第三讲：因式分解一提公因式法
【知识要点】
1、分解因式的概念
把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。
2、分解因式与整式乘法的关系
分解因式与整式乘法是的恒等变形。
3．分解因式的一些注意点
（1）结果应该是的形式；（2）必须分解到每个因式都不能为止；
（3）如果结果有相同的因式，必须写成的形式。
4．公因式
多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的.
5.提公因式法
如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做提公因式法.
6.确定公因式的方法
(1)系数公因式:应取多项式中各项系数为;
(2)字母公因式:应取多项式中各项字母为.
《重点辨析》
【学堂练习】
1.下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是?
(1))1
1(22x x x x +=+; (2)1)5)(5(22--+=-a a b a
(3)22))((n m n m n m -=-+ (4)22)2(44+=++x x x (5))23(232y x x x xy x -=+- (6)32)1)(3(2--=+-x x x x 2．把下列各式分解因式 （1）a ab a 3692+- （2）4324264xy y x y x +--
【经典例题】
例1、把下列各式分解因式 （1）)2(3)2(2y x b y x a --- （2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a -----
（3）32)2()2(2x y b y x a -+- （4）32)3(25)3(15a b b a b -+-
（5）432)(2)(3)(x y x y y x -+--- （6）n m n m x b x a x b x a )()()()(11++-++-+
例2．利用分解因式计算
（1）5.12346.45.12347.115.12349.2?-?+? （2）99
10098
992222--
例3．已知2,3
2
==+ab b a ，求代数式22222ab b a b a ++的值。
例4、利用因式分解说明：127636-能被140整除。
【随堂练习】
1．下列各式从左到右的变形中是因式分解的是（ ） A 、2))(1(2-+=+-a a b a a B 、)1)(1(2
2y x y x y
x -+=1-
C 、))((y x y x y x -+=-
D 、2)2(4)4(+=++m m m
2．已知二次三项式c bx x ++22分解因式)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ） A 、1,3-==c b
B 、2,6=-=c b
C 、4,6-=-=c b
D 、6,4-=-=c b
3．下列各式的公因式是a 的是（ ） A 、5++ay ax
B 、264ma ma +
C 、ab a 1052+
D 、ma a a +-42
4．将)()(3y x b y x a ---用提公因式法分解因式，应提出的公因式是（ ） A 、b a -3
B 、)(3y x -
C 、y x -
D 、b a +3
5．把多项式)2()2(2a m a m -+-分解因式的结果为（ ） A 、))(2(2m m a +- B 、))(2(2m m a -- C 、)1)(2(--m a m
D 、)1)(2(+-m a m
6．多项式xy y x -22的公因式是 ；多项式是323296c ab b a -的公因式是 。 7．分解因式：2xy xy -= 。 333)()()(n m m n b n m a -=---（ ）。 8．已知：1000,133==+ab b a 。22ab b a +的值为 。 9．把下列各式分解因式 （1）2222262ab b a b a +- （2）32223229123bc a c b a bc a ++-
（3）)()(y x b y x a --- （4）)()(22y x x x y ---
【课后强化】
1．432-+mx x 分解因式为)1)(43(-+x x ，则m 的值为 。
2．xy nxy mxy xy 3963-=+--（ ） =---+-)()()(a x c x a b a x a 。
3．把下列各式分解因式 （1）xyz xy y x 126322+- （2）)(6)(32x y x y x x -+-
（3）23)(4)(2x y y x -+- （4）2)())((b a a b a b a a +--+
第四讲：因式分解—公式法、分组分解法
【知识要点】
1．乘法公式逆变形
（1）平方差公式：))((2
2b a b a b a -+=-
（2）完全平方公式：2
22222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 2.常见的两个二项式幂的变号规律：
①22()
()n
n a b b a -=-； ②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）
3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解方法。
【学堂练习】
1、如果2592
++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ） A 15 B 15± C 30 D 30±
2、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（ ）
A 、42
+-m B 、22y x -- C 、122-y x D 、()()2
2
a m a m +--
3、把下列各式分解因式： （1）2
24b a - （2）2
916a - （3） 1162
2-y x
（4）36122+-m m （5）2
2
4
1y xy x +- （6）222y xy x -+-
（7）2
2
x y ax ay -++ （8）42
469x a a ---
【经典例题】
例1．用公式法分解因式：
（1）2
2
2
22
4)(b a b a -+ （2）2
2)3()2(--+y x
（3）442
2+-ab b a （4）16824+-x x
(5)2
2
)2(25)1(16+--x x (6)9)(6)(2
2
2
+-+-x x x x
例2．用分组分解法分解因式
（1）44ax ay x y --+ （2） 22
9816a ab b -++
（3）b a b a 4422+-- （4） 2
222
22a b c d ad bc --+--
例3 ．用合适的方法分解因式：
（1）4
24255b m a m - （2）2
22231212m n m n m +-
（3）)()(42
2
m n b n m a -+- （4）)(12)(942
2
n m m n m m ++++
例4．利用分解因式计算： （1）433.1922.12
2
?-? （2）2
298196202202+?+
例5．若3
2
2
3
,2,3b ab b a a ab b a +++-==+求值。
【随堂练习】
1．对于多项式532
1x x x -+-有如下四种分组方法：其中分组合理的是（ ）
①5
3
2
()(1)x x x -+- ②5
2
3
()(1)x x x +-+ ③5
3
2
()1x x x -+- ④5
3
2
(1)x x x --+ A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ 2.△ABC 的三边满足a 4+b 2c 2-a 2c 2-b 4=0，则△ABC 的形状是__________. 3.已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222
1
21b ab a ++。
4、分解下列因式：
（1）－3x 3－12x 2＋36x （2）2
2
2
4)1(x x -+
（3） m mn n m 222
--+ （4） a 2＋2ab ＋b 2－a －b