经典重庆中考数学第24题专题训及答案练)

2013年重庆中考数学第24题专题训练

1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．

（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；

（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．

（1）证明：∵HE=HG，

∴∠HEG=∠HGE，

∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，

∴∠BEH=∠FGC，

∵G是HC的中点，

∴HG=GC，

∴HE=GC，

∵∠HBE=∠CFG=90°．

∴△EBH≌△GFC；

（2）解：过点H作HI⊥EG于I，

∵G为CH的中点，

∴HG=GC，

∵EF⊥DC，

HI⊥EF，

∴∠HIG=∠GFC=90°，

∠FGC=∠HGI，

∴△GIH≌△GFC，

∵△EBH≌△EIH（AAS），

∴FC=HI=BH=1，

∴AD=4-1=3．

2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE．

（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；

（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．

证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，

在△DAC和△BAE中，

AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴DC=BE；

（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，

由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，

∴∠DGF=∠FAE=90°，

又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°，

又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，

∴∠DBG=∠ABC=60°，

在△DGB和△ACB中，

∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，

∴△DGB≌△ACB（AAS），

∴DG=AC，

又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，

∴DG=AE，

在△DGF和△EAF中，

∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，

∴△DGF≌△EAF（AAS），

∴DF=EF，即F为DE中点．

3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F

（1）求证：BF=AD+CF；

（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．

（1）证明： 如图（1），延长AD交FE的延长线于N

∵∠NDE=∠FCE=90°

∠DEN=∠FEC

DE=EC

∴△NDE≌△FCE

∴DN=CF

∵AB∥FN，AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形

∴BF=AD+DN=AD+FC

（2）解：∵AB∥EF，

∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3， 又∵∠2+∠BEF=∠3，

∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，

∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，

∴EF=BF，

又∵ BC+AD=7+1

∴ BF+CF+AD=8

而由（1）知CF+AD=BF

∴ BF+BF=8

∴2BF=8，

∴BF=4，∴BF=EF=4

4、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF.

⑴求证：△ABE≌△CFB;

⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.

解：（1）证明：连结CE，

在△BAE与△FCB中，

∵ BA=FC，∠A=∠BCF，， AE=BC，

∴△BAE≌△FCB；

（2）延长BC交EF于点G，作AH⊥BG于H，作AM⊥BG，

∵△BAE≌△FCB，

∴∠AEB=∠FBG，BE=BF，

∴△BEF为等腰三角形，

又∵AE∥BC，

∴∠AEB=∠EBG，

∴∠EBG=∠FBG，

∴BG⊥EF，

∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°，

∴四边形AMGE为矩形， A

B D E

C

F ∴AM=EG，

在Rt△ABM中，

AM=AB•sin60°=6× 23 =33

，

∴EG=AM=33，

BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，

∴tan∠EBC=531533BGEG

5、已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD的面积．

（1）证明：连接BF

∵ABCD为矩形

∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC

∴△ABE为直角三角形

∵F是AE的中点

∴AF=BF=BE

∴∠FAB=∠FBA

∴∠DAF=∠CBF

∵ AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF ,

∴△DAF≌△CBF

∴∠ADF=∠BCF

∴∠FDC=∠FCD

∴∠FGH=∠FHG

∴FG=FH；

（2）解：∵AC=CE∠E=60°

∴△ACE为等边三角形

∴CE=AE=8

∵AB⊥BC

∴BC=BE=CE21=4

∴根据勾股定理AB=34

∴梯形AECD的面积=21×(AD+CE)×CD=21×(4+8)×34=324

6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，过点D作DE∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE．

（1）求证：BC=CD；

（2）将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG．求证：CD垂直平分EG；

（3）延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点．

证明：（1）延长DE交BC于F，

∵AD∥BC，AB∥DF，

∴AD=BF，∠ABC=∠DFC．

在Rt△DCF中，

∵tan∠DFC=tan∠ABC=2，

∴CFCD

=2，

即CD=2CF，

∵CD=2AD=2BF，

∴BF=CF，

∴BC=BF+CF=21CD+21 CD=CD．

即BC=CD．

（2）∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE=∠DCE，

由（1）知BC=CD，

∵CE=CE，

∴△BCE≌△DCE，

∴BE=DE，

由图形旋转的性质知CE=CG，BE=DG，

∴DE=DG，

∴C，D都在EG的垂直平分线上，

∴CD垂直平分EG．

（3）连接BD，

由（2）知BE=DE，

∴∠1=∠2．

∵AB∥DE，

∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．

∵AD∥BC，∴∠4=∠DBC．

由（1）知BC=CD，

∴∠DBC=∠BDC，∴∠4=∠BDP．

又∵BD=BD，∴△BAD≌△BPD(ASA)

∴DP=AD．

∵AD=21CD，∴DP=21CD．

∴P是CD的中点．

7、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．

（1）求证：EB=EF；

（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．

（1）证明：∵△ADF为等边三角形，

∴AF=AD，∠FAD=60°

∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB

∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，

∵AE为公共边

∴△FAE≌△BAE

∴EF=EB

（2）过C作CQ⊥AB于Q，

∵CQ=AB=AD=6，

∵∠ABC=60°，

∴BC=6÷ 23 =34．

8、已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连结AF、CF.求证：

(1)∠ADF=∠BCF；

(2) AF⊥CF.

证明：（1）在矩形ABCD中，

∵∠ADC=∠BCD=90°，

∴∠DCE=90°，

在Rt△DCE中，

∵F为DE中点，

∴DF=CF，

∴∠FDC=∠DCF，

∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，

即∠ADF=∠BCF；

（2）连接BF，

∵BE=BD，F为DE的中点，

∴BF⊥DE，

∴∠BFD=90°，即∠BFA+∠AFD=90°，

在△AFD和△BFC中 AD=BC ∠ADF=∠BCF CF=DF ，

∴△ADF≌△BCF，

∴∠AFD=∠BFC，

∵∠AFD+∠BFA=90°，

∴∠BFC+∠BFA=90°，

即∠AFC=90°，

∴AF⊥FC．