非平稳时间序列的多尺度分析
真实世界中的复杂系统是由相互影响的内在机制控制着,这些内在机制在多重时间和空间尺度上运行,表现出复杂的多组成成分、多层次结构和突现性等特点,这使得理解和刻画复杂系统变得困难。一个重要的方法是分析复杂系统的输出时间序列,来研究其内在的动态演化机制和交互作用。
本文的主要研究对象是时间序列的相关性和复杂性,并且着重于其在多重尺度上的变异性分析。由于复杂系统的输出序列具有高度的非平稳性和非线性性,因此传统构建于平稳性和线性假设的理论方法不再适用。
在本文中,我们基于去趋势波动分析,探讨非平稳时间序列的重分形相关性以及非线性滤波对它的影响,同时研究此相关性在多重尺度上的变化情况；基于信息理论中的熵,研究时间序列的复杂性及其对多重尺度的依赖性,分析各种趋势的影响及解决方案,同时还讨论时间序列间的多尺度耦合性。本文分为七章,组织结构如下：第一章为引言部分。
介绍本文的研究背景、研究对象、研究意义以及主要工作。第二章为非平稳时间序列的重分形交叉相关分析以及非线性滤波对重分形性质的影响。
我们提出基于统计矩的重分形交叉相关分析(MFSMXA)来研究时间序列间的交叉相关性和交叉重分形性。我们使用重分形时序进行验证,并引进传统的重分形去趋势波动交叉分析(MFXDFA)和重分形去趋势滑动平均交叉分析(MFXDMA)作为对比模型,发现MFSMXA方法得到了与两传统模型相当的结果,并与理论曲线几乎一致,可靠性较高。
另外,我们分析了线性滤波、非线性多项式滤波和对数滤波对时序重分形性质的影响,基于上述分析方法在单个时序上的分析,使用人工信号和交通信号。通
过对比滤波前后时序的重分形谱,我们发现：线性滤波几乎不改变时序的重分形性；非线性多项式滤波在一定程度上有所影响,影响程度取决于多项式滤波的最高次幂；对于对数滤波,随着补偿因子取值的减小,重分形谱显著缩水,谱宽明显变小。
第三章为非平稳时间序列的重分形相关性在不同尺度上的变异性分析。我们不仅集中研究时间序列的重分形性质,更加重视的是此性质对于不同时间尺度的依赖性。
我们提出多尺度重分形分析修正模型,并应用于分析交通信号,发现其具有更加复杂的结构和更加丰富的信息,而这是固定时间尺度的传统MFDFA方法无法获得的。更加重要的是,通过此修正模型,我们无需回避那些具有交叉点的数据或者是在处理过程中人为的缩小研究尺度。
Hurst曲面提供了在不同时间尺度上的局部标度指数谱,这便于我们对交叉点进行定位。通过对比去除周期趋势前后交通信号的Hurst曲面,我们发现交叉点主要来源于信号的周期趋势。
另外,工作日和周末交通信号的Hurst曲面表现不同,反映其重分形相关性质的不同。我们还分析了交通信号的重分形产生机制,它主要来源于宽概率分布和相关性的改变。
最后,通过讨论数据缺失对Hurst曲面的影响,我们发现当缺失百分比高于40%时,分析结果需谨慎处理。第四章研究了不同时间序列的多尺度复杂性变化。
MSE系列方法目前已是度量时序复杂度的主要方法。我们应用MSE系列方法先后分析了白噪声和1/f噪声、不同标度指数的长程相关时间序列以及金融序列,并发现其各自复杂度曲线的变化特点。
基于排列熵,我们提出多尺度排列熵分析(MSPE),从时序的内在排列角度来
讨论其复杂度。通过在交通拥堵指数(TCI)上的实证分析,我们发现MSPE方法能有效度量其复杂度,并发现工作日TCI指数的复杂度曲线不同于周末的,这有助
于我们后期更深入的研究。
第五章探讨了非线性趋势对时间序列复杂度度量的影响及解决方法。信号中携带的趋势会显著影响其复杂度度量,我们基于经验模式分解(EMD)和傅里叶技
术(FT),提出EMD-RCMSE和FT-RCMSE模型。
通过模拟信号验证了两模型的有效性。另外,我们将其应用到具有复杂趋势的交通信号,研究表明：(1)交通信号的实际复杂度高于传统MSE方法求得的；(2)工作日模式和周末模式(具有不同的趋势组合)显著影响分析结果；(3)信号复杂度在每一天内随时间不断变化,这是由于人类活动程度的变化造成的。
第六章研究了时间序列间的多尺度耦合性。基于度量极短时序间耦合性的内在构成排列(IOTA)法,我们提出分段IOTA模型(即SIOTA)来度量长时间序列间的局部耦合性强度和全局耦合性强度,从不同角度度量两时间序列之间的交互作用。
通过分析中国股市的上证指数(SZ)和深成指数,并引入对比模型交叉样本熵,我们发现两股指间的耦合强度很高。另外,我们分析了美国股指DJIA和另外六个国家地区股指之间的耦合性。
发现DJIA和SZ之间的耦合强度最低,而与德国DAX和英国FTSE100之间的耦合强度很高。同时研究发现当市场大波动时,局部耦合指数会下降。
而随着近年来全球合作化的不断发展,各股市之间的耦合强度逐渐增强。第七章为总结和展望。
简要总结了本文的主要结果,同时展望了下一步的工作计划。
