2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年湖北，文1，5分】i 为虚数单位，607i =（ ）
（A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 【答案】A
【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，故选A ． （2）【2015年湖北，文2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米
1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） （A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B
【解析】依题意，这批米内夹谷约为28
1534169254
⨯=石，故选B ．
（3）【2015年湖北，文3，5分】命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） （A ）0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- （B ）0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-
（C ）(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- （D ）(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-
【答案】C
【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故选C ．
（4）【2015年湖北，文4，5分】已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的
是（ ）
（A ）x 与y 负相关，x 与z 负相关 （B ）x 与y 正相关，x 与z 正相关 （C ）x 与y 正相关，x 与z 负相关 （D ）x 与y 负相关，x 与z 正相关 【答案】A 【解析】因为变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，其中0.10-<，所以x 与y 成负相关；又因为变量y 与z 正相关，
不妨设()0z ky b k =+>，则将0.11y x =-+代入即可得到：()()0.110.1z k x b kx k b =-++=-++，所以x 与
z 负相关，综上可知，故选A ． （5）【2015年湖北，文5，5分】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ）
（A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A
【解析】若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以q ：12,l l 不相交成立，即p 是q 的充分
条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故选A ．
（6）【2015年湖北，文6，5
分】函数256
()lg 3
x x f x x -+-的定义域为（ ）
（A ）(2,3) （B ）(2,4] （C ）(2,3)(3,4] （D ）(1,3)(3,6]- 【答案】C
【解析】由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：40x -≥，256
03
x x x -+>-，解之得
22x -≤≤，2x >，3x ≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4] ，故选C ． （7）【2015年湖北，文7，5分】设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
，则（ ）
（A ）|||sgn |x x x = （B ）||sgn ||x x x = （C ）||||sgn x x x = （D ）||sgn x x x =
【答案】D
(2,3)(3,4]
【解析】对于选项A ，右边,0sgn 0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0
,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩
，显然不正确；对于选项B ，右边
,0sgn 0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，显然不正确；对于选项C ，右边,0
sgn 0,0,0
x x x x x x x >⎧⎪
===⎨⎪<⎩，
而左边,0,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，显然不正确；对于选项D ，右边,0
sgn 0,0,0
x x x x x x x >⎧⎪
===⎨⎪-<⎩
，而左边,0,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，
显然正确，故选D ．
（8）【2015年湖北，文8，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1
2
x y +≤”的概率，2p 为事件
“1
2
xy ≤” 的概率，则（ ）
（A ）1212p p << （B ）1212p p << （C ）2112p p << （D ）211
2
p p <<
【答案】B
【解析】由题意知，事件“12x y +≤”的概率为11111222118p ⨯⨯
=
=⨯，事件“12
xy ≤”的概率 02S
p S =，其中()110211111ln 2222S dx x
=⨯+=+⎰，111S =⨯=，所以
()()021
1ln 21121ln 21122
S p S +===+>⨯，故选B ．
（9）【2015年湖北，文9，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >
个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）
（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <
（C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D
【解析】依题意，1e =，
2e = 因为()()()
m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >， 当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22
b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
，所以12e e <；
当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22
b b m a a m +⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
，所以12e e >．
所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．
（10）【2015年湖北，文10，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，
定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）
（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30 【答案】C
【解析】因为集合(){}
2
2,1,,A x y x
y x y =
+≤∈Z ，
所以集合A 中有9个元素（即9个点），即、 图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）： 即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}
A B x x y y x y A
x
y B ⊕=++∈∈
