模糊数学教程第6章 确定隶属函数的方法

模糊综合评价法隶属度确定模糊综合评价法是一种多指标决策方法，通过定义隶属度函数对问题进行模糊化处理，将各指标的隶属度进行综合评价，得出最终的评价结果。

本文将对模糊综合评价法中的隶属度确定进行探讨。

隶属度函数是模糊综合评价法的重要组成部分，它用来描述指标值与评价等级之间的隶属关系。

在实际问题中，往往存在多个指标，每个指标都有不同的评价等级，因此需要为每个指标确定相应的隶属度函数。

确定隶属度函数的过程通常包括两个步骤：构造隶属度函数和确定隶属度的取值范围。

构造隶属度函数是指根据指标的实际情况和评价等级的要求，选择合适的隶属度函数形式。

常用的隶属度函数有三角形函数、梯形函数、高斯函数等。

不同的函数形式可以描述不同的隶属关系，因此在选择时需要根据实际情况进行合理的选择。

确定隶属度的取值范围是指为每个评价等级确定对应的隶属度取值范围。

一般来说，隶属度的取值范围为[0,1]，表示指标值与评价等级的程度关系。

隶属度为0表示指标值与评价等级之间不存在隶属关系，隶属度为1表示指标值完全属于评价等级。

在确定隶属度函数和取值范围后，可以根据指标的实际值计算出每个指标对应的隶属度。

然后，根据综合评价的要求，可以采用加权平均法、加权最大法等方法对各指标的隶属度进行综合，得到最终的评价结果。

模糊综合评价法的优点是能够充分考虑多指标之间的相互关系，能够处理不确定性和模糊性的问题。

但是在实际应用中，也存在一些问题和挑战。

首先，确定隶属度函数需要根据实际情况进行合理选择，这需要对问题有一定的理解和经验。

其次，确定权重的过程也比较困难，需要考虑指标的重要性和相互关系。

最后，模糊综合评价法的计算过程相对复杂，需要进行大量的计算和数据处理。

模糊综合评价法是一种多指标决策方法，通过定义隶属度函数对问题进行模糊化处理，综合各指标的隶属度得出最终的评价结果。

在实际应用中，需要合理选择隶属度函数和确定权重，同时还需要注意计算过程的复杂性。

模糊综合评价法在工程管理、环境评价等领域有着广泛的应用前景，可以为决策者提供有价值的参考和决策支持。

第六章 模式识别与模糊控制前几章集中讨论了模糊数学的基本理论，为加深对这些基本理论的理解，进一步讨论它们的应用背景，本章和下章将介绍模糊数学的部分典型应用。

6.1 模糊模式识别根据给定的某个模型特征来识别它所属的类型问题称为模式识别。

例如，给定一个手写字符，然后根据标准字模来辨认它；通过气象和卫星资料的分析处理，对未来天气属于何种类型作出预报等等。

换言之，模式识别是通过已知的各种模型来识别给定义对象属哪一类模型的问题。

模式识别通常采用统计方法、语言方法和模糊识别方法。

本节介绍的是模糊识别的基础。

6.1.1 模糊识别基本方法模糊识别方法主要建立在“最大隶属原则”和“择近原则”的基础之上。

因此，我们首先介绍这两个原则。

一、最大隶属原则设给定待识别对象x 0∈X , 求x 0应属于X 中的哪个模糊集合？ 最大隶属原则是种用于个体识别的方法。

最大隶属原则：设A 1 , A 2 , … , A n 是论域X 中的n 个模糊集合——标准模型。

对于给定的待识别对象x 0∈X ，如果存在一个i ∈{1，2，…，n}，使得A i （x 0） = Max {A 1（x 0）, A 2（x 0）, … , A n （x 0）} 则认为x 0相对地隶属于A i 。

例6－1 将人分为老、中、青三类，它们分别对应于三个模糊集合A 1 , A 2 , A 3 ，其隶属函数分别为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤---=7070606050501]20/)70[(21]20/)50[(20)(221 x x x x x x x A⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤--≤--≤-≤=7007060]20/)70[(26050]20/)50[(215030]20/)40[(213020]20/)20[(2200)(22222 x x x x x x x x x x x A⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤---=4040303020200]20/)40[(2]20/)50[(211)(223 x x x x x x x A①现有某人45岁，因A 1（45）＝0，A 2（45）＝1，A 3（45）＝0，故有 Max { A 1（45）, A 2（45）, A 3（45）}＝A 2（45） 即此人应属中年人。

一、F集合1、F集定义设论域U上给定了一个映射A:U→0,1u|→A(u)则称A为U上的模糊(Fuzzy)集，A(u)称为A的隶属函数（或称为u对A的隶属度）。

2、F集的截集定义设A∈F(U)，λ∈[0, 1]，记(1) Aλ={u| u∈U, A(u) ≥λ}称Aλ为A的一个λ截集，λ称为阈值（或置信水平）；(2) Aλ={u| u∈U, A(u) ＞λ}称Aλ为A的一个λ强截集。

3、F集的模糊度定义若映射d:F U→[0,1]满足条件：(1) 当且仅当A∈P(U)时，d(A)=0,(2) ∀ u∈U，当且仅当A(u) ≡1/2时，d(A)=1，(3) ∀ u∈U，当B(u) ≤A(u) ≤1/2时，d(B) ≤d(A)，(4) A∈F(U)，d(A)=d(A c)，称映射d为F(U)上的一个模糊度，d(A)称为F集A的模糊度。

该定义给出了关于模糊度的4条公里，它们所反映的现实是：条件（1）表明普通集是不模糊的；条件（2）和条件（3）表明，越靠近0.5就越模糊，尤其是当A(u) ≡0.5时，是最模糊的，这时A c(u)=1- A(u)=0.5这种模棱两可的情况是最难决策的；条件（4）表明F集A与其补集A c具有相同的模糊度。

二、F模式识别1、典型模式识别系统2、F 集的贴近度定义设A, B, C ∈F(U)，若映射N:F U ×F U →[0,1]满足条件：(1) N(A, B)=N(B, A)，(2) N(A, A)=1,N U,∅ =0，(3) 若A B C ⊆⊆，则 N(A, C)N(A, B)N(B, C)≤∧，则称N(A, B)为F 集A 与B 的贴近度。

N 称为F(U)上的贴近度函数。

贴近度是对两个F 集接近程度的一种度量。

3、F 模式识别原则F 模式识别大致有两种方法，一种是直接方法，按“最大隶属原则”归类，主要应用于个体的识别；另一种是间接方法，按“择近原则”归类，一般应用于群体模型的识别。

模糊隶属度计算公式模糊隶属度计算是模糊逻辑中重要的概念，用于描述事物在某个模糊集合中的隶属程度。

模糊隶属度的计算公式可以根据不同的模糊集合类型和隶属函数进行选择，下面将介绍一些常见的模糊隶属度计算公式及其相关参考内容。

1. 三角形隶属度计算公式三角形隶属度计算公式是常用的模糊隶属度计算方法，在三角形模糊集合中，隶属函数的形状呈三角形。

对于给定的输入值x，其隶属度m可以通过以下公式计算：m(x) = (x-a)/(b-a)，其中a和b是三角形隶属函数的两个顶点。

2. 梯形隶属度计算公式梯形隶属度计算公式是用来计算梯形模糊集合中的隶属度的方法。

梯形模糊集合的隶属函数呈梯形状。

对于给定的输入值x，其隶属度m可以通过以下公式计算：m(x) = (x-a)/(b-a)，其中a和b是梯形隶属函数的两个顶点。

3. 高斯隶属度计算公式高斯隶属度计算公式是计算高斯模糊集合中的隶属度的方法，高斯模糊集合的隶属函数符合高斯曲线的形状。

对于给定的输入值x，其隶属度m可以通过以下公式计算：m(x) = exp(-((x-c)/d)^2/2)，其中c是高斯隶属函数的均值，d是标准差。

4. S曲线隶属度计算公式S曲线隶属度计算公式用于计算S曲线模糊集合中的隶属度，S曲线模糊集合的隶属函数呈S形状。

对于给定的输入值x，其隶属度m可以通过以下公式计算：m(x) = 1/(1+exp(-a(x-b)))，其中a和b是S曲线隶属函数中的参数。

以上介绍的模糊隶属度计算公式是常见的几种，根据不同的模糊集合类型和隶属函数，可以选择适合的公式进行计算。

模糊隶属度的计算在模糊逻辑和模糊控制等领域有着广泛的应用，对于模糊推理和模糊决策等问题具有重要的意义。

对于模糊隶属度计算公式的具体推导过程和理论研究，可以参考模糊逻辑和模糊控制相关的书籍和论文，如《模糊数学及应用》、《模糊控制系统设计与应用》等。

模糊数学中的模糊集合与隶属度函数模糊数学是一种基于模糊集合理论的数学方法，用于处理含有不确定性和模糊性的问题。

在模糊数学中，模糊集合和隶属度函数是两个核心概念。

一、模糊集合
模糊集合是对现实世界中不确定性和模糊性的数学描述。

与传统的集合论中的集合不同，模糊集合允许元素以不同的程度属于或不属于集合。

例子：假设我们要描述一个人的年龄，一般的集合描述方法是“20岁”或者“30岁”。

但是在模糊集合中，我们可以用隶属度函数来描述一个人的年龄，如“年轻”、“中年”、“老年”等。

二、隶属度函数
隶属度函数是衡量一个元素对于某个模糊集合的隶属程度的函数。

它定义了元素在0和1之间的值，代表了元素对于该模糊集合的属于程度。

例子：假设我们定义了一个模糊集合“年轻人”，它的隶属度函数可以表示为：
{1, 0≤x≤25
μ(x)= {
{50-2x, 25<x<37.5
其中x表示人的年龄，μ(x)表示年龄x对于“年轻人”的隶属度。

当x 为25岁时，μ(x)的值为1，表示完全属于“年轻人”；当x为37.5岁时，μ(x)的值为0，表示不属于“年轻人”。

通过隶属度函数，我们可以量化元素属于某个模糊集合的程度，从
而进行模糊推理和决策。

结语
模糊集合和隶属度函数是模糊数学中的重要概念，它们为处理现实
世界中的模糊和不确定性问题提供了有力的工具。

通过合理定义模糊
集合和隶属度函数，并运用模糊数学的方法，我们可以更好地处理模
糊问题，提高决策的准确性和可靠性。

模糊隶属度计算公式
隶属度模糊计算方法是基于模糊集合理论的一种计算方法，广泛应用于人工智能、自动化控制、模式识别等领域，其计算公式是模糊集合理论的核心内容之一。

模糊隶属度计算公式是指在模糊集合框架中，用来描述元素与模糊集合成员之间关系强弱的数学公式，通常用u(x)表示元素x与模糊集合的隶属度程度，其取值范围为[0,1]。

在模糊隶属度计算过程中，常用的方法有最大隶属度法、平均隶属度法等，具体计算公式如下：
最大隶属度法：u(x) = max{μA(x),μB(x),… ,μn(x)}
平均隶属度法：u(x) = （μA(x)+μB(x)+…+μn(x)）/n
其中，μA(x)表示元素x在模糊集合A中的隶属度程度，μB(x)表示元素x在模糊集合B中的隶属度程度，μn(x)表示元素x在模糊集合n中的隶属度程度。

模糊隶属度计算方法主要适用于那些难以用确定性方法精确描述的复杂问题，由于它能够考虑到变量在不同条件下的权重以及实际情况的模糊性，因此可以更精确的描述问题的复杂性和多样性，从而提高计算的准确度和可靠性。

总之，模糊隶属度计算方法是一种非常重要的数学工具，它为解决模糊问题提供了一种可靠的数学手段，其公式的运用在实际问题中
具有十分广泛的应用价值。

对于从事相关领域研究的人员来说，掌握
模糊隶属度计算方法对于提高工作效率和解决实际难题具有重要意义。

隶属函数确定问题一、隶属函数的确定原则1、表示隶属度函数的模糊集合必须就是凸模糊集合;即:在一定范围内或者一定条件下,模糊概念的隶属度具有一定的稳定性;从最大的隶属度函点出发向两边延伸时,其隶属度就是单调递减的,而不许有波浪性,呈单峰;一般用三角形与梯形作为隶属度函数曲线。

2、变量所取隶属度函数通常就是对称与平衡的模糊变量的标值选择一般取3-9个为宜,通常取奇数(平衡),在“零”“适中”等集合的两边语言值通常取对称。

3、隶属度函数要避免不恰当的重复在相同的论域上使用的具有语意顺序的若干标称的模糊集合,应该合力排序。

4、论语中的每个点应该至少属于一个隶属度函数的区域,同时它一般应该属于之多不超过两个隶属度函数的区域。

5、对于同一输入,没有两个隶属度函数会同时有最大隶属度6、对两个隶属度函数重叠时,重叠部分对于两个隶属度函数的最大隶属度不应该有交叉。

二、隶属度函数确定的方法1、模糊统计法模糊统计法的基本思想就是对论域U上的一个确定元素v就是否属于论域上的一个可变的清晰集的判断。

(清晰集、模糊集)模糊统计法计算步骤:Step1 确定论域Step2形成调查表Step3统计成频数分布表Step4建立隶属函数Step5隶属度(由频数分布表或者隶属函数可得)所谓模糊统计实验包含以下四个要素:假设做n次模糊统计试验,则可计算出:实际上,当n不断增大时,隶属频率趋于稳定,其频率的稳定值称为0x 对A的隶属度,即2、例证法例证法由已知的有限个隶属度函数的值,来估计论域U上的模糊子集A的隶属函数。

3、专家经验法就是根据专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或者相应的权系数值隶属函数的一种方法。

4、二元对比排序法5、群体决策法6、指派方法(待定来自算法大全第22章模糊数学模型)指派方法就是一种主观的方法,它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的一种方法。

如果模糊集定义在实数域R上,则模糊集的隶属函数称为模糊分布。

第4章隶属函数的确定方法在模糊理论的应用中，我们面临的首要问题就是建立模糊集的隶属函数。

对于一个特定的模糊集来说，隶属函数不仅基本体现了它所反映的模糊概念的特性，而且通过量化还可以实现相应的数学运算和处理。

因此，“正确地”确定隶属函数是应用模糊理论恰如其分地定量刻划模糊概念的基础，也是利用模糊方法解决各种实际问题的关键。

然而，建立一个能够恰如其分地描述模糊概念的隶属函数，并不是一件容易的事情。

其原因就在于一个模糊概念所表现出来的模糊性通常是人对客观模糊现象的主观反映，隶属函数的形成过程基本上是人的心理过程，人的主观因素和心理因素的影响使得隶属函数的确定呈现出复杂性、多样性，也导致到目前为止如何确定隶属函数尚无定法，没有通用的定理或公式可以遵循。

但即便如此，鉴于隶属函数在模糊理论中的重要地位，确定隶属函数的方法还是受到了特别的重视，至今已经提出了十几种确定隶属函数的方法，而且其中一些方法基本上摆脱了人的主观因素的影响。

本章将选择4种经常使用的、具有代表性的方法予以介绍，它们是：直觉方法，二元对比排序法，模糊统计试验法，最小模糊度法。

4.1 直觉方法直觉的方法就是人们用自己对模糊概念的认识和理解，或者人们对模糊概念的普遍认同来建立隶属函例1、“正好”、“热”和“很热”图1 空气温度的隶属函数例2根据人们对汽车行驶速度中“慢速”、“中速”和“快速”这三个概念的普遍认同，可以给出描图2 汽车行驶速度的隶属函数虽然直觉的方法非常简单，也很直观，但它却包含着对象的背景、环境以及语义上的有关知识，也包含了对这些知识的语言学描述。

因此，对于同一个模糊概念，不同的背景、不同的人可能会建立出不完全相同的隶属函数。

例如，模糊集A = “高个子”的隶属函数。

如果论域是“成年男性”，其隶属函数的曲线如图3(a )所示；而如果论域是“初中一年级男生”，其隶属函数的曲线则为图3(b )所示的情形。

(a) (b)图3 不同论域下“高个子”的隶属函数4.2 二元对比排序法建立一个模糊集的隶属函数，实际上可以看成是对论域中每个元素隶属于某个模糊概念的程度进行比较、排序。

模糊数学中的模糊集合与隶属度函数模糊数学是一门研究现实中模糊信息和不完全信息的数学理论。

在模糊数学中，模糊集合和隶属度函数是其核心概念之一。

一、模糊集合模糊集合是对现实世界中模糊或不确定概念的数学抽象。

与传统的集合理论不同，模糊集合并不要求元素的成员关系是确定的，而是通过隶属度函数来描述元素与集合的隶属关系。

一个元素可以同时隶属于多个模糊集合，并且隶属程度可以是连续的。

在模糊集合中，隶属度函数是描述元素与集合之间的隶属关系的数学函数。

它将元素映射到[0,1]的隶属度区间，表示元素与集合的隶属程度。

例如，对于一个模糊集合A来说，元素x的隶属度可以表示为μA(x)，其中μA(x)的取值范围为[0,1]。

二、隶属度函数隶属度函数是描述元素与模糊集合之间隶属关系的数学函数。

它是模糊集合理论中的重要工具，常用于描述概念的模糊性和不确定性。

常见的隶属度函数包括三角形隶属度函数、梯形隶属度函数、高斯隶属度函数等。

三角形隶属度函数通过一个三角形的边界来表示元素的隶属度，具有对称性和简单性。

梯形隶属度函数通过一个梯形的边界来表示元素的隶属度，可以更精确地描述元素的隶属度。

高斯隶属度函数使用高斯曲线来表示元素的隶属度，具有光滑性和非对称性。

隶属度函数的选择需要根据具体情况来确定，可以根据实际需求和数学模型来选择最合适的隶属度函数。

三、模糊集合与隶属度函数的应用模糊集合与隶属度函数在实际应用中具有广泛的应用价值。

它们被广泛应用于模糊控制、人工智能、模式识别、决策分析等领域。

在模糊控制中，模糊集合与隶属度函数用于描述输入与输出之间的模糊关系，通过定义模糊规则和模糊推理来实现对系统的控制。

在人工智能中，模糊集合与隶属度函数用于处理模糊和不完全信息，进行模糊推理和模糊分类。

在模式识别中，模糊集合与隶属度函数用于进行特征提取和模式匹配，提高系统对不确定性和噪声的适应能力。

在决策分析中，模糊集合与隶属度函数用于处理决策变量的不确定性和模糊性，提供决策的支持和评估。

模糊隶属度函数的选取
模糊隶属度函数是模糊逻辑中的一个重要概念，它用于描述模糊集合中元素的隶属程度。

在实际应用中，如何选取合适的模糊隶属度函数是一个关键问题。

我们需要了解模糊隶属度函数的基本形式。

一般来说，模糊隶属度函数可以表示为一个数学函数，它将元素的取值映射到一个[0,1]的区间内，表示该元素在模糊集合中的隶属程度。

常见的模糊隶属度函数包括三角形函数、梯形函数、高斯函数等。

我们需要考虑选取模糊隶属度函数的具体方法。

一般来说，选取模糊隶属度函数需要考虑以下几个方面：
1. 元素的实际取值范围。

不同的元素取值范围可能需要选取不同的模糊隶属度函数，以保证隶属度函数的合理性和准确性。

2. 模糊集合的实际应用场景。

不同的应用场景可能需要选取不同的模糊隶属度函数，以满足实际需求。

3. 模糊集合的隶属度分布情况。

不同的隶属度分布情况可能需要选取不同的模糊隶属度函数，以保证隶属度函数的合理性和准确性。

我们需要注意模糊隶属度函数的合理性和准确性。

选取合适的模糊隶属度函数可以提高模糊集合的描述能力和应用效果，但如果选取不当，可能会导致模糊集合的描述不准确或者应用效果不佳。

选取合适的模糊隶属度函数是模糊逻辑中的一个重要问题。

在实际应用中，我们需要根据元素的实际取值范围、模糊集合的实际应用场景和隶属度分布情况等因素，选取合适的模糊隶属度函数，以保证模糊集合的描述能力和应用效果。