【金版学案】2013-2014学年度高中数学 4.1.2 圆的一般方程同步辅导与检测课件 新人教A版必修2

1 【优化方案】2013-2014学年高中数学 4.1.2 圆的一般方程能力提升（含解析）新人教A版必修2

1．若使圆x2＋y2＋2x＋ay－a－12＝0(a为实数)的面积最小，则a＝________.

解析：由已知得圆的半径：

r＝12

22＋a2－4－a－12

＝12 4＋a2＋4a＋48＝12 a＋22＋48，

∴当a＝－2时，rmin＝1248＝23，

即此时圆的面积最小．

答案：－2

2．已知圆x2＋y2－4x＋3＝0，则x2＋y2的最大值是________．

解析：圆的方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标是(2,0)，半径为1.由于x2＋y2表示圆上的点(x，y)到原点的距离，故其最大值为2＋1＝3，从而x2＋y2的最大值是9.

答案：9

3．(1)已知点M与两个定点A(4,2)、B(－2,6)的距离的比值为1，探求点M的轨迹，然后求出它的方程；

(2)已知点M与两个定点A(4,2)、B(－2,6)的距离的比值为12时，M点的轨迹又是什么？求出它的方程．

解：设M(x，y)，

(1)因为点M与两个定点A(4,2)、B(－2,6)的距离的比值为1，所以x－42＋y－22x＋22＋y－62＝1，

化简得3x－2y＋5＝0，

所以M的轨迹是直线，它的方程是3x－2y＋5＝0.

(2)因为点M与两个定点A(4,2)、B(－2,6)的距离的比值为12，

所以x－42＋y－22x＋22＋y－62＝12，

化简得(x－6)2＋(y－23)2＝2089，

故此时M的轨迹是以(6，23)为圆心，

半径为4313的圆，

它的方程是(x－6)2＋(y－23)2＝2089.

4．已知圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，在圆上求一点M使它到点P(1,1)的距离最大？圆上哪一点到P点的距离最小呢？

解：如图所示，将方程配方得(x－4)2＋(y－1)2＝5，方程表示以(4,1)为圆心，5为半径的圆．

4.1.2

圆的一般方程

学

习

目

标 核 心 素 养

1.正确理解圆的方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径．(重点)

2．会在不同条件下求圆的一般式方程．(重点) 1. 通过圆的一般方程的推导,提升逻辑推理、数学运算的数学素养．

2. 通过学习圆的一般方程的应用,培养数学运算的数学素养.

圆的一般方程

(1)圆的一般方程的概念：

当D2＋E2－4F＞0时,二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．

(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：

圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为－D2，－E2,半径长为12D2＋E2－4F．

思考：所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆吗？

[提示] 不是,只有当D2＋E2－4F>0时才表示圆．

1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )

A．(2,3) B．(－2,3)

C．(－2,－3) D．(2,－3)

D [－D2＝2,－E2＝－3,∴圆心坐标是(2,－3)．]

2．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆,则实数k的取值范围为( )

A．k≤12 B．k＝12

C．k≥12 D．k<12

D [方程表示圆⇔1＋1－4k>0⇔k<12.]

3．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心,且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是( )

A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0

C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0

D

[由题意知圆心坐标是(－1,0),故所求直线方程为y＝x＋1,即x－y＋1＝0.]

4．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3,则m的值为________．

114 [因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m,∴r＝5－m＝32,∴m＝114.]

圆的一般方程的概念

【例1】 (1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆,则实数k的取值范围是( )

学习内容 学习指导

即时感悟

【学习目标】

1、掌握圆的一般方程的特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径。

2、掌握二元二次方程与圆的一般方程的关系及根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的一般方程。

3、进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想。

【学习重点】掌握圆的一般方程，用待定系数法求圆的一般方程；

【学习难点】二元二次方程与圆的一般方程的关系及根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的一般方程。

【回顾·复习】

1、圆222420xyxy的圆心坐标和半径分别为

( )

()A(1,2),3 ()B(1,2),3 ()C(1,2),3 ()D(1,2),3

2、圆心为(1,2),半径为2的圆的标准方程是_______________________.

【自主·合作·探究】

探究一：圆的标准与一般方程之间的转换

1、将以C(1,2)为圆心,2为半径的圆的标准方程展开并整理得__________________

2、圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？

探究二：二元二次方程与圆的一般方程的关系

1、方程014222yxyx表示什么图形？方程064222yxyx表示什么图形？

2、方程022FEyDxyx在什么条件下表示圆？

3、如果圆220xyDxEyF圆心在直线2yx上，则（ ）

()A2DE ()B2ED ()C20ED ()DDE

4、若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是( )

A.a＜-2或a＞32 B.-32＜a＜0 C.-2＜a＜0 D.-2＜a＜32

【典型例题】

例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,求出圆的圆心及半径.

(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;

1 【学习目标】 (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．

（2）掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

【学习重点】圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．

【学习难点】对圆的一般方程的认识、掌握和运用

【活动方案】

活动一：推导圆的一般方程。

1、试根据下列内容，把推导圆的一般方程的过程补充完整。

写出以(a，b)为圆心，半径r圆的标准方程：

把圆的标准方程展开，并整理：

取222,2,2rbaFbEaD得 ①

这个方程是圆的方程．

反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得 ②

(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示表示以 为圆心, 为半径的圆；

（2）当0422FED时，方程只有实数解2Dx，2Ey，即只表示点 ;

（3）当0422FED时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形

综上所述，方程022FEyDxyx表示的曲线不一定是圆

只有当0422FED时，它表示的曲线才是圆，

我们把形如022FEyDxyx的表示圆的方程称为圆的一般方程

2、圆的一般方程的特点：

(1)