[工学]现代控制理论论文

最优控制方法及其应用摘要：主要阐述了关于最优控制问题的基本概念，最优控制是最优化方法的一个应用。

最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。

而最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，解决最优控制问题的主要方法有变分法、极大值原理和动态规划。

常使用到的主要有时间最短控制问题和线性二次型最优控制问题等。

通过以上知识的了解和应用可以使初学者能够快速掌握最优控制的问题。

关键字：最优化最优控制极值时间最优控制线性二次型目录第一章最优控制的基础 (4)1.1 最优控制理论 (4)1.2 最优控制问题的一般形式 (5)1.3 最优控制方法 (6)第二章变分法 (7)2.1 变分法基础 (7)2.2 变分法应用 (7)第三章极大值原理 (10)3.1 极大值原理的提出和形式 (10)3.2 极大值原理的应用 (11)第四章动态规划方法 (13)4.1 动态规划概念及意义 (13)4.2 动态规划算法的基本思想和结构 (13)4.3 动态规划算法的运用 (14)第五章时间最优控制问题 (16)第六章线性二次型最优控制问题 (20)6.1 线性二次型最优控制问题的提出 (20)6.2 应用MATLAB求解二次型最优控制问题（实验部分） (22)第七章关于倒立摆的最优控制 (34)结束语 (39)参考文献 (39)第一章最优控制的基础§ 1.1 最优控制理论最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。

它是现代控制理论的重要组成部分。

最优控制是最优化方法的一个应用，如果想了解最优控制必须知道什么是最优化方法。

所谓最优化方法为了达到最优化目的所提出的各种求解方法。

从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。

从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。

最优控制是现代控制理论的核心，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。

这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的动态规划和庞特里亚金等人提出的最大值原理。

从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。

解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极大值原理和动态规划。

最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。

Pontryagin 的最大值原理、Bellman 的动态规划方法和Kalman 的最优线性调节器的理论被公认为现代控制理论的三大里程碑，这些奠基性的成果标志着最优控制理论的正式诞生。

[1]最优控制理论是经典变分学在现代的新发展，其研究基础涉及函数论、拓扑学、泛函分析、微分方程、变分学等多个数学分支的知识。

时而至今，最优控制理论的研究无论在深度和广度上都有了很大的发展，例如对分布参数系统，随即系统，大系统的最优控制理论的研究等等。

§ 1.2 最优控制问题的一般形式假设一个控制系统的状态方程、控制域U、控制函数类以及某些约束条件均已给定，且相应的容许控制类.记全体容许对所成的集合为. 任一映射；称为该控制系统的一个指标泛函。

对于含有时滞的系统，在选取或设计指标泛函时，有时也需要根据问题的实际意义将时滞因素考虑在内。

最优控制问题就是：对于给定的指标泛函，寻求适当的,使得. （1.2.1）如果这样的容许对存在，则称该最优控制问题有解；称满足（1.2.1）的任一个容许对为最优控制问题的一个最优对，其中的称为该最优控制问题的一个解或最优控制，称为该最优控制问题的一条最优轨线。

[1]控制问题就是针对给定的控制系统和约束条件研究控制函数的不同选择对于系统某些方面的影响，例如系统是否稳定、是否能控、能观或能稳、是否存在某类反馈控制、在某种标准下是否能达到最优等，而且指出了明确的研究目的，才能说给定了一个控制问题。

一般说来，在研究控制系统时，我们还需要将一些其他的附加因素考虑在内，这些因素往往是由具体问题的实际背景或理论研究的必要前提确定的。

最优控制应用举例：火车快速运行问题。

设有一列火车从甲地出发，要求算出容许的控制使其到达乙地的时间最短。

火车的运动方程 (1.2.2)式中，m 是火车的质量，是火车的加速度。

为使旅客舒适，其值有限制。

是产生加速度的控制作用，其值也应有限制，设(1.2.3)初始条件 (1.2.4)中断条件（1.2.5）性能指标(1.2.6)选择使得为最小。

§ 1.3 最优控制方法解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极大值原理和动态规划。

研究最优控制问题有力的数学工具是变分理论，而经典变分理论只能够解决控制无约束的问题，但是工程实践中的问题大多是控制有约束的问题，因此出现了现代变分理论。

现代变分理论中最常用的有两种方法。

一种是动态规划法，另一种是极小值原理。

它们都能够很好的解决控制有闭集约束的变分问题。

值得指出的是，动态规划法和极小值原理实质上都属于解析法。

此外，变分法、线性二次型控制法也属于解决最优控制问题的解析法。

最优控制问题的研究方法除了解析法外，还包括数值计算法和梯度型法。

第二章变分法§ 2.1 变分法基础变分法（calculus of variations）是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。

譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。

变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。

有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。

在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。

它对应于泛函的临界点。

在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。

它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。

变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。

它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。

而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理。

同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，莫尔斯理论，或者辛几何。

变分一词用于所有极值泛函问题。

微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。

极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工，称为Plateau问题。

最优控制的理论是变分法的一个推广。

§2.2 变分法应用如果变量 对于某一函数类中的每一个函数 ,都有一个确定的值与之对应，那么就称变量 为依赖于函数 的泛函，记为： 。

(2.2.1),函数泛函 ； 又称为泛函的宗量，也可以理解为“函数的函数”说明：泛函是映射，是从函数空间到数域的映射。

泛函的自变量是函数，泛函的自变量称为泛函的宗量。

容许函数空间是满足泛函的规定条件的宗量的全体所构成的函数空间。

求函数的极值时，微分或导数起着重要的作用。

求泛函的极值时，变分起着类似的作用。

我们将求泛函的极值问题称为变分问题，其相应的方法称为变分法。

特别是对无约束的最优控制，通常用变分法求解。

[2]泛函的变分（相当于函数的微分）(2.2.2)(2.2.3)(2.2.4)由于泛函J 所依赖的函数总要受到受控系统状态方程的约束，应用拉格朗日乘子法，将有约束泛函极值问题转化为无约束的泛函极值问题。

这是引入哈密顿函数的拉格朗日型最优控制问题。

)]([)]()([)]([1x y J x y x y J x y J -+=∆δ）泛函的增量（ +-++-+=∆2220])[!21][][)(y y y dy J d y y y dy dJ y J x y δδ（）（点展开，得应用泰勒公式在的高阶无穷小。

是主部），的线性连续泛函（线性是的变分。

为宗量＝其中：y R y L x y x y x y x y δδδ)()()()(0-)](),([2x y x y L J Lδδ＝记作量的线性主部）泛函的变分：泛函增（](),([)](),([)]([!21)(222）x y x y R x y x y L x y dy J d x y dy dJ δδδδ+=++=(2.2.6)0)(]),(),([ 2.2.5) ]),(),([)(,)( ],[],),(),([)(10000====∈=⎰t x t t u t x f dt t t u t x L J t x x t x t t t t t u t x f t xf t t f f 程式得：将状态方程写成约束方（自由终端状态初始状态对系统式、拉格朗日法求极值公(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9) (2.2.10)2、求解最优控制的步骤{}维拉格朗日乘子向量为待定的构造增广泛函：n t dt t x t t u t x f t t t u t x L J f t t T )()](]),(),([)[(]),(),([0λλ⎰-+=' {}⎰-='+=ft t T T dt t x t u x H J t u x f t u x L t u x H Ham ilton 0)(],,,[:],,[],,[),,,( λλλλ则）函数顿（定义纯量函数，哈密尔{}f f f f f t t T t t T t t t t T T t t T t x dt t x t u x H J t x dt t x dt t x 00000)()(],,,[ )()()( λλλλλλ-+='∴-=-⎰⎰⎰ 其中λδδλδδδδδδf f t t T t t T T x dt u H u x H x J J x u x u t x t u t x t u 00)(()()()[( ,)()()()(**⎰-∂∂++∂∂='' 的变分为引起和则由、的变分为、相对于最优控制的和设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧→=→=∂∂→=+∂∂≠≠'）横截条件（为任意时））控制方程（（伴随方程必有不受约束）（即，，取＝由3020 )1(0 ,000 0λδλδδδδt t u u H x H u u x J ）状态方程（即又由4)(],,,[),()(],,[ ],,[],,[],,,[00→===∂∂==∂∂+=x t x t u x f x t x H t x t u x f H t u x f t u x L t u x H T λλλλ ],[~32),(~01*********λλλλx u u x x u x u u u H ＝代入得，）再将（，程解两点边值，求代入伴随方程和状态方）将（，解出）由控制方程（==∂∂第三章极大值原理§ 3.1 极大值原理的提出和形式为了解决古典变分法在求解最优控制问题中所暴露出来的一些无法避免的问题，许多学者进行了各种探索，其中以苏联学者Pontryagin 的最大值原理于美国学者贝尔曼的动态规划较为成功，应用也比较广泛，现已经成为求解最优控制问题的强有力的工具。