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山东师范大学2015-2016学年第一学期期末考试试题
(时间:120分钟 共100分)
一、单项选择题:请将所选答案的字母标号填入题干后的括号内(本题共6小题,每小题3分,共18分) 1. 数列{}n x 有界是该数列收敛的 ( ).
(A )充分条件 (B )充分必要条件
(C )必要条件 (D )既非充分又非必要条件 2. 函数 ?????=≠=0001sin )(2x x x x x f 在[-1,1]上( ).
(A)不满足罗尔与拉格朗日中值定理的条件 (B )仅满足罗尔中值定理的条件
(C )满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件(D )仅满足拉格朗日中值定理的条件
3.用“A ?B ”表示概念A 可以推导出概念B ,函数)(x f y =的可导、可微、连续、可积在某闭
区间上的推导关系式为( ).
(A)可导?可微?连续?可积 (B)连续?可导?可微? 可积
(C)可积?连续?可导?可微 (D)可积?可微?可导? 连续
4.已知
=++=??dx x f C x F dx x f )12(,)()(则( ).
(A )C x F +)(2 (B)C x F +)2( (C )C x F ++)12( (D)C x F ++)12(2 5. 定积分的定义01()lim ()n
i i i b a f x dx f x λξ?→==∑?中要求( ). (A )对[,]a b 必须等分,i ξ取1,[]i i x x -上任意一点
(B )对[,]a b 任意分法,i ξ必须取],[1i i x x -的端点
(C )对[,]a b 任意分法,i ξ取1,[]i i x x -上任意一点
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(D )存在对[,]a b 的某种分法,i ξ在],[1i i x x -内取定某点
6.设,01,()1,1 2.
x x f x x ≤≤?=?<≤? 则0()()x F x f t dt ==?( ). (A)21,01,2,1 2.x x x x ?≤≤???<≤? (B) 21,01,21,1 2.2
x x x x ?≤≤????-<≤?? (C) 21,01,21,1 2.x x x x ?≤≤???-<≤? (D) 1,01,21,1 2.
x x ?≤≤???<≤?
二 、
填空题:请将答案填在题目后面的直线上。(本题共6小题,每小题3分,共18分)
1.=+→x x x sin 20)31(lim .
2.?????≤>=-0
0)(cos )()1(12
x e x x x f x a x ,当=a 时,)(x f 在0=x 连续. 3.若=--+='→sinh
)()(lim ,1)(0000h x f h x f x f h 则 .
4.函数()ln(1)f x x =+的带拉格朗日余项的二阶麦克劳林展开式为
.
4 5.曲线2()3()51x y x -=
- 的垂直渐近线是 .
6.设=+=??dx x f C x dx x xf )
(1,arcsin )(则 .
三、计算题(一):(本题共6小题,每小题6分,共36分)
. 求极限30arctan lim ()ln 1x x x
x →-+
2.设y x x y x '+=求),2arcsin(.
3.计算不定积分xdx ?4sec .
4.计算不定积分?xdx x arctan .
5.计算不定积分dx x x ?-22
4 .
6.计算不定积分dx x x x ?++-4222.
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四、计算题(二):(本题共2小题,每小题8分,共16分)
1. 已知()00y =,求由方程22000d cos d y x t t t t +=?
?e 确定的隐函数()y y x =的二阶导数202d d |x y x
=.
2.求函数2
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)1(-=x x y 的单调区间和极值,凹凸区间和拐点.
五、证明题:(本题共1小题,共6分)
证明当0≥x 时,)1ln(x xe x +≤-.
六、应用题(本题共1小题,共6分)
将一个边长为a 的正方形铁皮,从每个角截去同样的小方块,然后把四边折起来,能做成一个无盖的方盒,为了使这个方盒的体积最大,问应截去多少.