随机过程复习题(附答案)

随机过程复习题

一、填空题：

1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有

______}|{|lim =<-∞

>-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。

2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则

1592}6)5(,4)3(,2)1({-⨯⨯=

===e X X X P ,618}4)3(|6)5({-===e X X P

15

32623292!23!2)23(!23}

2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}

2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({}6)5(,4)3(,2)1({----⨯⨯=⨯⨯⨯==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P

66218!

26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4

12141， ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43410313131043411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4831481348

4

36133616367164167165)1()2(2P P 167)2(12=P 16

1314341}

2|2{}1|2{}1{}

2,1|2{}1|2{}1{}

2,2,1{12010102010210=⨯⨯=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ=

5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ，

)]()([)(πϖδπϖδπω-++=X S

6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。

7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2

3)(242++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值=2121- 2222221

1221)2(22211122)(+⨯⨯-+⨯⨯=+-+=ωωωωωS

τττ---=e e R X 212

1)(2 )(t X 的均方值2

121)0()(2

-==ψX X R τ 8. 随机相位过程),cos()(Θω+=t a t X 其中ω,a 为常数，Θ为),(π20上服从均匀分布的随机变量，则0)(>=

ϖττcos 2

)()(2

a t X t X >=+< 9．设马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的状态空间}1,0{=I ，则一步转移概率矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=9.01.01.09.0P ，初始分布为)31,32(0(=p ，则2X 的分布律为

)300

118,300182()2(=P ，0354.0)0,1,1(432====X X X P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==82.018.018.082.0)2(2

P P )300

118,300182(82.018.018.082.0)31,32()2(0(2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==P p p 0354.01.09.0300

118)

1|0()1|1()1()

1,1|0()1|1()1()

0,1,1(34232324232432=⨯⨯=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P

10.设...)2,1,0(=n X n 是只有两个状态的齐次马氏链，其n 步转移概率矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n D C n P 21311)(，则n n n n D C 21

131-==

13．设μ=)(X E ，2)(σ=X D ，则由切比雪夫不等式____)|(|≥<-σμ3X P ；

14．随机变量序列 n X X X ,,21独立同分布,且2σμ==)(,)(i i X D X E >0

2,1=i ,则对任意实数,x ________}{lim =≤-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1

二、计算与证明：

1．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为

31，晴天转雨天的概率为21，任一天晴或雨是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，n X 表示第n 天的状态（0或1）。

写出马氏链},{1≥n X n 的一步转移概率矩阵；

在5月1日为晴天的条件下，5月3日为晴天；5月5日为雨天的概率各是多少？；

解：}1,0{=I ， (1)⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=31312121)1(P (2) ⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=181118

7127125)2(P , 125)2()0|0(0013====p X X P

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=648389648259432259432173)4(P , 432259)4()0|0(0115====p X X P 2．设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=3/23/103/203

/103/23/1P ，证明此链具有遍历性，并求其平稳分布。 解：⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛==9/69/29/19/49/49/19/49/29/3)1()2(2P P 由于)2(P 中不含有零元，故此链具有遍历性。

解方程组P ππ=和1=∑i π，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+=+=1

323231323131321323312211ππππππππππππ 解得74,72,71321===πππ，故平稳分布为)7

4,72,71(=π。

3．将2个红球4个白球任意地放入甲、乙两个盒子中，每个盒子中放3个，现从每个盒子中各取一球，交换后放回盒中，以)(n X 表示经过n 次交换后甲盒子中的红球数，则}0),({≥

n n X 是一齐次马尔可夫链，试求：（1）求初始分布；（2）求一步转移概率矩阵；（3）证明}0),({≥n n X 是遍历链。 解：(1) }2,1,0{=I

5

1)0(36340===C C X P , 53)1(3612240===C C C X P , 51)2(3622140===C C C X P , 故初始分布)51,53,51(0(=p 。 (2) ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=3/13/209/29/59/203/23/1)1(P (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛==27727162748116814981162742716277)1()2(2P P , 由于)2(P 中不含有零元，故此链具有遍历性。

4．设t B t A t X 00sin cos )(ω+ω=，0ω是常数，A 与B 为相互独立的随机变量，且)1,0(~N A ，)1,0(~N B

（1）证明)(t X 是平稳过程； （2）证明)(t X 均值具有各态历经性；

求)(t X 的平均功率。

解：(1) 10==DA EA

10==DB EB

1)(1)(2222=+==+=EB DB EB EA DA EA

A 与

B 相互独立，0))(()(==EB EA AB E