易错汇总2014-2015年广东省揭阳一中高二第一学期数学期末试卷(文科)及解析

2014-2015学年广东省揭阳一中高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填在答题卡上.）1．（5分）sin240°的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣2．（5分）已知两直线2x﹣y+1=0与3x+ay=0平行，则a=（）A．B．﹣3 C．﹣4 D．﹣53．（5分）为了得到函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变4．（5分）三个数50.6，0.65，log0.65的大小顺序是（）A．0.65＜log0.65＜50.6B．0.65＜50.6＜log0.65C．log0.65＜50.6＜0.65D．log0.65＜0.65＜50.65．（5分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．B． C．πD．6．（5分）已知向量满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为7，则输出的s的值为（）A．22 B．16 C．15 D．118．（5分）函数y=cosx•|tanx|（﹣＜x）的大致图象是（）A．B． C． D．9．（5分）设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB 相交，则l的斜率k的取值范围（）A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4 C．﹣4≤k≤D．k≥4或k≤﹣10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[1，3]时，f（x）=2﹣|x﹣2|，则（）A．B．f（sin1）＞f（cos1）C．f（tan3）＜f（tan6）D．f（sin2）＜f（cos2）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请将正确的答案填在答题卡上．）11．（5分）已知函数，则f（f（﹣1））的值等于．12．（5分）利用计算器算出自变量和函数值的对应值如表，则方程2x﹣x2=0的一个根所在区间为．13．（5分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出200人作进一步调查，则在[1500，3000]（元）月收入段应抽出人．14．（5分）已知函数y=f（x）+x3为偶函数，且f（10）=10，若函数g（x）=f（x）+4，则g（﹣10）=．三．解答题（本大题共6小题，共80分，请将正确答案写在答题卡相应的位置上，作答时必须详细写出演算过程和逻辑推理过程.）15．（12分）已知集合A={x|x2﹣6x+5＜0}，B={x|1＜2x﹣2＜16}，C={x|y=ln（a ﹣x）}，全集为实数集R．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若A∩C=∅，求实数a的值．16．（12分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．17．（14分）已知=（2sinx，﹣），=（cosx，2cosx2﹣1），若函数f（x）=•+1，（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调增区间；（3）求f（x）在[，]上的值域．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若直线AC与平面PCD所成的角为30°，求的值．19．（14分）已知圆C经过点A（2，0）、B（1，﹣），且圆心C在直线y=x上．（1）求圆C的方程；（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R使得f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．（1）若a=1，b=3，求函数f（x）的不动点；（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线对称，求b的最小值．2014-2015学年广东省揭阳一中高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填在答题卡上.）1．（5分）sin240°的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣，故选：D．2．（5分）已知两直线2x﹣y+1=0与3x+ay=0平行，则a=（）A．B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5【解答】解：∵直线2x﹣y+1=0与3x+ay=0平行，∴2=﹣解得：a=﹣，故选：A．3．（5分）为了得到函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：y=sin（x+），再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，所得到的函数图象对应的解析式为y=sin（2x+）．故选：A．4．（5分）三个数50.6，0.65，log0.65的大小顺序是（）A．0.65＜log0.65＜50.6B．0.65＜50.6＜log0.65C．log0.65＜50.6＜0.65D．log0.65＜0.65＜50.6【解答】解：∵50.6 ＞50=1，0.65∈（0，1），log0.65＜log0.61=0，∴50.6 ＞0.65＞log0.65，故选：D．5．（5分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．B． C．πD．【解答】解：此几何体是一个底面直径为1，高为1的圆柱底面周长是故侧面积为1×π=π故选：C．6．（5分）已知向量满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得（3﹣2）•=3﹣2=3﹣2×1×cos＜，＞=0，求得cos＜，＞=，∴与的夹角＜，＞=，故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为7，则输出的s的值为（）A．22 B．16 C．15 D．11【解答】解：第一次运行，i=1，满足条件i＜7，s=1+0=1．i=2，第二次运行，i=2，满足条件i＜7，s=1+1=2．i=3，第三次运行，i=3，满足条件i＜7，s=2+2=4．i=4，第四次运行，i=4，满足条件i＜7，s=4+3=7．i=5，第五次运行，i=5，满足条件i＜7，s=7+4=11．i=6，第六次运行，i=6，满足条件i＜7，s=11+5=16．i=7，此时i=7，不满足条件i＜7，程序终止，输出s=16，故选：B．8．（5分）函数y=cosx•|tanx|（﹣＜x）的大致图象是（）A．B． C． D．【解答】解：∵函数y=cosx•|tanx|（﹣＜x）可化为：y=，对照正弦函数y=sinx（﹣＜x）的图象可得其图象为C．故选：C．9．（5分）设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB 相交，则l的斜率k的取值范围（）A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4 C．﹣4≤k≤D．k≥4或k≤﹣【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，即k≥=，或k≤=﹣4，∴k≥，或k≤﹣4，即直线的斜率的取值范围是k≥或k≤﹣4．故选：A．10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[1，3]时，f （x）=2﹣|x﹣2|，则（）A．B．f（sin1）＞f（cos1）C．f（tan3）＜f（tan6）D．f（sin2）＜f（cos2）【解答】解：设x∈[﹣1，1]，则x+2∈[1，3]∴f（x）=f（x+2）=2﹣|x+2﹣2|=2﹣|x|即f（x）=∴=f（）﹣f（）=2﹣﹣2+=0∴，排除A∵1＞sin1＞cos1＞0，f（x）在[0，1]上单调减∴f（sin1）＜f（cos1），排除B∵﹣1＜tan6＜tan3＜0，f（x）在[﹣1，0]上单调增∴f（tan3）＞f（tan6），排除C故选：D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请将正确的答案填在答题卡上．）11．（5分）已知函数，则f（f（﹣1））的值等于﹣1．【解答】解：由已知f（﹣1）=，f（）==﹣1；故f（f（﹣1））=﹣1；故答案为：﹣1．12．（5分）利用计算器算出自变量和函数值的对应值如表，则方程2x﹣x2=0的一个根所在区间为（1.8，2.2）．【解答】解：令f（x）=2x﹣x2，由表知f（1.8）=3.482﹣3.24＞0，f（2.2）=4.595﹣4.84＜0，∴方程2x=x2的一个根所在的区间为（1.8，2.2）．故答案为：（1.8，2.2）．13．（5分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出200人作进一步调查，则在[1500，3000]（元）月收入段应抽出140人．【解答】解：由图得[1500，3000]（元）收入段的频率是0.0004×500+0.0005×500+0.0005×500=0.7故用分层抽样方法抽出200人作进一步调查，则在[1500，3000]（元）收入段应抽出人数为0.7×200=140故答案为140．14．（5分）已知函数y=f（x）+x3为偶函数，且f（10）=10，若函数g（x）=f（x）+4，则g（﹣10）=2014．【解答】解：∵函数y=f（x）+x3为偶函数，且f（10）=10，∴f（﹣10）+（﹣10）3=f（10）+103=10+103，∴f（﹣10）=2010，则g（﹣10）=f（﹣10）+4=2010+4=2014，故答案为：2014三．解答题（本大题共6小题，共80分，请将正确答案写在答题卡相应的位置上，作答时必须详细写出演算过程和逻辑推理过程.）15．（12分）已知集合A={x|x2﹣6x+5＜0}，B={x|1＜2x﹣2＜16}，C={x|y=ln（a ﹣x）}，全集为实数集R．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若A∩C=∅，求实数a的值．【解答】解：（1）集合A={x|x2﹣6x+5＜0}={x|1＜x＜5}，B={x|1＜2x﹣2＜16}={x|2＜x＜6}，C={x|y=ln（a﹣x）}={x|x＜a}，全集为实数集R．∴A∪B={x|1＜x＜6}，（∁R A）∩B={x|x≤1或x≥5}∩{x|2＜x＜6}={x|5≤x＜6}．（2）∵A∩C=∅，A={x|1＜x＜5}，C={x|x＜a}，∴a≤1．16．（12分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．【解答】解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160～169之间，而乙班身高集中于170～180之间．因此乙班平均身高高于甲班（2），甲班的样本方差为+（170﹣170）2+（171﹣170）2+（179﹣170）2+（179﹣170）2+（182﹣170）2]=57.2．（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）（178，176）（176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件．∴．（12分）17．（14分）已知=（2sinx，﹣），=（cosx，2cosx2﹣1），若函数f（x）=•+1，（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调增区间；（3）求f（x）在[，]上的值域．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵f（x）=，…（1分）=sin2x﹣cos2x+1…（3分）=2sin（2x﹣）+1…（5分）∴f（x）的最小正周期为T=．…（6分）（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，得kπ﹣≤x≤kπ+，（k∈z）…（8分）∴f（x）的单调增区间为[{kπ﹣，kπ+]，k∈z…（10分）（3）∵x∈[，]，∴≤2x﹣≤，∴≤sin（2x﹣）≤1…（12分）∴2≤f（x）≤3∴f（x）的值域为[2，3]…（14分）18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若直线AC与平面PCD所成的角为30°，求的值．【解答】解：（1）连结BD交AC于O，连结EO，∵O、E分别为BD、PD的中点，∴EO∥PB，E0⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，∴PB∥平面EAC．…．（6分）（2）∵，CD⊂面ABCD，正三角形PAD中，E为PD的中点，∴AE⊥PD，又面PDC∩面PAD=PD，AE⊂面PAD，∴AE⊥平面PCD…．（10分）（3）由（2）AE⊥平面PCD，直线AC与平面PCD所成的角为∠ACE．∴Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=2AE，又，∴，又矩形，由，解得，∴…..（14分）19．（14分）已知圆C经过点A（2，0）、B（1，﹣），且圆心C在直线y=x上．（1）求圆C的方程；（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程．【解答】解：（1）AB的中点坐标（，），AB的斜率为．可得AB垂直平分线为x+6y=0，与x﹣y=0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，所以圆C的方程为x2+y2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过（1，），∴直线l的方程为y﹣=k（x﹣1），即y=kx+﹣k，则圆心（0，0）到直线的距离d=，又圆的半径r=2，截得的弦长为2，则有，解得：k=﹣，则直线l的方程为y=﹣x+．当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或y=﹣x+．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R使得f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．（1）若a=1，b=3，求函数f（x）的不动点；（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线对称，求b的最小值．【解答】解：（1）若a=1，b=3，f（x）=x2+4x+2，代入f（x）=x化简得x2+3x+2=0，解得x=﹣2、﹣1，则f（x）的不动点为﹣2，﹣1…..（4分）（2）由题意知，函数f（x）恒有两个相异的不动点，所以方程f（x）=x即ax2+bx+b﹣1=0（a≠0）恒有两个不等实根，则△=b2﹣4a（b﹣1）＞0，即b2﹣4ab+4a＞0对任意实数b恒成立，即△=（﹣4a）2﹣4×4a＜0，解得0＜a＜1，所以0＜a＜1…（10分）（3）因为A、B两点关于直线对称，所以AB与直线垂直，且中点M在直线上，设A（x1，x1），B（x2，x2），由（2）知，，所以AB的中点，易知k AB=1，∴k=﹣1，把M点代入得，则，由（2）得0＜a＜1，所以因为≥2=2，所以b≥﹣=，当且仅当…（14分）。

2014-2015学年广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0}B．{﹣3，﹣4}C．{﹣1，﹣2}D．∅2．（5分）已知点P（cosα，tanα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3 D．y=log2x4．（5分）已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）下列函数中，周期为π，且在[，]上为增函数的是（）A．y=sin（x+）B．y=cos（x﹣） C．y=﹣sin（2x﹣π）D．y=cos（2x+π）6．（5分）如图，在△ABC中，=2，记=，=，则=（）A． B． C． D．7．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．（5分）若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值是（）A．8 B．2 C．4 D．79．（5分）若0≤x≤2，则f（x）=的最大值（）A．B．2 C．D．10．（5分）定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“Z函数”，给出下列函数：①y=x3﹣x2+x﹣2；②y=2x﹣（sinx+cosx）；③y=e x+1；④f（x）=其中是“Z函数”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，a=2，b=3，C=60°，则△ABC的面积为．12．（5分）若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为．13．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是．一、选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）几何证明选讲选做题14．（5分）如图，已知点D在圆O直径AB的延长线上，过D作圆O的切线，切点为C．若CD=，BD=1，则圆O的面积为．一、坐标系与参数方程选做题15．在直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（t为参数）；以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系ρOθ，则曲线l的极坐标方程为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（sinθ，﹣）与=（1，cosθ）（Ⅰ）若与互相垂直，求tanθ的值（Ⅱ）若||=||，求sin（+2θ）的值．17．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．18．（14分）已知f（x）=sin4x﹣cos4x+2sinxcosx+a（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）把y=f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式；（Ⅲ）y=g（x）在[0，]上最大值与最小值之和为3，求a的值．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBE；（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；（Ⅲ）若V P=2V Q﹣ABCD，试求的值．﹣BCDE20．（14分）已知函数m（x）=x3﹣﹣3ax（1）若函数f（x）=m（x）﹣h（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）=m（x）﹣h（x）在（﹣∞，+∞）不单调，求实数a的取值范围；（3）判断过点可作曲线f（x）=m（x）+﹣3x多少条切线，并说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=lnx+﹣kx，其中常数k∈R．（1）求f（x）的单调增区间与单调减区间；（2）若f（x）存在极值且有唯一零点x0，求k的取值范围及不超过的最大整数m．2014-2015学年广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0}B．{﹣3，﹣4}C．{﹣1，﹣2}D．∅【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴C U A={﹣3，﹣4}，∴（C U A）∩B={﹣3，﹣4}．故选：B．2．（5分）已知点P（cosα，tanα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：点P（cosα，tanα）在第三象限，所以，cosα＜0角α的终边在第二、三象限．ta nα＜0角α的终边在第二、四象限．∴角α的终边在第二象限．故选：B．3．（5分）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3 D．y=log2x【解答】解：y=x﹣1非奇非偶函数，故排除A；y=tanx为奇函数，但在定义域内不单调，故排除B；y=log2x单调递增，但为非奇非偶函数，故排除D；令f（x）=x3，定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，又f（x）在定义域R上递增，故选：C．4．（5分）已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵f（x）=，f（1）=f（﹣1），∴a=1﹣（﹣1）=2．故选：A．5．（5分）下列函数中，周期为π，且在[，]上为增函数的是（）A．y=sin（x+）B．y=cos（x﹣） C．y=﹣sin（2x﹣π）D．y=cos（2x+π）【解答】解：∵函数的周期为π，∴排除A，B．∵y=﹣sin（2x﹣π）=sin2x，∴在[，]上不是单调函数．y=cos（2x+π）=﹣cos2x，满足在[，]上为增函数，故选：D．6．（5分）如图，在△ABC中，=2，记=，=，则=（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意，得；=﹣=﹣，==（﹣）， ∴=+=+（﹣）=+．故选：A ．7．（5分）设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ∥β D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β【解答】解：对于A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β或α，β相交，故A 错； 对于B ．若l ∥α，l ⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l 的平面γ∩α=m ，即有m ∥l ，m ⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B 对； 对于C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ∥β或l ⊂β，故C 错；对于D ．若α⊥β，l ∥α，若l 平行于α，β的交线，则l ∥β，故D 错． 故选：B ．8．（5分）若实数x ，y 满足条件，则2x +y 的最大值是（ ）A ．8B ．2C ．4D ．7【解答】解：由题意作出其平面区域，令z=2x+y，化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，则解得，x=3，y=1；则2x+y的最大值是为6+1=7，故选：D．9．（5分）若0≤x≤2，则f（x）=的最大值（）A．B．2 C．D．【解答】解：∵0≤x≤2，∴f（x）===，∴当x=时，函数f（x）取得最大值为=，故选：D．10．（5分）定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“Z函数”，给出下列函数：①y=x3﹣x2+x﹣2；②y=2x﹣（sinx+cosx）；③y=e x+1；④f（x）=其中是“Z函数”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y=﹣x3﹣x2+x﹣2；y'=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，则函数在定义域上单调递增．②y=2x﹣（sinx+cosx）；y'=2﹣（cosx﹣sinx）=2+sin（x﹣）＞0，函数单调递增，满足条件．③y=e x+1为增函数，满足条件．④f（x）=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．故选：C．二．填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，a=2，b=3，C=60°，则△ABC的面积为．【解答】解：△ABC的面积S===．故答案为：．12．（5分）若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为﹣．【解答】解：由于sin（﹣θ）=，则cos（+θ）=sin（﹣θ）=，则有cos（+2θ）=cos2（+θ）=2cos2（+θ）﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故答案为：﹣．13．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：当∀x1∈[﹣1，2]时，由f（x）=x2﹣2x得，对称轴是x=1，f（1）=﹣1是函数的最小值，且f（﹣1）=3是函数的最大值，∴f（x1）=[﹣1，3]，又∵任意的x1∈[﹣1，2]，都存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），∴当x2∈[﹣1，2]时，g（x2）⊇[﹣1，3]．∵a＞0，g（x）=ax+2是增函数，∴，解得a≥3．综上所述实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．一、选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）几何证明选讲选做题14．（5分）如图，已知点D在圆O直径AB的延长线上，过D作圆O的切线，切点为C．若CD=，BD=1，则圆O的面积为π．【解答】解：∵点D在圆O直径AB的延长线上，过D作圆O的切线，切点为C．CD=，BD=1，∴CD2=BD•DA，解得DA===3，∴AB=3﹣1=2，∴圆O的面积S==π．故答案为：π．一、坐标系与参数方程选做题15．在直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系ρOθ，则曲线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=3．【解答】解：由（t为参数），得y=x+3，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入并整理得ρ（sinθ﹣cosθ）=3．即曲线l的极坐标方程是ρ（sinθ﹣cosθ）=3．故答案为：ρ（sinθ﹣cosθ）=3．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（sinθ，﹣）与=（1，cosθ）（Ⅰ）若与互相垂直，求tanθ的值（Ⅱ）若||=||，求sin（+2θ）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵=（sinθ，﹣）与=（1，cosθ），且与互相垂直，∴=，∴（Ⅱ）∵，∴，∴，∴，，∴17．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0∴3x﹣6=0，3y﹣6=0∴x=2，y=2，即=（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵=m+n，∴（x，y）=（m+2n，2m+n）∴x=m+2n，y=2m+n∴m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．18．（14分）已知f（x）=sin4x﹣cos4x+2sinxcosx+a（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）把y=f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式；（Ⅲ）y=g（x）在[0，]上最大值与最小值之和为3，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵==．∴f（x）的最小正周期．（Ⅱ）．所以函数．（Ⅲ）∵∴，即，∴2a+3=3即a=0．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBE；（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；=2V Q﹣ABCD，试求的值．（Ⅲ）若V P﹣BCDE【解答】（Ⅰ）证明：因为E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE．…（1分）因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE．…（2分）因为PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．…（4分）（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连接OQ．…（5分）因为O是AC中点，Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．所以OQ∥PA．…（7分）因为PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ．…（8分）所以PA∥平面BDQ．…（9分）（Ⅲ）解：设四棱锥P﹣BCDE，Q﹣ABCD的高分别为h1，h2，所以V P=S BCDE h1，V Q﹣ABCD=S ABCD h2．…（10分）﹣BCDE=2V Q﹣ABCD，且底面积S BCDE=S ABCD．…（12分）因为V P﹣BCDE所以，…（13分）因为，所以．…（14分）20．（14分）已知函数m（x）=x3﹣﹣3ax（1）若函数f（x）=m（x）﹣h（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）=m（x）﹣h（x）在（﹣∞，+∞）不单调，求实数a的取值范围；（3）判断过点可作曲线f（x）=m（x）+﹣3x多少条切线，并说明理由．【解答】解：（1）∵函数m（x）=x3﹣﹣3ax，∴f（x）=m（x）﹣h（x）=x3﹣（1+a）x2+3ax，∴f′（x）=3x2﹣2（a+1）x+3a，∵f′（1）=0，∴3+3a﹣2（a+1）=0∴a=﹣1，∴f′（x）=3（x﹣1）（x+1），显然在x=1附近f′（x）符号不同，∴x=1是函数f（x）的一个极值点，∴a=﹣1即为所求；（2）∵m（x）=x3﹣﹣3ax，∴∴f（x）=m（x）﹣h（x）=x3﹣（1+a）x2+3ax，若函数f（x）在R上不单调，则f′（x）=3x2﹣2（a+1）x+3a=0应有二不等根，∴△=12（a+1）2﹣36a＞0∴a2﹣a+1＞0恒成立，∴实数a的取值范围为R；（3）∵m（x）=x3﹣x2，∴f（x）=m（x）+x2﹣3x=x3﹣3x，∴f'（x）=3（x2﹣1），设切点M（x0，y0），则M的纵坐标，又，∴切线的斜率为，得，设g（x0）=，∴g'（x0）=由g'（x0）=0，得x0=0或x0=1，∴g（x0）在（﹣∞，0），（1，+∞）上为增函数，在（0，1）上为减函数，∴函数g（x0）=2x03﹣3x02+m+3的极大值点为x0=0，极小值点为x0=1，∵∴函数g（x0）=2x03﹣3x02+有三个零点，∴方程2x03﹣3x02+=0有三个实根，∴过点可作曲线y=f（x）的三条切线．21．（14分）已知函数f（x）=lnx+﹣kx，其中常数k∈R．（1）求f（x）的单调增区间与单调减区间；（2）若f （x ）存在极值且有唯一零点x 0，求k的取值范围及不超过的最大整数m ．【解答】解：（1）①当k ≤2时，，则函数f （x ）为增函数．②当k ＞2时，，其中x ，f′（x ），f （x ）的取值变化情况如下表：综合①②知当k ≤2时，f （x ）的增区间为（0，+∞），无减区间； 当k ＞2时，f （x ）的增区间为与，减区间为．（2）由（1）知当k ≤2时，f （x ）无极值， 当k ＞2时，知f （x ）的极大值，f （x ）的极小值f （x 2）＜f （x 1）＜0，故f （x ）在（0，x 2）上无零点．，又，故函数f （x ）有唯一零点x 0，且x 0∈（x 2，2k ）． 又，记g （k ）=（k ＞2），，则g（k）=ln2﹣2＜0，从而f（k）＜0，，故k的取值范围是（2，+∞）且不超过的最大整数m=1．。

广东省揭阳三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题：（每小题5分，共50分）1．（5分）如果在△ABC中，a=3，，c=2，那么B等于（）A．B．C．D．2．（5分）在等差数列{a n}中，若前5项和S5=20，则a3等于（）A．4B．﹣4 C．2D．﹣23．（5分）若x＞y，m＞n，下列不等式正确的是（）A．x﹣m＞y﹣n B．x m＞yn C．D．m﹣y＞n﹣x4．（5分）在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，则△ABC的面积是（）A．9B．18 C．D．5．（5分）x+（x＞0）的最小值是（）A．2B．C．4D．86．（5分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞07．（5分）不等式的解集是（）A．{x|x≤3} B．{x|x＞3或x≤1} C．{x|1≤x≤3} D．{x|1≤x＜3}8．（5分）等比数列{a n}中a2=4，a5=32则{a n}的前6项和为（）A．128 B．126 C．140 D．1929．（5分）在直角坐标系中，满足不等式x2﹣y2≥0的点（x，y）的集合的阴影部分是（）A． B． C． D．10．（5分）在等比数列{a n}中，a9+a10=a（a≠0），a19+a20=b，则a99+a100等于（）A．B．C．D．二、填空题：（每小题5分，共20分）11．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则A=．12．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最大值为．13．（5分）若x+2y=1，则2x+4y的最小值是；14．（5分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：（本题共6小题，共80分）15．（12分）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．（1）若△ABC面积S△ABC=，c=2，A=60°，求a、b的值；（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．16．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）若θ为锐角，且，求tan2θ的值．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．18．（14分）已知数列{a n}满足．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．19．（14分）为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10 000m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．20．（14分）数列{a n}满足a1=1，（n∈N*）．（1）求证是等差数列；（要指出首项与公差）；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若T n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1，求证：．广东省揭阳三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共50分）1．（5分）如果在△ABC中，a=3，，c=2，那么B等于（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由余弦定理可得cosB===，由于B为△ABC内角，即0＜B＜π即可求得B=．解答：解：由余弦定理知：cosB===，∵B为△ABC内角，即0＜B＜π∴B=．故选：C．点评：本题主要考察了余弦定理的应用，属于基础题．2．（5分）在等差数列{a n}中，若前5项和S5=20，则a3等于（）A．4B．﹣4 C．2D．﹣2考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的前n项和公式表示出S5，利用等差数列的性质化简后，将已知的前5项的和代入列出关于a3的方程，求出方程的解即可得到a3的值．解答：解：∵等差数列{a n}中，前5项和S5=20，∴S5==5a3=20，则a3=4．故选A点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握等差数列的性质及求和公式是解本题的关键．3．（5分）若x＞y，m＞n，下列不等式正确的是（）A．x﹣m＞y﹣n B．x m＞yn C．D．m﹣y＞n﹣x考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：同向不等式具有可加性，于是x+m＞y+n，进而得出答案．解答：解：∵x＞y，m＞n，∴x+m＞y+n，∴m﹣y＞n﹣x．∴D正确．故选D．点评：本题考查不等式的基本性质，深刻理解不等式的基本性质是解决此问题的关键．4．（5分）在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，则△ABC的面积是（）A．9B．18 C．D．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：利用三角形的内角和公式求得A=30°，可得△ABC为等腰三角形，直接利用△ABC的面积，求得结果．解答：解：∵△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，∴A=30°．故△ABC为等腰三角形，故b=6，则△ABC的面积为×6×6×sin120°=9，故选C．点评：本题考查三角形中的几何计算，也可以利用正弦定理求解，是一道基础题．5．（5分）x+（x＞0）的最小值是（）A．2B．C．4D．8考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得x+≥2=4，当且仅当x=即x=2时取等号，进而可得答案．解答：解：∵x＞0，∴x+≥2=4，当且仅当x=即x=2时取等号，∴x+（x＞0）的最小值是4故选：C点评：本题考查基本不等式求最值，属基础题．6．（5分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞0考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：由不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，知a＜0，且△=b2﹣4ac＜0．解答：解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，∴a＜0，且△=b2﹣4ac＜0，综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．故选A．点评：此题考查了分类讨论及函数的思想解决问题的能力，考查学生掌握解集为R的意义及二次函数的图象与性质，是一道基础题．7．（5分）不等式的解集是（）A．{x|x≤3} B．{x|x＞3或x≤1} C．{x|1≤x≤3} D．{x|1≤x＜3}考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据分式不等式的解法即可得到不等式的解集．解答：解：不等式等价为（1﹣x）（x﹣3）≥0且x﹣3≠0，即（x﹣1）（x﹣3）≤0且x≠3，∴1≤x＜3，即不等式的解集为{x|1≤x＜3}，故选：D．点评：本题主要考查分式不等式的解法，将分式不等式转化为整式不等式是解决本题的关键，注意分母不能等于0．8．（5分）等比数列{a n}中a2=4，a5=32则{a n}的前6项和为（）A．128 B．126 C．140 D．192考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知数据易得数列的首项和公比，代入等比数列的求和公式计算可得．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，∴q3===8，∴q=2，∴a1===2，∴{a n}的前6项和S6==126故选：B点评：本题考查等比数列的前n项和，属基础题．9．（5分）在直角坐标系中，满足不等式x2﹣y2≥0的点（x，y）的集合的阴影部分是（）A． B． C． D．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．分析：先把不等式x2﹣y2≥0转化为二元一次不等式组，再画出其表示的平面区域即可．解答：解：由x2﹣y2≥0得（x+y）（x﹣y）≥0，即或所以点（x，y）的集合的阴影为选项B．故选B．点评：本题主要考查由二元一次不等式组画出其表示的平面区域．10．（5分）在等比数列{a n}中，a9+a10=a（a≠0），a19+a20=b，则a99+a100等于（）A．B．C．D．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：a9+a10，a19+a20，a29+a30，a39+a40，…成等比数列，公比为=，由a99+a100=（a9+a10）求得结果．解答：解：由等比数列的性质可得a9+a10，a19+a20，a29+a30，a39+a40，…成等比数列，公比为=，∴a99+a100=（a9+a10）=a×=，故选A．点评：本题考查等比数列的定义和性质，判断a9+a10，a19+a20，a29+a30，a39+a40，…成等比数列，公比为=，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：（每小题5分，共20分）11．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则A=．考点：正弦定理的应用．专题：计算题．分析：通过正弦定理求出sinA的值，进而求出角A，再根据角A的范围得出结果．解答：解：由正弦定理得∴A=或∵a＜c故答案为：点评：本题主要考查正弦定理的应用．正弦定理是实现三角形中边角互化的常用方法．12．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最大值为4．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=x+3y的最大值．解答：解：约束条件的可行域如下图示：由图易得目标函数z=x+3y在（1，1）处取得最大值4，故答案为：4．点评：点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．13．（5分）若x+2y=1，则2x+4y的最小值是2；考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题意知2x+4y=．由此可知2x+4y的最小值是．解答：解：由题意知2x+4y=．∴2x+4y的最小值是2．点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．14．（5分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（﹣2，2故答案为：（﹣2，2hslx3y3h点评：本题考查不等式恒成立的参数取值范围，考查二次函数的性质．注意对二次项系数是否为0进行讨论．三、解答题：（本题共6小题，共80分）15．（12分）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．（1）若△ABC面积S△ABC=，c=2，A=60°，求a、b的值；（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．考点：余弦定理；三角形的形状判断．专题：计算题．分析：（1）由A的度数求出sinA和cosA的值，再由c及三角形的面积，利用三角形的面积公式求出b的值，然后由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值；（2）由三角形的三边a，b及c，利用余弦定理表示出cosB，代入已知的a=ccosB，化简可得出a2+b2=c2，利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，代入b=csinA，化简可得b=a，从而得到三角形ABC为等腰直角三角形．解答：解：（1）∵，∴，得b=1，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=12+22﹣2×1×2•cos60°=3，所以．（2）由余弦定理得：，∴a2+b2=c2，所以∠C=90°；在Rt△ABC中，，所以，所以△ABC是等腰直角三角形．点评：此题考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）若θ为锐角，且，求tan2θ的值．考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：（1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）通过θ为锐角，且，求出cos2θ的值，sin2θ的值，然后求tan2θ的值．解答：（1）解：f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x（2分）=（3分）=．（4分）∴f（x）的最小正周期为，最大值为．（6分）（2）解：∵，∴．（7分）∴．（8分）∵θ为锐角，即，∴0＜2θ＜π．∴．（10分）∴．（12分）点评：本小题主要考查三角函数性质，同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC；（3）利用四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求出四棱锥P﹣ABCD的高为PA，利用PA⊥AB，即可求PB的长．解答：（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，…（1分）∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，…（3分）∴OM∥平面PAB．…（4分）（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分）∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴菱形ABCD的面积为，…（11分）∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴，得…（12分）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分）在Rt△PAB中，．…（14分）点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．18．（14分）已知数列{a n}满足．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列递推式；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由数列{a n}满足，变形为a n+1+1=2（a n+1），即可证明数列{a n+1}是等比数列，利用通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”即可得出．解答：（I）证明：∵数列{a n}满足，∴a n+1+1=2（a n+1），∴数列{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．∴，∴．（II）解：由（I）可知：=n•2n﹣1．∴+…+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1，2S n=1×2+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴﹣S n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n==2n﹣1﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1．∴．点评：本题考查了变形转化为等比数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．19．（14分）为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10 000m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．考点：根据实际问题选择函数类型．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设矩形鱼塘长为am，宽为bm，面积ab=10000m2，由所选农田的长为（a+4）m，宽为（b+4）m，农田面积（a+4）•（b+4）=10016+4（a+b）（m2），由此利用均值不等式能求出农田的长为104米，宽为104米时，才能使占有农田的面积最小．解答：解：设矩形鱼塘长为am，宽为bm，面积ab=10000m2，由所选农田的长为（a+4）m，宽为（b+4）m，农田面积（a+4）•（b+4）=10016+4（a+b）（m2），由不等式a+b≥2，知当且仅当a=b时，a+b最小，即农田面积最小，∵ab=10000 所以a=b=100m．所以农田的长为104米，宽为104米时，才能使占有农田的面积最小．点评：本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．20．（14分）数列{a n}满足a1=1，（n∈N*）．（1）求证是等差数列；（要指出首项与公差）；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若T n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1，求证：．考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由，得：，由此能证明数列是以首项，公差d=2的等差数列．（2）由（1）得，由此能求出数列{a n}的通项公式．（3）由，利用裂项求和法能证明．解答：（1）解：由，得：∴，∴，又a1=1，∴=1，∴数列是以首项，公差d=2的等差数列．（2）解：由（1）得：∴．（3）证明：∵，∴T n===∴．点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．。

侧（左）视图俯视图正（主）视图（第7题图）揭阳一中2013—2014学年度第一学期段考2高二文科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}2-B ． {}2,1--C ． {}0,1D ．{}1,0,1-2．在等比数列{}n a 中，已知,11=a 84=a ，则=5a （ ）A ．16B ．16或－16C ．32D ．32或－32 3．函数f x =()()的定义域是A ．12(，)B ．12[，)C ．12-∞+∞()()，，D ．12(，]4.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．“21x =”是“1-=x ”的充分不必要条件B ．“2=x ”是“0652=+-x x ”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．5．已知实数,x y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为( )A ．3-B ．12C ．5D ．6 6. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A. 2 3B. 6C. 4 3D. 127．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )A ．20π3B ．10π3C ．6πD ．16π38．函数f （x ）＝｜x －2｜－lnx 在定义域内的零点个数为( )A 、0B 、1C 、2D 、3 9. 设定点F 1（0，－2）、F 2（0，2），动点P 满足条件124(0)PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段10.设椭圆13422=+y x 的左右焦点分别为21,F F ,点P 在椭圆上，若2521=⋅−→−−→−PF PF ,则=⋅21PF PF （ ）.A 2 .B 3 .C 27 .D 29二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）11．已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为 . 12．设p :112x ≤≤； q :022≤-+x x , 则p 是q 的 条件. （用“充分而不必要”或“必要而不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”填写）.13．若方程11422=-+-t y t x 所表示的曲线为C ，给出下列四个命题： ①若C 为椭圆，则1<t<4; ②若C 为双曲线，则t>4或t<1；③曲线C 不可能是圆； ④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则231<<t . 其中真命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填在横线上）. 14．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的斜率为 ，直线方程为 .三、解答题（本大题共共6个题. 合计80分。