高中数学总复习历年考点知识专题训练(理科)28

高考达标检测（二十八） 基本不等式一、选择题1．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b解析：选B 因为0<a <b ，所以a －ab ＝a (a －b )<0，故a <ab ；b －a ＋b 2＝b －a2>0，故b >a ＋b2；由基本不等式知a ＋b2>ab ，综上所述，a <ab <a ＋b2<b ，故选B.2．(2017·衡水模拟)设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba≥2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ， 而a b ＋b a≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”的必要不充分条件． 3．设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4B.ab 有最小值12C.a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值22解析：选C 由于a >0，b >0，由基本不等式得1＝a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴ab ≤12，∴ab ≤14，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，因此1a ＋1b的最小值为4，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－12＝12，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋1＝2，所以a ＋b有最大值2，故选C.4．(2017·开封摸底考试)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92D.112解析：选B 由题意得x ＋2y ＝8－x ·2y ≥8－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，当且仅当x ＝2y 时，等号成立，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4，所以x ＋2y 的最小值为4，故选B.5．(2017·江南十校联考)设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝2,2a ＋b ＝8，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．log 23解析：选B ∵a x＝b y＝2，∴x ＝log a 2，y ＝log b 2， ∴1x ＋1y ＝1log a 2＋1log b 2＝log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )． 又a >1，b >1，∴8＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤8， 当且仅当2a ＝b ，即a ＝2，b ＝4时取等号， ∴1x ＋1y＝log 2(ab )≤log 28＝3.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y max ＝3.6．不等式x 2＋2x <a b＋16b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2,0)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－4,2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选 C 不等式x 2＋2x <ab＋16ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋2x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋16b a min ，由于a b ＋16ba ≥2 ab ·16ba＝8(当a ＝4b 时等号成立)， ∴x 2＋2x <8，解得－4<x <2，故选C. 7．若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( ) A ．1 B. 94C ．9D ．16解析：选B1a ＋1＋4b ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1[(a ＋1)＋(b ＋1)]＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋4＋b ＋1a ＋1＋a ＋b ＋1≥14(5＋24)＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝a ＋b ＋1，即a ＝13，b＝53时取等号，故选B. 8．(2016·洛阳统考)若正实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＝z ＋3xy ，则当xy z取最大值时，1x＋12y －1z的最大值为( ) A ．2B.32C ．1D.12解析：选D ∵z ＝x 2＋4y 2－3xy ，x ，y ，z ∈(0，＋∞)， ∴xy z ＝xy x 2＋4y 2－3xy ＝1x y ＋4yx－3≤1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)， 此时1x ＋12y －1z ＝1y －12y2，令1y ＝t >0，则1x ＋12y －1z ＝t －12t 2＝－12(t －1)2＋12≤12(当且仅当t ＝1时等号成立)．故选D.二、填空题9．(2017·云南两市联考)已知向量a ＝(m,1)，b ＝(1－n,1)，m >0，n >0，若a ∥b ，则 1m ＋2n的最小值是________．解析：向量a ∥b 的充要条件是m ×1＝1×(1－n )，即m ＋n ＝1，故1m ＋2n＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝3＋n m＋2m n≥3＋22，当且仅当n ＝2m ＝2－2时等号成立，故1m ＋2n的最小值是3＋2 2.答案：3＋2 210．已知a ，b ，c 都为实数，且b ，c 同号，若a ＋1b ＋1c ＝bc a，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1c 的最小值为________．解析：由已知得a 2＋a b ＋a c＝bc ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1c ＝a 2＋a b ＋a c ＋1bc ＝bc ＋1bc≥2(当且仅当bc ＝1时取等号)，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1c 的最小值为2. 答案：211．(2016·周口调研)已知对任意正实数x ，y ，x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值是2，又λ≥x ＋22xyx ＋y恒成立，所以λ≥2，即λ的最小值是2.答案：212.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为93平方米，且高度不低于3米，记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y 米，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.解析：设横断面的高为h ，由题意得AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，∴93＝12(AD ＋BC )h ＝12(2BC ＋x )·32x ，故BC ＝18x －x2，由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥ 3，BC ＝18x －x 2>0，得2≤x <6， ∴y ＝BC ＋2x ＝18x＋3x2(2≤x <6)， 从而y ＝18x ＋3x2≥218x ·3x2＝63， 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立．答案：2 3 三、解答题13．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22xy·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.14．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．解：(1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450， 所以2x ＋7 200x≥22x ·7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.。

第28练 压轴小题专练(2)[明晰考情] 高考题中填空题的最后2或3个小题，往往出现逻辑思维深刻，难度高档的题目.考点一 与向量有关的压轴小题方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题.(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题.1.在△ABC 中，已知AB →·AC →＝9，sin B ＝cos A ·sin C ，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA→|CA →|＋y ·CB→|CB →|，则xy 的最大值为________. 答案 3解析 由题设sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0，也即cos C ＝0，∴C ＝90°. 又∵bc cos A ＝9，故b 2＝9，即b ＝3. ∵12ab ＝6，故a ＝4，c ＝5， 故建立如图所示平面直角坐标系xCy ，则A (3,0)，B (0,4)，则由题设可知P (x ，y )，直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1且x ＞0，y ＞0，∴x 3＋y4＝1≥2xy12，即xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时“＝”成立. 2.已知点O 是△ABC 内部一点，且满足2OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比为________. 答案 4∶2∶3解析 如图所示，延长OA ，OB ，OC ，使OD ＝2OA ，OE ＝3OB ，OF ＝4OC ，∵2OA →＋3OB →＋4OC →＝0， ∴OD →＋OE →＋OF →＝0，即O 是△DEF 的重心，故△DOE ，△EOF ，△DOF 的面积相等，不妨令它们的面积均为1，则△AOB 的面积为16，△BOC 的面积为112，△AOC 的面积为18，故△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比为16∶112∶18＝4∶2∶3.3.(2017·某某)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案 3解析 如图，过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D .设OD →＝mOA →，DC →＝nOB →，则在△ODC 中有OD ＝m ，DC ＝n ，OC ＝2，∠OCD ＝45°，由tan α＝7，得cos α＝210， 又由余弦定理知，⎩⎨⎧m 2＝n 2＋(2)2－22n cos45°，n 2＝m 2＋(2)2－22m cos α，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝2－2n ， ①n 2－m 2＝2－25m ，②①＋②得4－2n －25m ＝0，即m ＝10－5n ，代入①得12n 2－49n ＋49＝0，解得n ＝74或n ＝73，当n ＝73时，m ＝10－5×73＝－53<0(舍去)，当n ＝74时，m ＝10－5×74＝54，故m ＋n ＝54＋74＝3.4.已知OA →＝(1,0)，OB →＝(1,1)，(x ，y )＝λOA →＋μOB →.若0≤λ≤1≤μ≤2时，z ＝x m ＋y n(m ＞0，n ＞0)的最大值为2，则m ＋n 的最小值为____________.答案 52＋ 6解析 (x ，y )＝λOA →＋μOB →＝(λ＋μ，μ)⇒λ＝x －y ，μ＝y ，所以0≤x －y ≤1≤y ≤2，可行域为一个平行四边形及其内部，由直线z ＝x m ＋y n斜率小于零知直线z ＝x m ＋y n过点(3,2)取最大值，即3m ＋2n＝2，因此m ＋n ＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋2n 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋3n m ＋2m n ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋23n m ·2m n ＝52＋6，当且仅当3n m ＝2m n 时取等号.考点二 与解析几何有关的压轴小题方法技巧 求圆锥曲线X 围，最值问题的常用方法(1)定义性质转化法：利用圆锥曲线的定义性质进行转化，根据平面几何中的结论确定最值或X 围.(2)目标函数法：建立所求的目标函数，将所求最值转化为函数最值解决.(3)条件不等式法：找出与变量相关的所有限制条件，然后再通过解决不等式(组)求变量的X 围.5.(2018·全国Ⅱ改编)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为________. 答案 14解析 如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设F 1F 2＝PF 2＝2，则c ＝1， 由∠F 1F 2P ＝120°， 可得PB ＝3，BF 2＝1， 故AB ＝a ＋1＋1＝a ＋2， tan∠PAB ＝PB AB ＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.6.已知A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，若椭圆C 上存在点P ，使得直线PA ，PB 斜率的绝对值之和为1，则椭圆C 的离心率的取值X 围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 解析 不妨设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，P (x ，y )，A (x 1，y 1)，则B ()－x 1，－y 1，所以x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 21a 2＋y 21b 2＝1，两式相减得x 2－x 21a 2＝－y 2－y 21b 2，所以y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a2，所以直线PA ，PB 斜率的绝对值之和为⎪⎪⎪⎪⎪⎪y －y 1x －x 1＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋y 1x ＋x 1≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 2－y 21x 2－x 21＝2b a， 由题意得2ba≤1，所以a 2≥4b 2＝4a 2－4c 2，即3a 2≤4c 2， 所以e 2≥34，又因为0<e <1，所以32≤e <1. 7.等腰直角△AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p ＞0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，△AOB 的面积是16，抛物线的焦点为F ，若M 是抛物线上的动点，则OM MF的最大值为________. 答案233解析 因为等腰直角△AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p ＞0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ， 所以可设A (a ，a )(a ＞0)，S △AOB ＝12a ×2a ＝16，得a ＝4，将A (4,4)代入y 2＝2px ，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ，所以F (1,0). 设M (x ，y )，则x ≥0，设t ＝1x ＋1(0<t ≤1)， 则OM MF ＝x 2＋4x x ＋1＝1＋2x ＋1－3()x ＋12＝－3t 2＋2t ＋1＝43－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132≤43＝233， 当t ＝13时“＝”成立.8.如图，抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 经过焦点F ，取线段OB 的中点D ，延长OA 至点C ，使OA ＝AC ，过点C ，D 作y 轴的垂线，垂足分别为E ，G ，则EG 的最小值为________.答案 4解析 设点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 由题意可知EG ＝OE ＋OG＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪＋12y B ≥2()2||y A×⎝ ⎛⎭⎪⎫12||y B＝2||y A y B ，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， 所以y A ，B ＝2±21＋k2k，所以y A y B ＝－4，由此可知EG ≥4，当且仅当|y B |＝4|y A |时等号成立，即EG 的最小值为4.当直线AB 的斜率不存在时，直线AB ：x ＝1，此时A (1，－2)，B (1,2)，所以C (2，－4)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，即G (0,1)，E (0，－4)，所以EG ＝5. 综上，EG 的最小值为4.1.(2018·某某改编)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，→＝2NA →，则BC →·OM →的值为________.答案 －6解析 如图，连结MN .∵BM →＝2MA →， →＝2NA →，∴AM AB ＝13＝AN AC， ∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13，∴BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3(2×1×cos120°－12)＝－6.2.已知向量a ，b 满足|a |＝22|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋7在实数集R 上单调递增，则向量a ，b 的夹角的取值X 围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4解析 求导可得f ′(x )＝6x 2＋6|a |x ＋6a ·b ，则由函数f (x )＝2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋7在实数集R 上单调递增，可得f ′(x )＝6x 2＋6|a |x ＋6a ·b ≥0在R 上恒成立，即x 2＋|a |x ＋a ·b ≥0恒成立，故判别式Δ＝a 2－4a·b ≤0，再由|a |＝22|b |≠0，可得8|b |2≤82|b |2cos 〈a ，b 〉， ∴cos〈a ，b 〉≥22， 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.3.设集合A ＝{(x ，y )|(x ＋3sin α)2＋(y ＋3cos α)2＝1，α∈R }，B ＝{(x ，y )|3x ＋4y ＋10＝0}，记P ＝A ∩B ，则点集P 所表示的轨迹长度为________. 答案 4 3解析 由题意得圆(x ＋3sin α)2＋(y ＋3cos α)2＝1的圆心(－3sin α，－3cos α)在圆x 2＋y 2＝9上，当α变化时，该圆绕着原点转动，集合A 表示的区域是如图所示的环形区域(阴影部分所示).由于原点(0,0)到直线3x ＋4y ＋10＝0的距离为d ＝1032＋42＝2，所以直线3x ＋4y ＋10＝0恰好与圆环的小圆相切.所以P ＝A ∩B 表示的是直线3x ＋4y ＋10＝0截圆环的大圆x 2＋y 2＝16所得的弦长. 故点集P 所表示的轨迹长度为242－22＝4 3.4.已知点M (1,0)，A ，B 是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点，且MA →·MB →＝0，则MA →·BA →的取值X 围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，9 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1－1，y 1)，MB →＝(x 2－1，y 2)，BA →＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， 由题意有MA →·MB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0， 所以MA →·BA →＝(x 1－1)(x 1－x 2)＋y 1(y 1－y 2) ＝(x 1－1)x 1－(x 1－1)x 2＋y 21－y 1y 2＝x 21－x 1＋y 21－[(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＋(x 1－1)] ＝x 21－x 1＋1－14x 21－x 1＋1＝34x 21－2x 1＋2 ＝34⎝⎛⎭⎪⎫x 1－432＋23，x 1∈[－2,2].所以当x 1＝－2时，MA →·BA →有最大值9， 当x 1＝43时，MA →·BA →有最小值23.5.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，λμ＝18，则该双曲线的离心率为________.答案2解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，焦点F (c,0)，不妨设y A >0，y B <0，则A ⎝⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，因为OP →＝λOA →＋μOB →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫(λ＋μ)c ，(λ－μ)bc a ，所以λ＋μ＝1，λ－μ＝bc，解得λ＝c ＋b 2c ，μ＝c －b 2c ，又由λμ＝18，得c 2－b 24c 2＝18，解得c 2a2＝2，所以e ＝ 2.6.已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，c ＝2，当AC →·AB →取得最大值时，ba的值为________. 答案 2＋ 3解析 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝csin C ＝433，AC →·AB →＝bc cos A ＝2b cos A ＝2×433sin B cos A＝833sin B cos A ， ∵B ＝2π3－A ，∴AC →·AB →＝833cos A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝833cos A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A＝4cos 2A ＋433sin A cos A＝2(1＋cos2A )＋233sin2A ＝233sin2A ＋2cos2A ＋2＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2A ＋32cos2A ＋2＝433sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋2. ∵0<A <2π3，0<2A <4π3，π3<2A ＋π3<5π3，∴当2A ＋π3＝π2，即A ＝π12时，AC →·AB →取得最大值433＋2，此时△ABC 中，B ＝7π12，a sin π12＝b sin 7π12，ba ＝sin7π12sinπ12＝2(3＋1)42(3－1)4＝2＋ 3. 7.抛物线C ：y ＝14x 2的焦点为F ，其准线l 与y 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当MA MF ＝2时，△AMF 的面积为________. 答案 2解析 F (0,1)，A (0，－1)，过M 作MN ⊥l ，垂足为N ，∴△AMF 的高为AN ，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14m 2(m >0)，则S △AMF ＝12×2m ＝m .又由MA MF＝2，MN ＝MF ， ∴△AMN 为等腰直角三角形， ∴14m 2＋1＝m ，∴m ＝2， ∴△AMF 的面积为2.8.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AB 于点G ，点P 在DG 上运动(如图).若AP →＝λAE →＋μBF →，其中λ，μ∈R ，则6λ＋μ的取值X 围是________.答案 [2,22]解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，E (2,1)，C (2,2)，D (0,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.设P (cos θ，sin θ)，其中0≤θ≤π2，则AP →＝(cos θ，sin θ)，AE →＝(2,1)，BF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，∵AP →＝λAE →＋μBF →，∴(cos θ，sin θ)＝λ(2,1)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32， 即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝2λ－μ，sin θ＝λ＋32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14sin θ＋38cos θ，μ＝12sin θ－14cos θ，∴6λ＋μ＝2sin θ＋2cos θ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∵0≤θ≤π2，∴π4≤θ＋π4≤3π4，∴2≤22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤22，即6λ＋μ的取值X 围是[2,22].9.在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则CA →·CB →＝________. 答案 3解析 由a 2＋b 2－c 2＝3ab ，得2cos C ＝3，即cos C ＝32，由ac sin B ＝23sin C ，得ac sin B bc ＝23sin C bc ，由sin B b ＝sin C c ，得ab ＝23，所以CA →·CB →＝ab cos C ＝23×32＝3. 10.设A ，B ，C 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的三个不同的点，若四边形OABC (其中O 为坐标原点)为矩形，则该椭圆的离心率的最小值为________.答案 63解析 设点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，因为四边形OABC 为矩形，所以点B (x 1＋x 2，y 1＋y 2)，则问题转化为方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，(x 1＋x 2)2a 2＋(y 1＋y 2)2b 2＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝0 存在实数解的问题，展开第三个方程，整理得x 1x 2＝a 2b 22(a 2－b 2). 易知直线OA 和OC 的斜率均存在， 分别设为k ，－1k ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 得x 21＝a 2b 2a 2k 2＋b 2，同理x 22＝a 2b 2k 2a 2＋k 2b 2，因此a 2b 2a 2k 2＋b 2·a 2b 2k 2a 2＋k 2b 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 22(a 2－b 2)2，令t ＝k 2，则关于t 的二次方程t 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 2＋b 2a 2－8·t ＋1＝0有正解，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 2＋b 2a 2－82－4≥0，且3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 2＋b 2a 2－8>0，又a >b ，所以a 2≥3b 2，所以e ≥63，故椭圆的离心率的最小值为63. 11.已知平面向量a ，b 满足|a |，|b |，|a ＋b |∈[1,3]，则a ·b 的取值X 围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－172，94 解析 如图，设平面内OA →＝a ，OB →＝－b ，|AB →|＝|a ＋b |.于是问题转化为在圆环1≤r ≤3(r 为圆的半径)上的两点A ，B 之间的距离在[1,3]之间，求OA →·OB →的取值X 围.易知，OA →·OB →＝OM →2－14AB →2，其中M 为线段AB 的中点. 又1≤AB →2≤9，故只需考虑OM →2的取值X 围，显然当A ，B 位于半径为3的圆周上，且AB 的长度为1时，OM →2取得最大值，为32－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝354， 从而OM →2的取值X 围是0≤OM →2≤354，因此0－94≤OM →2－14AB →2≤354－14， 从而－94≤OA →·OB →≤172，即a ·b 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－172，94. 12.已知抛物线C ：y 2＝2px (0＜p ＜4)的焦点为F ，点P 为C 上一动点，A (4,0)，B (p ，2p )，且PA 的最小值为15，则BF ＝________. 答案 92解析 设P (x ，y )且y 2＝2px ，则 PA ＝(x －4)2＋y 2＝(x －4)2＋2px＝x 2＋(2p －8)x ＋16，根号下二次函数的对称轴为x ＝4－p ∈(0,4)，所以在对称轴处取得最小值，即(4－p )2＋(2p －8)(4－p )＋16＝15，解得p ＝3或5(舍去)，经检验p ＝3符合题意.所以抛物线方程为y 2＝6x ，B (3,32)，易知点B 在抛物线上，所以BF ＝3＋32＝92.。

天天练空间点、线、面的位置关系一、选择题．(·衡水中学一调)设α，β是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且⊂α，⊂β( )．若⊥β，则α⊥β．若α⊥β，则⊥．若∥β，则α∥β．若α∥β，则∥．已知平面α⊥平面β，α∩β＝，点∈α，∉，直线∥，直线⊥，直线∥α，∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ) ．∥．⊥．∥β．⊥β．(·长沙二模)若平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系为( )．平行．相交．平行或重合．平行或相交．(·深圳二模)已知在四棱锥－中，是矩形，⊥平面，则在四棱锥－的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有( )．对．对．对．对．(·甘肃二诊)已知长方体－中，＝，＝，若在棱上存在点，使得⊥，则的取值范围是( )．(] ．(] ．(，] ．)．(·山西监测)在四棱锥－中，四条侧棱长均为，底面为正方形，为的中点．若异面直线与所成的角为°，则该四棱锥的体积是( )．．．已知四棱锥－的侧棱长与底面边长都相等，四边形为正方形，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )．(·课标全国Ⅰ，)平面α过正方体—的顶点，α∥平面，α∩平面＝，α∩平面＝，则，所成角的正弦值为( )二、填空题．已知，是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题：()若⊂α，⊥β，则α⊥β；()若⊂α，α∩β＝，α⊥β，则⊥；()若∥α，⊂β，α∩β＝，则∥.其中真命题是(填序号)．．如图所示，在三棱锥－中，，分别是和的中点．若＝＝，⊥，则与所成的角是．．(·日照一模)如图所示，－是长方体，是的中点，直线交平面于点，给出下列结论：①、、三点共线；②、、、不共面；③、、、共面；④、、、共面．其中正确结论的序号为．三、解答题．如图所示，正方体－中，、分别是和的中点．求证：()、、、四点共面；()、、三线共点．天天练空间点、线、面的位置关系．依题意，若⊥β，⊂α，则α⊥β，故正确；若α⊥β，则与可能平行、垂直或异面，错误；若∥β，则α与β平行或相交，错误；若α∥β，则与平行、垂直或异面，错误，故选.．。

专题九 解析几何第二十八讲 抛物线2019年1.(2019全国II 理8)若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点,则p =A.2B.3C.4D.82.(2019北京理18(1))已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,-1).求抛物线C 的方程及其准线方程;3.(2019全国I 理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P . (1)若4AF BF +=,求l 的方程;(2)若3AP PB =,求AB .4. (2019全国III 理21)已知曲线C :y =22x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A,B .(1)证明:直线AB 过定点: (2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.2010-2018年一､选择题1.(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C :24=y x 的焦点为F ,过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则⋅FM FN = A.5B.6C.7D.82.(2017新课标Ⅰ)已知F 为抛物线C :24y x =的焦点,过F 作两条互相垂直的直线1l ,2l ,直线1l 与C 交于A ､B 两点,直线2l 与C 交于D ､E 两点,则||||AB DE +的最小值为 A.16 B.14 C.12 D.103.(2016年四川)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点,M 是线段PF 上的点,且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为A.3 B.23C.22D.1 4.(2016年全国I)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知||AB =42,||DE =25,则C 的焦点到准线的距离为 A.2 B.4 C.6 D.85.(2015浙江)如图,设抛物线24y x =的焦点为F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ,其中点,A B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++6.(2015四川)设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点,与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是 A.()13， B.()14， C.()23， D.()24，7.(2014新课标1)已知抛物线C :28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个焦点,若4FP FQ =,则||QF = A.72 B.52C.3D.2 8.(2014新课标2)设F 为抛物线C:23y x =的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于,A B两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) 33 93 C.6332 D.949.(2014辽宁)已知点(2,3)A -在抛物线C:22y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( ) A.12 B.23 C.34 D.4310.(2013新课标1)O 为坐标原点,F 为抛物线2:42C y x =的焦点,P 为C 上一点,若||42PF =,则POF ∆的面积为( )A.2B.22C.23D.411.(2013江西)已知点()2,0A ,抛物线2:4C x y =的焦点为F ,射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,则||:||FM MN = A.2:5 B.1:2 C.1:5 D.1:312.(2012新课标)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于A ､B 两点,34||=AB ,则C 的实轴长为 A ､2B ､22C ､4D ､813.(2012山东)已知双曲线1C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为 2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2,则抛物线2C 的方程为 A.283x y =B.2163x C.28x y = D.216x y = 14.(2011新课标)已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,||12AB =,P 为C 的准线上一点,则ABP ∆的面积为 A.18 B.24 C.36 D.48 二､填空题15.(2018全国卷Ⅲ)已知点(1,1)M -和抛物线C :24y x =,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若90AMB ∠=,则k =______.16.(2017新课标Ⅱ)已知F 是抛物线C :28y x =的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y轴于点N .若M 为FN 的中点,则||FN = .17.(2015陕西)若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点,则p =18.(2014湖南)如图4,正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则 .19.(2013北京)若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0),则p = ,准线方程为 .20.(2012陕西)右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.21.(2010浙江)设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为_____________. 三､解答题22.(2018北京)已知抛物线C :22y px =经过点(1,2)P .过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,且直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围;(2)设O 为原点,QM QO λ=,QN QO μ=,求证:11λμ+为定值.23.(2018全国卷Ⅱ)设抛物线24=：C y x 的焦点为F ,过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与C交于A ,B 两点,||8=AB . (1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.24.(2018浙江)如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C :24y x =上存在不同的两点A ,B 满足PA ,PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆2214y x +=(0x <)上的动点,求PAB ∆面积的取值范围. 25.(2017新课标Ⅲ)已知抛物线C :22y x =,过点(2,0)的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆.(1)证明:坐标原点O 在圆M 上;(2)设圆M 过点(4,2)P -,求直线l 与圆M 的方程.26.(2017浙江)如图,已知抛物线2x y =.点11(,)24A -,39(,)24B ,抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<,过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q.x(Ⅰ)求直线AP 斜率的取值范围; (Ⅱ)求||||PA PQ ⋅的最大值.27.(2017北京)已知抛物线C :22y px =过点(1,1)P .过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原点.(Ⅰ)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)求证:A 为线段BM 的中点.28.(2016年全国III)已知抛物线C :22y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线1l ,2l 分别交C于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.(Ⅰ)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ;(Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.29.(2015新课标1)在直角坐标系xoy 中,曲线C :24x y =与直线y kx a =+(0)a >交与M ,N 两点,(Ⅰ)当0k =时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有OPM OPN ∠=∠?说明理由. 30.(2014山东)已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有FA FD =,当点A 的横坐标为3时,ADF ∆为正三角形｡ (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)若直线l l //1,且1l 和C 有且只有一个公共点E , (ⅰ)证明直线AE 过定点,并求出定点坐标;(ⅱ)ABE ∆的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由｡31.(2014陕西)如图,曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成,12,C C 的公共点为,A B ,其中1C 的离心率为2. (Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q (均异于点,A B ),若AP AQ ⊥,求直线l的方程.32.(2013广东)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ)当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ)当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.33.(2012新课标)设抛物线C :)0(22>=p py x 的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B ､D 点.(Ⅰ)若oBFD 90=∠,ABD ∆的面积为24,求p 的值及圆F 的方程;(Ⅱ)若A ､B ､F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ､n 距离的比值.34.(2011新课标)在平面直角坐标系xoy 中, 已知点(0,1)A -,B 点在直线3y =-上,M 点满足//MB OA ,MA AB MB BA =,M 点的轨迹为曲线C. (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)P 为C 上动点,l 为C 在点P 处的切线,求O 点到l 距离的最小值.专题九 解析几何第二十八讲 抛物线答案部分2019年1.D 解析 由题意可得:232p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得8p =.故选D. 2.解析(I)由抛物线2:2C x py =-经过点()2,1-,得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-,其准线方程为1y =. 3.解析 设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+. (1)由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,故123||||2AF BF x x +=++,由题设可得1252x x +=.由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩,可得22912(1)40x t x t +-+=,则1212(1)9t x x -+=-. 从而12(1)592t --=,得78t =-.所以l 的方程为3728y x =-. (2)由3AP PB =可得123y y =-.由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩,可得2220y y t -+=. 所以122y y +=.从而2232y y -+=,故211,3y y =-=. 代入C 的方程得1213,3x x ==.故||AB =.4.解析(1)设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭,则2112x y =.由于y'x =,所以切线DA 的斜率为1x ,故11112y x x t+=- ,整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ,同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.(2)由(1)得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+,()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ,E 到直线AB的距离,则12d d ==因此,四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点,则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥,而()2,2EM t t =-,AB 与向量(1, )t 平行,所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时,S =3;当1t =±时,S =因此,四边形ADBE的面积为3或.2010-2018年1.D 【解析】通解 过点(2,0)-且斜率为23的直线的方程为2(2)3=+y x ,由22(2)34⎧=+⎪⎨⎪=⎩y x y x,得2540-+=x x ,解得1=x 或4=x ,所以12=⎧⎨=⎩x y ,或44=⎧⎨=⎩x y ,不妨设(1,2)M ,(4,4)N ,易知(1,0)F ,所以(0,2)=FM ,(3,4)=FN ,所以8⋅=FM FN .故选D.优解 过点(2,0)-且斜率为23的直线的方程为2(2)3=+y x ,由22(2)34⎧=+⎪⎨⎪=⎩y x y x,得2540-+=x x ,设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则10>y ,20>y ,根据根与系数的关系,得125+=x x ,124=x x .易知(1,0)F ,所以11(1,)=-FM x y ,22(1,)=-FN x y ,所以12121212(1)(1)()1⋅=--+=-+++FM FN x x y y x x x x 45188=-++=.故选D.2.A 【解析】由已知1l 垂直于x 轴是不符合题意,所以1l 的斜率存在设为1k ,2l 的斜率为2k ,由题意有121k k ⋅=-,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)D x y ,44(,)E x y 此时直线1l 方程为1(1)y k x =-,取方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩,得2222111240k x k x x k --+=,∴21122124k x x k --+=-212124k k +=同理得 22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++=≥ 当且仅当121k k =-=(或1-)时,取得等号.3.C 【解析】设()()22,2,,P pt pt M x y (不妨设0t >),则22,22p FP pt pt ⎛⎫=-⎪⎝⎭,∵13FM FP =,∴22,2362,3p p p x t pt y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴22,332,3p p x t pt y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴22112122OMtkt tt==≤=++∴max()2OMk=,故选C.4.B【解析】由题意,不妨设抛物线方程为22(0)y px p=>,由||AB=||DE=可取4(Ap,(2pD-,设O为坐标原点,由||||OA OD=,得2216854pp+=+,得4p=,所以选B.5.A【解析】如图,11--===∆∆AFBFxxACBCSSABACFBCF,故选A.6.D 【解析】当直线l的斜率不存在时,这样的直线l恰好有2条,即5x r=±, 所以05r<<;所以当直线l的斜率存在时,这样的直线l有2条即可.设11(,)A x y,22(,)B x y,00(,)M x y,则12012022x x xy y y+=⎧⎨+=⎩.又21122244y xy x⎧=⎨=⎩,两式相减得121212()()4()y y y y x x+-=-,121212042ABy ykx x y y y-===-+.设圆心为(5,0)C,则05CMykx=-,因为直线l与圆相切,所以000215yy x⋅=--,解得3x,于是224y r=-,2r,又2004y x<,即2412r-<,所以04r<<,又05r<<,2r>所以24r<<,选D.7.C【解析】过点Q作QQ l'⊥交l于点Q',因为4PF FQ=,所以||:||3:4PQ PF=,又焦点F到准线l的距离为4,所以||||3QF QQ'==.故选C.8.D【解析】易知抛物线中32p=,焦点3(,0)4F,直线AB的斜率k=故直线AB的方程为3)4y x=-,代人抛物线方程23y x=,整理得2219216x x-+=.设1122(,),(,)A x y B x y ,则12212x x +=,由物线的定义可得弦长 12||12AB x x p =++=,结合图象可得O 到直线AB 的距离3sin 3028p d ==, 所以OAB ∆的面积19||24S AB d =⋅=. 9.D 【解析】∵(2,3)A -在抛物线22y px =的准线上,∴22p-=-.∴4p =, ∴28y x =,设直线AB 的方程为(3)2x k y =--①,将①与28y x =联立, 得2824160y ky k -++=②,则△=2(8)4(2416)0k k --+=, 即22320k k --=,解得2k =或12k =-(舍去), 将2k =代入①②解得8,8x y ==,即(8,8)B , 又(2,0)F ,∴43BF k=,故选D. 10.C 【解析】∵OF =由抛物线的定义可得P点的坐标(±,∴POF ∆的面积为1122P OF y ==11.C 【解析】依题意可得AF 所在直线方程为12xy +=代入24x y =得y =, 又||:||(1):(1)1:FM MN y y =-+=12.C 【解析】设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4lx =-于(4,A -(4,B--得:222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=13.D 【解析】因为双曲线1C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2,所以2.cb a=⇒=又渐近线方程为0,bx ay ±=所以双曲线1C 的渐近线 0.y ±=而抛物22:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,),2p||28p p =⇒=.故选D.14.C 【解析】设抛物线的方程为22y px =,易知||212AB p ==,即6p =,∵点P 在准线上,∴P 到AB 的距离为6p =,所以ABP ∆面积为36,故选C.15.2【解析】解法一 由题意知抛物线的焦点为(1,0),则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-(0)k ≠,由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩,消去y 得22(1)4k x x -=,即2222(24)0k x k x k -++=,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则212224k x x k ++=,121x x =.由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩,消去x 得214(1)y y k =+, 即2440y y k --=,则124y y k+=,124y y =-, 由90AMB ∠=,得1122(1,1)(1,1)MA MB x y x y ⋅=+-⋅+-1212121241()10x x x x y y y y =++++-++=,将212224k x x k ++=,121x x =与124y y k+=,124y y =-代入,得2k =. 解法二 设抛物线的焦点为F ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,所以2212124()y y x x -=-,则1212124y y k x x y y -==-+,取AB 的中点00(,)M x y ',分别过点A ,B 做准线1x =-的垂线,垂足分别为A ',B ',又90MB ∠=,点M 在准线1x =-上,所以111||||(||||)(||||)222MM AB AF BF AA BB '''==+=+. 又M '为AB 的中点,所以MM '平行于x 轴,且01y =,所以122y y +=, 所以2k =.16.6【解析】如图所示,不妨设点M 位于第一象限,设抛物线的准线与x 轴交于点F',作MB l ⊥与点B ,NA l ⊥与点A ,由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-,则2,4AN FF'==,在直角梯形ANFF'中,中位线'32AN FF BM +==,由抛物线的定义有:3MF MB ==,结合题意,有3MN MF ==,故336FN FM NM =+=+=.17.【解析】22ypx 的准线方程为2p x =-,又0p ,所以2px =-必经过双曲线221x y -=的左焦点(,所以2p-=,p =18.1+BC CD =,结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点,所以||AD p a ==,(,0)2p D ,(,)2pF b b +,将点F 的坐标代入抛物线的方程得222()22p b p b a ab =+=+,变形得22()10b ba a --=,解得1b a =+1b a =舍去),所以1ba=19.2,1x =-【解析】1,22p p ==;准线12px =-=-.20.62【解析】建立直角坐标系,使拱桥的顶点O 的坐标为(0,0),设抛物线的方程为22x py =-,l 与抛物线的交点为A ､B ,根据题意知(2,2)A --,(2,2)B - 则有()222-⨯=-a ,∴21-=a ∴抛物线的解析式为221x y -= 水位下降1米,则3y =-,此时有6=x 或6-=x∴此时水面宽为62米.21.4【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为2,B 点坐标为(142，)所以点B22.【解析】(1)因为抛物线22y px =经过点(1,2)P ,所以42p =,解得2p =,所以抛物线的方程为24y x =. 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0, 设直线l 的方程为1y kx =+(0k ≠).由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=. 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>,解得0k <或01k <<. 又PA ,PB 与y 轴相交,故直线l 不过点(1,2)-.从而3k ≠-. 所以直线l 斜率的取值范围是(,3)(3,0)(0,1)-∞--.(2)设11(,)A x y ,22(,)B x y . 由(1)知12224k x x k -+=-,1221x x k=. 直线PA 的方程为1122(1)1y y x x --=--. 令0x =,得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--. 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-.由=QM QO λ,=QN QO μ得=1M y λ-,1N y μ=-. 所以1212121212112()1111111(1)(1)1M N x x x x x x y y k x k x k x x λμ---++=+=+=⋅-----2222241=211k k k k k -+=⋅-. 所以11λμ+为定值.23.【解析】(1)由题意得(1,0)F ,l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ,由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=.216160k ∆=+>,故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=. 由题设知22448k k +=,解得1k =-(舍去),1k =. 因此l 的方程为1y x =-.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--, 即5y x =-+.设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ,则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.24.【解析】(1)设00(,)P x y ,211(,)4y A y ,222(,)4y B y .因为PA ,PB 的中点在抛物线上,所以1y ,2y 为方程221014()422y x y y ++=⋅即2210100280y y y x y -+-=的两个不同的实数根. 所以1202y y y +=. 因此,PM 垂直于y 轴.(2)由(1)可知1202120028y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -=因此,PAB ∆的面积32212001||||(4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=-. 因为220014y x +=0(0)x <,所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈. 因此,PAB ∆面积的取值范围是4. 25.【解析】(1)设()A x ,y 11,()B x ,y 22,l :2x ym =+由222x my y x=+⎧⎨=⎩可得y my --=2240,则y y =-124 又y x 211=2,yx 222=2,故()y y x x 21212=4=4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y y x x ⋅1212-4==-14,所以OA OB ⊥. 故坐标原点O 在圆M 上.(2)由(1)可得y y m 12+=2,()x x m y y m +21212+=++4=24故圆心M 的坐标为()m m 2+2，,圆M 的半径r =由于圆M 过点(4,2)P -,因此0AP BP =, 故()()()()121244++2+2=0x x y y -- 即()()x x x x y y y y -++++=121212124+2200 由(1)可得y y 12=-4,x x 12=4.所以2m m --=210,解得m =1或m =-12. 当1m =时,直线l 的方程为20x y --=,圆心M 的坐标为(3,1),圆M 的半径为,圆M 的方程为()()x y -+-=223110当12m =-时,直线l 的方程为240x y +-=,圆心M 的坐标为91(,)42-,圆M 的半径为4,圆M 的方程为229185()()4216x y -++=. 26.【解析】(Ⅰ)设直线AP 的斜率为k ,2114122x k x x -==-+, 因为1322x -<<,所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-｡(Ⅱ)联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+因为||PA1)2x +=1)k +||PQ= )Q x x -=2,所以||||PA PQ =3(1)(1)k k --+令()f k =3(1)(1)k k --+, 因为2()(42)(1)f k k k '=--+,所以()f k 在区间1(1,)2-上单调递增,1(,1)2上单调递减,因此当12k =时,||||PA PQ 取得最大值2716.27.【解析】(Ⅰ)由抛物线C :22y px =过点(1,1)P ,得12p =. 所以抛物线C 的方程为2y x =.抛物线C 的焦点坐标为1(,0)4,准线方程为14x =-.(Ⅱ)当直线MN 的斜率不存在或斜率为0时,显然与抛物线只有一个交点不满足题意,所以直线MN 的斜率存在且不为0.设1(0,)2为点Q ,过Q 的直线MN 方程为12y kx =+(0k ≠),设11(,)M x y ,22(,)N x y ,显然,1x ,2x 均不为0.由212y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩,得224(44)10k x k x +-+=. 考虑221(1)4124k k k ∆=--⨯⨯=-,由题意0∆>,所以12k <. 则1221kx x k-+=,① 12214x x k =. ② 由题意可得A ,B 横坐标相等且同为1x ,因为点P 的坐标为(1,1),所以直线OP 的方程为y x =,点A 的坐标为11(,)x x . 直线ON 的方程为22y y x x =,点B 的坐标为2112(,)y x x x . 若要证明A 为BM 的中点,只需证2A B M y y y =+,即证121122x y y x x +=, 即证1221122x y x y x x +=,将11221212y kx y kx ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入上式,即证21121211()()222kx x kx x x x +++=,即证12121(22)()02k x x x x -++=③ 将①②代入③得2211(22)042k k k k --+=,化简有2211022k kk k --+=恒成立, 所以2A B M y y y =+恒成立. 故A 为线段BM 的中点.28.【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21,则0≠ab ,且22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,两点的直线为l ,则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . (Ⅰ)由于F 在线段AB 上,故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ,FQ 的斜率为2k ,则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=. 所以FQ AR ∥.(Ⅱ)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D , 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF-=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--,所以01=x (舍去),11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时,由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2,所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为12-=x y .29.【解析】(Ⅰ)由题设可得)M a ,()N a -,或()M a -,)N a .∵12y x '=,故24x y =在x =,C 在,)a 处的切线方程为y a x -=-,0y a --=.故24x y =在x =-处的导数值为,C 在(,)a -处的切线方程为y a x -=+,0y a ++=.0y a --=0y a ++=.(Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:设(0,)P b 为符合题意的点,11(,)M x y ,22(,)N x y , 直线PM ,PN 的斜率分别为12,k k .将y kx a =+代入C 的方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+. 当b a =-时,有12k k +=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补, 故∠OPM =∠OPN ,所以(0,)P a -符合题意. 30.【解析】(Ⅰ)由题意知(,0)2p F ,设(,0)(0)D t t >,则FD 的中点为2(,0)4p t+ 因为FA FD =,由抛物线的定义可知322p pt +=-, 解得3t p =+或3t =-(舍去) 由234p t+=,解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =. (Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知(1,0)F ,设0000(,)(0)A x y x y ≠.(,0)(0)D D D x x > 因为FA FD =,则011D x x -=+,由0D x >得02D x x =+,故0(2,0)D x +,故直线AB 的斜率02AB y k =- 因为直线1l 和直线AB 平行, 设直线1l 的方程为02y y x b =-+,代入抛物线的方程得200880by y y y +-=,由题意20064320b y y ∆=+=,得02b y =- 设(,)E E E x y ,则20044,E E y x y y =-=当204y ≠时,0020044E AE E y y yk x x y -==--,可得直线AE 的方程为000204()4y y y x x y -=--,由204y x =, 整理得0204(1)4y y x y =--,直线AE 恒过点(1,0)F 当204y =时,直线AE 的方程为1x =,过点(1,0)F ,所以直线AE 过定点(1,0)F . (ⅱ)由(ⅰ)知直线AE 过定点(1,0)F , 所以000011(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++｡ 设直线AE 的方程为1x my =+,因为点00(,)A x y 在直线AE 上 故001x m y -=.设11(,)B x y ,直线AB 的方程为000()2yy y x x -=-- 由于00y ≠,可得0022x y x y =-++, 代入抛物线的方程得2008840y y x y +--= 所以0108y y y +=-,可求得1008y y y =--,10044x x x =++ 所以点B 到直线AE 的距离为d ==则ABE ∆的面积00112)162S x x =⨯++≥, 当且仅当001x x =即01x =时等号成立, 所以ABE ∆的面积的最小值为16.31.【解析】(Ⅰ)在1C ,2C 方程中,令0y =,可得b=1,且得(1,0),(1,0)A B -是上半椭圆1C 的左右顶点,设1C 的半焦距为c ,由c a =及2221a c b -==,解得2a =, 所以2a =,1b =(Ⅱ)由(Ⅰ)知,上半椭圆1C 的方程为221(0)4y x y +=≥, 易知,直线l 与x 轴不重合也不垂直,设其方程为(1)(0)y k x k =-≠ 代入1C 的方程中,整理得:2222(4)240k x k x k +-+-= (*)设点P 的坐标(,)P P x y ,由韦达定理得2224P B k x x k +=+又(1,0)B ,得2244P k x k -=+,从而求得284P ky k -=+所以点P 的坐标为22248(,)44k kk k --++. 同理,由2(1)(0)1(0)y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ---- 22(,4)4kAP k k ∴=+,(1,2)AQ k k =-+ AP AQ ⊥,0AP AQ ∴⋅=,即222[4(2)]04k k k k --+=+ 0k ≠,4(2)0k k ∴-+=,解得83k =-经检验,83k =-符合题意,故直线l 的方程为8(1)3y x =--32.【解析】(Ⅰ)依题意2d ==,解得1c =(负根舍去) ∴抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P ,由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =, ∴112y x x y -=.∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①､②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y x xy -=002,即00220x x y y --=. (Ⅲ)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+, 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩,消去x 得()22200020y y x y y +-+=, 2212001202,y y x y y y y ∴+=-=0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值为92.33.【解析】(Ⅰ)由对称性知:BFD ∆是等腰直角∆,斜边2BD p =点A 到准线l的距离d FA FB ===122ABD S BD d p ∆=⇔⨯⨯=⇔=圆F 的方程为22(1)8x y +-=(Ⅱ)由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >,则(0,)2p F 点,A B 关于点F 对称得:22220000(,)3222x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔= 得:3,)2p A ,直线3:02p p p m y x x -=+⇔=222233x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒切点)6p P直线:06p n y x x p -=⇔-= 坐标原点到,m n3=. 34.【解析】(Ⅰ)设(,)M x y ,由已知得(,3)B x -,(0,1)A -.所以MA =(,1)x y ---, MB =(0,3y --), AB =(x ,-2). 再由题意可知(MA +MB )• AB =0, 即(x -,42y --)• (x ,-2)=0.所以曲线C 的方程式为2124y x =-. (Ⅱ)设00(,)P x y 为曲线C:2124y x =-上一点,因为12y x '=,所以l 的斜率为012x ,因此直线l 的方程为0001()2y y x x x -=-,即2000220x x y y x -+-=.则O 点到l的距离2d =.又200124y x =-,所以21412,2xd+==≥当2x=0时取等号,所以O点到l距离的最小值为2.。

考点测试28 平面向量的量积及应用一、基础小题1．已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(m,1)，m ∈R ，若a ⊥b ，则m 的值为( ) A ．－12B.12 C ．2 D ．－2答案 A解析 由a ⊥b ，得a ²b ＝0，即－2m －1＝0，则m ＝－12.故选A.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →²AC →等于 ( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16答案 D解析 因为cos A ＝|AC →||AB →|，故AB →²AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝|AC →|2＝16，故选D.3．已知向量a ＝(2,7)，b ＝(x ，－3)，且a 与b 的夹角为钝角，则实x 的取值范围为( )A ．x <212B ．－67<x <212C ．x <67D ．x <212且x ≠－67答案 D解析 由a ²b ＝2x －21<0，得x <212.当a 与b 共线时，2x ＝7－3，则x ＝－67.故x 的取值范围为x <212且x ≠－67.选D. 4．已知|a |＝3，|b |＝5且a ²b ＝12，则a 在b 方向上的投影为( ) A.125B ．3C ．4D ．5答案 A解析 向量a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ²b |b |＝125，故选A. 5．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →²CP →＝－32，则λ等于 ( )A.12B.1±22 C.1±102D.－3±222答案 A解析 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，由AP →＝λAB →，得P (2λ，0)，由AQ →＝(1－λ)AC →，得Q (1－λ，3(1－λ))，所以BQ →²CP →＝(－λ－1，3(1－λ))²(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)(2λ－1)－3³3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.6．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 答案 3 2解析 由题意得(2a －b )2＝4|a |2＋|b |2－4a ²b ＝4＋|b |2－4³1³|b |cos45°＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，解得|b |＝3 2.7．已知|a|＝|b |＝2，(a ＋2b )²(a －b )＝－2，则向量a 与b 的夹角为________．答案 π3解析 由|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )²(a －b )＝－2，得a ²b ＝2，cos 〈a ，b 〉＝a²b |a ||b |＝22³2＝12，所以〈a ，b 〉＝π3. 8．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →²AN →的取值范围是________．答案解析 如图，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设M (x 1，3(x 1－2))，N ⎝⎛⎭⎪⎫x 2，32，由条件可得2|BM →|＝|CN →|，代入坐标简得4x 1＋x 2＝212，得x 2＝212－4x 1，所以AM →²AN →＝(x 1，3(x 1－2))²⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，32＝x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫212－4x 1＋32(x 1－2)＝－4x 21＋12x 1－3，x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52.由二次函的图象可知y ＝－4x 21＋12x 1－3在x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52上是减函，所以AM →²AN →的取值范围是．二、高考小题9．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°答案 A解析 cos ∠ABC ＝BA →²BC→|BA →|²|BC →|＝32，所以∠ABC ＝30°，故选A. 10．设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 当|a |＝|b |＝0时，|a |＝|b |⇔|a ＋b |＝|a －b |；当|a |＝|b |≠0时，|a ＋b |＝|a －b |⇔(a ＋b )2＝(a －b )2⇔a ²b ＝0⇔a ⊥b ，推不出|a |＝|b |.同样，由|a |＝|b |也不能推出a ⊥b .故选D.11．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94答案 B解析 因为n ⊥(t m ＋n )，所以t m ²n ＋n 2＝0，所以m ²n ＝－n 2t，又4|m |＝3|n |，所以cos 〈m ，n 〉＝m ²n|m |²|n |＝4m ²n 3|n |2＝－43t ＝13，所以t ＝－4.故选B.12．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →²BC →的值为( )A ．－58B.18C.14D.118答案 B解析 建立平面直角坐标系，如图． 则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，A ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，所以BC →＝(1,0)．易知DE ＝12AC ，则EF ＝14AC ＝14，因为∠FEC ＝60°，所以点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－38，所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538， 所以AF →²BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538²(1,0)＝18. 故选B.13．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 答案 －2解析 由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，知a ⊥b ， ∴a ²b ＝m ＋2＝0，∴m ＝－2.14. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →²CA →＝4，BF →²CF →＝－1，则BE →²CE →的值是________．答案78解析 由已知可得BE →＝BD →＋DE →＝12BC →＋23DA →＝12BC →－23AD →＝12(AC →－AB →)－13(AB →＋AC →)＝16AC →－56AB →， CE →＝CD →＋DE →＝12CB →＋23DA →＝12CB →－23AD →＝12(AB →－AC →)－13(AB →＋AC →)＝16AB →－56AC →， BF →＝BD →＋DF →＝12BC →＋13DA →＝12(AC →－AB →)－16(AB →＋AC →)＝13AC →－23AB →， CF →＝CD →＋DF →＝12CB →＋13DA →＝12(AB →－AC →)－16(AB →＋AC →)＝13AB →－23AC →， 因为BA →²CA →＝4，所以AB →²AC →＝4， 则BF →²CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AC →－23AB →²⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →－23AC → ＝19AB →²AC →－29AB →2－29AC →2＋49AB →²AC → ＝59AB →²AC →－29(AB →2＋AC →2) ＝59³4－29(AB →2＋AC →2)＝－1， 所以AB →2＋AC →2＝292， 从而BE →²CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16AC →－56AB →²⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16AB →－56AC →＝－536AB →2－536AC →2＋2636AB →²AC →＝－536(AB →2＋AC →2)＋2636AB →²AC →＝－536³292＋2636³4 ＝6372＝78. 三、模拟小题15．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →²AC →＝－4，则△ABC的面积为( )A ．4B ．5C ．2D ．3 答案 C解析 ∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2.∵AB →²AC →＝|AB →|²|AC →|cos A ＝22³2cos A ＝－4，∴cos A ＝－22，∵0<A <π，∴sin A ＝22，∴S △ABC ＝12|AB→|²|AC →|sin A ＝2.故选C.16．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32 答案 A解析 由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos ∠ABC ＝1³cos60°＝12.故选A.17. 如图，在等腰直角△ABO 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，OA ＝1，OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，设P 为垂线上任一点，OP →＝p ，则p ²(b －a )＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32答案 A解析 OP →²(OB →－OA →)＝OP →²AB →＝(OA →＋AC →＋CP →)²AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫OA →＋14AB →＋CP →²AB →＝OA →²AB →＋14AB →2＋CP →²AB →＝1³2³cos 3π4＋14(2)2＋0＝－12.∴p ²(b －a )＝－12.18．向量a ＝(2,0)，b ＝(x ，y )，若b 与b －a 的夹角等于π6，则|b |的最大值为( )A ．2B ．2 3C ．4 D.433答案 C解析 由题意可知a ，b 不共线且|a |＝2，由a ＝b －(b －a )，则有|a |2＝|b －a |2＋|b |2－2|b －a |²|b |cos π6，即4＝|b －a |2＋|b |2－2|b |²|b －a |³32，即|b －a |2－3|b |²|b －a |＋|b |2－4＝0，则判别式Δ＝(3|b |)2－4(|b |2－4)≥0，即3|b |2－4|b |2＋16≥0，∴|b |2≤16，即|b |≤4，∴|b |的最大值为4.19．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________． 答案233解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形．设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3， ∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos30°＝233. 20．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a ²b ＝3，若(c －2a )²(2b －3c )＝0，则|b －c |的最大值是________．答案 2＋1解析 设a 与b 的夹角为θ，则a ²b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ²b |a ||b |＝32³3＝22， ∵θ∈，∴θ＝π4.设OA →＝a ，OB →＝b ，c ＝(x ，y )，建立如图所示的平面直角坐标系． 则A (1,1)，B (3,0)，∴c －2a ＝(x －2，y －2)，2b －3c ＝(6－3x ，－3y )，∵(c －2a )²(2b －3c )＝0，∴(x －2)²(6－3x )＋(y －2)²(－3y )＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝1，故点C 在以(2,1)为圆心，1为半径的圆上． 又知b －c ＝(3－x ，－y )，∴|b －c |＝ x －3 2＋y 2≤ 3－2 2＋ 0－1 2＋1＝2＋1，即|b －c |的最大值为2＋1.一、高考大题1．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解 (1)∵m ⊥n ，∴m ²n ＝0， 故22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ²n |m |²|n |＝22sin x －22cos x 1³1＝12， 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12. 又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，x －π4＝π6， 即x ＝5π12，故x 的值为5π12. 二、模拟大题2．如图，O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠AOC ＝120°，向量OA →，OB →，OC →的模分别为2，3，4.(1)求|OA →＋OB →＋OC →|；(2)若OC →＝mOA →＋nOB →，求实m ，n 的值．解 (1)由已知条件易知OA →²OB →＝|OA →|²|OB →|²cos∠AOB ＝－3， OA →²OC →＝|OA →|²|OC →|²cos∠AOC ＝－4，OB →²OC →＝0， ∴|OA →＋OB →＋OC →|2＝OA →2＋OB →2＋OC →2＋2(OA →²OB →＋OA →²OC →＋OB →²OC →)＝9， ∴|OA →＋OB →＋OC →|＝3. (2)由OC →＝mOA →＋nOB →，可得 OA →²OC →＝mOA →2＋nOA →²OB →，且OB →²OC →＝mOB →²OA →＋nOB →2，∴⎩⎨⎧ 4m －3n ＝－4，－3m ＋3n ＝0，∴m ＝n ＝－4. 3．已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)．(1)若BC →∥DA →，求x 与y 之间的关系式； (2)在(1)的条件下，若AC →⊥BD →，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．解 (1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，∴DA →＝－AD →＝(－x －4,2－y )．又BC →∥DA →且BC →＝(x ，y )，∴x (2－y )－y (－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.①(2)由于AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)， BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)，又AC →⊥BD →，∴AC →²BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.②联立①②，简得y 2－2y －3＝0.解得y ＝3或y ＝－1.故当y ＝3时，x ＝－6，此时AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)，∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|²|BD →|＝16； 当y ＝－1时，x ＝2，此时AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)，∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|²|BD →|＝16. 4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4. (1)求a ²b 及|a ＋b|；(2)若f (x )＝a²b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．解 (1)a²b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4 ∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 2，sin 3x 2－sin x 2， ∴|a ＋b |＝ ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2cos2x ＝2|cos x |.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4， ∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32； 当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.。

每天练28 空间点、线、面的位置关系一、选择题 1．(2021·衡水中学一调)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β( )A ．若l ⊥β，则α⊥βB ．若α⊥β，则l ⊥mC ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不肯定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β 3．(2021·长沙二模)若平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系为( )A ．平行B ．相交C ．平行或重合D ．平行或相交 4．(2021·深圳二模)已知在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，则在四棱锥P －ABCD 的任意两个顶点的连线中，相互垂直的异面直线共有( )A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对 5．(2021·甘肃二诊)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝3，AB ＝4，若在棱AB 上存在点P ，使得D 1P ⊥PC ，则AD 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．(0,2]C ．(1，3]D ．1,4) 6．(2021·山西监测)在四棱锥P －ABCD 中，四条侧棱长均为2，底面ABCD 为正方形，E 为PC 的中点．若异面直线P A 与BE 所成的角为45°，则该四棱锥的体积是( )A ．4B ．2 3 C.43 D.233 7．已知四棱锥P －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，四边形ABCD 为正方形，点E 是PB 的中点，则异面直线AE 与PD 所成角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23 8．(2022·课标全国Ⅰ，11)平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32B.22C.33D.13 二、填空题9．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： (1)若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β；(2)若m ⊂α，α∩β＝n ，α⊥β，则m ⊥n ；(3)若m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n . 其中真命题是________(填序号)．10．如图所示，在三棱锥C －ABD 中，E ，F 分别是AC 和BD 的中点．若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是______________．11．(2021·日照一模)如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，给出下列结论：①A 、M 、O 三点共线；②A 、M 、O 、A 1不共面；③A 、M 、C 、O 共面；④B 、B 1、O 、M 共面．其中正确结论的序号为________． 三、解答题12．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点． 求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面；(2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．每天练28 空间点、线、面的位置关系1．A 依题意，若l ⊥β，l ⊂α，则α⊥β，故A 正确；若α⊥β，则l 与m 可能平行、垂直或异面，B 错误；若l ∥β，则α与β平行或相交，C 错误；若α∥β，则l 与m 平行、垂直或异面，D 错误，故选A.2．D如图所示：AB ∥l ∥m ；AC ⊥l ，m ∥l ⇒AC ⊥m ；AB ∥l ⇒AB ∥β.3．D 当两个平面平行时，平面α上存在很多多个点到平面β的距离相等且不为零，满足题意；当两个平面相交时，可以从交线的两侧去找三个点到平面β的距离相等且不为零．故选D.4．C 由于ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥BC ，P A ⊥CD ，AB ⊥PD ，BD ⊥P A ，AD ⊥PB .共5对．5．B 连接DP ，由D 1P ⊥PC ，DD 1⊥PC ，且D 1P ，DD 1是平面DD 1P 上两条相交直线，得PC ⊥平面DD 1P ，PC ⊥DP ，即点P 在以CD 为直径的圆上，又点P在AB 上，则AB 与圆有公共点，即0<AD ≤12CD ＝2，故选B.6．D 连接AC 和BD 相交于点O ，连接OE ，则OE ∥P A ，则∠OEB ＝45°，又∠EOB ＝90°，则BO ＝OE ＝1，底面正方体的边长为2，四棱锥的高为3，则体积为13×(2)2×3＝233，故选D.7．C设棱长都为1，连接AC ，BD ，交于点O ，连接OE .由于全部棱长都相等，四边形ABCD 是正方形，所以O 是BD 的中点，且OE ∥PD ，故∠AEO (或其补角)为异面直线AE 与PD 所成的角．易知OE ＝12PD ＝12，AE ＝32AB ＝32，OA ＝12AC ＝12×12＋12＝22.在△OAE 中，由余弦定理得cos ∠AEO ＝34＋14－122×32×12＝33.8．A解析：如图，延长B 1A 1至A 2，使A 2A 1＝B 1A 1，延长D 1A 1至A 3，使A 3A 1＝D 1A 1，连接AA 2，AA 3，A 2A 3，A 1B ，A 1D .易证AA 2∥A 1B ∥D 1C ，AA 3∥A 1D ∥B 1C .∴平面AA 2A 3∥平面CB 1D 1，即平面AA 2A 3为平面α.于是m ∥A 2A 3，直线AA 2即为直线n .明显有AA 2＝AA 3＝A 2A 3，于是m 、n 所成的角为60°，其正弦值为32.选A.9．(1)(3)解析：(2)中，m ∥n ，m 与n 相交都有可能． 10．30°解析：如图，取CB 的中点G ，连接EG ，FG .则EG ∥AB ，FG ∥CD ，∴EF 与CD 所成的角为∠EFG .又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG .在Rt △EFG 中，EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2， ∴sin ∠EFG ＝12，∴∠EFG ＝30°， ∴EF 与CD 所成的角为30°. 11．①③解析：连接A 1C 1、AC ，则A 1C 1∥AC ，∴A 1、C 1、C 、A 四点共面，∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1.∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 、A 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，∴A 、M 、O 三点共线，故①正确．由①易知②错误，③正确．易知OM 与BB 1为异面直线，故④错误．12．证明：(1)如图所示，连接CD 1、EF 、A 1B ， ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点，∴FE ∥A 1B 且EF ＝12A 1B . ∵A 1D 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C ，∴FE ∥D 1C ，∴EF 与CD 1可确定一个平面，即E 、C 、D 1、F 四点共面．(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝12CD1，∴四边形CD1FE是梯形，∴直线CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE⊂平面ABCD，且P∈D1F⊂平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE、D1F、DA三线共点．。

课时规范练28 数列的概念与表示一、基础巩固组1.数列1,2,3,4,5,…的一个通项公式a n =( ) A.n2n +1B.n 2n -1C.n 2n -3D.n2n +32.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2(a n -1),则a 2等于( ) A.4 B.2 C.1 D.-23.(2017江西上饶模拟)已知数列{a n }满足a n+1+a n =n ,若a 1=2,则a 4-a 2=( ) A.4 B.3 C.2 D.14.已知数列{a n }满足a 1=0,a n+1=a n +2n-1,则数列{a n }的一个通项公式为( ) A.a n =n-1 B.a n =(n-1)2 C.a n =(n-1)3 D.a n =(n-1)45.(2017吉林市模拟改编)若数列{a n }满足a 1=1,a n =1-1n -1(n ≥2,且n ∈N *),则a 2 018等于( ) A.-1 B.1C.1D.2 6.已知数列{a n }的首项a 1=1,其前n 项和S n =n 2a n (n ∈N *),则a 9=( )A.136B.145C.155D.1667.(2017宁夏银川二模)已知数列{a n }满足a 1=2,且a 1+a 2+a 3+…+a n -1=a n -2(n ≥2),则{a n }的通项公式为 .8.已知数列{a n }的通项公式为a n =(n+2) 78 n,则当a n 取得最大值时,n=.9.已知各项都为正数的数列{a n }满足a n +12-a n+1a n -2a n 2=0,且a 1=2,则a n = .10.(2017广东江门一模)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =12a n (a n +1),n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =1n,求数列{b n }的前n 项和T n .〚导学号21500730〛二、综合提升组11.(2017河南郑州、平顶山、濮阳二模,理7)已知数列{a n }满足a n+1=a n -a n-1(n ≥2),a 1=m ,a 2=n ,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2 017的值为( ) A.2 017n-m B.n-2 017m C.m D.n12.已知函数f (x )是定义在区间(0,+∞)内的单调函数,且对任意的正数x ,y 都有f (xy )=f (x )+f (y ).若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足f (S n +2)-f (a n )=f (3)(n ∈N *),则a n 等于( ) A.2n-1B.nC.2n-1D. 3 n -113.(2017山西晋中二模,理15)我们可以利用数列{a n }的递推公式a n =n ,n 为奇数,a n 2,n 为偶数(n ∈N *),求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数,则a 64+a 65= .14.(2017山西吕梁二模,理16)在数列{a n }中,已知a 2n =a 2n-1+(-1)n ,a 2n+1=a 2n +n ,a 1=1,则a 20= . 15.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2a n -n ,则a n = .三、创新应用组16.(2017河南洛阳一模)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”,则(a 1a 3-a 22)(a 2a 4-a 32)(a 3a 5-a 42)·…·(a 2015a 2 017-a 2 0162)=( ) A.1 B.-1 C.2 017 D.-2 017 〚导学号21500731〛 17.已知数列{a n }中,a 1=-1,a n+1=2a n +3n-1(n ∈N *),求数列{a n }的通项公式.课时规范练28 数列的概念与表示1.B 由已知得,数列可写成11,23,35,…,故通项为n 2n -1. 2.A 由S n =2(a n -1),得a 1=2(a 1-1),即a 1=2,又a 1+a 2=2(a 2-1),所以a 2=4.3.D 由a n+1+a n =n ,得a n+2+a n+1=n+1,两式相减得a n+2-a n =1,令n=2,得a 4-a 2=1.4.B 因为a 1=0,a n+1=a n +2n-1,所以a 2=0+1=1,a 3=1+3=4,a 4=4+5=9,故数列{a n }的一个通项公式为a n =(n-1)2.5.A ∵a 1=12,a n =1-1a n -1(n ≥2,且n ∈N *),∴a 2=1-1a 1=1-112=-1,∴a 3=1-1a 2=1-1-1=2,∴a 4=1-1a 3=1-12=12,……依此类推,可得a n+3=a n ,∴a 2 018=a 672×3+2=a 2=-1,故选A .6.B 由S n =n 2a n ,得S n+1=(n+1)2a n+1,所以a n+1=(n+1)2a n+1-n 2a n ,化简得(n+2)a n+1=na n , 即a n +1a n=n n +2,所以a 9=a 9a 8·a 8a 7·…·a 2a 1·a 1=810×79×68×…×24×13×1=290=145.7.a n =n+1 ∵a 1+a 2+a 3+…+a n -1=a n -2(n ≥2),①a 12+a 23+a 34+…+a nn +1=a n+1-2(n ≥2),② ②-①得a n n +1=a n+1-a n ,整理得a n +1a n =n +2n +1,∴a n +1n +2a n n +1=1,又a 11+1=1, ∴数列 a nn +1 是以1为首项,1为公比的等比数列,即常数列1,∴a n =n+1.8.5或6 由题意令 a n ≥a n -1,a n ≥a n +1,∴(n +2) 78 n ≥(n +1) 78 n -1,(n +2) 78 n≥(n +3) 78 n +1,解得 n ≤6,n ≥5.∴n=5或n=6.9.2n ∵a n +12-a n+1a n -2a n 2=0,∴(a n+1+a n )(a n+1-2a n )=0. ∵数列{a n }的各项均为正数, ∴a n+1+a n >0, ∴a n+1-2a n =0,即a n+1=2a n (n ∈N *),∴数列{a n }是以2为公比的等比数列.∵a 1=2,∴a n =2n . 10.解 (1)a 1=S 1=12a 1(a 1+1),a 1>0,解得a 1=1.∀n ∈N *,a n+1=S n+1-S n =12a n+1(a n+1+1)-12a n (a n +1),移项整理并因式分解得(a n+1-a n -1)(a n+1+a n )=0, 因为{a n }是正项数列, 所以a n+1+a n >0,所以a n+1-a n -1=0,a n+1-a n =1.所以{a n }是首项a 1=1、公差为1的等差数列,所以a n =n.(2)由(1)得S n =12a n (a n +1)=12n (n+1),b n =1S n=2n (n +1)=2n −2n +1,T n =b 1+b 2+…+b n = 21-22 +22-23 +…+ 2n -2n +1=21-2n +1=2n n +1. 11.C ∵a n+1=a n -a n-1(n ≥2),a 1=m ,a 2=n ,∴a 3=n-m ,a 4=-m ,a 5=-n ,a 6=m-n ,a 7=m ,a 8=n ,…, ∴a n+6=a n .则S 2 017=S 336×6+1=336×(a 1+a 2+…+a 6)+a 1=336×0+m=m. 12.D 由题意知f (S n +2)=f (a n )+f (3)=f (3a n )(n ∈N *),∴S n +2=3a n ,S n-1+2=3a n-1(n ≥2), 两式相减,得2a n =3a n-1(n ≥2),则a n a n -1=32(n ≥2).又n=1时,S 1+2=3a 1=a 1+2, ∴a 1=1.∴数列{a n }是首项为1,公比为3的等比数列.∴a n = 3 n -1.13.66 由题得,这个数列各项的值分别为1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,…∴a 64+a 65=a 32+65=a 16+65=a 8+65=a 4+65=1+65=66. 14.46 由a 2n =a 2n-1+(-1)n ,得a 2n -a 2n-1=(-1)n ,由a 2n+1=a 2n +n ,得a 2n+1-a 2n =n ,∴a 2-a 1=-1,a 4-a 3=1,a 6-a 5=-1,…,a 20-a 19=1,10个式子之和为0, a 3-a 2=1,a 5-a 4=2,a 7-a 6=3,…,a 19-a 18=9,9个式子之和为9(1+9)2=45. 累加得a 20-a 1=45.又a 1=1,故a 20=46,故答案为46. 15.2n-1 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2a n -n-2a n-1+(n-1),即a n =2a n-1+1, ∴a n +1=2(a n-1+1).又a 1=S 1=2a 1-1,∴a 1=1.∴数列{a n +1}是以首项为a 1+1=2,公比为2的等比数列, ∴a n +1=2·2n-1=2n , ∴a n =2n -1.16.B ∵a 1a 3-a 22=1×2-12=1,a 2a 4-a 32=1×3-22=-1,a 3a 5-a 42=2×5-32=1,…,a 2 015a 2 017-a 2 0162=1.∴(a 1a 3-a 22)(a 2a 4-a 32)(a 3a 5-a 42)·…·(a 2 015a 2 017-a 2 0162)=11 008×(-1)1 007=-1. 17.解 ∵a n+1=2a n +3n-1(n ∈N *),①a 1=-1, ∴a 2=0.当n ≥2时,a n =2a n-1+3n-4,②由①-②可得a n+1-a n =2a n -2a n-1+3, 即a n+1-a n +3=2(a n -a n-1+3),∴数列{a n -a n-1+3}为等比数列,首项为4,公比为2. ∴a n -a n-1+3=4×2n-2, ∴a n -a n-1=2n -3.∴a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=2n -3+2n-1-3+…+22-3-1=4(2n -1-1)2-1-3(n-1)-1=2n+1-3n-2.。

考点测试28 平面向量的数量积及应用一、基础小题1．已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(m,1)，m ∈R ，若a ⊥b ，则m 的值为( ) A ．－12B.12 C ．2 D ．－2答案 A解析 由a ⊥b ，得a ·b ＝0，即－2m －1＝0，则m ＝－12.故选A.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 答案 D解析 因为cos A ＝|AC →||AB →|，故AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝|AC →|2＝16，故选D.3．已知向量a ＝(2,7)，b ＝(x ，－3)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围为( )A ．x <212B ．－67<x <212C ．x <67D ．x <212且x ≠－67答案 D解析 由a ·b ＝2x －21<0，得x <212.当a 与b 共线时，2x ＝7－3，则x ＝－67.故x 的取值范围为x <212且x ≠－67.选D.4．已知|a |＝3，|b |＝5且a ·b ＝12，则a 在b 方向上的投影为( ) A.125B ．3C ．4D ．5 答案 A解析 向量a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b |b |＝125，故选A. 5．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－32，则λ等于 ( )A.12B.1±22 C.1±102D.－3±222答案 A解析 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，由AP →＝λAB →，得P (2λ，0)，由AQ →＝(1－λ)AC →，得Q (1－λ，3(1－λ))，所以BQ →·CP →＝(－λ－1，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)(2λ－1)－3×3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.6．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 答案 3 2解析 由题意得(2a －b )2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝4＋|b |2－4×1×|b |cos45°＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，解得|b |＝3 2.7．已知|a|＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则向量a 与b 的夹角为________． 答案π3解析 由|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，得a ·b ＝2，cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝22×2＝12，所以〈a ，b 〉＝π3. 8．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．答案解析 如图，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设M (x 1，3(x 1－2))，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，32，由条件可得2|BM →|＝|CN →|，代入坐标化简得4x 1＋x 2＝212，得x 2＝212－4x 1，所以AM →·AN →＝(x 1，3(x 1－2))·⎝⎛⎭⎪⎫x 2，32＝x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫212－4x 1＋32(x 1－2)＝－4x 21＋12x 1－3，x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52.由二次函数的图象可知y ＝－4x 21＋12x 1－3在x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52上是减函数，所以AM →·AN →的取值范围是． 二、高考小题9．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°答案 A解析 cos ∠ABC ＝BA →·BC→|BA →|·|BC →|＝32，所以∠ABC ＝30°，故选A. 10．设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 当|a |＝|b |＝0时，|a |＝|b |⇔|a ＋b |＝|a －b |；当|a |＝|b |≠0时，|a ＋b |＝|a －b |⇔(a ＋b )2＝(a －b )2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b ，推不出|a |＝|b |.同样，由|a |＝|b |也不能推出a ⊥b .故选D.11．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94答案 B解析 因为n ⊥(t m ＋n )，所以t m ·n ＋n 2＝0，所以m ·n ＝－n 2t，又4|m |＝3|n |，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝4m ·n 3|n |2＝－43t ＝13，所以t ＝－4.故选B. 12．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B.18C.14D.118答案 B解析 建立平面直角坐标系，如图．则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，所以BC →＝(1,0)． 易知DE ＝12AC ，则EF ＝14AC ＝14，因为∠FEC ＝60°，所以点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－38，所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538，所以AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538·(1,0)＝18.故选B.13．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 答案 －2解析 由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，知a ⊥b ， ∴a ·b ＝m ＋2＝0，∴m ＝－2.14. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF→＝－1，则BE →·CE →的值是________．答案 78解析 由已知可得BE →＝BD →＋DE →＝12BC →＋23DA →＝12BC →－23AD →＝12(AC →－AB →)－13(AB →＋AC →) ＝16AC →－56AB →， CE →＝CD →＋DE →＝12CB →＋23DA →＝12CB →－23AD →＝12(AB →－AC →)－13(AB →＋AC →)＝16AB →－56AC →， BF →＝BD →＋DF →＝12BC →＋13DA →＝12(AC →－AB →)－16(AB →＋AC →)＝13AC →－23AB →， CF →＝CD →＋DF →＝12CB →＋13DA →＝12(AB →－AC →)－16(AB →＋AC →)＝13AB →－23AC →， 因为BA →·CA →＝4，所以AB →·AC →＝4，则BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →－23AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－23AC →＝19AB →·AC →－29AB →2－29AC →2＋49AB →·AC → ＝59AB →·AC →－29(AB →2＋AC →2) ＝59×4－29(AB →2＋AC →2)＝－1， 所以AB →2＋AC →2＝292， 从而BE →·CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16AC →－56AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫16AB →－56AC →＝－536AB →2－536AC →2＋2636AB →·AC →＝－536(AB →2＋AC →2)＋2636AB →·AC →＝－536×292＋2636×4＝6372＝78. 三、模拟小题15．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( )A ．4B ．5C ．2D ．3答案 C解析 ∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2.∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2c os A ＝－4，∴cos A ＝－22，∵0<A <π，∴sin A ＝22，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.16．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32答案 A解析 由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos ∠ABC ＝1×cos60°＝12.故选A.17. 如图，在等腰直角△ABO 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，OA ＝1，OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，设P 为垂线上任一点，OP →＝p ，则p ·(b －a )＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32答案 A解析 OP →·(OB →－OA →)＝OP →·AB →＝(OA →＋AC →＋CP →)·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA →＋14AB →＋CP →·AB →＝OA →·AB →＋14AB →2＋CP →·AB →＝1×2×cos3π4＋14(2)2＋0＝－12. ∴p ·(b －a )＝－12.18．向量a ＝(2,0)，b ＝(x ，y )，若b 与b －a 的夹角等于π6，则|b |的最大值为( )A ．2B ．2 3C ．4 D.433答案 C解析 由题意可知a ，b 不共线且|a |＝2，由a ＝b －(b －a )，则有|a |2＝|b －a |2＋|b |2－2|b －a |·|b |cos π6，即4＝|b －a |2＋|b |2－2|b |·|b －a |×32，即|b －a |2－3|b |·|b－a |＋|b |2－4＝0，则判别式Δ＝(3|b |)2－4(|b |2－4)≥0，即3|b |2－4|b |2＋16≥0，∴|b |2≤16，即|b |≤4，∴|b |的最大值为4.19．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．答案233解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形． 设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos30°＝233.20．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a ·b ＝3，若(c －2a )·(2b －3c )＝0，则|b －c |的最大值是________．答案2＋1解析 设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝22， ∵θ∈，∴θ＝π4.设OA →＝a ，OB →＝b ，c ＝(x ，y )，建立如图所示的平面直角坐标系． 则A (1,1)，B (3,0)，∴c －2a ＝(x －2，y －2)，2b －3c ＝(6－3x ，－3y )， ∵(c －2a )·(2b －3c )＝0，∴(x －2)·(6－3x )＋(y －2)·(－3y )＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝1，故点C 在以(2,1)为圆心，1为半径的圆上． 又知b －c ＝(3－x ，－y )， ∴|b －c |＝x －2＋y 2≤－2＋－2＋1＝2＋1，即|b －c |的最大值为2＋1.一、高考大题1．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解 (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0， 故22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝22sin x －22cos x 1×1＝12， 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12. 又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，x －π4＝π6， 即x ＝5π12，故x 的值为5π12. 二、模拟大题2．如图，O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠AOC ＝120°，向量OA →，OB →，OC →的模分别为2，3，4.(1)求|OA →＋OB →＋OC →|；(2)若OC →＝mOA →＋nOB →，求实数m ，n 的值．解 (1)由已知条件易知OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos∠AOB ＝－3， OA →·OC →＝|OA →|·|OC →|·cos∠AOC ＝－4，OB →·OC →＝0， ∴|OA →＋OB →＋OC →|2＝OA →2＋OB →2＋OC →2＋2(OA →·OB →＋OA →·OC →＋OB →·OC →)＝9， ∴|OA →＋OB →＋OC →|＝3.(2)由OC →＝mOA →＋nOB →，可得 OA →·OC →＝mOA →2＋nOA →·OB →， 且OB →·OC →＝mOB →·OA →＋nOB →2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m －3n ＝－4，－3m ＋3n ＝0，∴m ＝n ＝－4.3．已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)．(1)若BC →∥DA →，求x 与y 之间的关系式；(2)在(1)的条件下，若AC →⊥BD →，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．解 (1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，∴DA →＝－AD →＝(－x －4,2－y )． 又BC →∥DA →且BC →＝(x ，y )，∴x (2－y )－y (－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.①(2)由于AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)，BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)，又AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.②联立①②，化简得y 2－2y －3＝0.解得y ＝3或y ＝－1.故当y ＝3时，x ＝－6，此时AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)，∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16； 当y ＝－1时，x ＝2，此时AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16. 4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4. (1)求a·b 及|a ＋b|；(2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．解 (1)a·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4 ∵a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 2，sin 3x 2－sin x 2， ∴|a ＋b |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2cos2x ＝2|cos x |.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4， ∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32； 当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.。

第28讲等差数列及其前n项和1.[2018·济南质检]在等差数列{a n}中,若a2=4,a4=2,则a6等于()A.-1B.0C.1D.62.[2018·日照模拟]由公差为d的等差数列a1,a2,a3,…组成的新数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…是()A.公差为d的等差数列B.公差为2d的等差数列C.公差为3d的等差数列D.非等差数列3.[2018·宁德一模]若数列{a n}为等差数列,S n为其前n项和,且a2=3a4-6,则S9等于()A.54B.50C.27D.254.[2018·辽宁丹东模拟]等差数列{a n}中,a3=-a1,a5=6,则a7的值为.5.[2018·广东惠州模拟]已知数列{a n}对任意的m,n∈N*,都有a m+a n=a m+n,若a1=2,则a2018= .6.[2018·安徽江南十校联考]已知数列{a n}是等差数列,a3+a13=20,a2=-2,则a15=()A.20B.24C.28D.347.[2018·湖北黄冈中学三模]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a10=15,且S2=S7,则a8=()A.6B.7C.8D.98.[2018·河南郑州外国语学校调研]在等差数列{a n}中,已知a4,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,则{a n}的前10项和S10=()A.-18B.9C.18D.209.[2018·安徽六安一中模拟]已知首项为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1008和a1009是方程x2-2017x-2018=0的两个根,则使S n>0成立的正整数n的最大值是()A.1008B.1009C.2016D.2017(t∈10.[2018·南昌质检]已知各项均为正数的递增数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2,b n=a na n+tN*),且b1,b2,b m成等差数列,则tm的最大值为()A.27B.3 5C.3 8D.5411.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S10=10,S20=30,则S30= .12.[2018·湖北孝感七校联考]我国古代数学名著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里.良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:需日相逢?13.[2018·南阳一中模拟]已知数列{a n}的前n项和S n=pn2-2n,b n=a1+2a2+3a3+…+na n1+2+3+…+n,若数列{b n}是公差为2的等差数列,则数列{a n}的通项公式为.14.[2018·江苏盐城中学模拟]已知正项数列{a n}的前n项和为S n,其中√S n=λa n+μ.(1)若a1=2,a2=6,求数列{a n}的通项公式;(2)若a1+a3=2a2,求证:{a n}是等差数列.15.[2018·北京海淀区模拟]已知{a n}是各项均为正数的等差数列,S n为其前n项和,且4S n=(a n+1)2.(1)求a1,a2的值及{a n}的通项公式;(2)求数列S n-72a n的最小值.16.[2018·上饶部分重点中学联考]设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3(m≥2),则m= .17.[2018·保定一模]设等差数列{a n}满足a1=1,a n>0(n∈N*),其前n项和为S n,若数列{√S n}也为等差数列,则S n+10a n2的最大值是.。