吉林省东北师大附中2009-2010学年上学期高三年级期末考试数学试卷(理科)

2009—2010学年东北师大附中高二年级历史科试卷上学期期末考试审核：朱攀命题人：赵登明审题人：蒋礼注意事项：1．考试时间100分钟，满分100分。

2．选择题用2B铅笔涂在答题卡上，非选择题答案写在答题纸内指定位置。

3．考生务必将班级、姓名、学号写在答题卡、答题纸上。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共30小题，每小题2分，共60分。

在小每题所给的四个选项当中只有一个是符合题目要求的。

1.为了加强分封制形成的统治秩序，解决贵族之间在权力、财产和土地继承上的矛盾，西周实行了与分封制互为表里的具有政治性质的A.礼乐制度B.嫡长子继承制C.宗法制D.奴隶社会制度2．汉代晁错在他的《论贵粟疏》中写道：“勤苦如此，尚复被水旱之灾，急政暴赋，赋敛不时，朝令而暮当具。

有者半贾而卖，亡者取倍称之息。

于是，有卖田宅者、鬻子孙以偿责（债）者。

”材料反映出小农经济的特点是A．男耕女织 B．自给自足 C．脆弱性 D．连续性3．明代张居正说：“商不得通有无以利农，则农病；农不得力本穑以资商，则商病。

故商农之势，常若权衡。

”这种农商并重的言论A．反映了商品经济的发展 B．表现了重农抑商政策的瓦解C．表明政府十分重视商业 D．代表了士大夫对商业的态度4.一个英国人在乾隆五年（1740年）来到中国，这一年他可能经历的事情是A．看到机户和机工因工资纠纷到衙门打官司B．邀请中国朋友去他乘坐的船上参观蒸汽机C．北京的朋友邀请他去看京剧演出D．收到国内来信说英王解散了议会5.中国封建社会时期进一步加强皇权，使封建君主专制制度发展到顶峰的标志是A．秦始皇建立了中国古代第一个封建君主专制中央集权的国家B．明朝皇帝朱元璋废除宰相制度与一切大权都归皇帝C．清朝雍正帝为了办理西北军务设立军机处D．袁世凯复辟帝制，称“中华帝国皇帝”6.从内容上看，《天朝田亩制度》和《资政新篇》共同的局限性表现在①不能对当时的社会主要矛盾作出正确的判断②带有强烈的小农意识③只学习西方先进技术④缺乏坚实的社会基础A．①② B．②③ C．①③ D．①④7.近代某思想家说：“然则必欲予民权自由，何必定出于革命乎？革命未成，而国大涂炭，则民权自由，且不可得也。

2024-2025学年东北师大附中 高一年级数学科试卷上学期阶段性考试考试时长：90分钟 试卷总分：120分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．下列元素的全体可以组成集合的是（ ）A ．人口密度大的国家B ．所有美丽的城市C ．地球上的四大洋D ．优秀的高中生2．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．B ．C ．D ．3．命题“，”的否定为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．若，，则下列不等式正确的是（ ）A．B ．C ．D ．6．“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．关于的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中错误的说法是（）A ．当时，，B ．当时，U =R {}0,1,2,3,4,5,6A ={}3B x x =<{}3,4,5,6{}0,1,2{}0,1,2,3{}4,5,6[]1,3x ∀∈-2320x x -+<[]1,3x ∃∈-2320x x -+≥[]1,3x ∃∈-2320x x -+>[]1,3x ∀∈-2320x x -+≥[]1,3x ∃∉-2320x x -+≥{}240A x x =->{}2430B x x x =-+<A B = {}21x x -<<{}12x x <<{}23x x -<<{}23x x <<a b c ∈R 、、0a b >>11a b >a c b c>2ab b >()()2211a c b c ->-2a <-24a >x ()()14x x a --=12,x x 12x x <0a =11x =24x =0a >1214x x <<C ．当时，D ．当时，8．已知表示不超过的最大整数，集合，，且，则集合B 的子集个数为（）A ．4B ．8C ．16D ．32二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．已知关于的不等式的解集为，则（）A ．B ．不等式的解集是C ．D ．不等式的解集为10．已知都是正数，且满足，则下列说法正确的是（）A ．的最大值为1B的最小值为2C．的最小值为2D ．的最小值为111．用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，，则下面正确结论正确的是（ ）A ．，B ．，C ．“”是“”的充分不必要条件D ．若，则三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知集合，，若，则实数的取值范围是______．13．若一个直角三角形的斜边长等于______．14．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______．四、解答题（本题共3小题，共47分）15．（本题满分15分）0a >1214x x <<<904a -<<122544x x <<[]x x []{}03A x x =∈<<Z ()(){}2220B x x ax x x b =+++=A B =∅R ðx 20ax bx c ++<()1,6-0a <0ax c +>{}6x x >0abc ++<20cx bx a --<11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭x y 、2x y +=xy 11x y +2211x y x y +++()C A A ()()()()()()()(),,C A C B C A C B A B C B C A C A C B ⎧-≥⎪*=⎨-<⎪⎩{}20A x x x =+=()(){}2210B x x ax x ax =∈+++=R a ∃∈R ()3C B =a ∀∈R ()2C B ≥0a =1A B *={}1S a A B =∈*=R ()4C S ={}A x x a =<{}13B x x =<<A B B = a 22x x a ax +->+(]0,1a ∀∈x设集合，，．（1），求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．16．（本题满分15分）（1）已知，求的最大值；（2）已知，，且，求的最小值；（3）解关于的不等式（其中）．17．（本题满分17分）已知方程（1）若，，求方程的解；（2）若对任意实数，方程恒有两个不相等的实数解，求实数的取值范围；（3）若方程有两个不相等的实数解，且，求的最小值．U =R {}05A x x =≤≤{}13B x m x m =-≤≤3m =()U A B ðx B ∈x A ∈m 03x <<y =0x >0y >5x y xy ++=x y +x ()2330ax a x -++<0a ≥()220,x mx n m n -+-=∈R 1m =0n =220x mx n -+-=m 22x mx n x -+-=n ()2203x mx n m -+-=≥12x x ，()2121248x x x x +-=221221128x x x x x x +-+。

东北师大附中2007—2008学年度高三第四次摸底考试数学试题（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．第Ⅰ卷的答案用2B 铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷的答案或解答过程均写在答题纸内的指定处，写在试题卷上的无效．2．答题前，考生务必将自己的“班级”、“学号”、“姓名”写在答题卡和答题纸上． 3．考试结束后，只交答题卡和答题纸．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，则（ ）A ．1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在B ．1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意C ．1>∈⌝x cos R x p ，使：存在D ．1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意2．已知向量()43，-=a ，()43-=，b ，则a 与b（ ）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 3．复数211ii ++的值是（ ）A ．－21B ．21C ．21i+ D ．21i- 4．某校有学生4500人，其中高三学生1500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为 （ ） A ．50 B ．100 C ．150 D ．20 5．双曲线x 2－y 2=4的两条渐进线和直线x =2围成一个三角形区域（含边界），则该区域可表示为 （ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+200x y x y xB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+200x y x y xC ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤+200x y x y xD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+200x y x y x6．已知数列｛a n ｝对于任意m 、n ∈N *，有a m +a n =a m+n ，若，411=a 则a 40等于 （ ）S EF A B CA ．8B ．9C ．10D ．117．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()∞+，4上为减函数，且函数()4+=x f y 为偶函数，则（ ）A ．()()32f f >B ．()()52f f >C ．()()53f f >D ．()()63f f >8．如图，在正四面体S —ABC 中，E 为SA 的中点，F 为∆ABC的中心，则异面直线EF 与AB 所成的角是 （ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒9．在821⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含x 的项的系数是 （ ）A ．55B ．－55C ．56D ．－5610．已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>>∈+=200πϕωϕω，，，A R x x sin A x f 的图象（部分）如图所示，则()x f 的解析式是（ ）A ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=62ππ Ｂ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=622ππ Ｃ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32ππＤ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=322ππ 11．a n 是(1+x )n+1（n ∈N *）的展开式中含x 2的项的系数，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n a a a lim 11121 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知椭圆15922=+y x ，过右焦点F 做不垂直于x 轴的弦交椭圆于A 、B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则=AB NF ：（ ）A ．21B ．31 C ．32D ．41第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若函数()y f x =的图象与函数x y 4=的图象关于直线y x =对称，则()f x =________；14．若抛物线22y px =的焦点与椭圆14822=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 ； 15．为使函数211)(xxx f -+=在1-=x 处连续，需定义=-)1(f ； 16．对于函数的这些性质：①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数；⑤周期性；函数()R x x x x f ∈+=，35具有的性质的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，，22sin 2sin=++CB A ． I ．试判断△ABC 的形状；II ．若△ABC 的周长为16，求面积的最大值． 18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．（1）求所选3人都是男生的概率； （2）求ξ的分布列及数学期望；19．（本小题12分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，2,11===AB AD AA ，点E 在棱AB 上移动． （1）求证：D A E D 11⊥；（2）E 为AB 中点时，求点E 到平面 1ACD 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D EC D --1的大小是4π．20．（12分）设数列{}n a 满足*N n na a a a n n ∈=++++-，444413221 ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设n n n b a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求nn n S n lim 14+∞→⋅．21．（12分）已知函数x ax x x f ln 1)(2-++-=． （Ⅰ）若)(x f 在)21,0(上是减函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）函数)(x f 是否既有极大值又有极小值？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是0=+y x ，且双曲线C 过点)1,2(-P . （1）求此双曲线C 的方程；（2）设直线l 过点)1,0(A ，其方向向量为),1(k e =)0(>k ，令向量n 满足0=⋅e n .双曲线C 的右支上是否存在唯一一点B ，=. 若存在，求出对应的k 值和B 的坐标；若不存在，说明理由.东北师大附中2007—2008学年度高三第四次摸底考试数学试题（理科）参考答案一、选择题CDBBB CDCDA BB13．()04>=x x log y 14．4 15．2116．①③ 17．（10分）解：Ⅰ、)42sin(22sin 2cos 2sin2sinππ+=+=+-C C C C C2242πππ==+∴C C 即 所以此三角形为直角三角形.Ⅱ．ab ab b a b a 221622+≥+++=2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号，此时面积的最大值为()24632-．18．（12分）（1）解：所选3人都是男生的概率为 513634=C C（2）解：可能取的值为0，1，2，2,1,0,)(36342=⋅==-k C C C k P k k ξ，1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE19．（12分）解：（1）由于 D AE 11D AA 面⊥，11AD D A ⊥，根据三垂线定理，得D A E D 11⊥． (4分) （2）设E 到平面1ACD 的距离为h ．在1ACD ∆中，51==CD AC ，21=AD ，231=∆C AD S ， 而21=∆ACE S ，h S DD S C AD ACE ⋅=⋅∴∆∆113131V 1-D ＝ＡＥＣ， 得31=h ． (8分) （3）过D 作CE DH ⊥于H ，连接DE H D 、1，则CE H D ⊥1．1DHD ∠∴为二面角D EC D --1的平面角．设,x AE =则,2x BE -=在DH D 1∆中，1DHD ∠∴4π=，得1=DH ．由于DA CD DH CE ⋅=⋅, 即21)2(2=+-x ，解得32-=x ．因此，当32-=x 时，二面角D EC D --1的大小为4π． (12分) 20．（12分）解：(I) ，444413221n a a a a n n =++++-()，241444123221≥-=++++--n n a a a a n n ()，241441≥--=∴-n n n a n n()241≥=∴n a n n 验证1n =时也满足上式， ()*N n a nn ∈=∴41(II) ∵n nnb a =，∴n n n b 4⋅=， ()1443424132nn n S ⋅++⋅+⋅+⋅=()()244143424141432+⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S（1）－（2）得1324414141413+⋅-⋅++⋅+⋅+⋅=-n nn n S()14414143+⋅---=-∴n nn n S()44439111+-⋅=∴++n n n n S ∴nn n S n lim 14+∞→⋅=.n n lim n n limn n n n n n 3441394443491111=⋅+-=+-⋅⋅+∞→+++∞→ 21．（12分） 解：（Ⅰ）)(x f '=xa x 12-+- …………1分 ∵)(x f 在)21,0(上为减函数，∴)21,0(∈x 时012<-+-x a x 恒成立． ……3分即x x a 12+<恒成立．设x x x g 12)(+=，则)(x g '=212x -．∵)21,0(∈x 时21x ＞4，∴)(x g '0<，∴)(x g 在)21,0(上递减， ………5分∴g(x ) ＞g(21)=3，∴a ≤3． ………6分（Ⅱ）若)(x f 既有极大值又有极小值，则首先必须)(x f '=0有两个不同正根21,x x ，即 0122=+-ax x 有两个不同正根。

东北师大附中2023-2024学年下学期高（一）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数i 12i z ⋅=+，则z =（ ）A.2i −− B.2i−+ C.2i+ D.2i−【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】因为i 12i z ⋅=+， 所以()()()12i i 12i2i ii i z +−+===−×−.故选：D.2.已知两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ）A.若//m α，//n α，则//m n B.若//m n ，m α⊂，则//n α C.若//m α，//m β，则αβ∥ D.若//m α，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用点、线、面的位置关系即可得出答案.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 可能相交，故A 错误；对于B ，若//m n ，m α⊂，则可能n ⊂α，故B 错误；对于C ，若//m α，//m β，则可能αβ⊥，故C 错误； 对于D ，若//m α，在平面α内能找到直线a ，使得//a m ， 由m β⊥，可得a β⊥，又因为a α⊂，则αβ⊥，故D 正确. 故选：D .3. 高一年级某位同学在五次考试中的数学成绩分别为105，90，104，106，95，这位同学五次数学成绩的方差为（ ） A. 20.2 B. 40.4C. 50D. 50.2【答案】B 【解析】【分析】根据题中数据结合平均数、方差公式运算求解.【详解】由题意可得：数学成绩平均数为()110590104106951005x=++++=， 所以数学成绩的方差为()()()()()2222221105100901001041001061009510040.45s =−+−+−+−+−=. 故选：B.4. 在直三棱柱111ABC A B C 中，122AA AB AC ==，且AB AC ⊥，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是（ ）A.45B.35C.D.12【答案】A 【解析】【分析】先找到异面直线1A B 与1AC 所成角为HGI ∠（或其补角）,再通过解三角形求出它的余弦值. 【详解】如图分别取111,,,A C AA AB AC 的中点,,,H G I M ， 连接,,,GI HI IM GH ，因为11//,//A B GI HG AC ，所以异面直线1A B 与1AC 所成角即为直线GI 与HG 所成角，即HGI ∠（或其补角）， 设1222AA AB AC ===，由AB AC ⊥，所以BC ==MI =HIHG GB==，所以由余弦定理可得：22224cos5252HG GI HIHGIHG GI+−−∠===−⋅.则异面直线1A B与1AC所成角余弦值是45.故选：A.5. 数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（）A. 4.5B. 5.5C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】对这7个数按从小到大的顺序排列，然后根据百分位数的定义求解.【详解】这7个数从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，10，因为760% 4.2×=，所以第60百分位数是第5个数6.故选：C6. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为（）A.20π3B. 20πC. (10π+D. (11π+【答案】C【解析】【分析】根据题意求出圆台的母线长，再利用圆台的表面积公式求解即可.【详解】设圆台的母线长为l，则l=的所以圆台的表面积为221π1π3(2π12π3)2×+×+×+×10π+.故选：C7. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（ ） A. 165.5 B. 166C. 166.5D. 168【答案】B 【解析】【分析】由样本均值计算公式，代入数据即可求得； 【详解】抽取的样本的均值近似于总体的均值， 由题意可得：170,161xy =，500,400m n ==， 抽取的样本的均值为500400170161166500400500400m nx ym n m n ω=+=×+×=++++. 故选：B .8. 棱长为2的正方体内有一个棱长为a 的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a 的最大值为（ ） A 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】棱长为a 的正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，表示出,AO PO ，然后结合图形利用勾股定理列方程求解【详解】棱长为2的正方体内切球的半径为1，因为正四面体可以在正方体内任意转动，所以只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为a 的.正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，O 为底面正ABC 的中心，则23AO =，体高为PO ，由于外接球半径为1，利用勾股定理得：2211 −+=，解得a =或0a =(舍)， 故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分或4分，有选错的得0分．9. 某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（ ）A. a 的值为0.018B. 估计员工平均服务时长为45小时C. 估计员工服务时长的中位数为48.6小时D. 估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据各组的频率和为1可求出a ，对于B ，利用平均数的定义求解判断，对于C ，先判断中位数的位置，然后列方程求解即可，对于D ，根据频率分布直方图求出服务时长超过50小时的频率，再乘以800进行判断.【详解】对于A ，由频率分布直方图得10(0.0020.0350.0250.020)1a ++++=， 解得0.018a =，所以A 正确，对于B ，员工平均服务时长为250.02350.18450.35550.25650.249.3×+×+×+×+×=小时，所以B 错误，对于C ，因为前2组的频率和为0.200.5<，前3组的频率和为0.550.5>，所以中位数在第3组，设中位数为m ，则0.200.035(40)0.5m +−=， 解得48.6m ≈，所以C 正确，对于D ，因为服务时长超过50小时的频率为10(0.0250.020)0.45×+=， 所以本单位员工中服务时长超过50小时的约有8000.45360×=人，所以D 错误. 故选：AC10. 正六边形ABCDEF 的边长为2，G 为正六边形边上的动点，则AD BG ⋅的值可能为（ ） A. 3− B. 1−C. 12D. 16【答案】ABC 【解析】【分析】利用投影向量求解向量数量积，得到AD BG ⋅的最小值和最大值，得到答案.【详解】连接BF 与AD 相交于点O ，由正六边形的几何性质，BF ⊥AD ，60FAO ∠=°， 正六边形ABCDEF 的边长为2，故sin 301AO AF =°=，24AD EF ==， 故413OD =−=，故点B 在AD 上的投影为O ，当点G 与点D 重合时，此时BG 的投影向量为OD ，OD 与AD方向相同 此时AD BG ⋅取得最大值，最大值为4312AD OD ⋅=×=，故当G 与A 重合时，BG的投影向量为OA ，OA 与AD 方向相反，此时AD BG ⋅取得最小值，最小值为4OA AD −⋅=−，故[]4,12AD BG ⋅∈−，ABC 正确，D 错误.故选：ABC11. 如图，正三棱锥A BCD −和正三棱锥E BCD −，2BD =．若将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，且M ，B ，D ，E 四点共面，点M ，E 分别位于BD 两侧，则（ ）A. MN BD ⊥B. MN CE ⊥C. MCD. 点C 与点A 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，先作出图形，取BD 中点P ，证明BD ⊥平面ACP ，即可得到BD MN ⊥；对于B ，分别证明CE ⊥平面BDE ,MN ⊥平面MBD ，可推得//MN CE ，排除B ；对于C,先求得cos MPO ∠，再由余弦定理即可求得MC ，对于D ，只需求出两点的旋转半径即可求得.【详解】如图，取BD 中点P ，连接,AP CP ,依题意，,AB AD CB CD ==,则有,,BD AP BD CP ⊥⊥ 因,,AP CP P AP CP ∩=⊂平面ACP ,则BD ⊥平面ACP . 对于A ，因为将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，故MN ⊂平面ACP ,因BD ⊥平面ACP ，故BD MN ⊥即A 正确； 对于B，因2,BC CD BD EB ED EC ======,则由222ED EC CD +=可知，CE DE ⊥,同理CE BE ⊥,因,,DE BE E DE BE ∩=⊂平面BDE ,故得，CE ⊥平面BDE ,同理可证AC ⊥平面ABD , 依题意，因M ，B ，D ，E 四点共面，故MN ⊥平面MBD ,故//MN CE ,故B 错误； 对于C ，设连接AE ，交CP 于点O ，则EO PO ⊥,11233OP CP ===112EP BD =,则cos EPO ∠,,M P E三点共线，可得cos MPO ∠, 在MPC中，由余弦定理，MC ==故C 正确；对于D ，因点C 与点A 是同时旋转，故转动的轨迹长度之比即旋转的半径之比， 而点C转动的半径为2PC ==,点A 转动的半径为1PA =,故点C 与点A 旋转运动D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查余几何体旋转有关的线面关系问题，属于难题.问题的关键在于，正确作出图形，理解旋转前后的变与不变的量，通过线面关系的推理与证明，即可得到线面关系，借助于正、余弦定理进行相关计算，即可解决.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数112z =−+，复数2z 满足123z z −=，则2z 的最小值为________． 【答案】2 【解析】【分析】设2i(,R)z a b a b =+∈，代入123z z −=中化简可得22192a b ++−=，则点(,)a b在以12 − 为圆心，3为半径的圆上，从而可求得结果. ,的【详解】设2i(,R)z a b a b =+∈，因为112z =−，123z z −=，所以1i 32a b −+−−=，所以22192a b++−=，所以点(,)a b 在以12 −为圆心，3为半径的圆上，所以2z =的最小值为3312−=−=. 故答案为：213. 设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，E ，F 分别为AB ，1BD 的中点，点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥，则点M 轨迹的长度为________．【答案】2+ 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点M 轨迹的长度.【详解】在正方体1111ABCD A B C D −中，棱长为1，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，∴1111(0,0,0),(1,,0),(,,),2222D E F 设(,,)M x y z ，则1111(1,,0),(,,)2222DE FM x y z ==−−− ， ∵DE FM ⊥，∴11113()0022224x y x y −+−=⇒+−=，当0y =时，34x =，当1y =时，14x =，取3113(,0,0),(,1,0),(,1,1),(,0.1)4444G H R T ，连结,,,GH HR RT TG ，则1(,1,0),(0,0,1)2GH TR TG RH ==−== ，∴四边形GHRT 为矩形， 则111()20022DE GH ⋅=×−+×+= ，1100102DE TG ⋅×+×+× ，即,,,DE GH DE TG GH TG ⊥⊥为平面GHRT 中的两条相交直线，∴DE ⊥平面GHRT ，又111111(,,),(,,)422422GF FR =−=− ，又F 为1BD 的中点，则F ∈平面GHRT ， 为使DE FM ⊥，必有点M ∈平面GHRT ，又点M 在正方体表面上运动，所以点M 的轨迹为四边形GHRT ，因为1GH RT TG RH ，则点M 的轨迹不是正方形，则矩形GHRT 的周长为1222×+=+故答案为：2.14. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3,4,5．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是________． 【答案】52 【解析】【分析】先分情况分别求解组成三棱柱和四棱柱时的表面积，再比较大小得出最小值即可. ABC DEF −和直三棱柱111111A B C D E F −，如图所示：当拼成一个三棱柱时，表面积有三种情况： ①上下底面对接，其表面积为()112343454602S =×××+++×=；②边长为3的边合在一起时，表面积为()2122342542602S =××××++×=； ③边长为4的边合在一起时，表面积为()3122342532562S =××××++×=.当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图④、⑤、⑥、⑦：图④的表面积()4143454542602S =×××++++×=， 图⑤的表面积()5143453352562S =×××++++×=，图⑥的表面积()6143443432522S =×××++++×=， 图⑦的表面积()7143443342522S =×××++++×=. 综上所述，拼成的几何体的表面积最小值是52.故答案为：52.四、解答题：本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，120B =°．（1）若1a =，b =，求A ；（2）若b =，求ABC 周长的最大值．【答案】（1）30A =°（2）4+【解析】【分析】（1）利用正弦定理直接求解；（2）根据余弦定理结合基本不等式得4a c +≤，从而可求出ABC 周长的最大值．【小问1详解】由正弦定理知sin sin b a B A =1sin A=，解得1sin 2A =， 因为B 为钝角，所以30A =°．【小问2详解】解：由余弦定理得()2222222cos b a c ac B a c ac a c ac =+−=++=+−， 又由0a >，0c >，则22a c ac + ≤， 所以()()()222231224a c a c ac a c a c + =+−≥+−=+ ， 所以4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，即a c +的最大值为4，所以ABC 周长的最大值为4+．16. 在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，AD ∥BC ，2PA AB AD ===，1BC =，E 为PD 中点．（1）求证：CE ∥平面P AB ；（2）求直线CE 与平面P AD 所成的角的正弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AD 中点G ，根据平行关系可证平面ECG ∥平面P AB ，结合面面平行的性质分析证明； （2）根据题意可证CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成的角，即可得结果.【小问1详解】取AD 中点G ，连接EG ，CG ，因为E 、G 分别为PD 、AD 中点，则EG ∥PA ，112EG PA ==， 且PA ⊂平面P AB ，EG ⊄平面P AB ，可得EG ∥平面P AB ，由题意可知：BC ∥AG ，且BC AG =，可知ABCG 为平行四边形，则AB ∥CG ，2AB CG ==，且AB ⊂平面P AB ，CG ⊄平面P AB ，可得CG ∥平面P AB ，且CG EG G ∩=，,CG EG ⊂平面ECG ，所以平面ECG ∥平面P AB ，又因为EC ⊂平面ECG ，所以CE ∥平面P AB ．【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则PA AB ⊥又因为AD AB ⊥，PA AD A ∩=，,PA AD ⊂平面P AD ，可得AB ⊥平面P AD ，由（1）可知：AB ∥CG ，则CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成角，在直角三角形CEG 中，由（1）可知：2,1,CG EG CE ====，则sin CG CEG CE ∠=的所以直线CE 与平面P AD . 17. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．（1）应抽取小吃类商家多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．【答案】（1）28家 （2）① 487.5元；②280【解析】【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可；（2）①先根据频率和为1求出a ，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案.【小问1详解】根据分层抽样知：应抽取小吃类()80130%15%10%5%5%28×−−−−−=家； 【小问2详解】①根据题意可得()0.002320.006501a ×++×=，解得0.004a =， 设75百分位数为x ，因为()0.0020.0040.006500.60.75++×=<，(0.002+0.004+0.006+0.004)×50=0.8>0.75，所以()4500.0040.60.75x −×+=，解得487.5x =， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．②5004800.0040.0020.00250100028050− ×++××=， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280．18. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，M 分别为棱1BB 的中点．（1）证明：1AC D M ⊥；（2）求平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）连接BD ，则AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理可证得AC ⊥平面1BDD ，从而可证得结论； （2）延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，则可得∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，然后在MNB 中求解即可.【小问1详解】证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，因为1DD BD D = ，1,DD BD ⊂平面1BDD ，所以AC ⊥平面1BDD ，因为1D M ⊂平面1BDD ，所以1AC D M ⊥．【小问2详解】延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，因为BM ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以BM AE ⊥，因为BM MN M = ，,BM MN ⊂BMN ，所以⊥AE 平面BMN ，因为BN ⊂平面BMN ，所以AE BN ⊥，所以∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，因为BM ∥1DD ，所以MBE △∽1D DE △， 所以112MB BE D D DE ==，所以BE BD == 在ABE 中，2AB =，BE =，135ABE ∠=°所以2222cos13520AE AB BE AB BE =+−⋅°=，所以AE = 因为11sin 22ABE S AB BE ABE AE BN ∆=⋅∠=⋅，所以11222BN ××°=×，所以BN =MN === 所以2cos 3BN MNB MN ∠== 所以平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为23．19.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A ，B ，C ，过任意两点的大圆上的劣弧AB ，劣弧BC ，劣弧CA 所组成的图形称为球面ABC ，记其面积为ABC S 球面△．易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A ，A ′；若球面上A ，B ，C 的对径点分别为A ′，B ′，C ′，则球面A B C ′′′ 与球面ABC 全等，如图2．已知球O 的半径为R ，圆弧AB 和圆弧AC 所在平面组成的锐二面角B AO C −−的大小为α，圆弧BA 和圆弧BC 所在平面组成的锐二面角的大小为β，圆弧CA 和圆弧CB 所在平面组成的锐二面角的大小为γ．记()AB C ABC A BC A B C S S S S S α′′′′′′=+++ 球面球面球面．（1）请写出()πS ，π2S ，π4S的值，并猜测函数()S α的表达式； （2）求ABC S 球面△（用α，β，γ，R 表示）．【答案】（1）()2π4πS R =，2π2π2S R = ，2ππ4S R =；猜测2()4S R αα= （2）()πABCS R αβγ++−球面△【解析】 【分析】（1）结合图形理解题意，根据()S α的计算公式，分别求出()πS ，π2S，π4S ，并按照规律猜出()S α的表达式即得；（2）分别计算,,S S S αβγ并相加，利用八块球面拼接成一个球面，以及ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，将其化简，代入（1）猜测的公式，即可求得ABC S 球面△的解析式.【小问1详解】()222221111π4π4π4π4π4π4444S R R R R R =×+×+×+×=， 22222π11114π4π4π4π2π28888S R R R R R =×+×+×+×= ，22222π11114π+4π4π4ππ416161616S R R R R R =××+×+×= ． 猜测2()4S R αα=．【小问2详解】S S S αβγ++=()ABC A BC AB C A B C S S S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面()ABC AB C A BC A B C SS S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面 ()ABCABC A B C A B C S S S S ′′′′′′+++ 球面球面球面球面 22ABC A B C S S S ′′′=++ 球球面球面因为ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，所以22224444π4ABC R R R R S αβγ++=+ 球面，即()2πABC S R αβγ++− 球面．【点睛】思路点睛：本题主要考查球面三角形表面积的新定义问题，属于难题.解题思路，即是结合图形，充分理解题意，正确列出关系式，并根据图形进行表面积合并整理，即可求得.。