中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案
高等数学(专科)
一、填空题： 1.函数1
1
42-+
-=
x x y 的定义域是 。 解：),2[]2,(∞+--∞ 。
2.若函数52)1(2
-+=+x x x f ，则=)(x f 。 解：62
-x 3.sin lim
x x x
x
→∞-= 。
答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim
=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x
x
x x x x x x x x x
4.已知22
lim 2
22=--++→x x b
ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b ，
又由234
12lim 2lim 22
22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→)
1)((lim
0x a x b
e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a
b
e x a x x x ，∴0,1a b =≠ 6.函数⎪⎩⎪⎨⎧
≥+<=0
1
01sin
)(x x x x
x x f 的间断点是x = 。
解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01
sin
lim 00
==+=+-→→f x x
x x x
所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，
又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7.设()()()n x x x x y -⋅⋅--= 21, 则()
=+1n y
(1)!n +
8.2
)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。 答案：2
)12(+x 或1442
++x x 9.
函数22ln(1)
x y z
--=
的定义域为 。
解：函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<+<≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+<+≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-->--≥-1040141101042222222222222y x x y y x y x x y y x y x y x z ⇒ 的定义域为：{
10|),(22<+10.已知2
2
),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f .
解：令x y u +=，x y v -=，则,22
u v u v
x y +-=
=，()()()f x y x y xy x y +-=+ )(4
222),(22v u u u v u v u v u f -=-+=
，22(,)()4x
f x y x y =-
11.设22),(y
x x
xy y x f ++
=,则=')1,0(x f 。=')1,0(y f ∵ (0,1)000f =+=
20
00(,1)(0,1)
1(0,1)lim
lim 2x x x x
x f x f x f x
x
∆→∆→∆∆+
-∆-∆+'===∆∆ 0
0(0,1)(0,1)00
(0,1)lim
lim 0y y y f y f f y
y ∆→∆→∆+--'===∆∆。 12.设,,cos ,sin 3
2
t y t x y x z ==+=则t
z
d d ＝ 。 解：22sin 3cos dz
x t t y dt
=-+ 13.
=⎰⎰
dx x f d d dx d
)( 。 解：由导数与积分互为逆运算得，
)()(x f dx x f d d dx d
=⎰⎰
。 14.设)(x f 是连续函数，且
x dt t f x =⎰
-1
3)(，则=)7(f 。
解：两边对x 求导得1)1(332=-x f x ，令713
=-x ，得2=x ，所以12
131)7(2
2
=
=
=x x f . 15.若
2
1
d e 0
=
⎰
∞
+-x kx ，则_________=k 。 答案：∵)d(e 1lim d e 210
0kx k x b kx b kx
--==⎰⎰-+∞→∞+-
k
k k k kb b b kx b 1e 1lim 1e 1lim 0=-=-=-+∞→-+∞→
∴2=k
16.设函数f(x,y)连续，且满足⎰⎰
+=D
y d y x f x
y x f 2),(),(σ，
其中,:2
22a y x D ≤+则f(x,y)=______. 解：.4
44
2
x a y π+ 记⎰⎰=
D
d y x f A σ),(，则2
),(y
Ax y x f +=，两端在D 上积分有：⎰⎰⎰⎰+=
D
D
d y
Axd A σσ2
，其
中⎰⎰=D
xd A
0σ（由对称性）
，⎰⎰⎰⎰=
=a
D
a d d d y 0
4
2
3
20
2.4
sin πρϕρϕσπ
即 4
4
a A π=
，所以，.4
),(4
2
x a y y x f π+
=
17.求曲线2
,42
2ay
x ax y =
=所围成图形的面积为 ，（a>0） 解：22
3
a
18.
∑
∞
=--1
2
2212n n n
x n ； 解：令2
x y =，则原幂级数成为不缺项的幂级数
∑∞
=--1
1
212n n n
y n ，记其各项系数为n b ，因为21212lim 2122212lim lim 11
=+-=+⋅-==∞→+∞→+∞→n n n n b b R n n n n n n n ，则20222<≤⇒<<-x y ， 故22<
<-x .
当2±=x 时，幂级数成为数项级数∑∞
=-1)12(21n n ，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为
)2,2(-.
