教 案
概率论与数理统计
(Probability Theory and Mathematical Statistics )
Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、2A 、3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标”，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件：
（1）只击中第一枪；
（2）只击中一枪；
（3）三枪都没击中；
（4）至少击中一枪。
Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。
（2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A .
（3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A .
（4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A .
Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为
2
1,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值：
（１）A 与B 互斥；
（２）；B A ⊂ （３）81)(=AB P ．
Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -.
（1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)=
2
1 （2） 因为；B A ⊂所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -=613121=-
（3） )(A B P =)()(AB P B P -=8
38121=- Exercise 1.3 一袋中有8个大小形状相同的球，其中5个黑色球，三个白色球。现从袋中随机地取出两个球，求取出的两球都是黑色球的概率。
Solution 从8个球中取出两个，不同的取法有28C 种。若以A 表示事件{取出的两球是黑球}，那么使事件A 发生的取法为25C 种，从而
()P A =25C /28C =5/14
Exercise 1.4 在箱中装有100个产品，其中有3个次品，为检查产品质量，从这箱产品中任意抽5个，求抽得5个产品中恰有一个次品的概率。
Solution 从100个产品中任意抽取5个产品，共有5100C 种抽取方
法，事件A ={有1个次品，4个正品}的取法共有49713C C 种取法，故得事
件A 的概率为
()P A =138.05100
49713≈C C C Exercise 1.5 将N 个球随机地放入n 个盒子中)(N n >，求：
（１）每个盒子最多有一个球的概率；
（２）某指定的盒子中恰有m （m N <）个球的概率。
Solution 这显然也是等可能问题。
先求N 个球随机地放入n 个盒子的方法总数。因为每个球都可以落入n 个盒子中的任何一个，有n 种不同的放法，所以N 个球放入n 个盒子共有N N
n n n n =⨯⨯⨯
种不同的放法。 （1）事件A ={每个盒子最多有一个球}的放法。第一个球可以放进n 个盒子之一，有n 种放法；第二个球只能放进余下的1n -个盒子之一，有1n -种放法；．．．第N 个球只能放进余下的1n N -+个盒子之一，有1n N -+种放法；所以共有(1)(1)n n n N --+种不同的放法。故得事件A
的概率为
()P A =N n
N n n n )1()1(+-- （2）事件B ={某指定的盒子中恰有m 个球}的放法。先从N 个球
中任选m 个分配到指定的某个盒子中，共有m N C 种选法；再将剩下的
N m -个球任意分配到剩下的1n -个盒子中，
共有m N n --)1(种放法。所以，得事件B 的概率为
N m
N m N n n C B P --=)1()(
Exercise 1.6 在１~９的整数中可重复的随机取６个数组成６位数，求下列事件的概率：
（１）６个数完全不同；
（２）６个数不含奇数；
（３）６个数中５恰好出现4次。
Solution 从9个数中允许重复的取6个数进行排列，共有69种排列方法。
（1）事件A={６个数完全不同}的取法有456789⨯⨯⨯⨯⨯种取法，故
11.09
456789)(6=⨯⨯⨯⨯⨯=A P （2）事件B={６个数不含奇数}的取法。因为6个数只能在2，4，6，8四个数中选，每次有4种取法，所以有64取法。故
66
94)(=B P
（3）事件C={６个数中５恰好出现4次}的取法。因为6个数中５恰好出现4次可以是6次中的任意4次，出现的方式有46C 种，剩下
的两种只能在1，2，3，4，6，7，8，9中任取，共有28种取法。故
62
4698)(C C P =
Exercise 1.7 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上（０，４）上的所有实数，旋转陀螺，求陀螺停下来后，圆周与桌面的接触点位
于［0.5，１］上的概率。
Solution 由于陀螺及刻度的均匀性，它停下来时其圆周上的各点与桌面接触的可能性相等，且接触点可能有无穷多个，故
8
1421]40[]1,5.0[)(===的长度，区间的长度区间A P . Exercise 1.8 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。先到的人等候另一人30分钟后离去，求甲乙两人能会面的概率。
Solution 以X ，Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，那末 812X ≤≤ ，812Y ≤≤ ；若以(,)X Y 表示平面上的点的坐标，则所有基本事件可以用这平面上的边长为4的一个正方形：812X ≤≤ ，812Y ≤≤ 内所有点表示出来。二人能会面的充要条件是 12X Y -≤（图中阴影部分）；所以所求的概率为：
64
1516]21421[2162=--==）（的面积正方形阴影部分的面积ABCD P . Exercise 1.9 设某种动物有出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%.如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活25岁以上的概率？
Solution 设事件A ={能活20岁以上}；事件B ={能活25岁以上}。按题意，()0.8P A =，由于A B ⊂，因此()()0.4P AB P B ==.由条件概率定义
5.08
.04.0)()()|(===A P AB P A B P Exercise 1.10 在一批由90件正品，３件次品组成的产品中, 不放回接连抽取两件产品，问第一件取正品，第二件取次品的概率。
Solution 设事件A ={第一件取正品}；事件B ={第二件取次品}。按题意，()P A =9390，)|(A B P =92
3.由乘法公式 0315.092
39390)|()()(=⨯==A B P A P AB P Exercise 1.11 七人轮流抓阄，抓一张参观票，问第二人抓到的概率？
Solution 设i A ={第i 人抓到参观票}(1,2i =)，于是
