非平稳时间序列概述

时间序列、动态计量与非平稳性时间序列分析是一种研究时间上观测到的数据的方法，它通常用来预测未来的数据走势，或者揭示数据背后的规律和模式。

时间序列分析的基本假设是数据是按照时间顺序收集和记录的，因此数据中的观测值之间存在一定的内在关联。

动态计量是时间序列分析的一种方法，它关注变量之间的相互影响和动态调整过程。

动态计量的核心思想是当前时刻的变量取值受到过去时刻的变量取值的影响，而且这种影响是不断调整和改变的。

动态计量模型通常使用回归分析、向量自回归(VAR)模型、脉冲响应分析等方法，来研究变量之间的时序关系和相互作用。

然而，时间序列和动态计量在实际应用中都面临一个重要的问题，那就是非平稳性。

非平稳性是指时间序列数据在整个时间范围内存在明显的长期趋势、季节性变化、周期性波动等，这会导致时间序列的统计性质发生变化，使得传统的时间序列模型无法有效地拟合和预测数据。

非平稳性在金融、经济学、气象学等领域中普遍存在，因此如何处理非平稳性是时间序列分析的重要课题。

为了处理非平稳性，可以使用一系列的技术，如差分、变换、季节调整和模型拟合等。

其中，差分是最常见的一种方法，它通过计算相邻时刻的观测值之间的差异，来消除数据中的趋势和季节性变化。

变换则是将原始数据进行数学变换，如对数变换、平方根变换等，以改变数据的统计性质。

季节调整是将季节性因素从数据中剔除，以便更好地研究数据的长期趋势。

而模型拟合则是利用时间序列模型来拟合和预测非平稳数据，如自回归移动平均模型(ARMA)、自回归积分移动平均模型(ARIMA)等。

非平稳性的处理不仅能够改善模型的拟合效果，还能够提高模型的预测准确性和可解释性。

通过去除非平稳性的影响，我们可以更好地理解数据的本质和规律，更准确地进行预测和决策。

对于金融市场而言，处理非平稳性可以帮助投资者更好地判断市场趋势和价值，从而制定更科学和有效的投资策略。

总之，时间序列、动态计量和非平稳性是现代统计学中重要的研究领域。

第八章、非平稳时间序列分析很多时间序列表现出非平稳的特性：随机变量的数学期望和方差随时间的变化而变化。

宏观经济数据形成的时间序列中有很多是非平稳时间序列。

非平稳时间序列与平稳时间序列具有截然不同的特征，研究的方法也很不一样。

因此，在对时间序列建立模型时，必须首先进行平稳性检验，对于平稳时间序列，可采用第七章的方法进行分析，对于非平稳时间序列，可以将采用差分方法得到平稳时间序列，然后采用平稳时间序列方法对差分数据进行研究，对于多个非平稳时间序列则可以采用协整方法对其关系进行研究。

8.1 随机游动和单位根8.1.1随机游动和单位根如果时间序列t y 满足模型t t t y y ε+=-1 （8.1）其中t ε为独立同分布的白噪声序列， ,2,1,)(2==t Var t σε，则称t y 为标准随机游动（standard random walk ）。

随机游动表明，时间序列在t 处的值等于1-t 时的值加上一个新息。

如果将t y 看作一个质点在直线上的位置，当前位置为1-t y ，则下一个时刻质点将向那个方向运动、运动多少（t ε）是完全随机的，既与当前所处的位置无关（t ε与1-t y 不相关），也与以前的运动历史无关（t ε与 ,,32--t t y y 不相关），由质点的运动历史和当前位置不能得出下一步运动方向的任何信息。

这便是 “随机游动”的由来。

随机游动时间序列是典型的非平稳时间序列。

将（8.1）进行递归，可以得出010211y y y y t s s t t t t t t t +==++=+=∑-=----εεεε （8.2）。

如果初始值0y 已知，则可以计算出t y 的方差为2)(σt y Var t =。

由此看出随机游动在不同时点的方差与时间t 成正比，不是常数，因此随机游动是非平稳时间序列。

下图给出了随12机游动时间序列图：图8.1 随机游动时间序列图将随机游动（8.1）用滞后算子表示为t t y L ε=-)1( （8.3），滞后多项式为L L -=Φ1)(。

第六章非平稳时间序列分析前几章讨论的都是平稳时间序列，然而在实际应用中，特别是在经济和商业中出现的时间序列大多是非平稳的，如非常数均值的时间序列，非常数方差的时间序列，或者二者皆有。

第一节非平稳性的检验该方法即是利用时间序列资料图，观察趋势性或周期性。

如果序列存在着明显的趋势或周期变化，则表明该序列可能是非平稳时间序列。

这种方法直观简单，但主观性较强。

一个零均值平稳时间序列的自相关和偏自相关函数，要么拖尾，要么截尾。

如果零值化的时序既不拖尾，也不截尾，而是呈现出缓慢衰减或者周期性衰减，则认为可能存在趋势或周期性，应视为非平稳。

该方法是首先对序列拟合一个恰当的模型，再针对该模型计算其对应特征方程的特征根。

如果它的所有特征根均在单位圆之外，则该序列平稳；否则非平稳。

该方法可以检验序列是否存在单调趋势。

原理：将序列分成几段，计算每一段的均值或方差，组成新的序列。

若原序列无明显趋势变化则均值（或方差）序列的逆序总数不应过大或过小，过大说明原序列有上升的趋势，过小说明序列有下降趋势。

原理：在原序列与趋势变化的原假设下，原序列的每个值与序列均值对比后的符号序列的游程不应过小或过多。

过小或过多均表示原序列存在某种趋势。

1、DF 统计量的分布特征给出三个自回归模型前面所述的单变量模型只含有一阶的滞后，当模型中含有更高阶滞后项时，有类似的分析结论。

此时对β是否等于1的检验称为ADF 检验。

（2）根据不同的模型选用DF 或ADF 统计量，每个统计量均有三种情况选择：含截距项、含截距项和趋势项以及不含截距项和趋势项。

（3）DF （ADF ）检验采用的是最小二乘估计。

（4）DF （ADF ）检验是左侧单边检验。

当DF （ADF ）<临界值时，拒绝H0 ，即序列为平稳的；当DF （ADF ）>临界值时接受H0 ，即序列为非平稳的。

第二节平稳化方法本节介绍三种常用的平稳化方法：差分、季节差分以及对数变换与差分结合运用。

第七章非平稳时间序列时间序列数据被广泛地运用于计量经济研究。

经典时间序列分析和回归分析有许多假定前提，如序列的平稳性、正态性等,，如果直接将经济变量的时间序列数据用于建模分析，实际上隐含了这些假定。

在这些假定成立的条件下，进行的t检验、F检验与2 等检验才具有较高的可靠度。

但是，越来越多的经验证据表明，经济分析中所涉及的大多数时间序列是非平稳的。

那末，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列来进行分析，会造成什么不良后果？如何判断一个时间序列是否为平稳序列？当我们在计量经济分析中涉及到非平稳时间序列时，应作如何处理呢？这就是本章要讨论的基本内容。

第一节伪回归问题经典计量经济学建模过程中，通常假定经济时间序列是平稳的，而且主要以某种经济理论或对某种经济行为的认识来确立计量经济模型的理论关系形式，借此形式进行数据收集、参数估计以及模型检验，这是20世纪70年代以前计量经济学的主导方法。

然而，这种方法所构建的计量经济模型在20世纪70年代出现石油危机后引起的经济动荡面前却失灵了。

这里的失灵不是指这些模型没能预见石油危机的出现，而是指这些模型无法预计石油危机的振荡对许多基本经济变量的动态影响。

因此引起了计量经济学界对经典计量经济学方法论的反思，并将研究的注意力转向宏观经济变量非平稳性对建模的影响。

人们发现，由于经济分析中所涉及的经济变量数据基本上是时间序列数据，而大多数经济时间序列是非平稳的，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列进行回归分析，则可能会带来不良后果，如伪回归问题。

所谓“伪回归”，是指变量间本来不存在有意义的关系，但回归结果却得出存在有意义关系的错误结论。

经济学家早就发现经济变量之间可能会存在伪回归现象，但在什么条件下会产生伪回归现象，长期以来无统一认识。

直到20世纪70年代，Grange、Newbold研究发现，造成“伪回归”的根本原因在于时间序列变量的非平稳性。

他们用Monte Carlo模拟方法研究表明，如果用传统回归分析方法对彼此不相关联的非平稳变量进行回归，t检验值和F检验值往往会倾向于显著，从而得出“变量相依”的“伪回归结果”。

时间序列分析中的平稳性与非平稳性时间序列分析是一种用来研究时间数据的统计方法，它可以揭示出时间序列数据的模式和趋势，并预测未来的发展。

在进行时间序列分析时，我们经常会遇到平稳性和非平稳性的问题，本文将重点讨论这两个概念及其在时间序列分析中的重要性。

1. 什么是平稳性？平稳性是指时间序列在统计特性上具有不变性，即其均值和方差不随时间的推移而发生改变。

具体而言，平稳时间序列的均值在时间维度上是稳定的，方差也不会随时间变化而增加或减小。

此外，平稳时间序列的自协方差只与时间间隔有关，而与特定时间点无关。

2. 平稳性的判断方法为了判断一个时间序列是否具有平稳性，我们可以使用一些统计检验方法。

常见的方法有ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）、KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test）等。

ADF检验通常用于检验平稳性，其原假设是时间序列具有单位根（非平稳），如果检验结果拒绝了原假设，则可以得出时间序列是平稳的结论。

3. 非平稳性的表现形式非平稳性的时间序列可能会呈现出明显的趋势、季节性或周期性变化。

趋势是时间序列长期的、持续的上升或下降，季节性是指时间序列在特定时间点上出现的周期性波动，周期性是指时间序列存在长期的、不规则的上升或下降。

4. 非平稳性的处理方法如果时间序列是非平稳的，我们需要对其进行处理，以使其具备平稳性。

常见的处理方法有差分法、对数变换等。

差分法可以通过计算相邻时间点的差值来消除趋势和季节性，对数变换则可以通过对时间序列取对数来减少其波动性。

5. 平稳性的重要性平稳性在时间序列分析中非常重要，具有以下几个方面的意义： - 简化模型：平稳时间序列的统计特性稳定，可以简化模型的建立和预测。

- 降低误差：平稳时间序列的随机误差具有恒定的方差，使得模型的预测更准确。

- 提高可靠性：基于平稳时间序列建立的模型具有更好的可靠性和稳定性，可以更好地应对未来的变化。

非平稳时间序列性质
非平稳时间序列性质是指时间序列数据的特征或行为方式不能用永恒的定义来进行描述。

传统的时间序列分析方法假设时间序列数据都是平稳的，要求其拥有一定的稳定的特性，特别是自相关度和均值都具有一定的属性，但是在实际情况中，大部分的时间序列都是非平稳的。

非平稳的时间序列因为其不稳定的特点，数学表示也很难确定。

它们不仅受到某些环境因素的影响，而且还拥有专有特性，比如自相关度和均值都不断变化，差值序列中存在不规律，数据重新组织不能展示出趋势移动或小波变换，模型参数难以确定等。

某些具有对外界可控的非平稳的时间序列，如由售货机排出的商品销量，是可以通过减少影响因素来抑制其特性不稳定的，但大部分的非平稳时间序列很难进行控制，需要开发出新的分析方法来更好地描述和预测。

经过长期的研究，计算机科学家和统计学家分别研发出涵盖非平稳时间序列性质各个方面的复杂算法，其中包括统计模型、机器学习
算法、神经网络模型等，以更好地描述非平稳时间序列特性的不稳定性，并基于此进行预测分析。

因此，通过对非平稳时间序列性质的深入研究，能够改变我们对时间序列的理解，对未来的发展起到重要的作用。

另外，时间序列分析还具有重要的应用价值，如金融分析、医疗健康分析、社会研究和控制等，都可以用时间序列分析来进行深入探讨。

时间序列、动态计量与非平稳性时间序列分析是一种统计学方法，用于处理按时间顺序排列的数据。

时间序列数据通常包含某个特定经济指标、社会现象或其他变量在不同时间点上的观测值。

时间序列通常具有趋势、季节性和随机性等特征，因此需要通过时间序列分析方法来进行预测和解释。

动态计量是时间序列分析的一个重要分支，它主要关注变量之间的相互关系和变动。

动态计量方法通常使用回归模型或协整模型来分析变量之间的长期关系和短期关系。

回归模型可以用来预测一个变量的值，而协整模型则可以用来分析两个或更多变量之间的长期稳定关系。

非平稳性是时间序列分析中的一个重要概念，它指的是数据在时间上的变动趋势不稳定，并且呈现出明显的趋势或季节性等特征。

非平稳性数据在进行分析时，可能会出现错误的预测结果或误导性的统计推断。

因此，在进行时间序列分析之前，需要首先对数据进行平稳性检验和处理，以确保分析结果的准确性和有效性。

在时间序列分析中，常用的方法包括移动平均法、指数平滑法、ARIMA模型等。

移动平均法是一种通过计算一定时间段内观测值的平均值来平滑数据的方法，它可以减少随机因素对数据的影响，揭示数据的长期趋势。

指数平滑法是一种通过赋予不同权重来平滑数据的方法，它可以更好地反映近期观测值对数据的影响。

ARIMA模型是一种结合自回归（AR）和滑动平均（MA）的模型，它可以描述时间序列数据中的长期趋势、季节性和随机性。

在动态计量中，常用的方法包括向量自回归（VAR）模型和向量错误修正模型（VECM）。

VAR模型是一种多变量时间序列模型，它可以同时分析多个变量之间的长期关系和短期关系。

VECM模型是在VAR模型的基础上引入了协整关系，它可以分析不同变量之间的长期稳定关系。

最后，为了解决非平稳性问题，常用的方法包括差分法和单位根检验。

差分法是一种通过对数据进行差分来消除非平稳性的方法，它可以将非平稳序列转化为平稳序列。

单位根检验是一种用来判断数据是否具有单位根（非平稳性）的方法，常用的单位根检验方法包括ADF检验和PP检验。

平稳序列和非平稳序列
平稳序列和非平稳序列是时间序列分析中经常遇到的两种类型。

平稳序列指的是在时间轴上，变量的平均值和方差保持不变的序列，也就是说，序列的统计性质在时间上是不随时间变化而发生改变的。

而非平稳序列则是指在时间轴上，变量的平均值和方差发生明显的变化的序列，也就是说，序列的统计性质在时间上是随时间变化而发生改变的。

对于平稳序列，我们可以使用一些基于平稳假设的统计方法来进行分析和预测，例如自回归移动平均模型(ARMA)、自回归积分移动平均模型(ARIMA)等等。

这些方法基于序列的平稳性假设，可以用来捕
捉序列中的周期性和趋势性信息。

而对于非平稳序列，我们需要进行一些处理，才能使用这些基于平稳假设的方法来进行分析和预测。

一种处理方法是对序列进行差分，即对序列每个时间点上的数值与前一个时间点上的数值做差，从而得到一个新的序列。

如果得到的新序列是平稳序列，则可以使用基于平稳假设的方法进行分析和预测。

另一种处理方法是使用基于非平稳假设的方法，例如趋势线性回归模型、季节性模型、指数平滑模型等等，来对序列进行分析和预测。

总之，在时间序列分析中，平稳序列和非平稳序列都是非常重要的，需要根据实际情况选择不同的处理方法。

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1© 陈强，《计量经济学及Stata 应用》，2014年。

请勿上传或散发。

第13章 单位根与协整13.1 非平稳序列如果时间序列不平稳，则称为“非平稳序列”(non-stationary time series)，包括以下几种情况。

(1) 确定性趋势：如果时间序列有“确定性趋势”(deterministic trend)，则为非平稳序列。

比如，01t t y t ββε=++，则01E()t y t ββ=+随时间而改变，故不是平2稳序列。

只要把时间趋势去掉，就变成平稳序列，故称为“趋势平稳”(trend stationary)序列。

(2) 结构变动(structural break)：如果一个时间序列存在结构变动，则为非平稳序列。

对此，可用邹检验(Chow test)进行检验，参见第8章。

(3) 随机趋势：另一种导致非平稳的趋势为“随机趋势”(stochastic trend)。

比如，随机游走模型(random walk)： 1t t t y y ε-=+其中，{}t ε为白噪声。

由于t t y ε∆=，故来自{}t ε的任何扰动3对{}t y 都具有永久性的冲击，其影响力不随时间而衰减，故称{}t ε为这个模型的“随机趋势”。

在上式中，如果包含常数项，则为“带漂移的随机游走”(random walk with drift)：010,0t t t y y βεβ-=++≠其中，0β为每个时期的平均“漂移”(drift)，因为01E()E()t t y y β-=+。

随机游走是AR(1)的特例。

对于AR(1)，011t t t y y ββε-=++，如果11β=，则为随机游走。

只要对随机游走进行一阶差分，即可得到平稳序列，故也称为“差分平稳”(difference stationary)序列。

定义称平稳的时间序列为“零阶单整”(Integrated of order zero)，记为I(0)。