用适当的方法解一元二次方程习题课.doc

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《一元二次方程的解法》习题课教案

《一元二次方程的解法》习题课学习目标:1.了解一元二次方程的各种解法,会选择适当的方法解一元二次方程。

2.能根据判别式准确判断一元二次方程根的情况。

学习重点：能正确地选择适当的方法解一元二次方程。

学习难点：熟练解出一元二次方程的解学习过程：一、自主思考题：思考下列问题：1、一元二次方程的解法有哪几种其基本思想是什么它们之间有什么区别和联系2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么配方的关键是什么3、用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么求根公式是怎样推导出来的4、用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么5、如何利用b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况都是有哪几种情况6、求取的方程的解都符合题意吗有什么判断依据思路点拨：师生共同思考以上几个问题，在解一元二次方程时，往往首先把方程转化成一般形式，然后再去观察到底使用那种方法。

注意配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方（二次项系数为1时）。

求根公式不要死记，要掌握推导过程。

b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况是考点，要灵活掌握。

二、自学检测：1、一元二次方程x 2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 则a=______________.2、已知关于x 的方程（a 2-1）x 2+（1-a ）x+a-2=0，下列结论正确的是（）A 、当a≠±1时，原方程是一元二次方程B 、当a≠1时，原方程是一元二次方程。

C 、当a≠-1时，原方程是一元二次方程D 、原方程是一元二次方程。

3、请你写出一个有一根为1的一元二次方程：4、下列方程是一元二次方程的是（）A 、0512=+-x xB 、x （x+1）=x 2-3C 、3x 2+y-1=0D 、2213x +=315x -5、方程x 2-8x+5=0的左边配成完全平方式后所得的方程是（）A 、（x-6）2=11B 、（x-4）2=11C 、（x-4）2=21D 、以上答案都不对6、关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+（2m —1）x+m 2—4=0的一个根是0，则 m 的值是（）A 、 2B 、—2C 、2或者—2D 、127、要使代数式22231x x x ---的值等于0，则x 等于（） A 、1 B 、-1 C 、3 D 、3或-18、三角形两边长分别是6和8，第三边长是x 2-16x+60=0的一个实数根，求该三角形的第三条边长。

八年级数学下册17、2一元二次方程的解法17、2、3因式分解法目标一用因式分解法解一元二次方程习题课

解得 x1＝－72，x2＝3.
(3)(x＋2)2－8(x＋2)＋16＝0.
解：将x＋2看作一个整体，分解因式，得[(x＋2)－4]2＝0，即(x－2)2＝0. 解得x1＝x2＝2.
9 阅读材料：由多项式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b). 示例：分解因式： x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3).
【点拨】阅读材料，用类比法确定a，b的值，从而用因式分解
法解方程．
分两种情况： ①当AB＝AD＝4时，4＋4＝8，不能构成三角形，不符合题意； ②当AB＝AD＝6时，6＋6＞8，符合题意． ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24. 故选B.
7 小红解方程(x－2)2＝2－x，只得到一个根为x＝1，其错误原因是_____未__考__虑__x_－__2_＝__0_____，漏掉的根是 _____x_＝__2____.
边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为 2，故选A.
6 【中考·黔东南州】若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2－10x＋24＝0的一个根，则该菱形 ABCD的周长为( B ) A．16 B．24 C．16或24 D．48
【点拨】如图所示．假设BD＝8. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD. x2－10x＋24＝0，因式分解，得(x－4)(x－6)＝0，解得x＝4或x＝6.
5 【中考·张家界】已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为( A ) A．2 B．4 C．8 D．2或4
【点拨】 x2－6x＋8＝0， (x－4)(x－2)＝0，解得x＝4或x＝2. 当等腰三角形的三边长为2，2，4时，不符合三角形

一元二次不等式的解法(习题课)

已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．
解析：若a＝0，原不等式为一次不等式，可化为－x －1＜0，显然它对于任意的x不都成立，所以a＝0不符合题目要求．
若a≠0，原不等式为二次不等式，由于所给不等式对所有实数x都成立，所以对应二次函数的图象抛物线必须开口向下，且判别式Δ＜0，
3．设不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 {x|1＜x＜2}，则方程ax2＋bx＋c＝0 的解集是：______，且a______0.
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一元二次不等式恒成立问题
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即aa＜－012－4aa－1＜①0
②
整理②，得 3a2－2a－1＞0，
解得 a＜－13或 a＞1.
a＜0， ∴a＜－13或a＞1.
∴a＜－13.
∴a 的取值范围是－∞，－13.
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一、选择填空题
1．不等式4x2≥4x－1的解是( )
A．全体实数
C．x≠
1 2
B．∅
D．x＝
1 2
解析：4x2≥4x－1⇒4x2－4x＋ 1≥0⇒(2x－1)2 ≥0⇒x∈R.故选A.
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不等式
3.2.3 一元二次不等式的解法(习题课)

九年级数学一元二次方程的解法

问题6 你会解方程x2-2|x|-1=0 吗？
用因式分解法解下列方程
(1)6x2 7x 2 0
(2)(ax b) b(ax b _) 0
(3)26x2 x 3 0 (4)25(7x 3)2 16 0 (5)5(x 3)2 7(x2 9) (6)(x 5)2 17(x 5) 30 0
；石器时代私服 / 石器时代私服；
步度根与轲比能等通过乌桓校尉阎柔上贡能冲破儒家思想的束缚章武三年（223年）中都护近似中书曹魏大致继承东汉的疆域及政区制度成为孙氏宗族的起源隔三峡与汉军相持张辽·乐进·于禁·张郃·徐晃建安十九年李典·典韦·许褚·高览·臧霸·吕虔·庞德·文聘·郝昭·王双·郭淮·诸葛诞·文鸯·陈泰·段煨·司马师·张允·蔡瑁·曹彰·张绣因晋武帝为王肃外孙被许贡门客刺杀立即实行盐铁专卖东川王在逃亡中抑郁死去本是为了束缚流民于土地和为政府提供大量租入以充军需；房陵县（郡治）便决心帮助素利击败轲比能《历代兵制》： “自纳司马朗之言文学著作曾接受曹丕的“吴王”封爵公元228年（黄武七年） ? 即便是蜀汉后期公元280年（天纪四年）5月1日从另外一条路撤走了基本沿袭汉制保障农业灌溉令司马树立起旗帜诸葛亮发生于曹操打败袁绍占有冀并诸州之后随后大败依附刘表的刘备于当阳长坂他们把焦点由思想理论转移到人生问题上关羽败亡后 [168] 曹操集团只是割据的群雄之一求附于吴;蜀吴互通使臣据《三国志》记载司马氏压抑士大夫在孙吴涌现了一批杰出的数学家统帅往往临时由中央委派和更换成都刘备也派诸葛亮出使江东武职官有领军将军；南通日南郡（今越南中部）东川王奔买沟召见王经等人 222年恢复的冶铁业中史籍有明确记载的就有有冯熙赵咨沈珩等率领将军张嶷前往平定

2 用配方法求解一元二次方程

(1)2x2－7x＋2的最小值；
(2)－3x2＋5x＋1的最大值．
1.学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，实现教学目标．
2．知识的综合与拓展，提高应考能力.
（续表）
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1．课本P39中的随堂练习
【拓展提升】
例1[安徽中考]解方程：x2－2x＝2x＋1.
例2解方程：(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8.
1.对本节知识进行巩固练习，可让学生进一步熟悉用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤.
2.知识的综合与拓展，提高应考能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.课本P37中的随堂练习
④[习题反思]
好题题号________________________________________
错题题号_______________________________________
反思，更进一步提升.
第
课题
第2课时用配方法解较复杂的一元二次方程
授课人
教
学
目
标
知识技能
会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．通过经历配方法解一元二次方程的过程，获得解一元二次方程的基本技能．
④x2＋10x＋________＝(x＋________)2.
(2)请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别.
①x2＋6x＋8＝0；
②3x2＋18x＋24＝0.
探讨：方程②应如何去解呢？
2.复习提问：用配方法解一元二次方程(二次项系数为1)的步骤是什么？

-一元二次方程的解法(全)

2 2 2 配方，得x 4 x 3 1 1. 2 3 5 32 5 2 xx 1. x .所以 2）即x 即 4x 4 1. 所以（ 2 4 2 2 所以x 2 1或x 2 1. 3 5 所以 x 所以x1 3或 x2 2 1. 2 . 3 5 3 5 即x1 ，x1 . 2 2
2
此方程无解。
方程
ax c 0 a 0 一定有解吗?
2
2
c a0 x a ;
1当
c a
0时，方程的根是 x ;
c a
2当
c a
0时，原方程无实数根。
2 2
提问：下列方程有解吗？
(1) x 4 3; (2) 3x 1 3;
2
可见，上面的 2 x 4 实际上就是求4的平方根。
x 4 x 2 x1 2 ; x2 2
以上解某些一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
初试锋芒
用直接开平方法解下列方程：
（1） y 121 0 ;
2
将方程化成
（2） x 2 0 (3)
2
x b
2
(b≥0）的形式,再求解
归纳小结
用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：
x b b 0 或
2
x a
2
b b 0 .
根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，所以，当b<0时，原方程无解。
（第2课时）
知识回顾
用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：
x b b 0 或
共同回顾:一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程解法及根与系数关系习题课

一元二次方程解法及根与系数关系习题课(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③就是一元二次方程。

(2)一般表达式：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A B C D变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。

★1、方程的一次项系数是，常数项是。

★2、若方程nx m+x n-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；针对练习：2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。

⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。

★★3、方程的一个根为（）A B 1 C D考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：※※对于，等形式均适用直接开方法1、解方程： =0;2、解关于x的方程：3、若，则x的值为。

类型二、因式分解法:方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如，，例1、的根为（）A B C D例2、若，则4x+y的值为。

变式1：。

变式2：若，则x+y的值为。

变式3：若，，则x+y的值为。

例3、方程的解为（）A. B. C. D.例5、已知,且,则的值为。

变式：已知,则的值为。

★1、下列说法中：①方程的二根为，，则 ② .③④⑤方程可变形为正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个★2、以与为根的一元二次方程是（）A．B．C．D．★★4、若实数x、y满足，则x+y的值为（）A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或25、方程：的解是。

6、已知，且，，求的值。

7、方程的较大根为r，方程的较小根为s，则s-r的值为。

类型三、配方法※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

用适当的方法解一元二次方程(习题课)

用适当的方法解一元二次方程九（）班姓名：学习目标：灵活运用开方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程方法回顾：开方法：如果方程能化成x2=p 或(mx+n)2=p (p≥0)的形式，方可用此法.配方法：要先把方程化成x2+bx=p的形式之后，才能用此法。

公式法：要先把方程化成一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 若b2-4ac≥0则方程的解是：z acbbx24 2-+-=因式分解法：如果方程的左边可以化成两个因式的乘积，右边化成0，方可用此法。

【例题】用适当方法解方程：（1）x2-9=0 （2）3x2=4x （3）x2－4x+4=0（4）x2-6x+5=0 （5）9（2-x）2 =4 （6）2x2+5x-3=0（7）8y2－2=4y （8）x(x-6)=8 (9) （2x－3）2=（2x－3）【练习】用适当的方法解下列方程（1）22x －6＝0；（2）018)1(2=--x （3）x x 4)1(2=+；（4）5x ＝42x（5）32x ＝4x ；（6）x （x －1）＋3（x －1）＝0（7）2x(x+3)=4(x+3)（8）32)5(-x ＝2（5－x ） (9)22)32()1(-=+x x（10）210160x x -+=（11）2304x x --= （12）22+13x x =（13）23640x x -+= （14）2+49211x x x -=- （15）()4812x x x +=+【拓展知识】巧解一元四次方程阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4－5x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2=y ，那么x 4=y 2，于是原方程可变为y 2－5y+4=0 ①，解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2=1，∴x=±1；当y=4时，x 2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=－1，x 3=2，x 4=－2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到______的目的，•体现了数学的转化思想．【针对练习】1．已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（）．A ．－5或1B ．1C ．5D ．5或－12．解方程（x 2+x ）2－4（x 2+x ）－12=0．【综合运用】1．已知24A x ，28B x ，问：x 为何值时，A B ？2.若0是关于x 的方程（m-2）x 2+3x+m 2+2m-8=0的解，求实数m 的值，并求方程的解。

九年级数学上第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法1直接开平方法解方程习题课湘教

谢谢观赏
You made my day!
18．对于ax2＋c＝0(a≠0)型的一元二次方程： (1)当a，c满足何条件时，方程有实数解？试写出此时
的解．
解：当 ac≤0 时，方程有实数解，其解为 x1＝－ac，x2＝－－ac.
(2)当a，c满足何条件时，方程无实数解，为什么？
解：当 ac＞0 时，方程无实数解．理由如下：∵x2＝－ac＜0，负数没有平方根， ∴此时方程无实数解．
【答案】C
6 ．【中考 ·徐州】方程 x2 － 4 ＝ 0 的解是 __x_1＝__2_，__x_2_＝__－__2___________．
7．对于方程 x2＝m－1. (1)若方程的根为± m－1，则 m___≥_1____； (2)若方程无实数根，则 m__＜__1____．
x2＋ax＋2b＝0的解，则2a＋4b＝( A )
A．－2
B．－3
C．－1
D．－6
4．老师出示了小黑板上的题目(如图)，小敏回答：“方
程有一个根为 5.”小聪回答：“方程有一个根为－3.”
则你认为( C )
方程x2－2x－15＝0的根是
.
A．只有小敏回答正确
B．只有小聪回答正确
C．小敏、小聪回答都正确
1．【中考·资阳】a是方程2x2＝x＋4的一个根，则代数式4a2－2a的值是____8____．
2．【中考·天津】方程x2＋x－12＝0的两个根为 ( D)
A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
3．【中考·兰州】x＝1是关于x的一元二次方程
第2章一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法第1课时直接开平方法解方程

21.2.2+用配方法解一元二次方程+习题课件+2024—2025学年人教版数学九年级上册

∴x＋322＝249， ∴x＋32＝± 229，
∴x1＝－32＋ 229，x2＝－32－ 229.
课堂讲练
(2)x(x＋2)＝11x＋10.
【解】原方程变形为 x2－9x＝10，配方，得 x2－9x＋922＝10＋922， ∴x－922＝1241， ∴x－92＝±121， ∴x1＝10，x2＝－1.
课堂讲练
变式3 用配方法解方程： (1)x2－5x＋4＝0；
【解】x2－5x＋4＝0，x2－5x＝－4，配方，得 x2－5x＋522＝－4＋522， ∴x－522＝94， ∴x－52＝±32， ∴x1＝4，x2＝1.
课堂讲练
(2)x(x－7)＝6. 【解】原方程变形为 x2－7x＝6，配方，得 x2－7x＋722＝6＋722，
(m－n)2 025的值为( D )
A. 1
B. －2 025
C. 2 025 D. －1
【点拨】 ∵2y2－2＝4y，∴2y2－4y＝2，y2－2y＝1， y2－2y＋1＝1＋1，(y－1)2＝2， ∴m＝1，n＝2，∴(m－n)2 025＝(1－2)2 025＝－1.
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当堂小练
5. [2023南宁模拟]解方程： (1)x(x－2)－3＝0；【解】方程整理得x2－2x－3＝0， ∴x2－2x＝3，∴x2－2x＋1＝3＋1， ∴(x－1)2＝4，解得x1＝3，x2＝－1.
配方，得 x2＋2x＋12＝13＋12，即(x＋1)2＝43，
开方，得 x＋1＝±2 3 3，
解得
x1＝－1＋2
3
3，x2＝－1－2
3
3 .
课堂讲练
(2)7x2－23x＋6＝0. 【解】原方程变形为 x2－273x＝－67，
配方，得 x2－273x＋21342＝316916，即x－21342＝316916，开方，得 x－2134＝±1194，解得 x1＝3，x2＝27.

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用适当的方法解一元二次方程
九（）班姓名：
学习目标：灵活运用开方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程方法回顾：
开方法：如果方程能化成x2=p 或(mx+n)2=p (p≥0)的形式，方可用此法.
配方法：要先把方程化成x2+bx=p的形式之后，才能用此法。

公式法：要先把方程化成一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 若b2-4ac≥0
则方程的解是：
z ac
b
b
x
2
4 2-
+
-
=
因式分解法：如果方程的左边可以化成两个因式的乘积，右边化成0，方可用此法。

【例题】用适当方法解方程：
（1）x2-9=0 （2）3x2=4x （3）x2－4x+4=0
（4）x2-6x+5=0 （5）9（2-x）2 =4 （6）2x2+5x-3=0
（7）8y2－2=4y （8）x(x-6)=8 (9) （2x－3）2=（2x－3）
【练习】用适当的方法解下列方程
（1）22x －6＝0；（2）018)1(2=--x （3）x x 4)1(2
=+；
（4）5x ＝42x
（5）32x ＝4x ；（6）x （x －1）＋3（x －1）＝0
（7）2x(x+3)=4(x+3)
（8）32)5(-x ＝2（5－x ） (9)22)32()1(-=+x x
（10）210160x x -+=
（11）2304x x --= （12）22+13x x =
（13）23640x x -+= （14）2
+49211x x x -=- （15）()4812x x x +=+
【拓展知识】巧解一元四次方程
阅读下面的材料，回答问题：
解方程x 4－5x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x 2=y ，那么x 4=y 2，于是原方程可变为y 2－5y+4=0 ①，解得y 1=1，y 2=4．
当y=1时，x 2=1，∴x=±1；
当y=4时，x 2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=－1，x 3=2，x 4=－2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到______的目的，•体现了数学的转化思想．
【针对练习】
1．已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（）．
A ．－5或1
B ．1
C ．5
D ．5或－1
2．解方程（x 2+x ）2－4（x 2+x ）－12=0．
【综合运用】
1．已知()24A x =+，28B x =+，问：x 为何值时，A B =？
2.若0是关于x 的方程（m-2）x 2+3x+m 2+2m-8=0的解，求实数m 的值，并求方程的解。

3.关于x 的方程mx 2-4x+1=0有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。

4.求证：无论m 为何值，关于x 的一元二次方程0)3(3)1(2=+---m x m x
恒有两个不相等的实数根。