一、圆周运动中的动力学分析
1．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量。
公式：r T
v r v r a n 22
22
4πωω====。 2．向心力：作用效果产生向心加速度，F n =ma n 。 3．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
4．向心力的确定
（1）确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
（2）分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。 解决圆周运动问题的主要步骤
（1）审清题意，确定研究对象；
（2）分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等； （3）分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源； （4）根据牛顿运动定律及向心力公式列方程。 二、竖直平面内圆周运动的绳模型与杆模型问题
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等），称为“绳（环）约束模型”，二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管道）约束模型”。
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
常见类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高点的临界
条件
由r
mv mg 2
=得：gr v =临
由小球恰能做圆周运动得v 临=0
讨论分析
（1）过最高点时，gr v ≥
2
N mv F mg r
+=，绳、轨道对球产生弹力2
N mv F mg r
=-
（2）不能过最高点时，gr v <
，在到达最
高点前小球已经脱离了圆轨道 （1）当v =0时，F N =mg ，F N 为支持力，沿半径背离圆心
（2）当gr v <<0时，
2
N mv F mg r
-+=，F N 背向圆心，随v 的增大而减小 （3）当gr v =
时，F N =0
（4）当gr v >
时，2
N mv F mg r
+=，F N 指向圆心并随v 的增大而增大
3．竖直面内圆周运动的求解思路
（1）定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。 （2）确定临界点：gr v =
临，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是F N
表现为支持力还是拉力的临界点。
（3）研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
（4）受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F 合=F 向。 （5）过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
甲、乙两质点做匀速圆周运动，甲的质量与转动半径都分别是乙的一半，当甲转动60圈时，乙正好转45圈，则甲与乙的向心力之比为
A ．4:9
B ．4:3
C ．3:4
D ．9:4
【参考答案】A
【详细解析】当甲转动60圈时，乙正好转45圈，知453==604T T 甲乙，根据向心力22
4πF m r T ，解得：
4
=9
F F 甲乙，故A 正确，BCD 错误。
1．北京期末）如图所示，在匀速转动的水平圆盘边缘处轻放一个小物块，小物块随着圆盘做匀速圆周运动，对小物块之后情况说法正确的是
A ．小物块仅受到重力和支持力的作用
B ．小物块受到重力、支持力和向心力的作用
C ．小物块受到的摩擦力产生了向心加速度
D ．小物块受到的摩擦力一定指向圆盘外侧 【答案】C
【解析】小物块受到重力、支持力和静摩擦力三个力，向心力由静摩擦力提供，方向始终是指向圆盘
中心，故选项C正确，A、B、D错误。
南城县第二中学月考）如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环，小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力
A．一直做负功B．一直不做功
C．始终指向大圆环圆心D．始终背离大圆环圆心
【参考答案】B
【详细解析】大圆环是光滑的，则小环和大环之间没有摩擦力；大环对小环的支持力总是垂直于小环的速度方向，所以大环对小环没有做功，故A错误，B正确；小环在运动过程中，在大环的上半部分运动时，大环对小环的支持力背离大环圆心，运动到大环的下半部分时，支持力指向大环的圆心，故CD错误。
1．一个半径为R的竖直固定的光滑圆环上套有一个质量为m的小球，一根轻弹簧上端固定在圆环的圆心处，下端固定在小球上，在圆环的最低处给小球水平向右的大小为6Rg的初速度，此时圆环恰好对小球没有弹力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是
A．小球在圆环最低点时，弹簧的弹力大小为mg
B．小球在圆环最高点时圆环对小球的弹力大小为7mg
C．小球在圆环的最高点时弹簧的弹力比小球在最低点时的小
D2gR
【答案】D
【解析】小球在圆环最低点时，由牛顿第二定律有20
v F mg m R
-=，又06v Rg =，解得弹簧的弹力
大小为 F =7mg ，故A 错误；设小球经过圆环的最高点的速度大小为v ，根据机械能守恒定律得2mgR +
12mv 2=1
2
mv 02，解得2v gR =，故D 正确；设小球在圆环最高点时圆环对小球的弹力大小为F ′，方向向下，根据牛顿第二定律得mg +F ′=m 2
v R
，解得F ′=mg ，故B 错误；小球在圆环的最高点时与小球在最
低点时弹簧的形变量相同，所以弹力大小相等，故C 错误。
【名师点睛】本题考查了牛顿第二定律和机械能守恒定律的综合运用，知道最高点和最低点向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解。
江苏期末）准安现代有轨电车正以10 m/s 的速率通过一段圆弧弯道，某乘客发现水平放置的指南针在时间10 s 内匀速转过了30°。在此10 s 时间内，火车
A ．加速度为零
B ．运动位移大小为100 m
C ．角速度为3 rad/s
D ．弯道半径为
600
m π
【参考答案】D
【详细解析】A ．因为火车的运动可看做匀速圆周运动，其所受到的合外力提供向心力，根据牛顿第二定律可知加速度不等于零。故A 错误；B ．由于火车的运动可看做匀速圆周运动，则可求得火车在此10 s 时间内的路程为s=vt =100 m 。位移小于100 m ，故B 错误；C ．利用指南针在10 s 内匀速转过了约30°，根
据角速度的定义式t θ
ω=
，解得角速度的大小为π
rad/s 60
ω=
，故C 错误；D ．已知火车在此10 s 时间内
通过的路程即弧长为l =vt =100 m ，由数学知识可知，火车转过的弧长为l =θR ，可解得：600
m π
l R θ==
。故D 正确。