下载文档原格式
求前N项和方法技巧及公式前N项和是指将一个数列的前N项相加得到的和。
计算前N项和可以使用不同的方法和技巧，包括数学公式、推导公式和逐项相加等。
一、数学公式法对于一些特定的数列，存在求前N项和的数学公式，可以直接使用这些公式计算前N项和，而无需逐项相加。
1.等差数列的前N项和公式对于等差数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
前N项和公式如下：Sn = (a1 + an) * N / 2 = N * (a1 + a1 + (N-1)d) / 2 = N *(2a1 + (N-1)d) / 22.等比数列的前N项和公式对于等比数列，其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
前N项和公式如下：Sn=a1*(1-r^N)/(1-r)3.平方数序列的前N项和公式对于平方数序列，其通项公式为an = n^2，其中n为正整数。
前N项和公式如下：Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6二、推导公式法对于一些特殊的数列，我们可以通过推导得到求前N项和的公式。
推导过程中可以使用数学归纳法、代数运算等方法。
1.等差数列的前N项和公式的推导设等差数列的首项为a，公差为d，第N项为an，则有：an = a + (N-1)dSn=a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(N-1)d)根据等差数列的性质，可以将Sn分为两部分：Sn=(a+(N-1)d)+(a+(N-2)d)+...+(a+d)+a将两式相加，可得：2Sn=(N*a)+(N*a+(N-1)*d)+...+((N-1)d+a)+(Nd)化简后得到等差数列的前N项和公式。
2.等比数列的前N项和公式的推导设等比数列的首项为a，公比为r，第N项为an，则有：an = a * r^(N-1)Sn=a+a*r+a*r^2+...+a*r^(N-1)Sn*r=a*r+a*r^2+...+a*r^N将两式相减Sn*(1-r)=a*(1-r^N)化简后得到等比数列的前N项和公式。
求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法【必备方法】1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。
2.邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有72113=+=n 时，n S 取得最大值. 答案：C练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.（1）求n S ；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。
等差数列基本公式1、等差定义：常数）(1d a a n n =-+； （证明判断数列是等差数列）2、等差数列的通项公式3、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+（常用于基本量的计算、注意公式的选择） 211()22d n a d n =+-. 4、等差数列基本性质：（1）三个数a,A,b 成等差数列：a+b=2A ；（2）若m+n=p+q 则n m p q a a a a +=+；若m+n=2p 则2n m p a a a +=。
即下标之和相等，对应项之和相等。
（使用频率较高，n m m n a a a ++=一般是不成立的）（3）下标等差的项成等差数列：即，仍成等差数列 m k m k m k k a a a a 32,,,+++。
（4）连续等长的片段之和仍呈等差数列，即n n n n n s s s s s 232,,--..... 等差数列。
（5）n n a n S )12(12-=-。
推论：nn n n b a T S =--1212（注意正用和逆用，要先将要求的转化为已知条件中的和之比或项之比）（6）数列进行加、减、数乘，数列相乘、除，数列平方、倒数等运算时，判断新得到的数列是否仍为等差/等比数列，可由定义法判断证明，并可求出其公差/公比，首项由n=1可得。
5、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：方法一：利用S n 的二次函数性质寻求最值。
（注意n 的取值范围）方法二：利用项的变化求最值 （本质就是找出哪些项是正数项，哪些项是负数项）(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得m s 取最小值 7、在解含绝对值的等差数列最值问题时,注意转化思想（将含有绝对值符号的项去掉绝对值后（负数项去绝对值要加符号）转化为原数列的前n 项和的计算）的应用。
第三章 3、3等差数列的前n项和
选择题
1、在等差数列{an}中，已知a1＝d，d≠0(d为公差)，若S20＝10m，则m应是
A．a5＋a15 B．a2＋a10 C．a1＋19d D．a20＋d
2、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为
A．130 B．170 C．210 D．260
3、在等差数列{an}中，公差d＝21，S100＝145．则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为
A．57 B．58 C．59 D．60
4、若{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝5，b1＝15，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项和为
A．6000 B．600 C．5050 D．60000
5、在等差数列na中，a2+a5=19,S5=40,则a10为（ ）
A．27 B.28 C.29 D.30
6、在等差数列na中，d=2,an=11,Sn=35,则a为（ ）
A.5或7 B.3或5 C.7或－1 D.3或－1
7、在等差数列na中，am=n,an=m,(m,n∈N+)，则am+n=( )
A.mn B.m－n C.m+n D.0
8、等差数列前2n+1项中，奇数项的和与偶数项的和之比是( )
A.21n B.1nn C.nn1 D.(nn1)2
9、等差数列na的公差d<0，n≥2,前n项和Sn，则有（ ）
A.Sn≥na1 B.Sn≤nan
C.nan
A.n(n+2) B.2n(2n+3) C.n(2n+3) D. 2n(2n+1)
11、如果一个等差数列中，S10=100，S100=10，则S110=（ ）
A.90 B.－90 C.110 .D－110
12、等差数列na中，公差d=1,若a1+a2+a3+…+a99=99,则a3+a6+a9+…+a99等于（ ）
A.99 B.66 C.33 D.0
填空题
13、设等差数列{an}、{bn}的前n项和为Sn，Tn，且199919551313TS，则77ba＝______________．
14、在等差数列中，前10项的和与其次10项的和之比等于2∶1，则首项与公差的比为___________．
15、首项为3，公差为2的等差数列，Sk为其前k项之和，则S＝2111SS…＋nS1＝______________．
16、在等差数列na中，若a1－a4－a8－a12+a15=2，则S15= .
17、在数列na中，已知an=25－2n(n∈N+)那么使其前n 项的和Sn取得最大值的n值等于 。
18、等差数列na的公差d≠0，前n项和为Sn,且S10=4S5，则a1:d=
。
19、等差数列的前m项和是25，前2m项和是100，则前3m 项和是 。
20、若两个等差数列na，nb的前n项和分别为An,Bn,且)(27417NnnnBAnn，则nnba= 。
简答题
21、一等差数列的奇数项之和为51，偶数项之和为4221，首项为1，项数为奇数，求其通项公式．
22、两个数列{an}，{bn}满足：bn＝nanaaan32132321，若{bn}是等差数列，求证：{an}也是等
差数列．
23、已知A、B两地相距1000米，A地存放电线杆40根，从B处起，沿AB方向每隔50米架设一根电线
杆，一辆车一次能运4根，全部运完返回A处，这辆车所运行的全部路是多少千米？
· 答案解析 ·
一、选择题
1、D ∵S20＝2)(20201aa＝10(a1＋a20)＝10m
∴m＝a1＋a20，又a1＝d，∴m＝d＋a20
2、C 由Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，成等差数列知：
S3m－S2m＝110，∴S3m＝110＋S2m＝210．
3、D ∵S100＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋50d
∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝2100S－25d＝2252145＝60．
4、A ∵{an}，{bn}成等差数列，∴{an＋bn}成等差数列．
∴S100＝60002100)10020(2100)]()[(10010011baba
5、C 由题设得方程组40245519)4()(111dadada解得a1=2,d=3,∴a10=a1+9d=29
6、D． 由题设得方程组11)1(2702)11(11naan分别以－1，3，5，7代入检验，知－1，3适合。
7、D． 由题设得公差d=1nmaanm,am+n=am+nd=n+n·(－1)=0
8、C． an是等差数列前2n+1项的正中间的一项，S奇=(n+1)an,
S偶=nan ∴S奇:S偶=(n+1):n=nn1
9、C． )(21nnaanS ∵d<0 ∴a1
S2n－1=)12()12(2121nanaann,据已知，an=2n+1,a1=S1=3,∴Sn=n·)2(21nnaan
11、D S10=1002)(10101aa,a1+a10=20,即2a1+9d=20 ①由S100=10得2a1+99d=51②,由①，②得
d=5011,S110=S100+a101+a102+…+a110=S100+S10+1000d=－110
12、B．设S3=a3+a6+a9+…+a99，则a1+a4+a7+…+a97=S3－66, a2+a5+a8+…+a98=S3－33,由S3+（S3－66）（S
3
－
33）=99得S3=66.
二、填空题
13、19991955 ∵{an}，{bn}成等差数列， ∴2·a7＝a1＋a13，2·b7＝b1＋b13．
又S13＝2)(13131aa，T13＝2)(13131bb． ∴19991955771313baTS．
14、－249
由题意：S10＝2(S20－S10)，即3·S10＝2·S20 ∴30a1＋3×2910·d＝40a1＋21940·d
∴a1＝－249·d，∴da1＝－249．
15、)2()1(23243nnn
∵Sk＝3k＋2)1(kk×2＝k2＋2k＝k(k＋2) ∴)211(21)2(11kkkkSk
∴S＝)]211()1111()5131()4121()311[21nnnn
＝)2()1(23243)2111211(21nnnnn
16、—30
∵a1+a15=a4+a12, ∴a8=－2,从而S15=15a8=－30.
17、12 a1=23,21nnaaSn=nn2248=－(n－12)2+144.
18、1：2 由10a1+)2455(429101dad解得a:d=1:2
19、225
Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等差数列，即25，100－25，S3m－100成等差数列，得S3m=225.
20、238614nn . 23861427)12(41)12(71212nnnnBAbannnn
三、解答题
21、设数列{an}共有2m＋1项，则奇数项为m＋1项，偶数项为m项．
∵a1＋a2m＋1＝a2＋a2m
∴①÷②得：851021mm，
∴m＝5．
将m＝5代入①得：a1＋a11＝17，
又a1＝1，∴a11＝1＋10d＝16，∴d＝23．
∴数列{an}的通项公式为an＝1＋23(n－1)＝
2
13n
(1≤n≤11，n∈N*)
22、证明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝21·n(n＋1)·bn
∴a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)·an－1＝21(n－1)·n·bn－1
作差得：an＝21(n＋1)·bn－21(n－1)·bn－1．(n≥2)．
设{bn}的首项为b1，公差为d，
则bn＝b1＋(n－1)·d
∴an＝21(n＋1)·［b1＋(n－1)·d］－21(n－1)·［b1＋(n－2)·d］
＝b1＋(n－1)·23d(n≥2)
又因为b1＝11a，an＝b1＋23(n－1)·d
所以，an－an－1＝23·d．(n≥2)
∴{an}是等差数列．
23、解：运输第一车运行（1000+50+50+50）×2=2300（米）=2.3（千米），每次运输路程为等差数列，公
差d=0.4千米， 共需运10次，∴)(414.029103.21010千米S
答：这辆车所运行的全部路为41千米。
