基于单元级矩阵分解的EBEPCG算法及其在网络机群并行环境上的实现
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应注重： 方程组 （&） 求解的工作量 # 另外， 在预条件矩阵 . 选择方面， . 与 $ 的近似程度； . 的稀疏结构；
记 其中
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单元划分 自由度 # #; $; %; #/> $/> %/> ;D; /E0 3/ , >! >H , !3 / , /3 0 , E0 F/ , !; / , FH 0 , /0
基于单元级矩阵分解的 2=2>?35 算法及其 在网络机群并行环境上的实现
叶 明
!%@@##） （常熟高等专科学校 数学系， 江苏 常熟
摘
要：基于 2=2 策略， 讨论求解大型线性方程组 35 方法及 ?35 方法的并行计算 < 在不显式
形成总刚度阵的情况下利用单元级矩阵的 3A89BCDE 分解构造总刚度阵的近似， 形成预条件矩 阵， 提出了求解大型线性方程组的 2=2>?35 并行算法， 并讨论了算法在网络机群 （ 3’F） 并行 计算环境下的实现 < 结合实际算例， 对 2=2>?35 并行算法进行了并行效率分析 < 结果表明基于 单元级 3A89BCDE 分解的 2=2>?35 算法具有很好的并行效率， 是一种适合网络机群并行环境的 高效并行算法 < 关键词：2=2 策略； 有限元分析； 并行计算 ?35 法； 中图分类号：’!"% 文献标识码：+ 文章编号： （!##$） %GH%>GIHG #">#$!%>#@
［$］ ［"］ （通讯） 外， 相互独立 < 因此， 尤其是 N/N6 型并行计算环境 2=2 策略很适合于并行计算， <
本文基于 2=2 策略， 讨论了在不显式形成总刚度矩阵的前提下对其实施近似 3A89BCDE 分解， 并针对 结合实例测 由此所得的预条件矩阵讨论了相应的 2=2>?35 算法的并行处理 < 在网络机群并行环境下， 算， 将相应的 2=2>?35 算法与 2=2>35 算法进行了效率分析比较 <
方程组 （(） 的求解步骤： 每组内的各单元互不连 "）首先将所有单元分成 * 个组， 接， 从而同一组中的计算可并行计算， 设第 + 组内单元数为 它们的编号为： #+ ， …， #+ #+ # #+ ， "， $，
+
$）每个单元并行计算：
（ $） # "（ $） ! " $ / （ $） $ & ,-. "
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算例及其效率分析
这里采用的算例是一个平面悬臂板结构静力分析问题， 如图 $， 单元取平面八节点等参元 4 图 $ 中将结构分成 "2 个单元， 将单元按图中编号进行分组， 即：
第 " 组单元号： ｛ ； 第 $ 组单元号： ｛ ； 第 ( 组单元号： ｛ ； 第 0 组单元号： "， $， (， 0｝ 1， 2， 3， F｝ G， "’， ""， "$｝ 万方数据 ｛ 每个子结构单元由一个结点机负责计算 4 "(， "0， "1， "2｝ 4 从而将整体结构分成四个子结构，
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基于 2=2 计算策略的共轭梯度法
共轭梯度法中计算量主要为运算： 矩阵向量乘积： 向量内积： ， $ K !% ； &） $） ! K（ & ， " K（ % ， 以下给出在不显式形成总刚度矩阵 ! 情形下利用 2=2 策略完成上述两种计算 < 设系统中单元数为 ’() ， 系统结点数为 * ， 每个单元的节点数为 + ， 每个节点的自由度为 , ， 则总刚度
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淮阴师范学院学报 （自然科学版）
第%卷
% （ "） （ "） （ "） 为 #" ! # 阶矩阵成立等式： ， !" — 第 " 号单元对总刚度矩阵的装配矩阵， $" " ! " $ !" ； & ’ ， （ "） （ "） ， ( ) — 第 " 号单元的 #" 维单元级向量 # #"* #"*
矩阵 ! 的阶 ’ K * ・ , ， 引进记号： （ (） 为 ’( 阶矩阵， ! — 第 ( 号单元的单元刚度矩阵， ’( K + ・ , ；
’()
为 ’ 阶矩阵， 成立等式： !( — 第 ( 号单元对总刚度矩阵的贡献， ! K
收稿日期： !##$>#G>%I 万方数据 作者简介：叶明 （%J@H>） ， 男， 江苏常熟人， 讲师， 主要从事数值代数与并行计算等研究 <
图! 模型问题
机群并行环境， 每个结点机为个人 *"， 内存 /!31 ， 操作平台为 4567$8’ 9: ; , 0， 编程语言 "*2 为 *!， （版本为 1*?"@A/ , ! , /） <" = = > , 0 结合并行接口 1*? 库 , 表 / 列出了基于 &’()*+,- 分解的 %.%A /&0 算法就模型问题在系统采用不同剖分以及引入不同结点 机数进行计算时的加速比及并行效率 ,
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淮阴师范学院学报 （自然科学版）
第!卷
也即结 ! — 系统的总自由度数； " — 系统的子结构数， 点机数； （秒） ； #" — 用 " 台结点机参以计算所用总时间 # — 基于不完全 "#$%&’() 分解的串行 *"+ 算法所需时间； — — 用 " 台结点机 $" — 用 " 台结点机计算的加速比； %" — 计算的并行效率 , 这里， $ " - # . #" ， %" - $ " . " , 计算环境为基于 /001 高速数据交换的局域网的网络
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第0期
叶明： 基于单元级矩阵分解的 )*)+,-. 算法及其在网络机群并行环境上的实现
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