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毕业论文开题报告题目不定积分的求解办法与技巧学生姓名学号所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业(师范类)10级1班指导教师20 14 年 3 月 10 日下面是三个励志小故事，不需要的朋友可以下载后编辑删除!!!谢谢！！！你可以哭泣，但不要忘了奔跑2012年，我背着大包小包踏上了去往北京的火车，开启了北漂生涯。
彼时，天气阴沉，不知何时会掉下雨滴，就像我未知的前方一样，让人担忧。
去北京的决定是突然而果决的，我在宿舍纠结了一天，然后在太阳逃离窗口的时候打电话告诉父母，我要到首都闯一闯。
消息发出去之后，并没有预料之中的强烈反对，父亲只给我回了一个字：好。
就这样看似毫无忧虑的我，欣喜地踏上了北上的路。
有些事情只有真正迈出第一步的时候，才会迎来恐惧。
当我踏上北上的列车时，才惊觉对于北京，除了天安门、央视大楼这些着名建筑，我知之甚少。
俗话说无知者无畏，可于我而言，这句话并不适用，因为在坐上火车那一刻，我就开始对未来胆战心惊，毫无底气。
火车开动之后，我的心情变得更加复杂而紧张，甚至一度心生退意。
人类果然是一个无解的方程式，看似无畏的勇气背后不知藏下了多少怯懦和犹豫。
旁座的姐姐见我一人，开始和我有一搭没一搭地聊起了天。
几分钟后，我们竟如同许久未见的好友一般，开始聊起了各自的生活。
我说出了自己的恐惧与未见，期冀从她那里得到些许安慰和鼓励。
出乎意料地，她并没有说一些心灵鸡汤般的哲理语句，反而给我讲了一个故事，一个让我在很长一段时间都印象深刻，每次想起便会荷尔蒙再度升高的故事，一个她自己的故事。
那是一段并不愉快的经历，整段经历是蜿蜒前行的。
高考中，她因为做错了三道大题，成为家里的罪人。
朋友极尽嘲笑，亲戚们也开始暴露自己毒舌的属性，父母当时并没有过多指责，因为他们正在跟自己的兄弟姐妹们为了祖母的遗产争得死去活来。
那被人类歌颂的血缘、亲情，在所有的利益面前瞬间分崩离析。
那时的她，像极了一个被遗弃的孩子。
浅谈不定积分教学中的几点思考1. 引言1.1 引言不定积分作为高等数学教学中的重要内容之一，其教学方法和策略一直备受关注。
在教学过程中，教师们不仅需要传授知识，还需要引导学生独立思考和探索。
本文将就不定积分教学中的几个关键点进行探讨，从而探讨如何更好地提高学生学习的效果和积极性。
在教学中，不定积分的基本概念是学生理解和掌握的首要内容。
教师需要通过生动具体的例子和练习，帮助学生理解不定积分的定义和性质。
教师还需要采取多种方法，例如讨论、分组合作等，激发学生学习的兴趣和积极性。
教师还应引导学生养成良好的学习习惯和方法，帮助他们掌握不定积分技巧，提高计算的准确性和速度。
教师需要耐心倾听学生的困惑和问题，并给予及时有效的指导和帮助，从而帮助学生克服困难，取得更好的学习效果。
2. 正文2.1 不定积分的基本概念不定积分是微积分中的重要内容，是求函数的原函数的逆运算。
在教学中，学生需要首先了解不定积分的基本概念，才能进一步掌握不定积分的技巧和方法。
1. 原函数：不定积分是对给定函数进行求导的逆运算。
如果函数F(x)在区间[a, b]上可导，并且导函数为f(x)，那么f(x)的不定积分就是F(x)加上任意常数C，即∫f(x)dx=F(x)+C。
2. 不定积分符号：∫表示不定积分，后面加上被积函数和微元变量dx。
∫x^2dx表示对函数x^2进行不定积分。
3. 不定积分的性质：不定积分具有线性性质和常数因子法则。
即对于任意常数a、b和函数f(x)、g(x)，有∫(af(x)+bg(x))dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx。
4. 基本积分公式：不定积分的基本公式是一系列常见函数的不定积分结果。
∫xdx=x^2/2+C；∫sinxdx=-cosx+C等。
了解这些基本概念是进行不定积分教学的基础，学生应该掌握这些内容并能灵活运用于解决问题。
通过理论的学习和实践的练习，学生可以逐渐提高对不定积分的理解和运用能力，为进一步深入学习微积分打下坚实的基础。
高等数学一元函数不定积分求法的分析作者：周钟抗来源：《科技风》2020年第27期摘要：在社会不断发展和进步的今天，各行各业都需要应用数学来帮助企业的管理发展。
高数已经与我们的生活紧密相关，高等数学作为理工科的基础学科，具有高度抽象性和严谨逻辑性的特点。
本文旨在讨论一元函数不定积分求法的解析，缩短学生学习的时间，减轻学习不定积分法的负担。
关键词：高等数学;一元函数;不定积分;凑积分法在数学积分学当中，积分是微积分当中的一个核心的概念，在一个函数中可以存在定积分而不存在不定积分;抑或是只存在定积分，而不存在不定积分。
定积分和不定积分作为积分学中的两个重要组成部分。
定积分是用来求某种极限，是一个具体的数值;不定积分则作为逆运算的求导方法，作为一种函数表达式而存在。
1 不定积分的概念在1677年的牛顿-布莱尼茨公式中提出，一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a，b]上的增量。
因此在函数定积分的计算就可以通过不定积分来简便计算[1]。
求解函数f（x）的不定积分，其含义就是求出f（x）所有的原函数。
求出一个原函数，加上C（任意常数）就可以得到符合原函数性质的不定积分。
2 探索不定积分多种解法的重要性在解决一元函数不定积分計算中，通过其中的数学逻辑以及数学思想，锻炼学生的数学思维。
也因为不定积分的灵活性对于培养发散性思维具有重要的作用。
在一道题目中存在数种不同的解题方法，如何在多种解题方法中选择到最优解，在准确解题的同时又能提高效率，最快地解出自己想要的答案。
在不定积分中，要注重这一部分内容的学习，打好基础。
在解题的过程中首先要学会观察，观察被解题目的特征，迅速地找到解决的方式，筛选出最优的解决方法，简洁有效地解决题目。
探索最优解题方法的过程同时也锻炼思维方式，在解题的过程中对于观察角度的不同以及思考方式的差异，所应用的解题策略自然不同[2]。
在不同方面思考的时候思维创造性也得到了锻炼。
目录摘要............................................................. .. (3)关键词............................................................. .. (3)Abstract............................................................. (3)Key words............................................................. (3)引言............................................................. (3)1 预备知识............................................................. . (3)1.1不定积与定积分分定义 (3)1.2 基本积分表 (4)1.3 牛顿—莱布尼茨公式 (4)2 积分法与定积分性质总结 (5)2.1 换元积分法与分部积分法 (5)2.2 有理函数和可化为有理函数的不定积分 (6)2.3 定积分的性质总结 (7)3 微积分发展史简介 (8)3.1 微积分学的建立 (8)参考文献 (11)定积分与不定积分概论摘 要：本文首先介绍了不定积分与定积分的基本定义，而后主要探究几种比较重要的积分法，最后简单的介绍了一下微积分学的发展史，以及微积分对近代科学的重要作用。
关键词：定积分；不定积分；积分法。
Definite integral and indefinite integral IntroductionAbstract ：This article introduces the indefinite integral and definite integral of the basic definition, followed by several more important to explore the major points of law, and finally a brief introduction about the development of calculus history, as well as the calculus of the important role of modern science.Key words ：Definite integral;Indefinite Integral;Integral method.前言学习微积分非常重要,意义深远推动数学应用的发展。
毕业论文开题报告题目不定积分的求解办法与技巧学生姓名学号所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业(师范类)10级1班指导教师20 14 年 3 月 10 日下面是三个励志小故事，不需要的朋友可以下载后编辑删除!!!谢谢！！！你可以哭泣，但不要忘了奔跑2012年，我背着大包小包踏上了去往北京的火车，开启了北漂生涯。
彼时，天气阴沉，不知何时会掉下雨滴，就像我未知的前方一样，让人担忧。
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有些事情只有真正迈出第一步的时候，才会迎来恐惧。
当我踏上北上的列车时，才惊觉对于北京，除了天安门、央视大楼这些着名建筑，我知之甚少。
俗话说无知者无畏，可于我而言，这句话并不适用，因为在坐上火车那一刻，我就开始对未来胆战心惊，毫无底气。
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人类果然是一个无解的方程式，看似无畏的勇气背后不知藏下了多少怯懦和犹豫。
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几分钟后，我们竟如同许久未见的好友一般，开始聊起了各自的生活。
我说出了自己的恐惧与未见，期冀从她那里得到些许安慰和鼓励。
出乎意料地，她并没有说一些心灵鸡汤般的哲理语句，反而给我讲了一个故事，一个让我在很长一段时间都印象深刻，每次想起便会荷尔蒙再度升高的故事，一个她自己的故事。
那是一段并不愉快的经历，整段经历是蜿蜒前行的。
高考中，她因为做错了三道大题，成为家里的罪人。
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那被人类歌颂的血缘、亲情，在所有的利益面前瞬间分崩离析。
那时的她，像极了一个被遗弃的孩子。
谈谈不定积分不定积分是数学中积分学的一个重要内容，它是求解函数的原函数的过程。
在本文中，我们将探讨不定积分的概念、应用以及求解方法。
下面是本店铺为大家精心编写的5篇《谈谈不定积分》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《谈谈不定积分》篇1一、不定积分的概念不定积分是指一个函数在某个区间上的积分，但是这个函数并不一定是可积的。
在不定积分中，我们只需要考虑函数在某个区间上的积分值，而不必考虑函数在该区间上的具体形式。
不定积分的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有广泛的应用。
二、不定积分的应用在不定积分的应用中，最常见的是用于计算面积和体积。
例如，我们可以用不定积分来计算一个曲边梯形的面积，或者计算一个旋转体的体积。
此外，不定积分还可以用于求解一些复杂的方程和函数，例如求解自然对数的底数等。
三、不定积分的求解方法不定积分的求解方法有很多种，其中最常见的是换元法和分部积分法。
1. 换元法换元法是不定积分求解中最常用的方法之一。
它的基本思想是将积分中的自变量进行代换，使得原来的积分变成一个简单的形式，从而方便求解。
例如，对于 $int frac{1}{xln x} dx$ 这个不定积分，我们可以通过换元法，令 $u = ln x$，则原积分变为 $int frac{1}{u} du$，从而可以求出结果。
2. 分部积分法分部积分法是不定积分求解中的另一种常用方法。
它的基本思想是将积分中的自变量进行拆分，从而将原积分转化为一些简单的积分形式。
例如，对于 $int xcos x dx$ 这个不定积分，我们可以通过分部积分法，将 $x$ 和 $cos x$ 分别拆分成两个部分，从而得到$int xcos x dx = frac{1}{2} x^2 sin x - int sin x dx$。
不定积分是数学中积分学的一个重要内容，它在各个领域中都有广泛的应用。
在求解不定积分时，我们需要根据具体情况选择合适的求解方法，例如换元法、分部积分法等。
不定积分的教学方法探析整个高等数学又可以简称为“微积分”学,就目前的教材来看,我们普遍倾向于使用同济大学数学系第六版的高等数学教材,这个教材基础性强、教点清晰,也较全面。
但还是有一些内容对于我们现在三本院校的学生而言,需要适当调整。
比如:其中微分学部分在高中阶段已有较好的讲授,学生接受较为容易。
相对而言,积分部分所占内容比例更大且在高中阶段只是略作介绍没有详细讲解,所以学生较为难于接受。
通过在实际教学过程中学生的实际表现发现:在大学这样一个教学节奏相对较快的环境中如何打消学生对积分这部分内容的恐惧是十分重要的。
特别是对三本院校学生而言,要能够引导学生循序渐进的来掌握这部分知识,尽可能让学生们做到先能做,再会做,最后较熟练、较全面掌握。
实践中我发现这样来做效果更好。
首先,我们应该明确今后对于积分计算方法的选择和使用过程中所遇到的困难应该说较为麻烦的在于选择计算方法。
所以,我们在讲解积分方法的时候最好把最常用的三种积分方法所能够解决的题目做最简洁、最有代表性的归类分析。
(1)在讲解第一类换元积分时,我们针对被积函数做如下归类:①被积函数可写作一次函数表达式如:。
这时我们可以把被积函数看做,将隐藏因子1对应写作。
虽然其间相差常数倍,但我们知道积分时相差常数并不影响积分过程及难易度。
②被积函数中含有。
如:。
这时我们就可以延续在1中的分析思路:考虑是否需要将被积函数中的的因子对应写作。
③被积函数中含有特定函数的导数如:。
这里特定函数的导数指的就是基本积分表中所罗列部分。
(2)在讲解第二类换元积分时,首先应该强调我们主要针对被积函数含有根号的问题分析。
对此做如下归类:①根号下含有,那么这个时候我们就应该对应的做三角函数代换。
②根号下不含有,那么这个时候通常我们就应该对应的做整体代换。
(3)在讲解分部积分时,首先应该强调我们主要针对被积函数的问题分析。
对此做如下归类:①原函数易求,那么我们就首选将写作某函数的导数:。
常见不定积分的求解方法的讨论马征指导老师：封新学摘要介绍不走积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法,并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。
关键词不走积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。
The discussion of common indefinite integralmethod of calculatingMa ZhengAbstractthere are four solutions of indefinite integrati on in this discourse: direct integration; exchangea ble integration; parcel in tegrati oru It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly.Key wordslndefinite in tegrati on ,excha ngeableintegration, parcel integration.0引言不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解 决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。
不定积分 的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的性更强，而且也已证明，有许多初等函数是〃积不出来〃 的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 r ax （ sinx 厶（其中 0<Rvl ） ；「x *这一方面体现了积分运算的困难,另一方面也推动了微 积分本身的发展。
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 高等数学不定积分的解法及技巧 作者：梁修惠 来源：《成长·读写月刊》2017年第12期
【摘 要】不定积分是高等数学的重要组成部分，但不定积分在实际中有很大的应用，必须根据实际需要掌握不定积分解法及技巧，提高学生对不定积分的实际应用。本论文主要从不同方面阐述高等数学不定积分的解法及技巧，希望为研究不定积分的解法和技巧的专家和学者提供理论参考依据。
【关键词】高度数学;不定积分;解法及技巧 在高等数学课程中，求解不定积分是相对比较困难的部分，因为技巧性比较强，可用的工具也比较少。求极限、判断连续、求导、求微分时，都有针对函数的四则运算和复合的相应的运算法则。而到了求不定积分，只有针对加、减运算的被积函数的积分法则，却没有专门处理乘积、商和复合形式的被积函数的积分法则。
国内现行的高等数学教材里通常会给出三类典型的积分法，包括凑微分、第二类换元和分部积分。初学不定积分的时候，要注意把握每种积分法各自的特点，看它们都适合处理什么样的被积函数。比如凑微分法和分部积分法都可以用来尝试处理一些乘积形式的被积函数，也都有把被积函数的一部分拿进来凑微分的步骤，不过使用凑微分技巧时对被积函数的要求比较高：即需要凑完微分以后剩余的被积函数是某个容易积出来的函数和微分符号“d”后面的那个函数的复合形式，而分部积分法对被积函数的要求则没这么高。一般来讲，分部积分技巧可以处理被积函数为“反对幂三指”五类函数中的两类相乘的情形。至于第二类换元，其基本思想是去根号，容易总结出一些很典型的代换：三角代换、根式代换和倒代换等。但是，当学生把所有积分法都学完，并且针对每种积分法都做了一定量的练习后，就很有必要培养综合利用多种积分法求解不定积分的能力。高数课教师在不定积分这一章的末尾上习题课时，也要有意识地选取典型例子，引导学生尝试利用不同的积分法求解不定积分，让他们体会“条条大路通罗马”的喜悦，从而激发他们学习高等数学课程的兴趣。
不定积分方法的再思考【摘要】不定积分是数学分析的一个重要方面，不定积分的方法有很多，常用的不定积分方法有“凑”微分法、换元积分法、分部积分法、有理函数积分法等[ ]；对某些无理函数的积分求解通常使用换元法。
这几种方法规定了不定积分方法的大方向，是进行不定积分的总原则。
通过分析不定积分计算教与学中的困难，提出老师和学生要注意的问题，并对几种常用方法作了分析。
能熟练掌握这些方法，可以卓有成效的解决复杂的数学难题。
【关键词】不定积分；分析；常用方法引言：学习不定积分的方法，重在提高自己的逻辑思考能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想与运算能力以及应用能力。
熟练掌握不定积分的方法对于学生的科学思维和文化素质的培养，所起的作用极为明显，随着社会进入信息时代，积分的语言已经渗透到各个领域，数学成了语言能达到的最高境界。
熟练掌握不定积分的各种方法，会使我们在今后的工作和研究中占有绝对明显的个人优势。
论文正文：不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。
然而我们在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。
本文论述了我在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。
一、“凑”微分法由于不定积分的概念少、基础理论少；公式多，计算多、方法性强、基础性强。
因此，我们必须弄清楚凑微分法的适用范围，虽然各种计算方法之间有一定的联系，但明白使用范围可以帮助我们快速的选择最有效的计算方法，从而达到事半功倍的效果。
我们知道，在不定积分的计算中，如果被积函数是复合函数，我们可以先考虑采用“凑”微分法，但是给定的积分怎么样进行“凑”微分，有时不易一眼看出，常需要将原积分进行化简、变形，直到看出怎么样“凑”微分为止。
这样可以把新旧知识紧紧联系起来，有助于学生弄清“凑”微分法的实质。
有些不定积分，将积分变量进行一定的变换后就能由基本积分公式求出所需积分。
例如求在基本积分公式中只有比较这两个积分，我们发现只是的幂次相差一个常数因子，因此，如果凑上一个常数因子2，试使成为(1.1)再令2x=u，那么上述积分就变为(1.2)右端积分在基础积分表中可以查到，然后再代回原来的变量x，就求得不定积分(1.3)例1、计算不定积分解：从被积函数可以看出，该函数是一个幂函数，而由积分基本公式得。
高等数学不定积分教法浅议
【摘要】高等数学是高职高专院校各专业必修的一门重要的公共基础课程，通过本课程的学习，可以使学生获得高等数学方面的基本理论、基本概念和基本知识，为后继课程的学习和今后工作打下必要的数学基础，它对培养、提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学知识解决实际问题的能力都有着非常重要的作用.高等数学的主要内容是微积分，而我们在教学过程中，最棘手的也是函数的求导与积分的计算问题，尤其是复合函数的求导和第一类换元积分法（凑微分法）求积分.本文就如何判断并使用凑微分法求积分的问题谈谈个人心得体会.
【关键词】积分；凑微分；被积函数；复合函数
【中图分类号】g642
【文献标识码】b
在《高等数学》的教学过程中，学到导数时就会有一部分同学掉队，再学积分时就会在导数的基础上又有一部分同学掉队.这也是《高等数学》学习过程中拉开学生档次的一个重要地方.那么如何抓住这部分内容呢?笔者认为既然不定积分是导数的逆运算，那么微分运算公式在积分中的地位就不言而喻了，只有在掌握了导数运算的基础上，我们才能看积分的运算，而积分运算中最重要的、使用最多的是第一类换元积分法，也就是凑微分法，它的运算基本上就是不同类型的微分公式的逆推.如何判断所给积分能否使用凑微分法求不定积分呢？下面我们就由浅入深观察凑微分法的判定
与运算.
凡是能够使用凑微分法的不定积分中被积函数均可以看成是若干个函数的乘积，且其中必包含一个主函数（一般复合函数居多），将其中若干函数经过一次或若干次还原必可以得到主函数或主函
数的一部分，系数我们就不考虑了，因为系数可以根据实际情况凑.下面我们就先以最简单的，主复合函数为二重复合函数（或基本初等函数）的不定积分（即只需经过一次还原的凑微分法）为例对其进行解释.
1.若不定积分中含有f(x)g［φ(x)］d x,且有∫f(x)
d x=φ(x)+c或∫f(x)d x=g［φ(x)］+c，则该不定积分一定可以使用凑微分法进行计算，即必有∫f(x)g［φ(x)］d x=∫g［φ(x)］dφ(x)或∫f(x)g ［φ(x)］d x=∫g［φ(x)］d g［φ(x)］，这样我们只要将φ(x)看成一个整体使用积分公式进行计算即可.
例1 判定下列哪些不定积分可以使用第一类换元积分法求解.
（1）∫x·sin x d x;（2）∫x·sin
x2d x;（3）∫x·sin e x d x;（4）∫ln x[]x d x.
求解过程如下：
（1）因为∫x d x=1[]2x2+c不等于x+c,也不等于sin x+c，所以不满足凑微分法的条件.
（2）∫x d x=1[]2x2+c，系数不影响判定，因此原式可使用凑微分法.
原式=1[]2∫sin x2d x2=-1[]2cos
x2+c.
（3）∫x d x=1[]2x2+c不等于e x，也不等于sin e x，所以不满足凑微分法的条件.
（4）∫1[]x d x=ln x+c，因此原式可使用凑微分法进行计算，即∫ln x[]x d x=∫ln x
d ln x=1[]2(ln x)2+c.
这样基本上所有该类型的不定积分我们就都可以进行计算了，只是形式不同而已，原理都是一样的.例如下列各题：例2 求解下列积分：
（1）∫arcsin x[]1-x2d x;（2）∫
e arcsin x[]1-x2d x;（3）∫1[]
arcsin x1-x2d x.
求解过程如下：
（1）∫1[]1-x2d x=arcsin x+c，所以原式=∫arcsin x darcsin x=1[]2(arcsin x)
2+c.
（2）原式=∫e arcsin x d arcsin x=e arcsin x+c.
（3）原式=∫1[]arcsin x darcsin x=ln|
arcsin x|+c.
有了简单凑微分法的计算方法，我们就可以在此基础上增加难度了，比如被积函数需经过至少两次凑微分才能求解.下面我们就将凑微分法的基本公式推广至被积函数需经过两次换元的不定积分，其他的可以以此类推.
2.需经过两次凑微分运算的不定积分又有什么样的特征呢？我们同样给出例子来进行判定.
例3 ∫x·sin x2·coscos x2d x.
经过观察我们会发现coscos x2是一个三重复合函数，而且式子之中目前只有x可以参与凑微分，试将其凑成微分会发现原式可变形为1[]2∫sin x2coscos x2d x2,将x2看成一个整体，那么该式又变成了和被积函数经一次凑微分运算的不定积分类型相同的积分了，接下来按照上面的方法将sin x2的原式可变形为-1[]2∫coscos x 2d cos x2，根据积分公式可得出原式等于-1[]2 sincos x2+c,相应的，其他具有该特征的不定积分我们就又都可以求解了.下面我们再举一些例子.
例4 求解下列不定积分：
(1)∫1[]x ln x lnln x d x;（2）∫
lnln x[]x ln x d x;（3）∫coslnln x[]x ln x d x.
求解过程如下：
（1）原式=∫1[]ln x lnln x d ln
x=∫1[]lnln x dlnln x=ln|lnln x|+c.
（2）原式=∫lnln x[]ln x dln x=∫lnln x d lnln x=1[]2(lnln x)2+c.
（3）原式=∫coslnln x[]ln x dln x=∫coslnln x d lnln x=sinlnln x+c.
这样所有的利用凑微分法求解不定积分的题我们就都可以进行求解了，当然我们说会做题还不是我们对这部分内容掌握的最高境界，如果只给出题的一部分让你能够将该题补充完整并使之能够应用凑微分法进行计算，这才说明我们对凑微分法理解得非常透彻了.下面我们也举一些该类型的例子进行一下观察，首先是使用一次凑微分法进行计算的题.
例5 补充下列各式使之能够使用凑微分法进行计算并求解：
（1）∫ln x d x; （2）∫cose x
d x; （3）∫sintan x d x.
考虑求解方法，那就需要运用我们的求导公式了，分别看谁的导数是ln x,e x,tan x，然后将其以乘积的形式补充给被积函数即可.
求解过程如下：
（1）原式应补充为∫ln x[]x d x且∫
ln x[]x d x=∫ln x d ln x=1[]2(
ln x)2+ c.
（2）原式应补充为∫e x cose x d x 且∫e x cos e x d x=∫cose x d e x sin e x+c.
（3）原式应补充为∫sec2x sintan x d x且sec2x sintan x d x=∫sintan x dtan x=-costan x+c.
相应的我们还可以将这些题变得更复杂一些.
例6 补充下列各式使之能够使用凑微分法进行计算并求解：（1）∫1[]lnln x d x; （2）∫lnln
x d x; （3）∫coslnln x d x.
求解过程如下：
（1）原式应补充为∫1[]x ln x lnln x d
x且∫1[]x ln x lnln x d x=∫1[]ln x lnln x d ln x=∫1[]lnln x dlnln x=ln|lnln x|+c.
（2）原式应补充为∫lnln x[]x ln x d x 且∫lnln x[]x ln x d x=∫lnln x[] ln x dln x=∫lnln x dlnln x=1[]2( lnln x)2+c.
（3）原式应补充为∫coslnln x[]x ln x d x且∫coslnln x[]ln x dln x=∫coslnln x dlnln x=sinlnln x+c.
这样就算再有变化也就是形式上的改变了，计算方法和原理都是一样的.。
