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数学归纳法及其应用考纲要求1了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题2掌握利用“观察→归纳→猜想→证明”探索问题的方法重点、难点归纳1归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫做归纳法2数学归纳法对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
这种证明方法就叫做数学归纳法。
学法探秘数学归纳法是证明有关自然数n的命题的一种方法，应用非常广泛，它是一种完全归纳法。
用数学归纳法证明一个命题必须分为两个步骤：第一步验证n取第一个允许值n0时命题成立；第二步从n=k(k≥n0)时命题成立的假设出发，推证n=k+1时命题也成立。
其中第一步是验证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步则是推证命题正确性的可传递性，是递推的依据。
两个步骤各司其职，缺一不可。
证明步骤与格式的完整与规范是数学归纳法的一个鲜明特征。
需要注意的是：在第二步证明“当n=k+1时命题成立”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n=k 时命题成立”这一条件。
因为“当n=k 时命题成立”实为一个已知条件，而“当n=k+1时命题成立”只是一个待证目标。
“观察→归纳→猜想→证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现结论，又能证明结论的正确性。
这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年高考的一个考查重点。
典型例析例1用数学归纳法证明证明：1当n=1时，左边=1-21=21，右边=111+=21，所以等式成立。
2假设当n=k 时，等式成立，即kk k k k 212111211214131211+++++=--++-+- 。
那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时等式也成立。
综上所述，等式对任何自然数n 都成立。
说明：要证明的等式左边共2n 项，而右边共n 项。
"福建省长乐第一中学2014高中数学 第二章《2.2.3数学归纳法（2）》教案 新人教A 版选修2-2 "教学目标知识与技能：理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤；过程与方法:通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径；情感、态度与价值观：学会数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中的应用．教学重点: 体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径，学会数学归纳法的应用．教学难点:用数学归纳法证明猜想问题及不等式问题，学会数学归纳法的应用．教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析． 教学过程:6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.学生探究过程：数学归纳法公理；用数学归纳法证明：当*n N ∈时111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++． 数学运用例1．设*n N ∈， 1()5231n n f n -=+⨯+．（1）当1,2,3,4n =时，计算()f n 的值；（2）你对()f n 的值有何感想？用数学归纳法证明你的猜想．解：（1）当1n =时，111(1)5231881f -=+⨯+==⨯； 当2n =时，221(2)52313284f -=+⨯+==⨯； 当3n =时，331(3)5231144818f -=+⨯+==⨯； 当4n =时，441(4)5231680885f -=+⨯+==⨯．（2）猜想：当*n N ∈时，1()5231n n f n -=+⨯+能被8整除． ①当1n =时，有111(1)52318f -=+⨯+=能被8整除，命题成立．②假设当n k =时，命题成立，即()f k 能被8整除，那么当1n k =+时，有1(1)11(1)523155631k k k k f k ++--+=+⨯+=⨯+⨯+ 111(5231)4(53)()4(53)k k k k k k f k ---=+⨯+++=++． 这里，5k 和13k -均为奇数，它们的和1(53)k k -+必为偶数，从而14(53)k k -+能被8整除．又依归纳假设，()f k 能被8整除，所以(1)f k +能被8整除．这就是说，当1n k =+时，命题也成立． 根据（1）和（2），可知命题对任何*n N ∈都成立．变式：求证当n 取正奇数时，n n x y +能被x y +整除。
数学2-2人教新资料2.3数学归纳法说课稿我今天说课的题目是《数学归纳法》，我准备从教材分析、教学方法、学情分析、学法指导、教学过程、板书设计六个方面加以介绍，首先分析教材：【一】教材分析1、教材的地位和作用学习数学归纳法以前，学生已经学习了等差数列、等比数列，得到通项公式用的是不完全归纳法，其正确性还有待用数学归纳法加以证明，因此数学归纳法学习是数列知识的深入与拓展。
它既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。
数学归纳法这一方法，贯穿了高中数学的几大知识点：不等式，数列，三角函数。
根据教学大纲“数学归纳法”教学分二个课时，这节课是第一课时，讲的是选修2—2 P92～P95的内容。
新教材的改革已开始关注探究性问题，因而通过对它的学习，能起到以下几方面的作用：提高学生的抽象思维能力；培养学生科学探索的创新精神，全面提高学生综合素质。
2、教学目标根据本节内容的作用、地位以及学生的具体情况，我把这节课的教学目标分为以下三个目标：〔1〕知识目标：理解数学归纳法的原理和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。
〔2〕能力目标：培养学生观察、分析、论证能力，进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力。
〔3〕情感态度价值观：创设一种愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率知识目标主要是根据，《新课标》及学生原有的认知水平制定的；而能力目标和情感态度价值观是根据本节课内容的独特性及抽象性，为营造一种良好的学习氛围，有利于提高学生的学习兴趣和学习效果而制定的.3、教学重点与难点为了避免机械套用数学归纳法证题的两个步骤，造成学生思维的惰性与僵化，因而我把分析数学归纳法的原理和实质作为本节课的重点，考虑学生对第二步中的递推实质的理解感到较困难，因此把正确理解第二步中的递推思想作为难点。
【二】教学方法根据以上教学内容与教学目标根据前苏联教育家藏克夫的发展性教育理论确定本节可采用的教学方法为启发、引导、练习、归纳小结相结合的方法。
以具体的数学实例引入课题，启发学生了解归纳法；通过提出问题创设情景，引导学生自学教材，启发学生积极思考；借助现代化的教学工具动画演示和学生的动手实践，提高直观性、趣味性，为教学难点突破提供感性基础。
教学中教师精选练习帮助学生巩固与强化知识。
归纳小结那么包含两方面的内容，一方面是教师在授课中的及时小结与点拨，另一方面是学生听课中的自我小结和巩固。
本节课用到的辅助工具是多米诺骨牌与多媒体。
【三】学情分析学生在学习数列求通项时，已经具备一定的归纳、猜测能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。
但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有侍加强。
【四】学法指导从学法指导上来讲侧重两个曾面的内容，一是对学生的四项要求即1、课前預习教材有关内容； 2、听课时积极思考、大胆质疑；3、养成良好的自学习惯，并学会与同学交流 4、完成练习及“课后作业”。
二是教师的四条具体措施：讲述数学实例吸引学生注意；渗透德育教育复习数列知识引导学生思考；演示直观模型化抽象为具体突破教学难点；借助电脑的声响效果营造愉悦学习情境提高学习兴趣。
课堂上，通过师生双向交流及学生自学思考，学生经历了“观察（分析（猜想（论证”的思维环节，进一步掌握了自主探索问题、自主学习的方法。
下面着重介绍教学过程，我把这节课安排为新课引入环节、新课探究环节、反馈练习、小结与作业四个环节【五】教学过程〔一〕、新课引入讲述费马与欧拉数学史例，吸引学生注意，丰富课堂情趣，自然引入归纳法、不完全归纳法、完全归纳法的概念，同时通过史例，渗透德育教育，培养学生严谨求实的治学精神，接下来引导复习等差数列通项公式及推导，并提出问题：既然用归纳法得出的结论未必正确，那么等差数列的通项公式是否正确，如何判断它的正确性？能否用完全归纳法证明？旧知识产生新问题，引发学生思考，激发学生的心理需要，提高进一步探索的兴趣，使数学归纳法的引入水到渠成。
〔二〕、新课探究1.探索解决问题请两位同学动手演示多米诺骨牌游戏多媒体演示多米诺骨牌游戏。
问题1：多米诺骨牌游戏为什么能取得成功，它对多米诺骨牌摆放与操作有什么要求？师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：第一步：第一张牌被推倒第二步：假假设前一张牌被推倒，那么后一张牌被推倒当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下。
其中第二步用到的就是递推关系，如此通过动画、动脑，形象展示递推关系，为教学难点突破提供直观的的参照物做感性上的突变，从而分解数学归纳法的一个难点。
〔2〕类比数学问题，培养研究意识师生共同用探究出的方法尝试证明等差数列通项公式。
其中假设N＝K时等式成立，证明N＝K＋1时等式成立的证明如何利用假设。
〔主要由学生完成〕学生思考并作答，教师给以板书〔2〕假设N＝K（K∈*,N k n≥）命题成立，利用它证明N＝K＋1时命题也成立。
满足这两个条件后，命题对一切N∈*N均成立。
〔3〕自学课本、合作探究建立数学模型问题2：数学归纳法证明什么类型的题？问题3：证题步骤？为什么这些步骤缺一不可？反例1：F （N ）＝（N －1）（N －2）（N －3）（N －4）＋1（N 为正整数），求：F （1），F （2），F （3）并归纳猜想F （59）的值.反例2：证明：S n ＝2＋3＋4＋5＋6＋······＋N ＝2)1(+n n证明：假设当N ＝K 时，等式成立，即：k S ＝2＋3＋4＋5＋6＋······＋K ＝2)1(+k k当N ＝K ＋1时，1+k S ＝2＋3＋4＋5＋6＋······＋K ＋〔K ＋1〕 ＝2)1(+k k ＋（K ＋1）＝〔K ＋1〕22+k＝[]21)1()1(+++k k即当N ＝K ＋1时，等式成立，所以等式S n ＝2＋3＋4＋5＋6＋······＋N ＝2)1(+n n 对所有的正整数都成立。
设计意图：说明两步的缺一不可性2、引导学生概括，形成科学方法假设设P （K ）表示命题，就建立了如下递推链，由P （1）（利用第二步）→P （2）→P （3）→┄P （N ），如此反复，得到命题对0n 以后的整数都是真命题，在以上分析的基础上，使学生理解数学归纳法是一种完全归纳法，得到的结论是正确的。
数学归纳法证明有关正整数命题的步骤〔1〕N 取第一个值0n （例如01n =）时命题成立；〔2〕假设N ＝K （K ∈*0,N k n ≥）命题成立，利用它证明N ＝K ＋1时命题也成立。
完成这两个步骤后，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数N 都正确、这种证明方法叫做数学归纳法、3、数学归纳法的应用 例1用数学归纳法证明：12＋22＋32＋42＋=+2n 6)12)(1(++n n n设计意图：进一步理解数学归纳法证题的方法与步骤，并学会用所学知识证明恒等式，达到学以致用的目的。
〔三〕反馈练习用数学归纳法证明：首项是1a ，公比是Q 的等比数列的通项公式是11-=n n q a a 、设计意图：是为了进一步巩固所学知识，并使学生在练习及集体的评析中体验到成功和进步的喜悦。
〔多媒体展示反例3〕问题4：观察下面证明过程是否正确？反例3：用数学归纳法证明：1)1(1431321211+=+++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：（1）当N ＝1时，左边＝21211=⨯，右边＝21，所以等式成立.（2）假设当N ＝K 时，等式成立， 即：1)1(1431321211+=+++⨯+⨯+⨯k k k k 当N ＝K ＋1时， 左边＝)2)(1(1)1(1431321211++++++⨯+⨯+⨯k k k k ＝)2111()111()4131()3121()211(+-+++-++-+-+-k k k k 21211++=+-=k k k即当N ＝K ＋1时，等式成立，所以等式S n ＝2＋3＋4＋5＋6＋······＋N ＝2)1(+n n 对所有的正整数都成立。
设计意图：第二步证明必须用到归纳假设，否那么就不是数学归纳法，小结及作业小结由教师和学生共同完成，重点小结数学归纳法的原理和实质，强调指出运用数学归纳法证题中的第一步中N 取第一个值N0，N0不一定是1，可以为其它正整数。
作业分为必做作业和选做作业，选做作业不做统一要求，为不同程度的同学提供更为广阔的思考探索空间。
以问题为教学线索，在教师主导与计算机的辅助下，使学生思维由问题开始向问题深化；第二以学生为课堂主体，重视学生的智力参与度，重视学生探究能力与创新能力培养，激励学生积极思考大胆质疑，动手实践；第三，以情感为学习动力，苏霍姆林斯基认为，情感是获取知识的土壤与动力，本课教学注意挖掘教材、教师、学生的情感因素，充分利用现代化教学工具电脑的辅助功能，提高学生学习兴趣与学习效果。
当然在实际教学中由于具体授课对象不同对以上内容还可以从容量和难度做适当调整。
因为只有这样，才能真正实现有的放矢，因材施教。
总之，这节课的教学设计与内容，可用八句话来概括，那就是：讲述实例来引题带着悬念去自习动手动画添情趣抽象问题变具体两个步骤一结论递推基础不可少归纳假设要用到结论写明莫忘掉我的说课结束，谢谢各位。
