下载文档原格式
详解复数的运算和几何意义复数是一种能够表示虚数单位 i 的数，它由实部和虚部组成，通常用 a+bi 的形式表示。
在现实生活中，复数的应用非常广泛，从电阻电容电感电路的计算到信号处理和量子计算，都少不了复数。
本文将详解复数的运算和几何意义。
一、基本概念首先，让我们来了解一些复数的基本概念。
实部和虚部是构成复数的两个基本元素，实部记为 Re(z)，虚部记为 Im(z)。
在复平面上，实部沿着 x 轴正半轴方向，虚部沿着 y 轴正半轴方向，因此复数可以看做一个有序对 (a,b)，a 是实部，b 是虚部。
复数的加减运算与实数的加减运算类似，只需将其实部和虚部分别相加减即可。
例如，设 z1=2+3i，z2=4+5i，则z1+z2=(2+4)+(3+5)i=6+8i，z1-z2=(2-4)+(3-5)i=-2-2i。
复数的乘法运算也是有许多规律的。
例如，设 z1=2+3i，z2=4+5i，则 z1*z2=(2*4-3*5)+(2*5+3*4)i=-7+22i。
从几何上讲，复数乘法的效果是将一个复数旋转了一个角度，并将其尺寸拉伸了一定的倍数。
具体来讲，设z1=r1(cos θ1+isin θ1)，z2=r2(cosθ2+isin θ2)，则z1*z2=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))。
二、复数的除法复数的除法运算比较复杂，它涉及到两个复数的逆元的求解。
我们可以将除法转化为乘法，即 z1/z2=z1*1/z2。
因此，只要求出z2 的逆元即可。
设 z2=a+bi，则 z2 的逆元为 1/z2=(a-bi)/(a^2+b^2)。
将其带入上式，则可得到z1/z2=r1/r2(cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2))。
三、复数的共轭复数的共轭是指改变虚部的符号，即将 z=a+bi 的共轭记为z_bar=a-bi。
共轭的作用很广泛，它可以用来求模长、求逆元等。
例如，设 z=a+bi，则|z|^2=z*z_bar=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2，1/z=z_bar/|z|^2=(a-bi)/(a^2+b^2)。
复数的基本运算与几何意义解释复数是由实部和虚部构成的数，其表示形式为a + bi，其中a和b 分别为实部和虚部的实数部分，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面将基本运算进行详细解释，并探讨其在几何中的意义。
一、加法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的和z = z1 + z2的实部等于两个复数实部的和，虚部等于两个复数虚部的和，即：z = z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，实部表示在实轴上，虚部表示在虚轴上。
加法运算就是将两个复数的向量相加，得到新的向量的终点，即通过终点相加的法则得到。
二、减法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的差z = z1 - z2的实部等于两个复数实部的差，虚部等于两个复数虚部的差，即：z = z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，减法运算就是将z2的向量从z1的向量终点出发得到新的向量的终点，即通过终点减去起点的法则得到。
三、乘法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的乘积z = z1 * z2的实部等于两个复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部等于两个复数实部的乘积加上虚部的乘积，即：z = z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，乘法运算就是将z1的向量的长度与z2的向量的长度相乘（模的乘积），同时将z1的向量的方向与z2的向量的方向相加（幅角的叠加），得到新的向量，即将两个向量的长度相乘，诱导出新的长度，将两个向量的角度相加，诱导出新的角度。
四、除法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的商z = z1 / z2为复数，可以通过以下步骤求解：1. 乘以共轭复数：将除数z2的虚部取相反数，即z2* = a2 - b2i；2. 乘以共轭复数得到分子：z1 * z2* = (a1 + b1i)(a2 - b2i)；3. 化简分子：z1 * z2* = (a1a2 + b1b2) + (a1b2 - b1a2)i；4. 除以分母的模的平方：z = (a1a2 + b1b2)/(a2^2 + b2^2) + (a1b2 -b1a2)/(a2^2 + b2^2)i。
复数运算的常用规律和几何意义复数是由实数和虚数构成的数。
每个复数可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位，满足i² = -1常用规律：1.实部与虚部的加法和减法：- (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i- (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2.实数与复数的乘法和除法：- (a + bi) * c = ac + bci- (a + bi) / c = (a/c) + (b/c)i （当c ≠ 0）3.复数的共轭：复数 a + bi 的共轭是 a - bi，即将虚数部分取相反数。
4.复数的乘法和除法：- (a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- (a + bi) / (c + di) = [(a + bi) * (c - di)] / (c² + d²) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²) （当c² + d² ≠ 0）几何意义：复数可以用来表示平面上的点。
实部代表点在x轴上的位置，虚部代表点在y轴上的位置。
1.加法和减法：复数的加法和减法可以看作是平面上的点的运算。
例如，(a + bi) + (c + di) 可以看作是将第二个点 (c, d) 平移后放置在第一个点 (a, b) 的位置上。
2.乘法：复数的乘法可以用来进行旋转和缩放。
例如，复数 (a + bi) * (c + di) 可以看作是将向量 (a,b) 绕原点旋转角度 angle，并将长度乘以，c + di。
3.共轭：复数的共轭可以用来表示点关于 x 轴的对称点。
例如，复数 a + bi 的共轭 a - bi 可以看作是将点 (a, b) 关于 x 轴翻转。
综合算式复数的运算与几何意义复数是由实部和虚部组成的数，可以以 a+bi 的形式表示，其中 a 表示实部，b 表示虚部，而 i 表示单位虚数。
在复数运算中，我们可以进行加减乘除等操作，并且将复数与几何意义相结合，这为我们解决实际问题提供了便利。
本文将探讨综合算式复数的运算规则，并且介绍复数在几何中的应用。
一、复数的基本运算规则1. 复数的加减运算复数的加减运算就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
例如，对于复数 z1 = a1+bi1 和 z2 = a2+bi2，它们的和为 z = z1+z2 =(a1+a2)+(bi1+bi2)。
同理，它们的差为 z = z1-z2 = (a1-a2)+(bi1-bi2)。
2. 复数的乘法运算复数的乘法运算可以使用分配律进行计算。
令 z1 = a1+bi1 和 z2 = a2+bi2，它们的乘积为 z = z1*z2 = (a1+bi1)(a2+bi2)。
根据分配律展开计算可得 z = (a1*a2-b1*b2)+(a1*b2+a2*b1)i。
3. 复数的除法运算复数的除法运算需要借助共轭复数进行计算。
假设 z1 = a1+bi1 和z2 = a2+bi2，首先计算 z2 的共轭复数 z2* = a2-bi2。
然后，利用公式 z = z1/z2 = z1 * z2* / (a2^2 +b2^2) 计算得到 z 的值。
二、复数与几何意义1. 笛卡尔坐标系中的表示复数在几何中可以表示为平面上的点，即复平面。
以复数 a+bi 为例，可以将实部 a 看作是横坐标，虚部 b 看作是纵坐标，将复数表示为平面上的一个点。
这个点与原点之间的距离称为模，可以用来表示复数的大小；与实轴之间的夹角称为幅角，可以用来表示复数的方向。
2. 复数的加法与减法在复平面上，复数的加法与减法可以通过平移向量的方式进行表示。
假设有复数 z1 和 z2，我们将 z1 表示为平面上的一个点 A，z2 表示为平面上的一个点 B。
复数的几何意义与运算规则复数起源于解方程中无实数解的情况，它扩展了实数域，使得原本不可能的运算变得有解。
复数的几何意义和运算规则是理解和应用复数的基础。
本文将从几何角度解释复数，介绍复数的四则运算规则，并提供一些实例来进一步说明。
一、复数的几何意义复数可以表示为一个实数和一个虚数的和，其中实数部分代表复数在实轴上的位置，虚数部分代表复数在虚轴上的位置。
我们可以将复数表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部。
从几何意义上看，复数可以在平面上表示为一个有序数对(a, b)，其中a为复数的实部，b为复数的虚部，平面上的每个点都表示一个复数。
实部和虚部决定了复数在平面上的位置。
二、复数的运算规则1. 加法复数的加法满足交换律和结合律。
当两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加，得到新的复数。
2. 减法复数的减法可以通过加法和乘法来计算。
减去一个复数相当于加上这个复数的相反数。
3. 乘法复数的乘法满足交换律和结合律。
两个复数相乘时，实部和虚部分别相乘后相加，得到新的复数。
4. 除法复数的除法可以通过乘法和共轭复数来计算。
除以一个复数相当于乘以这个复数的倒数。
三、实例说明例子1：假设有两个复数z1=2+3i和z2=1-2i，求它们的和、差、积和商。
解：两个复数的和：z1+z2=2+3i+1-2i=3+i两个复数的差：z1-z2=2+3i-(1-2i)=1+5i两个复数的积：z1*z2=(2+3i)*(1-2i)=8-1i两个复数的商：z1/z2=(2+3i)/(1-2i)=0.8+1.6i例子2：在复平面上，给定两个复数z1=2+3i和z2=4-2i，求它们的距离和中点。
解：两个复数的距离可以计算为：|z1-z2|=|2+3i-(4-2i)|=|-2+5i|=√((-2)^2+(5^2))=√29两个复数的中点可以计算为：(z1+z2)/2=((2+3i)+(4-2i))/2=(6+1i)/2=3+0.5i以上例子说明了复数的几何意义和运算规则在实际问题中的应用。
复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
一、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。
例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。
例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。
例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。
例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41二、复数在平面几何中的意义在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。
1. 复数的模：复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。
例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 52. 复数的辐角：复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量的角度。
例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/43. 欧拉公式：欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。
该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。
4. 复数的乘法及除法的几何意义：复数的乘法相当于平移、旋转和伸缩，在复平面上实现了几何变换。
复数的除法相当于平移、旋转和收缩，在复平面上实现了逆向几何变换。
综上所述，复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，可以使用公式进行计算。
在平面几何中，复数可以表示为复平面上的点，模表示距离，辐角表示角度。
数学高考综合能力题选讲12
复数的运算与几何意义
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平
题型预测
从近几年的高考试题看，复数部分考查的难度在下降，题量也在减少，考查的内容主要集中在三个方面：一、复数的运算．包括代数形式及三角形式的计算，复数模、辐角及其主值的计算．二、以复数运算和某些概念的几何意义为核心而形成的数形结合的题目．三、复数与方程的题目．估计今后几年高考试题仍将侧重于复数的概念、运算、复数与三角、复数与几何、复数与不等式等综合型试题．
范例选讲
例1 若复平面内单位圆上三点所对应的复数321,,z z z ，满足312
2z z z =且
032=-+i iz z ，求复数321,,z z z ．
讲解：当已知复数的模时，往往可以利用复数的三角形式解题．
解1： 设ααsin cos 1i z +=，ββsin cos 2i z +=，γγsin cos 3i z +=，则由
032=-+i iz z 可得：
⎩
⎨
⎧=-+=+01cos sin 0
sin cos γβγβ 利用1sin cos 2
2=+ββ，可解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
±==23sin 21cos γγ，
所以，2
313i
z ±=
． 当2313i z +=时，()23132i
z i z +=--=，132
21==z z z ；
当2313i
z -=时，()23132i z i z +-=--=，13
2
21==z z z ．
若能注意到本题的特点：则可充分利用模的性质，得到下面的解2． 解2：由题可知321,,z z z 都等于1，又由032=-+i iz z 得：()132--=z i z ，所以，1123==-z z ，
所以，3z 所对应的点的轨迹为圆122=+y x 与圆()1122
=+-y x 的交点．
解之得：2
313i
z ±=
． 以下同解1．略．
用复数的代数形式去解本题也未尝不可．
解3：设fi e z di c z bi a z +=+=+=321,,，其中R f e d c b a ∈,,,,,，则由题可得：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-+=-=-=+=+=+)7(01)6(0
)5(2)4()3(1)2(1
)1(12
2222
222e d f c be af cd bf
ae d c f e d c b a 解这个6元方程组，需要较高的技巧，如果能够注意到（2）、（3）、（6）、
（7）只与f e d c ,,,相关，则可将此四个方程联立，解得：21=
e ，所以，2
3
±=f ． 下略．
点评：复数的代数形式、三角形式、模的性质是解决复数问题的3大支柱．
例2 设复数21,z z 满足：()014
12
222121=++-z a z z z ，()0>a ，它们在复平
面内分别对应于不同的点A 、点B ，O 为坐标原点，若412
2a z -=，求使得△
AOB 有最大面积时的a 的值，并求出最大面积．
讲解：由于AOB z z AOB OB OA S AOB ∠⋅⋅=∠⋅⋅=∆sin 21
sin 2121，所以，首先
应结合题目条件，考虑1z 与2z 的关系．
首先，02≠z ，所以，()
01412
212
21=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a z z z z ，解这个关于2
1z z 的方程，得：
2
121ai
z z ±=
．
所以，2
1212
21a ai z z +=±=，a AOB ±=∠tan ， 所以，2
1sin a
a AOB +=∠．
所以，AOB z z AOB OB OA S AOB ∠⋅⋅=∠⋅⋅=
∆sin 2
1
sin 2121 2221412
121a a
a a +⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⋅+⋅=
()
2
2
44a a -=
()(
)2
2
2242442⋅--=
a a a
()(
)3
2
2234422161
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-+-+⋅≤a a a
9
3
=．
等号当且仅当2242a a -=，即3
3
2=
a 时取得．此时，△AOB 取得最大面积，为
9
3． 点评： 正确理解复数运算的几何意义是数形结合和实现问题转化的关键．
高考真题
1．（1994年全国高考）已知z ＝1＋i,
（Ⅰ）设ω＝z 2＋3z －4,求ω的三角形式;；
（Ⅱ）如果1
z z b
az z 22+-++＝1－i,求实数a,b 的值.
2．（1995年全国高考）在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z 1，Z 2，Z 3，O(O 为原点),已知Z 2对应复数z 2＝1＋3i,求点Z 1和Z 3所对应的复数．
3．(1997年全国高考)已知复数z ＝
i i 2
222,2123+=-ω,复数zw ,z 2w 3
在复数平面上所对应的点分别为P,Q,证明△OPQ 是等腰直角三角形(其中O 是原点).
[答案与提示：1．（Ⅰ）⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=45sin 45cos 2ππωi ；（Ⅱ）
2,1=-=b a ． 2．i z 2132311-++=
；i z 2
1
32313-+-=． 3．略．]。
