常微分方程第一次作业解析

2．微分方程的解
微分方程的解是一个函数，函数就有定义域，设为区 间I . 定义2 设函数 y ( x)在区间 I 上连续，且有直到 n 阶导 ( n) y, y ' ,, y后， ( x), ( x),, ( n ) ( x) 数,若用 分别代替方程(1.8)中的 使(1.8)在 内为关于x的恒等式，即 I
称(1.16)是初值问题
y '' g ' y (0) y0 , y (0) v0
(1.17)
的解，初值问题又叫柯西问题. 由以上简单实例可以看出： 1． 微分方程的求解，与一定的积分运算相联系，因此也常把求解微分方 程的过程称为积分一个微分方程，而把微分方程的解称为这个微分方 程的一个积分.由于每进行一次不定积分运算，会产生一个任意常数， 因此仅从微分方程本身求解（不考虑定解条件），则 n 阶微分方程的 n 个任意常数. 解应该包含 2．微分方程所描述的是物体运动变化的瞬时规律，求解微分方程，就是 从这种瞬时规律出发，去获得运动的全过程.为此，需要给定这一运动 的一个初始状态（即初始条件），并以此为基点去推断这一运动的未 来，同时也可以追朔它的过去. 3． 一般对 n 阶微分方程的初值问题的提法是：
在(1.12)两侧对 t 积分一次，得
y' (t ) gt C1
(1.13) (1.14)
其中 C1 是一个任意常数，再把(1.13)对 t 积分一次，就得
1 y (t ) gt 2 C1t C2 2
其中 C2 是另一个任意常数.可知(1.14)是微分方程(1.12)的通解. 通解(1.14)就表示自由落体的运动规律，在(1.14)中含有两个任意 常数.这说明微分方程(1.12)有无穷多个解. 为了要得到特定的物体运动规律，还必须考虑当运动开始时落体是在什 么地方，且以什么样的速度运动的，即下面的初值条件： (1.15) y(0) y0 ，y' (0) v

常微分⽅程作业安顺市镇宁县六马中学教师：韦应俭第⼀部分⼀、常微分⽅程的概念含有⾃变量、函数及其导数的关系式. ⼆、⼀阶微分⽅程的初等解法（1）变量分离⽅程形如：)()(y x f dydxρ=的⽅程，称为变量分离⽅程，这⾥)(),(y x f ρ分别是y x ,的连续函数.（2）可化为分离变量⽅程的⽅程的三种形式①)(xy f dy dx yx =?；②)(x y g dy dx =；③)(222111xc x b x a x c x b x a f dy dx++++= （3）贝努⼒⽅程n y x g y x dydx)()(+=ρ（4）⼀阶线性⽅程)()(x g y x dxdy+=ρ（5）Riccaiti ⽅程)()()(2x r y x g y x dxdy++=ρ（6）形如0),(),(=+dy y x N dx y x M 的⽅程①若0=??-??xNy M ，则⽅程式恰当的通解是0)(.0)1(12=-+==+-+dy x y ydx dc dy y yx dx y ②若Mx Ny M -??-??只含有y ，则原⽅程有积分因⼦.=-??-??dx Mxn y m e y )(µ，即0),()(),()(=+dy y x N y dx y x M y µµ是恰当的③若NxN y M ??-??只含y ，则?=??-??dy n xny m e y )(µ，即0),()(),()(=+dy y x N x dx y x M x µµ是恰当的④若MN xN y M -??-??,只含)(y x +，则?=++-??-??)()(y x d M N xny m e y x µ⑤若xMyN x N y M -??-??，只含有)(xy ，则?==??-)()(xy d xM yN x n y m e xy µ三、⼀阶微分⽅程的解的存在定理（1）研究的⽬的（2）解存在但不唯⼀的例⼦10,100)(22<≤<≤≤=-=?-=?=c x c x c x y c x y y dx dy其中（3）解的存在性定理⼀阶显⽰⽅程：),(y x f dxdy=……)1.3( 初值问题：==00)(),(y x y y x f dx dy ……)2.3(定理)1.1.3(存在唯⼀性定理如果)1.3(的),(y x f 在R ：b y y a x x ≤-≤-||,||00上满⾜：（1）在R 上连续（2）在R 上关于y 满⾜lipshit 条件，则初值问题)2.3(在区间h x x ≤-||0上上存在唯⼀解.其中),(y x f 对y 满⾜lipshit 条件是指，0>?L 常数,对R 中?两点),(),,.(1210y x y x 均有不等式成⽴：|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-.20k y x y x f M mba h ∈=),(|),(|max ),,min( ⼏何解释：线段场定义)1.3(中的),(y x f 在2R k ∈内有定义，对R 中?点),(y x ，以),(y x 为中⼼，作⼀单位线段),(y x f k =，称为在点),(y x 的浅素。

数学物理方程常规例题(1-30题)一、数学模型例题例1． 密度为ρ均匀柔软的细弦线x =0端固定，垂直悬挂，在重力作用下，横向拉它一下，使之作微小的横振动。

试导出振动方程。

解：考虑垂直悬挂的细弦线上一段微元ds ，该微元在坐标轴上投影为区间[x ，x+d x ]，在微元的上端点处有张力：)x L (1g T −=ρ，在下端点处有张力：)dx x L (2g T −−=ρ考虑张力在位移方向的分解，应用牛顿第三定律，有tt u m T T =−11sin 22sin αα 由于细弦作微小振动，所以有近似)(tan sin 22dx x u x +=≈αα )(tan sin 11x u x =≈αα代入牛顿第三定律的表达式，有tt x x u ds t x u x L g t dx x u dx x L g ρρρ≈−−+−−),()(),()(上式两端同除以ds ρ，得tt x x u dsx u x L dx x u dx x L g≈−−++−)()()())((由于ds ，而dx ≈x x x x x u x L dxx u x L dx x u dx x L )]()[()()()())((−≈−−++−所以，细弦振动的方程为tt x x u u x L g =−])[(长为L 密度为ρ底半径为R 的均匀圆锥杆（轴线水平）作纵振动，锥顶点固定在x =0处。

导出此杆的振动方程。

（需要包括假设在内的具体推导） 解：设均匀圆锥杆作纵振动时位移函数为u (x ，t )在点x 处，张力与相对伸长量成正比，即),(),(t x Yu t x P x =其中，Y 为杨氏模量。

在截面上弹力为T (x , t ) = S (x ) P (x , t )这里，S (x )为x 处圆锥截面积。

考虑圆锥杆上对应于区间[x ，x+dx ]处的微元（如右图所示）。

应用牛顿第二定律，得),()]()()[(31),(),(t x u x xS dx x S dx x t x T t dx x T tt −++=−+ρ 由于圆锥截面积2)()(x LR x S π= 微元（圆台）体积)33()(31)]()()[(313222dx xdx dx x LRx xS dx x S dx x ++=−++ρπρ 所以),()33()(1)],(),()[()(3222222t x u dx xdx dx x L Rt x u x t dx x u dx x L R Y tt x x ++=−++ρππ两端除dx ，并取极限，得),()],([22t x u x t x u x Y tt x x ρ=记，则有方程ρ/2Y a =)2(2x xx tt u xu a u += 二、二阶偏微分方程化简与求通解只考虑未知函数是两个自变量情形，即。

福师《常微分方程》在线作业一-0009试卷总分:100 得分:100一、判断题(共50 道试题,共100 分)1.{图}答案:正确2.答案:正确3.齐次线性方程任意两个解的和与差仍是它的解答案:正确4.有些非齐次线性微分方程可以用比较系数法来解答案:正确5.n阶齐次线性微分方程的线性无关解的最大个数等于n 答案:正确6.{图}答案:正确7.答案:正确8.答案:正确9.答案:正确10.微分方程的通解包含了它的所有的特解.答案:错误11.答案:正确12.答案:正确13.答案:正确14.n阶齐次线性微分方程的基本解组不唯一答案:正确15.答案:正确16.答案:正确17.一阶微分方程的通解的包络如果存在的话一定是奇解答案:正确18.答案:正确19.方程y''+4y=0的基本解组是cos2x,sin2x.答案:正确20.题目如图{图}答案:错误21.题目如图{图}答案:正确22.答案:错误23.答案:正确24.答案:错误25.答案:错误26.答案:错误27.{图}答案:正确28.答案:正确29.{图}答案:正确30.{图}答案:正确31.函数1，t,t^2,t^3在任何区间都是线性相关的答案:错误32.答案:正确33.{图}答案:正确34.答案:正确35.答案:错误36.答案:正确37.{图}答案:正确38.答案:正确39.答案:错误40.答案:正确41.答案:错误42.答案:正确43.答案:正确44.微分方程(dy/dx)^n+dy/dx-y+x=0 的阶数是n.答案:错误45.答案:正确46.答案:正确47.答案:正确48.答案:正确49.齐次线性微分方程组dY/dx=A(x)Y的线性无关解的个数不能多于n个. 答案:正确50.{图}答案:正确。