辽宁省七校名校协作体2024-2025学年高三上学期11月期中联考数学试题（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分命题校：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合10,{}2x A x B x x a x ⎧⎫-=≤=>⎨⎬-⎩⎭∣，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是（）A.1a < B.1a ≤ C.2a > D.2a ≥2.若(1i)23i z +=+，则复数z 的共轭复数z 的虚部是（）A.1i 2-B.12-C.1i 2 D.123.由一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y 得到回归直线方程ˆˆˆybx a =+，那么下列说法正确的是（）A.若相关系数r 越小，则两组变量的相关性越弱B.若ˆb越大，则两组变量的相关性越强C.回归直线方程ˆˆˆybx a =+至少经过样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯中的一个D.在回归直线方程ˆˆˆybx a =+中，当变量x 每增加1个单位时，相应的观测值y 约增加ˆb 个单位4.已知11sin(),cos sin 36αβαβ+==-，则cos(22)αβ-=（）A.19B.19-C.79D.79-5.数列{}n a 中，已知对任意自然数123,21nn n a a a a +++⋯+=-，则2222123n a a a a ++++ 等于（）A.21n- B.()221n- C.413n - D.1423n -+6.已知函数3()31f x x x =++，若关于x 的方程(sin )(cos )2f x f m x ++=有实数解，则m 的取值范围为（）A.[-B.[C.[0，1]D.[1,1]-7.已知O 为ABC 的外心，144,6,69AB AC AO AB AC ===+，则ABC 的面积为（）A.5B. C. D.68.已知函数()y f x =的表达式为()||x e f x x =，若函数22()[()]2()g x f x af x e ae =+--恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A.(,2)e -∞- B.(,)e -∞- C.2,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.,OA OB不共线，且()AP t AB t R =∈ ，则(1)OP tOA t OB =+- .B.若向量(,2),(3,2)a x x b x ==- ，且a 与b的夹角为钝角，则x 的取值范围是114,,0,333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C.已知(1,AB AC =-= ，则AB 在AC上的投影的坐标为D.已知点H 为ABC 的垂心，则222222||||||||||||HA BC HB CA HC AB +=+=+ 10.为加强学生体质健康，某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为13，乙每次投篮的命中率均为12，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（）A.第一次投篮的人是甲的概率为13B.已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为47C.第二次投篮的人是甲的概率为512D.设第n 次投篮的人是甲的概率为n a ，则()*1632,n n a a n n -+=≥∈N 11.已知22421(0,0)x y xy x y +-=<<，则（）A.222x y +的最大值是13+ B.222x y +的最小值是13-C.2x y +的最大值是-1D.2x y +的最小值是-2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：90，88，87，83，81，80，78，72，则这组数据的75%分位数是_____________.13.已知1a >，且8117log log 42a a +=，则a =_____________.14.设a R ∈，若0x >时均有()2[(1)1]10a x x ax ----≥，则a =_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数2π()2sin(π)sin sin1012tan 20f x x x x ︒︒⎛⎫⎛⎫=-++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）化简:sin101tan 20︒︒⎛⎫+⎪⎝⎭；（2）求函数()f x 的最小正周期和()f x 图象的对称中心;（3）求函数()f x 在[0,π]x ∈上的单调递增区间.16.（15分）在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，已知向量(sin sin ,)m A B c =+，(sin sin ,)n B C b a =-- ，满足//m n.（1）求A ;（2）若3a =，求ABC 周长的取值范围;（3）若角A 的平分线交边BC 于点,3D AD =，求ABC 面积的最小值.17.（15分）中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下：男女合计了解20不了解2040合计（1）将列联表补充完整；（2）是否有95%的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关;（3）若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为X ，求随机变量X 的分布列、数学期望、方差.附:22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d=+++()20P x k ≥0.1000.0500.0100.0010k 2.7063.8416.63510.82818.（17分）已知函数3()21x f x x =+，数列{}n a 满足()*113,,5n n a a f a n +==∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12111n nT a a a =+++ ，求n T ;（3）对于（2）中的n T ，若存在*n ∈N ，使得()1(21)n kn T n n+-≥-⋅成立，求实数k 的最大值.19.（17分）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下.如果函数()y f x =满足如下条件：①在闭区间[a ，b ]上的图象是连续的；②在开区间（a ，b ）上可导.则在开区间(,)a b 上至少存在一个实数ξ，使得()()()f b f a f b a ξ'-=-成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.（1）已知1()2ln ,,(1,3)f x x m x a b x=++∀∈且a b <，（i ）若()()1f a f b a b->-恒成立，求实数m 的取值范围;（ii ）当10m -≤<时，求证：2()()233f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.（2）已知函数e ()ln e (0)xx a g x x a x a x=+->有两个零点，记作12,x x ，若1202x x <<，证明：12232x x e +>2024-2025学年度（上）七校协作体11月高三联考数学参考答案一、单选：ABDA CBCB 二、多选：9.BD 10.BCD 11.AD 三、填空：12.87.513.2或6414.32四、解答：15.（1）sin 20sin101sin101sin10tan 20sin 20sin 20︒︒︒︒︒︒︒︒︒⎛⎫⎛⎫++=+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin802sin10cos10sin10sin 20sin 20︒︒︒︒︒︒=⋅=2sin10cos10sin 201sin 20sin 20︒︒︒︒︒===.……………………（4分）(2)2()sin cos 21x x f x x =-+πsin 212sin 213x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==；…………………………（7分）令π2π()3x k k Z -=∈，得ππ()62k x k Z =+∈，即()f x图象的对称中心为ππ,1()62k k Z ⎛+-∈ ⎝.………………………………………………………………………………（9分）（3）令πππ2π22π()232k x k k Z -+≤-≤+∈，得π5πππ()1212k x k k Z -+≤≤+∈，令0k =，得π5π1212x -≤≤；令1k =，得11π17π1212x ≤≤，所以函数()f x 在[0,π]x ∈上的单调递增区间为5π11π0,,,π1212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.16.解：（1）由//m n得：(sin sin ,)//(sin sin ,)(sin sin )()(sin sin )A B c B C b a A B b a c B C +--⇒+-=-，再由正弦定理角化边得:222222()()()a b b a c b c b a bc c b c a bc +-=-⇒-=-⇒+-=，再由余弦定理得:2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =;……………………………………………………………………（3分）（2）由正弦定理及（1）得sin sin sin 32b c a B C A ====ππ336sin 336a b c B C B B B ⎛⎫⎛⎫∴++=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πππ5π1ππ0,,sin 1,66sin 393666266B B B B ⎛⎫⎛⎫<<∴<+<<+≤∴<++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .因此，ABC 周长的取值范围是(6,9].…………………………………………（9分）（3）由ABC ABD ACD S S S =+ 11sin sin ,22c AD BAD b AD CAD =⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠1sin 2ABC S b c BAC =⋅⋅⋅∠ ，又因为π3,3AD A ==，角A 的平分线交边BC 于点D ，所以有:1π1π1πsin 3sin 3sin 232626b c c b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，整理得:33b c bc +=，由基本不等式得:b c +≥，所以有:12bc ≥，且b c ==时取等号，即1π13sin 122322ABC S b c =⋅⋅⋅≥⨯⨯= ，即ABC 面积的最小值为.………………………………………………（15分）17.解：（1）由题得列联表如下：男女合计了解402060不了解202040合计6040100………………………………………………………………………………………（3分）（2）由（1）可得22100(40202020)252.7783.841604060409χ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关.………………（8分）（3）由（1）可知抽取的100名学生中了解该活动的学生男生和女生分别为40人和20人，所以从了解该活动的学生中随机抽取1人参加传统文化知识竞赛，抽取的是女生的概率为20140203=+，……（9分）则由题意可知0,1,2,3X =，且1~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以3201331811124(0)C 1,(1)C 132733279P X P X ⎛⎫⎛⎫==-===-⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，232333116211(2)C 1,(3)C 33279327P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯===== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以随机变量X 的分布列为X 0123P8274929127……………………………………………………………………………………………………（13分）所以随机变量X 的数学期望为1()313E X np ==⨯=.………………………………………（14分）随机变量X 的方差为122()(1)3333D X np p =-=⨯⨯=……………………………………（15分）18.解:（1）因为函数3()21xf x x =+，所以()111312111111121333n n n n n n n n a a f a a a a a a +++⎛⎫==⇒=+⋅⇒-=- ⎪+⎝⎭，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11213a -=为首项，13为公比的等比数列，则有11211231133332n nn n nn n a a a -⎛⎫-=⋅⇒=+⇒= ⎪+⎝⎭；……………………………………（4分）（2）由（1）可知:1213n n a =+，所以2121111111111332211333313n n n n n T n n n a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++=++++=⨯+=-+ ⎪⎝⎭- ;……（8分）（3）由（2）可知:113n n T n =-+，所以由()11(21)3(21)n n k kn T n n n n+-≥⇒≥-⋅-⋅，因为*n ∈N ，所以由1(21)3(21)3n nk n nk n n -⋅≥⇒≤-⋅，……………………………………………………（11分）设(21)3n n n n b -⋅=，由21113134(21)(1)(21)44333n n n n n n n n n n b b +++⎛⎫--+⎪+⋅+-⋅⎝⎭-=-=，由二次函数性质可知：当*n ∈N 时，函数2313()444g n n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭是减函数，………………（14分）(1)30,(2)30g g =>=-<，于是有*1,n n >∈N 时，2313()4044g n n ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭，所以21234,n b b b b b b >>>>> ，因此()2max 23n b b ==，存在*n ∈N ，使得()1(21)n kn T n n +-≥-⋅成立，则有23k ≤，因此实数k 的最大值为23.……………………………………………………………………（17分）19.（1）（i ）解:法一:由()()1f a f b a b ->-，且a b <化简得()()f a f b a b -<-，即()()f a a f b b -<-，令1()()ln H x f x x x m x x=-=++，可知()H x 在(1,3)上单调递增，则21()10m H x x x '=-+≥在(1,3)上恒成立，即1m x x ≥-在(1,3)上恒成立，令1()h x x x=-，显然()h x 在(1,3)上单调递减，所以(1)0m h ≥=，即0m ≥，故实数m 的取值范围为[0,)+∞.……………………………（4分）法二：由拉格朗日中值定理可知，0(,)x a b ∃∈，使得()0()()f a f b f x a b'-=-，故问题转化为()01f x '>恒成立.又21()2m f x x x'=-+，则()0200121m f x x x '=-+>恒成立，即001m x x >-恒成立，因为0(,)(1,3)x a b ∈⊆，故令1()P x x x=-，显然()P x 在(1,3)上单调递减，所以(1,3),()(1)0x P x P ∀∈<=，所以0m ≥，故实数m 的取值范围为[0,)+∞……（4分）（ii ）证明：要证2()()233f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证22()()33a b f a f b f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即证22()22()33a b a b f b f ff a ++⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2133a ba b +<<<<，由拉格朗日中值定理可知，存在1222,,,33a b a b a b ξξ++⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222()()33a b b a f b f f ξ'+-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，()()1122()22()2333a b b a b a f f a f f ξξ''+--⎛⎫-=⋅=⋅ ⎪⎝⎭.由题意知21()2m f x x x'=-+，当10m -≤<时，()f x '在(1,3)上单调递增，则()()21f f ξξ''>，故()()212()2()33b a b a f f ξξ''--⋅>⋅，即22()22()33a b a b f b f f f a ++⎛⎫⎛⎫->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以命题得证.…………………………（8分）（2）函数e ()ln e x xa g x x a x x =+-有两个零点，即方程e ln e 0x x a x a x x +-=有两个根，即方程e e ln 10x xa a x x+-=有2个根.令1()ln 1(0),()10x x x x x xϕϕ'=+->=+>，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，且(1)0ϕ=，即方程e 1xa x =有2个根，且这两根即为方程e e ln 10x x a a x x+-=的根，…………………………………………（11分）所以1212e e x x a x a x ⎧=⎨=⎩，则1212e e x x x t x ==，则由1202x x <<，得12121210,,,e e ln 2x xt x tx t x x t ⎛⎫∈==⇒-= ⎪⎝⎭，所以22ln tx x t -=，则212ln ln ,11t t tx x tx t t ===--，要证122e32x x +>，即证1225ln 2x x +>，…………………………………………（12分）又12(2)ln 21t t x x t ++=-，令223ln 1(2)ln (),()1(1)t t t t t m t m t t t '-+-++==--，令22232(1)(2)()3ln 1,()1t t u t t t u t t t t t '--=-+-+=-++=，又10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0u t '>，故()u t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1150,,()3ln 20222t u t u ⎛⎫⎛⎫∀∈<=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0m t '<，故()m t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1()5ln 22m t m ⎛⎫>=⎪⎝⎭，即1225ln 2x x +>，即122e32x x +>，所以不等式得证.………………………………………………（17分）。
