课程作业
曲柄摇杆优化设计
姓名：宋*
学号：2012138229
班级：20121057
三峡大学机械与动力学院
目录
1.曲柄摇杆机构优化设计题目要求 (1)
2.课题描述 (2)
3.数学模型的建立 (3)
3.1设计变量的确定 (3)
3.2约束条件的建立 (3)
3.3目标函数的建立 (6)
4.数学模型的建立 (8)
5.用matlab优化计算程序及分析讨论 (8)
5.1讨论及结果分析 (9)
5.2.程序代码过程 (14)
6.参考文献 (10)
小结 (12)
1.
0ψψ=式中0ϕ和0ψ得小于45 ≥[min γγ1空间，可以适当预选机架杆的长度，现取l 4 =5。
2.课题描述
在曲柄输入角从0ϕ到2
0π
ϕ+
的过程中，使摇杆输出角ψ尽量满足一个给定的函
数)(0ϕf 即公式（1）。对此我将0ϕ到2
0π
ϕ+
等分为m 分，当然输出角ψ也将对
应的分为m 分，然后我将输出角对应的数值与期望函数进行拟合，如果误差降到最小，那么得到的结果将会是优化的解，这是将连续型函数转化为离散型的问题，利用matalab 编程计算，从而求解。运动模型如图（1）所示
图（1）曲柄摇杆机构运动模型图
3.数学模型的建立
3.1设计变量的确定
定义：设计变量是除设计常数之外的基本参数，在优化设计过程中不断地进行修改、调整、一直处于变化的状态，这些基本参数都叫做设计变量。
对于本课题，设计常量为21,l l 长度，分别为1和5。决定机构部分杆长尺寸32,l l ，以及摇杆按照已知运动规律开始运动时曲柄所处的位置角0ϕ应该列为设计变量即为 X=[]T
x x x 32
1
=[]T
l l 032ϕ
由于整个机构的杆长都是按比例来设计的，他们都是1的倍数，按照题目要求曲柄的初始位置为极位角，即0ϕ。则可以根据曲柄摇杆机构各杆长度关系得到0ϕ和
相应的摇杆3l 位置角0ψ的函数，关系式为
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-++=4
2123242210)(2)(arccos l l l l l l l ϕ （2）
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--+=43232422102)(arccos l l l l l l ψ （3）
由已知条件可知21,l l 长度分别为1和5，而根据公式（2）（3）可知，0ϕ0ψ 是由32,l l 的长度来决定，所以32,l l 为独立变量，则可以确定本课题的设计变量 X=[][]T
T
l l x x 3221
=,这是一个二维优化问题。
3.2约束条件的建立
定义：如果一个设计满足所有对它提出的要求，成为可行设计；一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件做为约束条件。 对本题分析可知机构要满足两个约束条件即
①杆长条件满足曲柄摇杆机构存在条件②传动角满足最小传动角大于45度
︒=≥45][min γγ
（1）杆长条件满足曲柄摇杆机构存在条件则有 a.最短杆与最长杆长度之和应小于或等于其余两杆之和 b.连架杆与机架中至少有一杆是最短杆
当最短杆为曲柄时即满足曲柄摇杆存在条件，得到以下约束条件
00)(121≤-=≥=x l x g （4） 00)(232≤-=≥=x l x g （5）
060)(2132413≤--=≤--+=x x l l l l x g （6） 040)(2143124≤--=≤--+=x x l l l l x g （7） 040)(1242135≤--=≤--+=x x l l l l x g （8）
（1）传动角满足最小传动角大于45度︒=≥45][min γγ(注：以本机构为例，传动角为32,l l 之间所夹的锐角；机械原理，西工大版） ①当曲柄在),0[π时，如图（2
）所示
图（2）左极限最小传动角示意图
相应的传动角约束条件为
[]02)(arccos 180)(3
22
412
3220
6≤-+-+-=γl l l l l l x g （9）
②当曲柄在]2,(ππ区间上运动时，相应的传动角约束条件为，如图(3)
图（3）右极限最小传动角示意图
[]02)(arccos )(3221423227≤⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--+-=l l l l l l x g γ （10）
这是一个具有2个设计变量，7个不等式约束条件的优化设计问题，可以选用约束优化方程成语来计算。
3.3目标函数的建立
定义：满足所有约束条件的设计方案是可行设计方案，优化设计的任务就是要对各个设计方案进行比较，从而找出那个最佳的设计方案。而对设计方案进行优劣比较的标准就是目标函数，或称为评价指标、评价函数。
针对本课题，目标函数可根据已知的运动规律和机构实际运动规律之间的偏差最小作为指标来建立，即取机构的期望输出角)(00ϕψf =和实际输出角)(0ϕψi i f =的平方误差积分最小作为目标函数，表达式为ϕψψπ
ϕϕd i Ei 22
)(00
-⎰+
，
而这时一个连续型函数，为了方便计算，我们将这个问题转化为离散型的问题。
把输入角度ϕ取m 个点进行数值计算，它可以化约（4)表达式最小来求解。
21
21)(),()(i m
i Ei x x f x f ψψ-==∑= （11）
Ei ψ--------期望输出角，Ei ψ=)(i E ϕψ；
m--------输入角的等分数；
i ψ-------实际输出角，由公式（1)可知；
由曲柄的运动情况，可以分成三种运动模型，一种是在曲柄在机架之上运动，另一种是曲柄在机架下面运动，最后一种是二者都满足。我将分别对此讨论，写出相应的目标函数并分析前两种结果对最终结果的影响。 （1)当πϕ≤≤i 0时，如图
(4)
图（4）曲柄在πϕ≤≤i 0区间模型图
实际输出角为
i i i βαπψ--= )0(πϕ≤≤i （12）
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=221223222322arccos 2arccos x x x l l l i i i i i ρρρρα (13)
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+=i i i i i l l l ρρρρβ1024arccos 2arccos 24
21242 (14)
