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定积分知识点总结数学一、定积分的定义1. 定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分进行定义的一种方法。
定积分可以表示函数在一个区间上的“累积效果”，即函数在该区间上的总体积或总面积。
2. 定积分的符号表示定积分可以用符号∫ 来表示，即∫f(x)dx，其中f(x)是要积分的函数，dx表示自变量x的微元。
3. 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，取每个小区间上任意一点ξi，计算出函数在每个小区间上的面积，然后将所有小区间上的面积相加，得到一个近似值。
当n趋于无穷大时，这个近似值趋于一个确定的值，称为定积分，记作∫a到b f(x)dx。
4. 定积分的几何意义定积分的几何意义是函数f(x)在区间[a, b]上的图像和坐标轴之间的面积，当函数为正值时，定积分表示曲线下面积；当函数为负值时，定积分表示曲线上面积减去曲线下面积。
二、定积分的性质1. 定积分的存在性定积分的存在性是指对于一个函数在一个区间上的定积分是否存在，存在的充分必要条件是函数在该区间上连续。
2. 定积分的线性性定积分具有线性性质，即若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，c和d为常数，则有∫a到b(c*f(x)+d*g(x))dx=c*∫a到b f(x)dx+d*∫a到b g(x)dx。
3. 定积分的区间可加性若函数f(x)在区间[a, b]、[b, c]上都可积，则有∫a到c f(x)dx=∫a到b f(x)dx+∫b到c f(x)dx。
4. 定积分的不变性对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，若将区间[a, b]内的点重新排列，定积分的结果不会受到影响。
5. 定积分的估值通过使用上下和左右长方形法、梯形法等方法，可以对定积分进行估值，获得定积分的近似值。
三、定积分的计算1. 定积分的基本计算方法定积分的基本计算方法是使用定积分的定义进行计算，即按照定义对函数在区间内每个小区间上的面积进行求和，并计算出极限值。
高中数学定积分讲义一、理解定积分的概念1、产生背景：2、曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形．yi记n 个小曲边梯形的面积分别为：△S 1, △S 2,…, △S n ， 则曲边梯形的面积S=△S 1+△S 2+…+△S n 第二步 近似代替在每个小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(,n i i =ξ 则i i i x f s ∆⋅≈∆)(ξ, 第三步 求和 i i ni x f s ∆⋅≈∑=)(1ξ第四步 取极限∑=∞→∆⋅=ni ii n x f s1)(lim ξ阿基米德问题：求由抛物线y=x 2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积．°分割：将区间[0,1]分成n 等份： △s1,,,1n n -⎡⎡⎢⎢⎣⎣2°近似代替：x n i xn i f s s ii ∆-=∆-='∆≈∆2)1()1(),,2,1(1)1(2n i nn i =⋅-=3°求和： S n =n n i x n i f s sni ni ni i ni i1)1()1(21111⋅-=∆-='∆≈∆∑∑∑∑====nn n n n n n n 1)1(1)2(1)1(10222⋅-+⋅+⋅+⋅= ])1(321[122223-++++=n n6)12()1(13--⋅=n n n n )211)(11(31nn --= 4°取极限： 31)211)(11(31lim lim 1=--='∆=∞→=∞→∑n n s s n ni i n 求曲边梯形面积的“四步曲”：1°分割 化整为零以直代曲3°求和积零为整刨光磨平1、定积分的概念：例2、已知二次函数c bx ax x f ++=2)(，直线2:1=x l ,直线t t y l 8:22+-=（其中0≤t ≤2,t 为常数）。
定积分的概念【知识要点】(1)定积分的定义及相关概念① 分割 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…x i －1<x i <…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，区间[x i －1，x i ] 的长度1i i i x x x -∆=-。
② 近似取代 “以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．③ 求和 作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )， ④ 取极限 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .即：()()1lim ni n i bb af x dx f anξ→∞=-=∑⎰ 注：在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． （2）定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。
那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
(3 )定积分的性质 ①a b dx ba-=⎰1②⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）③⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛abf 2(x )d x . （定积分的线性性质）④⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )． （定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：1212[()()()]()()()bb b bm m aaaaf x f x fx dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c b aac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰③性质解释：PCN M B AabOyxy=1yxOba【例题精讲】例1．计算定积分21(1)x dx +⎰分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。
即：215(1)2x dx +=⎰思考：若改为计算定积分22(1)x dx -+⎰呢？改变了积分上、下限，被积函数在[2,2]-上出现了负值如何解决呢？ 例2．求曲线2y x =与x=1,y=0所围成的区域的面积解： ①分割 将区间[]0,1等分为n 个小区间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,n n n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，每个小区间的长度为11i i x n n n -∆=-= ② 近似取代 过各点做x 轴的垂线，把梯形分成n 个小曲边梯形，在分别用小区间左端点的纵坐标为21i n -⎛⎫ ⎪⎝⎭为高，x ∆1n =为底作小矩形，于是图中曲线i 之下矩形的面积依次为：210n ⋅，211n n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，221n n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，…，211n n n-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭③ 求和 所有这些小矩形的面积之和为n S =210n ⋅+211n n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭+221n n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭+…+211n n n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=()2222310121n n⎡⎤++++-⎣⎦ 性质1性质4AMNB AMPC CPNBS S S =+曲边梯形曲边梯形曲边梯形 1 2yxo=()()312116n n n n --⋅ =111126n n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭④ 取极限 1111lim lim1263n n n S S n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【习题精练】1. 函数()2f x x =在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，（ ） A.()f x 的值变化很小 B.()f x 的值变化很大C. ()f x 的值不变化D. 当n 很大时，()f x 的值变化很小 答案：D2. 当n 很大时，函数()2f x x =在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值，可以用下列函数值近似代替的是 （ ） A. 1f n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 2f n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. i f n ⎛⎫⎪⎝⎭D. ()0f 答案：C3. “以直代曲”中，函数()f x 在区间[]1,i i x x +上的近似值等于（ ） A. 只能是左端点的函数值()i f x B. 只能是右端点的函数值()1i f x +C. 可以是该区间内任一点的函数值()i f ξ（[]1,i i i x x ξ+∈）D. 以上答案均正确 答案：C4. 设()f x 在[],a b 上连续，将[],a b n 等分，在每个小区间上任取i ξ，则()bf x dx a ⎰是（ ） A. ()1limni n i f ξ→∞=∑B. ()1lim ni n i b af nξ→∞=-⋅∑ C. ()1limniin i f ξξ→∞=⋅∑ D. ()()11lim niii n i f ξξξ-→∞=⋅-∑答案：B5. 设()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上的平均值为（ ） A.()()2f a f b + B.()bf x dx a⎰ C.()12b f x dx a ⎰ D. ()1bf x dx ab a -⎰ 答案：D6. 已知和式1123(0)p p p pP n p n +++++> 当n →+∞时，无限趋近于一个常数A ，则A 可用定积分表示为 （ ）A ．dx x ⎰101B ．dx x p ⎰1C ．dx x p ⎰10)1(D ．dx n x p⎰10)(答案：B7. 下列定积分为1是（ ）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+10)1(C ．dx ⎰101D ．dx ⎰1021答案：C8. 求由1,2,===y x e y x围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）A ．［0，2e ］B ．［0，2］C ．［1，2］D ．［0，1］ 答案：B9. 由y=cosx 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ． 答案：2π0|cos |x dx ⎰或204cos xdx π⎰。
10. 计算1201x dx -⎰= 。
答案：π4。
提示：这是求单位圆落在第一象限内部分的面积。
11. ① 利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？（1）3π40sin d x x ⎰； （2）01e d xx -⎰； （3）1213ln d x x ⎰．答案： （1）正 (2)正 (3)负。
②利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小．10d x x ⎰，120d x x ⎰，130d x x ⎰。
答案：10d x x ⎰≥120d x x ⎰≥130d x x ⎰。
12. 计算下列定积分：121(1)(1)d 3x x -+⎰； 41(2)(3)d x x -+⎰；20(3)cos d x x π⎰； 232(4)d x x -⎰。
答案：(1)52； (2)452；(3)0 ；(4)0。
13. 利用定积分表示图中四个图形的面积：答案：(1) ⎰=adx x S 02； (2) ⎰-=212dx x S ； (3) ⎰⎰------=01222]1)1[(]1)1[(dx x dx x S ；(4) ⎰=badx S ．【课下练习】1. 设函数()0f x >，则当a b <时，定积分()bf x dx a ⎰的符号（ ）A. 一定是正的B. 一定是负的C. 当0a b <<时是正的，当0a b <<时是负的 D ．以上结论都不对 答案：A2. 下列式子中不成立的是（ ） A.22sin cos 0xdx xdx ππ=⎰⎰B.22sin :cos 0xdx xdx ππ⎰⎰C.sin cos 00xdx xdx ππ=⎰⎰ D. sin cos 00x dx xdx ππ=⎰⎰答案：C 3. 1321(tan sin )x x x x dx -++⎰=（ ）A ．0B. 13202(tan sin )x x x x dx ++⎰C ．03212(tan sin )x x x x dx -++⎰D 。
13202|tan sin |x x x x dx ++⎰答案：Ax a y = x 2 (1) x 2 –1 y = x 2 (2) y y y =(x -1)2 -1O x –1 2 (3) xab y = 1(4)y y4. 由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ）A ．()[]dy y y ⎰--11B 。
()[]dx x x ⎰-+-2101C ．()[]dy y y ⎰--2101D 。
()[]dx x x ⎰+--11答案：C5. 和式111122n n n+++++ 当n →+∞时，无限趋近于一个常数A ，则A 用定积分可表示为 。
答案：dx x ⎰+1011。
6. 曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ． 答案：dx x⎰-12)1(7. 计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。
试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x 2所围成的曲边三角形的面积。
（下列公式可供使用：12+22+…+n 2=1(1)(21)6n n n ++）答案：138. 求由曲线1y x =+与1,3,0x x y ===所围的图形的面积.答案：69. 计算20()f x dx ⎰，其中,2,01,()5,1 2.x x f x x ≤<⎧=⎨≤≤⎩答案：610. 弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx （k 是正的常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所做的功。
答案：可用“分割；以直代曲；作和；逼近”求得：202bkb W kxdx ==⎰。
