后等了18秒，乙也到达终点。
问此时丙还要____秒到达终点。
10．在22221,2,3,,202这202个数中，有____个十位为奇数的数。
总分第十八届华 罗 庚金杯少 年邀请赛决赛试题A （小学中年级组）（时间2013年4月20日10：00～11：30）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1．计算: (2014×2014+2012)-2013×2013________.解析：(2014×2014+2012)-2013×2013=（2013+1）×（2013+1）+2013—1-2013×2013=2013×2013+2013+2013+1+2013-1-2013×2013=6039或用平方差公式。
(2014×2014+2012)-2013×2013=20142-20132+2012=2012+2013+2014=6039考试中最直接的方法，死算也OK 。
2．将长方形的纸片ABCD 按右图的方式折叠后压平, 使三角形DCF 落在三角形DEF 的位置, 顶点E 恰落在边AB 上. 已知∠1＝20°, 那么∠2是________度.解析：因为翻折，∠CFD=∠E FD=90°-22°=68°∠2=180°-68°-68°=44°3．亮亮上学, 若每分钟行40米, 则8 : 00准时到校; 若每分钟行50米, 则7 : 55到校. 亮亮的家与学校的距离是________米.解析：行程型盈亏问题。
每分钟行40米,刚好够分；若每分钟行50米，则少5×50=250米所以250÷（50-40）=25分钟，亮亮的家与学校的距离是25×40=1000米.法二：六年级可以用。
走同样路程，速度比与时间成反比，速度比为4:5，则时间比为5:4,8:00-7:55=5分钟，则若每分钟行40米,亮亮用时5÷（5-4）×5=25分钟，所以亮亮的家与学校的距离是25×40=1000米.4．第一次操作将图a 左下角的正方形分为四个小正方形, 见图b; 第二次操作再将图b 左下角的小正方形分为四个更小的正方形, 见图c; 这样继续下去, 当完成第五次操作时, 得到的图形中共有________个正方形.解析：找规律。
第七届华杯赛全套试题及解答SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-第七届华杯赛初赛试题及解答1．将l999表示为两年质数之和：l999=口+口，在口中填入质数。
共有多少种表示法2．澳门是世界上人口密度最大的地区之一，它由一个半岛和两个小岛组成，已知澳门的人口为43万人，其中90％居住在半岛上，半岛的面积为7平方千米。
问：半岛上平均每平方千米有多少万人(取两位小数)3．某人年初买了一种股票，该股票当年下跌了20％，第二年应上涨多少才能保持原值4．某个月里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的15日是星期几。
5．“火树银花楼七层，层层红灯倍加增，共有红灯三八一，试问四层几红灯”6．下图是由9个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长是1，问：这个六边形的周长是多少7．一个正六边形的苗圃，用平行干苗圃边缘的直线把它分成许多相等的正三角形，在三角形的顶点上都栽种树苗，已知苗圃的最外面一圈栽有90棵。
问：苗圃中共栽树苗多少棵8．甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为l999，已知甲校学生人数的2倍，乙校学生人数减3、丙校学生人数加4都是相等的。
问：甲、乙、丙各校学生人数是多少9．小明爷爷的年龄是一个二位数，将此二位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄，又知道他们年龄之差是小明年龄的4倍，求小明的年龄。
10．用l0块长7厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体积木堆拼成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少11．时钟的时针和分针在6点钟反向成一直线，问：它们下—次反向成—直线是在什么时间(准确到秒)12．1998年夏天长江洪水居高下不，8月22日武汉关水位高达2932米，已知武汉离长江入海口1125千米，而九江离武汉关269千米。
假设从武汉到入海口的长江江面搬相同，请计算当天九江的水位是多少米。
(取二位小数)第七届华杯赛复赛试题1.(－1.125＋)÷＋×2.1999年2月份，我国城乡居民储蓄存款月末佘额是56767亿元，比月初佘额增长l8％.请问：我国城乡居民储蓄存款2月初余额是多少亿元(精确到时亿元)3. 环形跑道周长400米，甲、乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑375米.问：多少时间后甲、乙再次相遇4. 两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到两个商的和是16，写出这两个整数。
第二十二届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题(小学高年级组)（时间2016 年12 月10 日10: 00〜11: 00）一、选择遢(每題10分，满分60分，以下每團的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每題的圆括号内。
)1•两个有限小数的整数部分分別是7和10,那么这两个有限小数的积的整数部分有( )种可能的取值.(A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 19解析：设这两个有限小数为A、B,则7XlO二70<AB〈8Xll二88,很明显，积的整数部分可以是70-87 的整数，所以这两个有限小数的积的整数部分有87-70+1=18种。
答案选C。
2.小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟.某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了( )分钟.(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12解析：方法一：单位“1”和假设法，设小明家距学校的路程为“1"，乘地铁的速度为丄，乘公30交车速度为丄，40-6=34分钟,假设全程都做地铁,能走丄X 34=卩，所以坐公交车用T(—-1)50 30 15 15÷ (―-—)二10 分钟。
30 50方法二：设数法和假设法，设小明家距学校的路程为［30, 50］二150m,乘地铁的速度为150÷50=3m∕min,乘公交车速度为150÷30=5m/Inin, 40-6=34分钟，假设全程都做地铁，能走5丄X30 34二17Onb 所以坐公交车用了(170-150) ÷ (5-3)二10 分钟。
方法三：时间比和比例。
同一段路程，乘地铁和乘公交车时间比为3:5,全程乘地铁需要30分钟，有一段乘公交车则用40-6=34分钟，所以乘公交车的那段路比乘地铁多用34-30二4分钟，所以坐公交车用了4三(5-3) ×5=10分钟。
第十二届华杯赛决赛试题及解答一、填空1. “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________.2. 计算：＝________.3. 如图所示，两个正方形ABCD和DEFG的边长都是整数厘米，点E在线段CD上，且CE＜DE，线段CF＝5厘米，则五边形ABCFG 的面积等于________平方厘米.4. 将、、、、从小到大排列，第三个数是________.5. 下图a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米，将水瓶倒置后，如下图b，瓶中液面的高度是16厘米，则水瓶的容积等于________立方厘米.（π＝3.14，水瓶壁厚不计）6. 一列数是按以下条件确定的：第一个是3，第二个是6，第三个是18，以后每一个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于________，从这列数的第________个数开始，每个都大于2007.7. 一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是________.8. 用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图a，从正面看这个立体，如下图b，则这个立体的表面积最多是________.二、简答下列各题（要求写出简要过程）9. 如图，在三角形ABC中，点D在BC上，且∠ABC＝∠ACB、∠ADC＝∠DAC，∠DAB＝21°，求∠ABC的度数；并回答：图中哪些三角形是锐角三角形.10. 李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所记的时间是18秒。
少年一组一、填空题1、115 解题思路：以21作为参照数，其中231116和305153均大于21，其余三个数115、136、6430均小于21。
用21与这三个数分别作差依次可得221、261、321。
所以，最小的数为115。
2、24解题思路：由ABCD 是正方形可得：ABCD DMC ADN S S S 21==∆∆。
根据容斥原理可得：RNC MQ NB APM D PQ R S S S S ∆∆∆++=,所以：24121551=--=∆MQ NB S 。
3、4种解题思路：105是一个奇数，所以这个数一定能写成2个相邻的自然数之和，即105＝52＋53。
又因为奇数个连续自然数数列的平均数等于这组数的中位数，根据105＝3×35＝5×21＝7×15，可以等到符合条件的三种表达式，分别是105＝34＋35＋36＝19＋20＋21＋22＋23＝12＋13＋14＋15＋16＋17＋18。
4、10110，99920解题思路：要使A 为能被5整除的五位数，则A 的各位必须是0或5。
当A 最小时，它的最高位只能是1，考虑到这个多位数均由奇数组成，因此可以在101与103之间截出一个最小的五位数是10110；当A 最大时，它的最高位上的数要尽可能大，故这个多位数中1999与2001之间可以截出一个最大的五位数时99920。
二、解答题5、解：由题意可得， 当110〈⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 时，不存在符合题意的解，所以1～9均不是牛数。
当110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 时，由于1是所有非0自然数的公因数，所以10～19都是牛数。
当210=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 时，n 必须是偶数才能符合题意，故在20～29之间符合条件的牛数只有20、22、24、26、28。
当310=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 时，n 必须是2和3的公倍数才能符合题意，故在30～39之间符合条件的牛数只有30、36。
当410=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 时，n 必须是3和4的公倍数才能符合题意，故在40～49之间符合条件的牛数只有48。
“华杯赛”初赛试题（附详细答案），能做全对的直接上重点
中学！
一、什么是华杯赛？
华罗庚金杯少年数学邀请赛(简称“华杯赛”)是为了纪念我国杰出数学家华罗庚教授,于1986年始创的全国性大型少年数学竞赛活动。
华杯赛堪称国内小学阶段规模最大、最正式也是难度最高的比赛。
华杯赛”是以教育广大青少年从小学习和弘扬华罗庚教授的爱国主义思想、刻苦学习的品质、热爱科学的精神;激发广大中小学生学习数学的兴趣、开发智力、普及数学科学为宗旨的活动。
二、为什么报名参加各大数学杯赛的考试？
1、检验学习效果
通过奥数的学习，能培养良好的思维习惯，有利于智力的开发，且对以后数理化各科的学习也都非常有帮助。
杯赛考试是检测学习效果最好的方式。
2、锻炼思维能力
各大奥数杯赛不仅仅是一种考试，其举办宗旨更多的是致力于学生独立思考、科学探索、创造性地解决问题和创新思维能力的培养。
3、助升学一臂之力
通过杯赛证书增加升学砝码，突出简历亮点，进而拿到参加重点中学升学选拔的机会。
三、华杯赛作用
华杯赛作为目前全国最权威的初中数学比赛，备受北京市各重点中学的认可。
2007年华杯赛北京赛区一、二、三等奖的获奖同学受到了人大附中、北京四中、实验中学、清华附中、101中学等名校的青睐。
甚至单凭优异的华杯赛获奖成绩就可以顺利进入这些名校。
今天的分享就到这儿了。
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华杯赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 圆的周长是其直径的π倍B. 圆的周长是其半径的2π倍C. 圆的周长是其直径的2π倍D. 圆的周长是其半径的π倍答案：C2. 如果一个数的平方等于它的相反数，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0或1答案：A3. 一个长方形的长是宽的两倍，如果宽增加3厘米，长减少3厘米，那么面积：A. 增加6平方厘米B. 减少6平方厘米C. 增加9平方厘米D. 减少9平方厘米答案：B4. 一个数列的前三项是2, 4, 8，那么第四项是：A. 16B. 32C. 64D. 128答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个等差数列的第二项是5，第三项是8，那么这个数列的公差是______。
答案：32. 一个等比数列的前三项是2, 6, 18，那么这个数列的第四项是______。
答案：543. 如果一个三角形的两个内角分别是30度和60度，那么第三个内角是______度。
答案：904. 一个数的立方根是它本身，那么这个数可以是______，______，或______。
答案：1，-1，0三、解答题（每题10分，共20分）1. 已知一个等腰三角形的底边长为10厘米，腰长为13厘米，求这个三角形的面积。
答案：首先，根据勾股定理，底边的一半（5厘米）与腰的一半（6.5厘米）构成一个直角三角形，其斜边即为三角形的高。
高的长度为\( \sqrt{6.5^2 - 5^2} = \sqrt{42.25 - 25} = \sqrt{17.25} \)厘米。
因此，三角形的面积为\( \frac{1}{2} \times 10 \times\sqrt{17.25} \)平方厘米。
2. 一个数列的前四项是1, 2, 4, 8，求第五项。
答案：这是一个等比数列，公比为2。
因此，第五项是\( 8 \times 2 = 16 \)。
2020年华杯赛试题解析1.解答题（25分）.________4213011612.03266142.14.278875.05222126.1625.0=++÷⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯【答案】145【知识点】计算，分数裂项【解析】1457161615151414131312142130120112161421301161253320625565127887512255885=-+-+-+-+-=++++=++⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=原式2.2020年鼠年的一次在线趣味课堂上，老师组织六年级一班同学（不到100人）做“微信传数”游戏，游戏规则是：A 同学心里先想好一个自然数，将这个数乘以2020再加1后微信传给B 同学；B 同学将A 同学告诉他的数除以2020再加1，将结果微信传给C 同学；C 同学将B 同学告诉他的数乘以2020再加1，将结果微信传给D 同学；D 同学将C 同学告诉他的数除以2020再加1，将结果微信传给E 同学；E 同学将D 同学告诉他的数乘以2020再加1，将结果微信传给F 同学；……按照上述规律，序号排在前面的同学继续依次传数给后面的同学，最后一位同学将数传给A 同学，此时游戏结束.如果最后传给A 同学的数是58604，那么参加“微信传数”的同学共有多少位？A 同学最初想好的自然数是多少？【答案】47；6【知识点】归纳递推，周期问题【解析】设A 同学最初所想的数是x ；B 同学得到的数可以表示为：12020+x ；C 同学得到的数可以表示为：20201112020)12020(+=+÷+x x ；D 同学得到的数可以表示为：220201202012020202011(+⨯+=+⨯+x x ；E 同学得到的数可以表示为：20202212020)20222020(+=+÷+x x ；F 同学得到的数可以表示为：320202202012020)202022(+⨯+=+⨯+x x ；G 同学得到的数可以表示为：20203312020)40432020(+=+÷+x x ；H 同学得到的数可以表示为：420203202012020)202033(+⨯+=+⨯+x x ；……令58604)1(20202020=++⨯+n n x ，1+n 个位数字是4，考虑=n 13、23、33、43、53…尝试发现当23=n 时，6=x ，那么A 同学最初所想的数是6，总共有47名同学.3.甲、乙、丙三人分苹果，分法如下：先在三张卡片上写上自然数c b a 、、，其中c b a <<，每一轮分苹果时，每人抽一张卡片，然后把卡片上的数减去a ，得数就是他这一轮分得的苹果数.经过若干轮这种分法后，甲总共分得12个苹果，乙分得9个苹果，丙分得6个苹果，又知丙在各轮中抽到的卡片上写的数字的和是18，问：c b a 、、是哪三个数？为什么？【答案】1074===c b a ，，【知识点】计数，组合【解析】每一轮分苹果，三人得到的总数为a-++-；-+-=aa2ccbaba设总共分苹果n轮，则27-⋅+nb；=ca129+6)+(=2考虑n、都是正整数，则有如下四种可能：、cba、①27+ncb，；a12==-②1ac+nb，；2=27=-③9a3b，；+nc2==-④3ac+nb，；2=-9=丙分到6个苹果，且抽到的数字和是18，则6na；=-na，那么1218=n是12的因数，只能取1或3，分类讨论；当1=n时，12a，矛盾，舍去；-a=a，这样丙得到的苹果数是0=当3=n时，4=a，17cb，考虑17的分拆方式，分类讨论；+a+29==①9c-a=-ba8，，凑不出12、9、6；a，=ab=c=a，4=0=4，，则5-②10c-a=-ab，，可以凑出12、9、6；a，a=，，则6=c=4=-b0=a，37甲乙丙第一轮630第二轮360第三轮306③11-ac=-aa，，凑不出12、9、6；=a，b4==c=6ba，0=2，，则7-④12-a=-=caa，ab，，凑不出12、9、6；-=4=0==c5b，，则81a，综上，10a，，.b4=7==c4.在梯形ABCD的底边AD（或其延长线）上任取一点N，过N作平行于对角线BD AC 、的直线，分别交边CD （或CD 的延长线）、AB （或AB 的延长线）于点M K 、，证明：BMN ∆与NKC ∆的面积相等.【答案】CNKBMN S S ∆∆=【知识点】几何，等积变形，相似模型【解析】证明：因为BD MN //，则MND BMN S S ∆∆=，因为AC KN //，则ANK CNK S S ∆∆=；设a AN =，b DN =，梯形ABCD 高为h ，过M 作三角形MND 的高，记作1h ；由于三角形AMN 与三角形ABD 相似，则h h b a a 1=+，则h ba ah ⋅+=1，那么h ba ab S MND⋅+⋅⋅=∆21；同理，过K 作三角形ANK 的高，记作2h ，由于三角形DNK 与三角形DAC 相似，则h h b a b 2=+，则h b a b h ⋅+=2，那么h ba ba S ANK ⋅+⋅⋅=∆21；显然ANK MND S S ∆∆=，所以CNK BMN S S ∆∆=.5.一个“三阶幻方”是在如下的九个方格中分别填入数字1~9，使得每行、每列和每条对角线的数字和相等.对于一个三阶幻方，如果已给出三个格中填入的数字，其余六个格中的数字能确定吗？有哪些可能？请分别举例枚举.【答案】2种情况无法唯一确定【知识点】幻方；【解析】294753618如图，是三阶幻方的填法，容易得出中间位置一定填入，所以分成“给出中间数”和“未给出中间数”进行分类讨论；①给出中间数，又根据所给出的数的具体位置分类讨论，具体如下：229475753618唯一确定229457536618唯一确定229457531618唯一确定229427657539518618438不能唯一确定929475753618唯一确定929429657539511618418不能唯一确定①给出的三个数中不包含中间数，但由于中间数必须是5，所以相当于给出4个数，再根据其它3个数的具体位置分类讨论，结合第一种类型，只有两种无法确定，所以这里只需判断如下几种形式，具体如下：2429457536618唯一确定9429457536618唯一确定2929457531618唯一确定9294757531618唯一确定综上所述，给出3个数，有两种情况无法唯一确定.6.一个两位数ab，一个三位数cde，一个四位数fghi相加得2020，且这三个数的每个数位各不相同，问满足要求的算式一共有多少种？【答案】【知识点】竖式谜【解析】考虑数字和的要求，设两个加数的数字和为x -45，和的数字和是4，假设进位k 次，可以求出4=k ，5)944(45=⨯+-，即进位4次，数字5没有用；考虑“和”的百位数字是0，则一定进位，那么1=f ；总共进位4次，百位进位1次，根据十位和个位的进位情况分类讨论；①个位进位1次，十位进位2次，百位进位1次，那么要求：10=++i e b ，可能数组有（0，2，8），（0，3，7），（0，4，6），（2，3，5）；21=++h d a ，可能数组有（4，8，9），（5，7，9），（6，7，8）；8=+g c ，可能数组有（0，8）（2，6），（3，5）；若g c 、取（0，8），则h d a 、、只能取（5，7，9），此种情况无解；若g c 、取（2，6），h d a 、、取（4，8，9），i e b 、、取（0，3，7），考虑不同的排列顺序，总共有72A A A 333322=⨯⨯种；若g c 、取（2，6），h d a 、、取（5，7，9），此种情况无解；若g c 、取（3，5），h d a 、、只能取（4，8，9），此种情况无解；那么，个位进位1次，十位进位2次，百位进位1次总共72种可能；②个位进位2次，十位进位1次，百位进位1次，那么要求：20=++i e b ，可能数组有（3，8，9），（4，7，9），（5，6，9），（5，7，8）；10=++h d a ，可能数组有（0，2，8），（0，3，7），（0，4，6），（2，3，5）；9=+g c ，可能数组有（0，9），（2，7），（3，6），（4，5）；若g c 、取（0，9），h d a 、、只能取（2，3，5），此种情况无解；若g c 、取（2，7），h d a 、、只能取（0，4，6），i e b 、、取（3，8，9），考虑不同的排列顺序，总共有48A 4A 3322=⨯⨯种；若g c 、取（3，6），h d a 、、只能取（0，2，8），i e b 、、取（4，7，9），考虑不同的排列顺序，总共有48A 4A 3322=⨯⨯种；若g c 、取（4，5），h d a 、、取（0，2，8），此种情况无解；若g c 、取（4，5），h d a 、、取（0，3，7），此种情况无解；那么，个位进位2次，十位进位1次，百位进位1次总共96种可能；综上所述，使得竖式成立的填法共168种.。
