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implicit–explicit backward difference formulae for quasi-linear parabolic equations

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Numer.Math.(2015)131:713–735

DOI10.1007/s00211-015-0702-0NumerischeMathematik

Fullyimplicit,linearlyimplicitandimplicit–explicit

backwarddifferenceformulaeforquasi-linear

parabolicequations

GeorgiosAkrivis·ChristianLubich

Received:18March2014/Revised:16December2014/Publishedonline:11January2015

©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2015

AbstractQuasi-linearparabolicequationsarediscretisedintimebyfullyimplicit

backwarddifferenceformulae(BDF)aswellasbyimplicit–explicitandlinearly

implicitBDFmethodsuptoorderfive.Underappropriatestabilityconditionsfor

thevariousmethodsconsidered,weestablishoptimalorderapriorierrorboundsby

energyestimates,whichbecomeapplicableviatheNevanlinna-Odehmultipliertech-

nique.

MathematicsSubjectClassification65M12·65M60·65L06

Enl’honneurdeMichelCrouzeixàl’occasiondesonsoixante-dixième

anniversaire

1Introduction

Inthispaperwestudystabilityandconvergenceoftimediscretisationsofquasi-

linearparabolicequations.Thetimeintegrationmethodsconsideredarevariantsof

backwarddifferenceformulae(BDF)uptoorder5,whichincludethestandardfully

implicitBDFmethodaswellascomputationallylessexpensivelinearlyimplicitand

implicit–explicitvariants.Suchmethodshavebeenstudiedpreviouslyfornon-linear

TheworkofGeorgiosAkriviswaspartiallysupportedbyGSRT-ESET“Excellence”grant1456.

G.Akrivis

DepartmentofComputerScienceandEngineering,

UniversityofIoannina,45110Ioannina,Greece

e-mail:akrivis@cs.uoi.gr

C.Lubich(B

)

MathematischesInstitut,UniversitätTübingen,

AufderMorgenstelle,72076Tübingen,Germany

e-mail:lubich@na.uni-tuebingen.de

123714G.Akrivis,C.Lubich

parabolicproblemswithtemporallyconstantellipticoperator[1,3,5,8]andforlinear

parabolicproblemswithtime-dependentoperators[12],usingspectralandFourier

techniques.

Ontheotherhand,energytechniquesforfirst-(implicitEuler)andsecond-order

BDFmethodshavebeenusedforparabolicproblemsin[14]and[13].Theseenergy

argumentsrelyontheA-stabilitypropertyofthemethodsintheequivalentformof

Dahlquist’sG-stability[6].TherestrictiontoA-stablemultistepmethodsintheuse

ofenergytechniqueshasbeenovercomein[11],wherethemultipliertechniquefor

A(θ)-stablemethodsisdevelopedandappliedtostiffordinarydifferentialequations.

Apartfromsomepreliminaryremarksin[11],thispowerfultechniquehasnotbeen

usedinthenumericalanalysisofparabolicproblemsuntilfairlyrecently,in[9],where

aclassoflinearproblemswithtime-dependentoperatorsisconsidered.

Forquasi-linearparabolicproblems,implicitRunge–Kuttamethodshavebeenstud-

iedin[10]usingbothenergyandFouriertechniques.

Here,wewillusetheNevanlinna-Odehmultipliertechniqueof[11],inaway

similarto[9],instudyingBDFmethodsandtheirlinearlyimplicitandimplicit–explicit

variants,uptoorder5,whentheyareappliedtoquasi-linearparabolicproblemsin

thesettingof[10].Wegiveparticularattentiontothearisingstabilityconditions.

InSect.2weformulatethegeneralproblemsettingandthenumericalmethodsto

bestudied.Weconsideranabstractsettingthatencompassesquasi-linearparabolic

partialdifferentialequationsaswellastheirfiniteelementsemi-discretisationsin

space.InSect.3wediscussexistenceofthenumericalsolutionsandtheconsistency

errorsofthevariousmethods.Section4givesthestabilityanderroranalysisofthe

fullyimplicitBDFmethodsuptoorder5,whileSects.5and6dealwiththeimplicit–

explicitandlinearlyimplicitBDFvariants,respectively.InSect.7westudythecase

ofHermitianellipticoperatorsinthequasi-linearparabolicproblem,forwhichwe

requirelessstringentstabilityconditionsthatareindependentoftheboundedness-

coercivityratiooftheoperatorsforallBDFmethodsuptoorder5.Thissubstantial

improvementinthestabilityconditionsisobtainedbyusingtime-andstate-dependent

normsintheanalysis.

2Settingandpreliminaries

2.1Abstractsetting

LetT>0,u0∈H,andconsideranabstractinitialvalueproblemforapossibly

quasi-linearparabolicequation

󰀁

u󰀂

(t)+A(t,u(t))u(t)=B(t,u(t)),0

u(0)=u0,(1)

inthefollowingsetting,cf.[10]:LetHandVbeseparablecomplexHilbertspaces

withnorms|·|and󰀃·󰀃,respectively,suchthatVisdenselyandcontinuouslyembedded

inH.ThenormofthedualspaceV󰀂

isdenotedby󰀃·󰀃

󰀂.WeidentifyHanditsdual

H󰀂

,sothatV⊂H=H󰀂

⊂V󰀂

,andthedualitypairing(·,·)betweenV󰀂

andV

123Backwarddifferencemethodsforquasi-linearparabolicequations715

coincidesonH×VwiththeinnerproductofH.Weassumethat,uniformlyforall

w∈V,thesesquilinearformassociatedwiththelinearoperatorsA(t,w):V→V󰀂

satisfiesthecoercivityinequality

Re(A(t,w)υ,υ)≥κ(t)󰀃υ󰀃2

∀υ∈V,(2)

withasmoothpositivefunctionκ:[0,T]→R,andisboundedby

|(A(t,w)υ,˜υ)|≤ν(t)󰀃υ󰀃󰀃˜υ󰀃∀υ,˜υ∈V,(3)

withasmoothpositivefunctionν:[0,T]→R.

Furthermore,weassumethattheoperatorsA(t,·)satisfytherestrictedLipschitz

conditionalongtheexactsolutionu(t),

󰀃󰀂

A(t,w)−A(t,˜w)󰀃

u(t)󰀃

󰀂≤λ(t)󰀃w−˜w󰀃+μ|w−˜w|∀w,˜w∈V,(4)

forallt∈[0,T],withasmoothnonnegativefunctionλ:[0,T]→R.Typicallyin

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预处理子空间迭代法的一些基本概念

预处理子空间迭代法的一些基本概念

CG算法的预处理技术：、

为什么要对A进行预处理：其收敛速度依赖于对称正定阵A的特征值分布

特征值如何影响收敛性：特征值分布在较小的范围内，从而加速CG的收敛性

特征值和特征向量的定义是什么？（见笔记本以及收藏的网页）

求解特征值和特征向量的方法：Davidson方法：Davidson 方法是用矩阵( D - θI)- 1( A - θI)

产生子空间，这里 D 是 A 的对角元所组成的对角矩阵。θ是由 Rayleigh-Ritz 过程所得到的A的近似特征值。

什么是子空间法：Krylov子空间叠代法是用来求解形如Ax=b 的方程，A是一个n*n 的矩阵，当n充分大时，直接计算变得非常困难，而Krylov方法则巧妙地将其变为Kxi+1=Kxi+b-Axi的迭代形式来求解。这里的K(来源于作者俄国人Nikolai Krylov姓氏的首字母)是一个构造出来的接近于A的矩阵，而迭代形式的算法的妙处在于，它将复杂问题化简为阶段性的易于计算的子步骤。

如何取正定矩阵Mk为：

Span是什么？:设x_(1,)...,x_m∈V ,称它们的线性组合∑_(i=1)^m?〖k_i x_i \|k_i∈K,i=1,2...m〗为向量x_(1,)...,x_m的生成子空间，也称为由x_(1,)...,x_m张成的子空间。记为L（x_(1,)...,x_m），也可以记为Span（x_(1,)...,x_m）

什么是Jacobi迭代法：

什么是G_S迭代法：请见PPT《迭代法求解线性方程组》

什么是SOR迭代法：

什么是收敛速度：

什么是可约矩阵与不可约矩阵？：不可约矩阵（irreducible matrix）和可约矩阵（reducible

matrix）两个相对的概念。

定义1：对于 n 阶方阵 A 而言，如果存在一个排列阵 P 使得 P'AP 为一个分块上三角阵，我们就称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵 A 是不可约的。

newmark-β积分法

newmark-β积分法

newmark-β积分法

Newmark-β积分法是一种求解动力学方程的数值方法，它是将齐次二阶常微分方程转化为一组一阶常微分方程组合而成的。Newmark-β积分法适用于非线性和线性问题，它的优点是稳定性好、精度高、计算速度快，并且求解结果具有高精度和可靠性。

Newmark-β积分法由美国科学家Newmark于1959年提出，它采用了一个半隐式的时间推进格式，将时间积分精确到二阶，即在时间推进过程中同时计算位移和速度。Newmark-β积分法可以看做是一种基于变速度的方法，它将时间积分的加速度通过一个参数β进行调整，使得加速度的影响逐渐变弱，而速度和位移的影响逐渐变强，从而保证了数值解的精度和稳定性。

在Newmark-β积分法中，位移和速度分别表示为u(t)和v(t)，加速度可以通过力和质量计算得出。通过一定的推导可得到如下的方程：

u(t+Δt) = u(t) + Δt*v(t) + Δt^2*[(1-2β)/2]*a(t) +

Δt^2*β*a(t+Δt)

v(t+Δt) = v(t) + Δt*[(1-γ)]*a(t) + Δt*γ*a(t+Δt)

其中，γ和β均是调节参数，它们的取值会对数值解的精度和稳定性产生影响。通常情况下，β取值在0.25~0.35之间，γ取值在0.5左右。

Newmark-β积分法在工程领域有广泛的应用，特别是在结构动力学和地震工程等领域具有重要地位。例如，当地震发生时，建筑物和桥梁等结构会受到很大的地震力，这时可以采用Newmark-β积分法来模拟结构的动态响应。通过对模拟的结果进行分析，可以评估结构的安全性和稳定性，从而指导设计和修建。

总之，Newmark-β积分法是一种有效的数值方法，它在很多应用领域有着广泛的应用。通过对Newmark-β积分法的理解和运用，可以提高工程师对动力学问题的分析和解决能力。

常微分方程数值解法复变函数

常微分方程数值解法复变函数

第八章 常微分方程数值解法

教学目的 1. 掌握解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta

方法；2. 掌握解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；3. 了

解单步法的收敛性、相容性与稳定性；多步法的稳定性。

教学重点及难点 重点是解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta

方法和解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；难点是理解单

步法的收敛性、相容性与稳定性及多步法的稳定性。

教学时数 20学时

教学过程

§1基本概念

1．1常微分方程初值问题的一般提法

常微分方程初值问题的一般提法是求函数bxaxy),(，满足







)2.1()()1.1(),,(

aybxayxf

dxdy

其中),(yxf是已知函数，是已知值。

假设),(yxf在区域},),{(ybxayxD上满足条件：

（1）),(yxf在D上连续；

（2）),(yxf在D上关于变量y满足Lipschitz条件：

2121),(),(yyLyxfyxf，

21,,yybxa （1.3）

其中常数L称为Lipschitz常数。我们简称条件（1）、（2）的基本条件。

由常微分方程的基本理论，我们有：

定理1 当),(yxf在D上满足基本条件时，一阶常微分方程初值问题（1.1）、（1.2）

对任意给定存在唯一解)(xy在],[ba上连续可微。

定义1 方程（1.1）、（1.2）的解)(xy称为适定的，若存在常数0和0K，对任意满足条件及

)(x的和)(x，常微分方程初值问题









aazbxaxzxf

dxdz

)(),(),(

（1.4）

存在唯一解)(xz，且}.{)()(

Kxzxy

适定问题的解)(xy连续依赖于（1.1）右端的),(yxf和初值。由常微分方程的基本

crank nicolson差分格式

crank nicolson差分格式

crank nicolson差分格式

Crank-Nicolson差分格式是常用的数值求解偏微分方程的方法之一，它在时间和空间两个维度上均使用了中心差分。对于二维抛物型偏微分方程，假设其形式为：

∂u/∂t = D(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²) + f(x,y,t)

其中，D为扩散系数，f(x,y,t)为源项。我们将时间和空间离散化，得到差分格式：

u(i,j,n+1) - u(i,j,n) / Δt = D(u(i+1,j,n+1)-2u(i,j,n+1)+u(i-1,j,n+1))/Δx² + D(u(i,j+1,n+1)-2u(i,j,n+1)+u(i,j-1,n+1))/Δy² + 1/2(f(i,j,n)+f(i,j,n+1))

其中，i,j表示空间中的网格点，n表示时间层的编号。此格式是一个隐式格式，需要求解一个线性方程组来获得下一时间层的解。这个方程组可以用追赶法（Tri-diagonal Matrix Algorithm）解决，复杂度为O(N)，其中N为网格点总数。Crank-Nicolson差分格式精度较高，对于时间步长Δt和空间步长Δx,Δy的选择有一定的限制，一般而言，Δt应该小于Δx²/(4D)。