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2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考数学二模试卷(理科)

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2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若m=2，则A={1，4}，B={2，4}，A∩B={4}，“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件；若A∩B={4}，则m2=4，m=±2，所以“m=2”不是“A∩B={4}”的必要条件．则“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件．故选A．当m=2时，可直接求A∩B；反之A∩B={4}时，可求m，再根据必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可．本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属基本题．2.函数f（x）=+log2（6-x）的定义域是（）A.{x|x＞6}B.{x|-3＜x＜6}C.{x|x＞-3}D.{x|-3≤x＜6}【答案】D【解析】解：要使函数有意义，x+3≥0，且6-x＞0∴|-3≤x＜6∴函数的定义域为：{x|-3≤x＜6}故答案选D．要使函数有意义，必须使函数的每一部分都有意义，函数定义域是各部分定义域的交集．函数定义域是各部分定义域的交集．3.已知函数f（x）=若f（a）=，则a=（）A.-1B.C.-1或D.1或【答案】C【解析】解：令f（a）=则或，解之得a=或-1，故选：C．按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍．已知函数值，求对应的自变量值，是根据方程思想，构造方程进行求解．对于分段函数来说，要按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍．4.函数的值域是（）A.（-∞，1）∪（2，+∞）B.（1，2）C.RD.[2，+∞）【答案】C【解析】解：∵令t=x2-3x+2=（x-）2-，其最小值小于0，∴log（x2-3x+2）∈R，故函数y=log（x2-3x+2）的值域是R，故选C由二次函数的性质，我们易求出x2-3x+2的值域，进而根据对数函数的性质，即可得到函数y=log（x2-3x+2）的值域本题考查的知识点是对数函数的值域，其中熟练掌握对数函数的单调性是关键．5.函数＞的图象的大致形状是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：∵y==当x＞0时，其图象是指数函数y=a x在y轴右侧的部分，因为a＞1，所以是增函数的形状，当x＜0时，其图象是函数y=-a x在y轴左侧的部分，因为a＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意故选C．先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．6.已知函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A.（-∞，4]B.（-∞，2]C.（-4，4]D.（-4，2]【答案】C【解析】解：若函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则当x∈[2，+∞）时，x2-ax+3a＞0且函数f（x）=x2-ax+3a为增函数即，f（2）=4+a＞0解得-4＜a≤4故选C若函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2-ax+3a＞0且f（2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a的不等式，是解答本题的关键．7.已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=-f（4-x），且当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x-1），则f（2014）+f（2015）的值为（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】B【解析】解：f（x）是R上的偶函数，∴f（x）=-f（4-x）=-f（x-4）；即f（x）=-f（x-4）；∴f（2014）=（-1）503f（2014-503×4）=-f（2）=-log2（2-1）=0；f（2015）=（-1）503f（2015-503×4）=-f（3）=-1；∴f（2014）+f（2015）=-1．故选B．由已知条件可得到，f（x）=-f（x-4），所以便可得到，f（2014）=（-1）503f（2014-503×4）=0，同样可得到f（2015）=-f（3）=-1，所以便有f（2014）+f（2015）=-1．考查偶函数的定义，以及由f（x）=-f（x-4）能得到f（x）=（-1）n f（x-4n），n∈N*．8.设函数，区间M=[a，b]（其中a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有（）A.1个B.3个C.2个D.0个【答案】B【解析】解：∵函数为奇函数，且函数在R为增函数若M=N成立∴f（a）=a且f（b）=b令解得x=0，或x=±1故使M=N成立的实数对（a，b）有（-1，0），（-1，1），（0，1）三组故选B由已知中函数，我们易判断出函数的单调性及奇偶性，进而根据M=N成立时，f（a）=a且f（b）=b，解方程，进而可由列举法，求出答案．本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，函数的值域，函数单调性的应用，其中根据已知中函数的解析式求确定出函数的单调性，并由M=N成立得到f（a）=a且f （b）=b，是解答本题的关键．9.在△ABC中，，， ，如果不等式恒成立，则实数t的取值范围是（）A.[1，+∞）B.，C.∞，，∞D.（-∞，0]∪[1，+∞）【答案】C【解析】解：∵，，∴，AC=1∵＜＜∴∵恒成立∴恒成立即3-6t+4t2≥1即4t2-6t+2≥0解得或故选C衔接直角三角形得AC长和角B的大小，再将向量不等式平方得二次不等式解之．考查解直角三角形；向量模的平方等于向量的平方及解二次不等式．10.已知函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，则tanα与α的关系为（）A.tanα＞αB.tanα＜αC.tanα=αD.tanα与α的关系不确定【解析】解：作出函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）的图象，如图所示，要使两个函数有且仅有三个交点，则由图象可知，直线在（π，）内与f（x）相切．设切点为A（α，-sinα），当x∈（π，）时，f（x）=|sinx|=-sinx，此时f′（x）=-cosx，x∈（π，）．所以-cosα=-，即α=tanα，故选：C．作出函数f（x）=|sinx|的图象，利用函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，确定切点坐标，然后利用三角函数的关系式证明等式．本题主要考查了两函数的交点的应用，以及三角函数的导数应用，三角函数的图象与性质，综合性强，难度大，属于难题．二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)11.已知a+b+c=1，m=a2+b2+c2，则m的最小值为______ ．【答案】【解析】解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（1+1+1）≥（a+b+c）2当且仅当a=b=c时，取等号∵a+b+c=1，m=a2+b2+c2，∴3m≥1∴m故答案为：对于“积和结构”或“平方和结构”，通常构造利用柯西不等式求解即可．柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试12.若P（2，-1）为曲线（0≤θ＜2π）的弦的中点，则该弦所在直线的普通方程为______ ．【答案】x-y-3=0【解析】解：∵曲线（0≤θ＜2π），∴（x-1）2+y2=25，∵P（2，-1）为曲线（0≤θ＜2π）的弦的中点，设过点P（2，-1）的弦与（x-1）2+y2=25交于A（x1，y1），B（x2，y2），则，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入（x-1）2+y2=25，得，∴， ，，- ，得4（x1-x2）-2（x1-x2）-2（y1-y2）=0，∴k==1，∴该弦所在直线的普通方程为y+1=x-2，即x-y-3=0．故答案为：x-y-3=0．由曲线（0≤θ＜2π），知（x-1）2+y2=25，再由P（2，-1）为曲线（0≤θ＜2π）的弦的中点，利用点差法能够求出该弦所在直线的普通方程．本题考查参数方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意参数方程和普通方程的相互转化和点差法的合理运用．13.如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE：AC=3：5，DE=6，则BF=______ ．【答案】4【解析】解：因为DE∥BC，则△ADE～△ABC，所以，即，所以BC=10．又DF∥AC，则四边形DECF是平行四边形，故BF=BC-FC=BC-DE=10-6=4．因为已知中有两个平行关系，我们可以大胆猜想，本题的解答过程一定与平行线分线段成比例定理有关，因此可以根据平行线分线段成比例定理，构建比例式，列出已知线段与未知线段之间的关系式，解方程进行求解．当题目中出现有多个平行关系时，我们可以使用平行线分线段成比例定理构造比例式，表示已知线段与未知线段之间的关系，解方程即可求解．解题思路是：分析已知量与未知量之间的关系，选择适合的性质构建方程，解方程求解．14.定义区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2-x1，已知函数的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]长度的最大值与最小值的差为______ ．【答案】3【解析】解：∵的值域为[0，2]∴∴或-2≤≤0∴或1≤x≤4即∵定义域为[a，b]时函数的值域[0，2]，由图象可知，定义域大区间的最大值为4-=，区间的最小值1-=，其差为3故答案为：3先对函数化简可得，=，，＜，做出函数的简图，结合图象可知要使得函数的值域为[0，2]则函数定义域的最大区间为[，4]，从而可求本题主要考查了对数函数的定义域及函数的值域的求解，体现了数形结合的思想的应用．15.已知，若函数f（x）在R上是减函数，则实数a的取值范围是______ ．【答案】a＜0【解析】解：由题意可得：函数为，所以′．因为函数f（x）在R上是减函数，所以′＜0在R上恒成立．因为e x+e-x＞0，所以e a-e-a＜0，解得a＜0．故答案为a＜0．由题意可得′，因为函数f（x）在R上是减函数，所以′＜0在R上恒成立．因为e x+e-x＞0，所以e a-e-a＜0，进而得到答案．解决此类问题的关键是熟练掌握求导公式，以及利用导数判断函数的单调性与球函数的单调区间问题．16.设，，且，若定义在区间，内的函数是奇函数，则a+b的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：∵定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=是奇函数，∴任x∈（-b，b），f（-x）=-f（x），即=-，∴=，则有，即1-a2x2=1-4x2，解得a=±2，又∵a≠2，∴a=-2；则函数f（x）=，要使函数有意义，则＞0，即（1+2x）（1-2x）＞0解得：-＜x＜，即函数f（x）的定义域为：（-，），∴（-b，b）⊆（-，），∴0＜b≤∴-2＜a+b≤-，即所求的范围是，；故答案为：，．由题意和奇函数的定义f（-x）=-f（x）求出a的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给的区间应是定义域的子集，求出b的范围进而求出a+b的范围．本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域，利用子集关系求出b的范围，考查了学生的运算能力和对定义的运用能力．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=2x2．（Ⅰ）求x＜0时，f（x）的表达式；（Ⅱ）令g（x）=lnx，问是否存在x0，使得f（x），g（x）在x=x0处的切线互相平行？若存在，请求出x0值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-2（-x）2=-2x2；（6分）（Ⅱ）若f（x），g（x）在x0处的切线互相平行，则f'（x0）=g'（x0），（4分）′′，解得，∵x≥0，得（4分）【解析】（Ⅰ）先取x＜0，-x＞0，再由奇函数的性质f（x）=-f（-x）及x≥0时，f（x）=2x2．求出解析式即可（Ⅱ）求出两个函数的导数，令f'（x0）=g'（x0），若此方程有根，则说明存在，否则说明不存在本题考查奇函数，求解本题的关键是根据奇函数的性质得到方程解出x＜0时，f（x）的表达式，熟练掌握导数的几何意义，建立导数的方程求方程的根，以此来确定这样的直线存在与否．18.已知函数（1）求函数的定义域，并求的值（2）若-1＜a＜1，当x∈[-a，a]时，f（x）是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）由＞得-1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（-1，1）∵，∴f（x）是奇函数∴=0（2）∵′＜对-1＜x＜1恒成立∴f（x）在（-1，1）上是减函数∴【解析】（1）根据使函数解析式有意义的原则，我们可以列出让函数解析式有意义的不等式，解不等式可求出函数的定义域，分析出函数奇偶性，根据奇偶性可以得到的值（2）求出函数的导函数，可判断出函数在[-1，1]上的单调性，进而可得x∈[-a，a]时，f（x）存在最小值f（a），代入计算即可得到答案．本题考查的知识点是函数单调性的性质，函数定义域及其求法，函数奇偶性的判断，函数的值，是对函数三要素和性质比较综合的考查，掌握函数性质的定义及判断方法是解答关键．19.已知a∈R，函数f（x）=x2（x-a）．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的零点；（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．【答案】解：（Ⅰ）由题意f（x）=x2（x-3），由f（x）=0，解得x=0，或x=3；（Ⅱ）设此最小值为m．，，，，（1）当a≤0时，f′（x）＞0，x∈（1，2），则f（x）是区间[1，2]上的增函数，所以m=f（1）=1-a（2）当a＞0时，当＜或＞时，f'（x）＞0，从而f（x）在[，+∞）上是增函数；当＜＜时，f'（x）＜0，从而f（x）在区间[0，]上是单调减函数当，即a≥3时，m=f（2）=8-4a当＜，即＜时，③当＜＜时，m=f（1）=1-a综上所述，所求函数的最小值，，＜＜，【解析】（1）将a=3代入求出函数f（x）的解析式，然后令f（x）=0求出x的值，即得到答案．（2）对函数f（x）进行求导然后对a的值进行分析：当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）是区间[1，2]上的增函数进而可得到最小值；当a＞0时，根据导函数的正负对函数区间[1，2]上的单调性进行讨论，从而确定最小值．本题主要考查函数的零点的求法、函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、函数在闭区间的最值的求法．导数时高等数学下放到高中的内容，是高考的必考内容，要给予重视．20.已知函数，其中a是大于0的常数（1）求函数f（x）的定义域；（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值；（3）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．【答案】解：（1）由＞得，＞解得a＞1时，定义域为（0，+∞）a=1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，0＜a＜1时，定义域为＜＜或＞}（2）设，当a∈（1，4），x∈[2，+∞）时，′＞恒成立，∴在[2，+∞）上是增函数，∴在[2，+∞）上是增函数，∴在[2，+∞）上的最小值为；（3）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即＞对x∈[2，+∞）恒成立∴a＞3x-x2，而在x∈[2，+∞）上是减函数，∴h（x）max=h（2）=2，∴a＞2【解析】（1）求函数f（x）的定义域，就是）求＞，可以通过对a分类讨论解决；（2）可以构造函数，当a∈（1，4）时通过导数法研究g（x）在[2，+∞）上的单调性，再利用复合函数的性质可以求得f（x）在[2，+∞）上的最小值；（3）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即＞对x∈[2，+∞）恒成立，转化为a是x的函数，即可求得a的取值范围．本题考查函数恒成立问题，（1）着重考查分类讨论思想；（2）着重考查复合函数的函数单调性质求最值，方法为导数法；（3）着重考查分离参数法，是一道好题．21.已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数（1）求k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x-a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【答案】解（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函数∴f（-x）=log4（4-x+1）-kx）=log4（）-kx=log4（4x+1）+kx（k∈R）恒成立∴-（k+1）=k，则k=．（2）g（x）=log4（a•2x-a），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程f（x）=g（x）只有一个解由已知得log4（4x+1）x=log4（a•2x-a），∴log4（）=log4（a•2x-a），方程等价于，设2x=t，t＞0，则（a-1）t2--1=0有一解若a-1＞0，设h（t）=（a-1）t2--1，∵h（0）=-1＜0，∴恰好有一正解∴a＞1满足题意若a-1=0，即a=1时，h（t）=--1，由h（t）=0，得t=-＜0，不满足题意若a-1＜0，即a＜1时，由，得a=-3或a=，当a=-3时，t=满足题意当a=时，t=-2（舍去）综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1或a=-3}．【解析】（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值；（2）根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．22.已知函数，g（x）=lnx．（Ⅰ）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程′在区间，内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，符合题意．当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为，由于y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，所以，解得a≤-2或a＞0，所以a＞0．当a＜0时，不符合题意．综上，a的取值范围是a≥0．（Ⅱ）把方程′整理为，即为方程ax2+（1-2a）x-lnx=0．设H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（x＞0），原方程在区间（，）内有且只有两个不相等的实数根，即为函数H（x）在区间（，）内有且只有两个零点′=令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或（舍）当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．H（x）在（，）内有且只有两个不相等的零点，只需＞＜＞即＞＜＞∴＜＞＞解得＜＜，所以a的取值范围是（，）．【解析】（1）由于函数的解析式中含有参数a，故我们要对a进行分类讨论，注意到a出现在二次项系数的位置，故可以分a＞0，a=0，a＜0三种情况，最后将三种情况得到的结论综合即可得到答案．（2）方程′整理为ax2+（1-2a）x-lnx=0构造函数H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（x＞0），则原方程在区间，内有且只有两个不相等的实数根即为函数H（x）在区间（，）内有且只有两个零点，根据函数零点存在定理，结合函数的单调性，构造不等式组，解不等式组即可得到结论．遇到类二次方程/函数/不等式（即解析式的二次项系数含有参数）时，一般要进行分类讨论，分类的情况一般有： 先讨论二次项系数a是否为0，以确定次数 再讨论二次项系数a是否大于0，以确定对应函数的开口方向，③再讨论△与0的关系，以确定对应方程根的个数．。

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湖南省衡阳县第四中学2015届高三上学期周考(二)数学理试题 Word版含答案

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湖南省衡阳县四中2014高三下期周考数学试题（二）本试卷共22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是（ ）A.4B.3C.2D.1 2. 复数z =iim 212+-（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（ ）A.（4π，2π）∪（π，45π） B.（4π，π） C.（4π，45π）D.（4π，π）∪（45π，23π）4. 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足S n =90n （21n －n 2－5）（n =1，2，……，12）. 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ ）A.5月、6月B.6月、7月 C ．7月、8月 D.8月、9月5. 如果111A BC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形6.设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=， 则(|| 1.96)P ξ<=（ ） A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.9757、如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，1112,4AC AA ==,则该几何体的表面积为（ ）(第7题图) （第8题图） 8、如图在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若,AB mAM AC nAN == ，则mn 的最大值为（ ）A12B 1C 2D 4 9. 已知双曲线12222=-by a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2)C.[2,+∞]D.(2,+∞)10. 对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分． （一）必做题（11~ 13题）11. 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．12. 在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是________________13. 设P （3，1）为二次函数2()2(1)f x ax ax b x =-+≥的图象与其反函数)(1x ff -=的图象的一个交点，则a=________________b=________________（二）选做题（14 ~ 16题，考生只能从中选做两题） 14. （坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。

2014-2015年湖南省衡阳市衡阳四中高三上学期期末数学试卷(理科)和答案

2014-2015年湖南省衡阳市衡阳四中高三上学期期末数学试卷(理科)和答案


A．[﹣9，+∞）
7． （5 分）已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 0.5，现采用随机 模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率；先由计算 器产生 0 或 1 的随机数，用 0 表示正面朝上，用 1 表示反面朝上；再以每三 个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果，经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数： 101 000 111 011 010 010 101 010 001 111 100 011 100 100 011 111 000 101 110 101 ） D．0.65 = = ，
=1（a＞0，b＞0）的右焦点（4，0）到其渐近 ） D．4
，则双曲线的离心率为（ B． C．2
10． （5 分）已知直线 l：y=ax+b 与曲线 F：x= +y 没有公共点，若平行于 l 的直 线与曲线 F 有且只有一个公共点，则符合条件的直线 l（
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）
A．不存在
B．恰有一条
20． （13 分）已知函数 f（x）=2
sin（
x）在同一半周期内的图象过点 O，P，
Q，其中 O 为坐标原点，P 为函数图象的最高点，Q 为函数 f（x）的图象与 x 轴的正半轴的交点． （1）试判断△OPQ 的形状，并说明理由． （2）若将△OPQ 绕原点 O 按逆时针方向旋转角 a（0＜a＜ ）时，顶点 P，Q，
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 过程. 17． （12 分）已知等比数例{an}的公比 q＞1，a1，a2 是方程 x2﹣3x+2=0 的两根， （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{2n•an}的前 n 项和 Sn．
湖南省衡阳县第四中学高三数学上学期第二次模拟考试试题 文

湖南省衡阳县第四中学高三数学上学期第二次模拟考试试题 文

湖南省衡阳县四中2014-2015届高三上学期综合检测试题（二）文科数学一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}213A x x =-≤，集合(){}11B x y g x ==-，则A B ⋂等于 A.()1,2 B.[]1,2 C.(]1,2D.[)1,2【答案解析】C {}213A x x =-≤={x 2}x ≤,(){}11B x y g x ==-={x 1}x > 所以A B ⋂=(]1,2，故选C.2.如果命题“()p q ⌝∨”为真命题，则 A.,p q 均为真命题B.,p q 均为假命题C.,p q 中至少有一个为真命题D.,p q 中一个为真命题，一个为假命题【答案解析】B 因为()p q ⌝∨为真命题，则p q ∨为假命题，所以,p q 均为假命题， 故选B 。

3.设sin 31cos58,tan 32a b c ===ooo，，则 A.a b c >> B.c b a >> C.c a b >>D.b c a >>【答案解析】B 因为tan32tan301︒︒>=>，cos 58︒=sin 32︒>sin 31︒且小于1， 所以c b a >>，故选B.4.若点()16,2在函数()log 01a y x a a =>≠且的图象上，则tan 3a π的值为A.B.【答案解析】D ∵点（16，2）在函数y=log a x （a ＞0且a≠1）的图象上，∴2=log a 16，5. 设{a n }是等比数列，则“a 1＞a 2＞a 3”是“数列{a n }是递减数列”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案解析】C {a n }是等比数列，则由“a 1＞a 2＞a 3”可得“数列{a n }是递减数列”，故故充分性成立．再由“数列{a n }是递减数列”，可得“a 1＞a 2＞a 3”，故必要性成立．综上可得，“a 1＞a 2＞a 3”是“数列{a n }是递减数列”的充要条件，故选 C ．6.给定函数①12y x =，②()12log 1y x =+，③1y x =-，④12x y +=，其中在区间()0,1上单调递减的函数序号是 A.①②B.②③C.③④D.①④A.3-B.4-C.4D.38.在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若()21121024n n n n a a a n S n +---+=≥-，则等于 A.2- B.0 C.1D.2【答案解析】A 设公差为d ，则a n+1=a n +d ，a n-1=a n -d ，由a n+1-a n 2+a n-1=0（n≥2）可得2a n -a n 2=0，解得a n =2（零解舍去），故S 2n-1-4n=2×（2n-1）-4n=-2，故选A ． 9.若函数()()()01xxf x ka aa a -=->≠-∞+∞且在，上既是奇函数又是增函数，则函数()()log a g x x k =+的图象是【答案解析】C ∵函数f （x ）=ka x-a -x，（a ＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是奇函数 则f （-x ）+f （x ）=0即（k-1）（a x-a -x ）=0则k=1又∵函数f （x ）=ka x-a -x，（a ＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是增函数则a ＞1 则g （x ）=log a （x+k ）=log a （x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C 10.已知函数()()()()10ln 2x f x e x g x x a -=->=+与的图象有交点，则a 的取值范围是A.(-∞B.⎛-∞ ⎝C.⎛ ⎝D.⎛ ⎝二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.11.12111125818g g -⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭.【答案解析】-27 12111125818g g -⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭-3(lg2+lg5) 19÷=-27,故答案为-27.12.已知31sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 2α= . 【答案解析】79-因为31sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭=-cos ∂，所以cos ∂=-13,则cos 2α=22cos 1α- = 79-,故答案为79-。

湖南省衡阳市衡阳县四中2014-2015年度高三上学期段考数学试卷(理科)(Word版含解析)

湖南省衡阳市衡阳县四中2014-2015年度高三上学期段考数学试卷(理科)(Word版含解析)

2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内复数（1﹣i）2对应的点位于（）A．一、三象限的角平分线上 B．二、四象限的角平分线上C．实轴上 D．虚轴上2．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=3．已知sinθ=，sinθ﹣cosθ＞1，则sin2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．4．已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A． a1+a101＞0 B． a2+a100=0 C． a3+a99＜0 D． a1=515．下列函数中在区间（1，+∞）上为增函数，且其图象为轴对称图形的是（）A． y=﹣x2+2x﹣1 B． y=cosx C． y=lg|x﹣1| D． y=x3﹣3x2+3x6．曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为（）A． B．C． D．7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A． B． C． D．8．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A． 18 B． 24 C． 36 D． 489．如图在矩形ABCD中，AB=，BC=4，点E为BC的中点，点F在CD上，若，则的值是（）A． B． C． D．10．已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，则|x1﹣x2|的取值范围为（）A． B． C． D．【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）11．已知圆C的圆心是直线（t为参数）与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为．【不等式】（共1小题，每小题5分，满分5分）12．若不等式＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是．【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）13．（几何证明选讲选做题）如图，P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF 经过圆心O，若PF=12，PD=，则∠EFD= ，线段FD的长为．六、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）14．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为．15．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是．16．记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1．设a为正整数，数列{x n}满足x1=a，x n+1=[]（n∈N*），现有下列命题：①当a=5时，数列{x n}的前3项依次为5，3，2；②对数列{x n}都存在正整数k，当n≥k时总有x n=x k；③当n≥1时，x n＞﹣1；④对某个正整数k，若x k+1≥x k，则当n≥k时，总有x n=[]．其中的真命题有．（写出所有真命题的编号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=2sin cos+cosx．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，并求出关于x的方程g（x）=1∈，当x[0，π]时的根．18．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA、NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2，M是线段PA上一动点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）若PC∥平面MEF，试求PM：MA的值．19．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及数学期望．20．已知数列{a n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S n是其前n项的和，a1，2a7，3a4成等差数列．（I）证明12S3，S6，S12﹣S6成等比数列；（II）求和T n=a1+2a4+3a7+…+na3n﹣2．21．已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ||•||cos2θ=3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点．（1）求||+||的值，并写出曲线C的方程；（2）求△APQ面积的最大值．22．已知函数f（x）=lnx+x2．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x，x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣k（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内复数（1﹣i）2对应的点位于（）A．一、三象限的角平分线上 B．二、四象限的角平分线上C．实轴上 D．虚轴上考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：根据复数的代数表示法的乘除运算化简（1﹣i）2=﹣2i，则该复数对应的点为（0，﹣2），此点在虚轴上．解答：解：由题意知，（1﹣i）2=1﹣2i+i2=﹣2i，所以该复数对应的点为（0，﹣2）．选D．点评：本题考查了复数的代数表示法的乘除运算和复数的几何意义，是考查概念的题．2．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．解答：解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选C．点评：考查四种命题的相互转化，掌握四种命题的基本格式，本题是一个基础题．3．已知sinθ=，sinθ﹣cosθ＞1，则sin2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．考点：二倍角的正弦．分析：由角的正弦值为正，判断角在第一和第二象限，又有sinθ﹣cosθ＞1知，余弦值一定小于零，从而得到角在迪尔象限，求出余弦值，用二倍角公式得到2θ的正弦值．解答：解：∵sinθ=，∴θ是第一或第二象限角，∵sinθ﹣cosθ＞1，∴cosθ＜0，∴θ是第二象限角，∴cosθ=﹣，∴sin2θ=2sinθcosθ=﹣故选A点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解，熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式是解题的关键．4．已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A． a1+a101＞0 B． a2+a100=0 C． a3+a99＜0 D． a1=51考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由求和公式可得a1+a101=0，进而由性质可得可得a2+a100=a3+a99=0，可得答案．解答：解：由等差数列的求和公式和性质可得：a1+a2+a3+…+a101===0，故可得a2+a100=0故选B点评：本题看等差数列的求和公式和性质，属中档题．5．下列函数中在区间（1，+∞）上为增函数，且其图象为轴对称图形的是（）A． y=﹣x2+2x﹣1 B． y=cosx C． y=lg|x﹣1| D． y=x3﹣3x2+3x考点：函数单调性的判断与证明；函数的图象与图象变化；奇偶函数图象的对称性．专题：函数的性质及应用．分析：根据题干，选定的函数必须同时满足两个条件：其一，在区间（1，+∞）上为增函数；其二，图象为轴对称图形，对选项进行逐个判断即可．解答：解：选项A中，函数y=﹣x2+2x﹣1，它在区间（1，+∞）上为减函数，∴选项A不符合题意；选项B中，函数y=cosx是周期函数，∴在区间（1，+∞）上不具备单调性，∴不符合题意；选项C则符合题意，选项D中，函数y=x3﹣3x2+3x图象不是轴对称图形，∴只有选项C符合题意，故选C．点评：本题考查函数的单调性的判断，函数图象变换等知识．掌握常见函数的单调性是解题关键．6．曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为（）A． B．C． D．考点：定积分．专题：计算题；数形结合．分析：本题利用直接法求解，画出图形，根据三角函数的对称性知，曲线y=sinx，y=cosx 与直线x=0，所围成的平面区域的面积S为：曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积的两倍．最后结合定积分计算面积即可．解答：解：如图，根据对称性，得：曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积S为：曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积的两倍．∴S=．故选D．点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、三角函数的图象等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A． B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图判断几何体的形状与特征，利用三视图的数据求出几何体的表面积．解答：解：由三视图可知，该几何体为两个半圆锥的对接图形．显然圆锥的底面圆的半径为1，母线长为2，但是这个对接圆面不是底面，底面正好是轴截面．所以该几何体的表面积为：=2（）．故选A．点评：本题考查几何体的表面积的求法，几何体的特征是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．8．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A． 18 B． 24 C． 36 D． 48考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：数形结合法．分析：首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．解答：解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P在准线上∴DP=（+||）=p=6∴S△ABP=（DP•AB）=×6×12=36故选C．点评：本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．9．如图在矩形ABCD中，AB=，BC=4，点E为BC的中点，点F在CD上，若，则的值是（）A． B． C． D．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：平面向量及应用．分析：由题意得选择基向量和，求出它们的长度和，由向量加法的三角形法则求出，代入式子由数量积运算求出，同理求出和，代入进行化简求值．解答：解：选基向量和，由题意得，=，=4，∴，∴==+=，即cos0=，解得=1，∵点E为BC的中点，=1，∴，，∴=（）•（）==5+，故选B．点评：本题考查了向量数量积的性质和运算律在几何中的应用，以及向量加法的三角形法则，关键是根据题意选基向量，其他向量都用基向量来表示．10．已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，则|x1﹣x2|的取值范围为（）A． B． C． D．考点：根与系数的关系；导数的加法与减法法则．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：由题意得：f（x）=3ax2+2bx+c，x1，x2是方程f（x）=0的两个根，由韦达定理得，x1+x2=，x1x2=，于是求=，又a+b+c=0，从而有=•+（）+①，又f（0）•f（1）＞0，可求得﹣2＜＜﹣1，代入①即可求得的范围，从而得到选项．解答：解：由题意得：f（x）=3ax2+2bx+c，∵x1，x2是方程f（x）=0的两个根，故x1+x2=，x1x2=，∴=﹣4x1•x2=，又a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b代入上式，∴===•+（）+①，又∵f（0）•f（1）＞0，∴（a+b）（2a+b）＜0，即2a2+3ab+b2＜0，∵a≠0，两边同除以a2得：+3+2＜0；∴﹣2＜＜﹣1，代入①得∈[，）∴|x1﹣x2|∈[，）．故选A．点评：本题考查根与系数的关系，着重考查韦达定理的使用，难点在于对条件“f（0）•f （1）＞0”的挖掘，充分考察数学思维的深刻性与灵活性，属于难题．【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）11．已知圆C的圆心是直线（t为参数）与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为（x+1）2+y2=2 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解，欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆与直线相切建立等量关系，解之即可．解答：解：直线（t为参数）化成普通方程是x﹣y+1=0，令y=0得x=﹣1，所以直线x﹣y+1=0，与x轴的交点为（﹣1.0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为（x+1）2+y2=2；故答案为（x+1）2+y2=2点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等基础知识，属于容易题．【不等式】（共1小题，每小题5分，满分5分）12．若不等式＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是（1，3）．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意求出的最小值，只要|a﹣2|+1小于最小值，即可满足题意，求出a的范围即可．解答：解：∵x与同号，∴．（当且仅当x=±1时取“=”）∴2＞|a﹣2|+1．∴|a﹣2|＜1，解得1＜a＜3．故答案为：（1，3）点评：本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题一般通过函数的最值解决，注意端点问题的处理．是高考常考题．【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）13．（几何证明选讲选做题）如图，P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF=12，PD=，则∠EFD= 30°，线段FD的长为．考点：与圆有关的比例线段；余弦定理；弦切角．专题：计算题；压轴题．分析：连接OD，首先根据切割线定理计算出PE的长，再进一步计算出OP的长和圆的半径的长；从而在直角三角形OPD中，根据边之间的关系求得角的度数，再根据圆周角定理进行计算要求的角．解答：解：连接DO，∵PD为切线，PEF为割线，∴由切割线定理得到PD2=PE•PF；∵PD=4 ，PF=12，∴PE==4，∴EF=PF﹣PE=8，EO=4；∵PD为切线，D为切点，∴OD⊥PD；∵在Rt△PDO中，OD=4，PO=PE+EO=8，∴∠DPO=30°，∠DOP=60°，∵OD=OF，∠DOP为∠DOF的外角，∴∠EFD=∠DOP=30°．在三角形DOF中FD=2=故答案为：30°；4点评：本题主要考查圆的切线的性质定理，考查与圆有关的比例线段，考查直角三角形中有关的三角函数的知识，本题解题的关键是熟练应用平面几何中有关的定理定义和性质，本题属于基础题．六、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）14．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为8 ．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：首先根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．解答：解：∵高一年级有30名学生，在高一年级的学生中抽取了6名，∴每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名学生，∴要抽取40×=8名学生，故答案为：8点评：本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，本题解题的关键是做出每个个体被抽到的概率，用这个概率乘以指定年级的人数，就可以得到这个年级要抽取的样本数，本题是一个基础题．15．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是﹣2 ．考点：程序框图．专题：操作型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出y值，模拟程序的运行过程，可得答案．解答：解：当x=1时，满足循环条件，此时x=2，y=0当x=2时，满足循环条件，此时x=4，y=﹣1当x=4时，满足循环条件，此时x=8，y=﹣2当x=8时，不满足循环条件，退出循环故输出结果为﹣2故答案为：﹣2点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．16．记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1．设a为正整数，数列{x n}满足x1=a，x n+1=[]（n∈N*），现有下列命题：①当a=5时，数列{x n}的前3项依次为5，3，2；②对数列{x n}都存在正整数k，当n≥k时总有x n=x k；③当n≥1时，x n＞﹣1；④对某个正整数k，若x k+1≥x k，则当n≥k时，总有x n=[]．其中的真命题有①，③，④．（写出所有真命题的编号）．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假．对于①：列举即可；对于②：需举反例；对于③，可用数学归纳法加以证明；对于④：可由归纳推理判断其正误．解答：解：对于①：当a=5时，x1=5，x2==3，x3==2，故①正确；对于②：当a=1时，=1，x3=1，x k恒等于[]=1；当a=2时，x1=2，=1，x3==1，∴当k≥2时，恒有；当a=3时，x1=3，x2=2，x3=1，x4=2，x5=1，x6=2，x7=1，…，此时数列{x n}除第一项外，从第二项起以后的项以2为周期重复出现，因此不存在正整数k，使得n≥k时，总有x n=x k，故②不正确；对于③：在中，当为正整数时，=，∴x n+1=≥=[]；当不是正整数时，令=，t为[]的小数部分，0＜t＜1，x n+1==＞[]=[]=[]，∴，∴，∴，故③正确；由以上论证知，存在某个正整数k，若x k+1≥x k，则当n≥k时，总有x n=[]，故④正确．故答案为：①，③，④．点评：本题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=2sin cos+cosx．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，并求出关于x的方程g（x）=1∈，当x[0，π]时的根．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由倍角公式化简可得解析式f（x）=2sin（x+），从而可求f（x）的最小正周期．（2）将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的解析式为g（x）=2sin（x+），由x∈[0，π]时，可得x+∈[，]，从而可求方程的根．解答：解：（1）f（x）=2（sinx+cosx）=2sin（x+）…4分所以f（x）的最小正周期为2π．…6分（2）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，∴g（x）=f（x﹣）=2sin[（x﹣）+]=2sin（x+）…9分∵x∈[0，π]时，x+∈[，]，由g（x）=1得x=0或…12分．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．18．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA、NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2，M是线段PA上一动点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）若PC∥平面MEF，试求PM：MA的值．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）连结BD，通过证明EF⊥平面PAC，然后证明平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）法一：利用直线与平面平行，通过相似比直接推出PM：MA的值．法二：建立如图所示的直角坐标系，推出点M为线段PA上靠近P的四等分点，得到结果．解答：解：（Ⅰ）连结BD，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，又∵BD⊥AC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，又∵E，F分别是BC、CD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥平面PAC，又EF⊂平面NEF，∴平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）法1：连结OM，∵PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF=OM，∴PC∥OM，∴，故PM：MA=1：3法2：建立如图所示的直角坐标系，则P（0，0，4），C（4，4，0），E（4，2，0），F（2，4，0），∴，，设点M的坐标为（0，0，m），平面MEF的法向量为，则，所以，即，令x=1，则y=1，，故，∵PC∥平面MEF，∴，即，解得m=3，故AM=3，即点M为线段PA上靠近P的四等分点；故PM：MA=1：3点评：本题考查平面与平面的垂直，直线与平面平行的性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：（1）每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，应用相互独立事件同时发生的概率公式可以得到（2）由题意得到两个变量的取值，做出对应事件的概率，写出分布列，求出期望．解答：解：（1）∵每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，∴应用相互独立事件同时发生的概率公式可以得到P甲=0.8×0.85=0.68，P乙=0.75×0.8=0.6．（2）由题意知ξ的取值是2.5，5η的取值是1.5，，2.5，∴随机变量ξ、η的分布列如下：P（ξ=2.5）=0.32P（ξ=5）=0.68P（η=2.5）=0.6P（η=1.5）=0.4∴Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2，Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．20．已知数列{a n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S n是其前n项的和，a1，2a7，3a4成等差数列．（I）证明12S3，S6，S12﹣S6成等比数列；（II）求和T n=a1+2a4+3a7+…+na3n﹣2．考点：等比关系的确定；数列的求和．专题：证明题．分析：（1）由a1，2a7，3a4成等差数列，我们得到一个关于数列基本量（首项和公比）的方程，由于首项为a，则易求出公式，然后根据等比数列的定义判断即可．（2）由于T n=a1+2a4+3a7+…+na3n﹣2中累加的每一项都是由两部分的积组成，这两部分一部分是等差数列，一部分是等比数列，故可用错位相消法解答．解答：（Ⅰ）证明：由a1，2a7，3a4成等差数列，得4a7=a1+3a4，即4aq6=a+3aq3．变形得（4q3+1）（q3﹣1）=0，又∵公比q不等于1，所以4q3+1=0由．．得．所以12S3，S6，S12﹣S6成等比数列．（Ⅱ）解：T n=a1+2a4+3a7+…+na3n﹣2=a+2aq3+3aq6+…+naq3（n﹣1）．即．①①×得：…②．①﹣②得=．所以．点评：要判断一个数列是否为等差（比）数列，我们常用如下几种办法：①定义法，判断数列连续两项之间的差（比）是否为定值；②等差（比）中项法，判断是否每一项都是其前一项与后一项的等差（比）中项；③通项公式法，判断其通项公式是否为一次（指数）型函数；④前n项和公式法．21．已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ||•||cos2θ=3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点．（1）求||+||的值，并写出曲线C的方程；（2）求△APQ面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用．专题：综合题．分析：（1）设出M的坐标，利用余弦定理及||•||cos2θ=3，可求得||+||为定值，利用椭圆的定义可推断出点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，进而求得a和c，则b 可求，从而求得椭圆的方程．（2）设直线PQ方程与椭圆的方程联立消去x，设出P，Q的坐标利用韦达定理进而求得（y1﹣y2）2的表达式，换元，利用函数的单调性，即可求得三角形面积的最大值．解答：解：（1）由题意，设M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ∴|AM|2+|BM2|﹣2|AM|•|BM|cos2θ=4∴（|AM|+|BM|）2﹣2|AM|•|BM|（1+cos2θ）=4∴（|AM|+|BM|）2﹣4|AM|•|BM|cos2θ=4∵||•||cos2θ=3∴|AM|+|BM|=4∴||+||=4因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1∴曲线C的方程为（2）设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）由 x=my+1与，消元可得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0显然，方程①的△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有S=×2×|y1﹣y2|=|y1﹣y2|y1+y2=，y1y2=∴（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=令t=3m2+3，则t≥3，（y1﹣y2）2=由于函数y=t+在[3，+∞）上是增函数，∴t+≥故（y1﹣y2）2≤9，即S≤3∴△APQ的最大值为3，此时直线PQ的方程为x=1点评：本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是直线与椭圆联立，利用韦达定理计算三角形的面积，利用函数的单调性确定最值，综合性强．22．已知函数f（x）=lnx+x2．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x，x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣k（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出g（x）的导数，函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数即为g′（x）≥0，x＞0恒成立，运用分离参数，运用基本不等式求得函数的最小值即可；（2）令e x=t，则t∈[1，2]，则h（x）=H（t）=t3﹣3at，求出H′（t），由H′（t）=0，得t=，讨论①若1＜t，②若＜t≤2，函数的单调性，即可得到极小值；（3）即证是否存在，使F'（x0）=0，因为x＞0时y=F'（x）单调递减，且F'（1）=0，所以即证是否存在使x0=1．即证是否存在m，n使m=2﹣n．求F（x）的导数，求得单调区间，构造函数G（x）=F（x）﹣F（2﹣x），其中0＜x＜1，求出导数，求得单调性，运用单调性即可得证．解答：解：（1）g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，g′（x）=+2x﹣a由题意，知g′（x）≥0，x＞0恒成立，即a≤（2x+）min．又x＞0，2x+，当且仅当x=时等号成立．故（2x+）min=2，所以a．（2）由（Ⅰ）知，1＜a，令e x=t，则t∈[1，2]，则h（x）=H（t）=t3﹣3at H′（t）=3t2﹣3a=3（t﹣）（t），由H′（t）=0，得t=，由于1＜a，则∈[1，]，①若1＜t，则H′（t）＜0，H（t）单调递减；h（x）在（0，ln]也单调递减；②若＜t≤2，则H′（t）＞0，H（t）单调递增．h（x）在[ln，ln2]也单调递增；故h（x）的极小值为h（ln）=﹣2a．（3）即证是否存在，使F'（x0）=0，因为x＞0时y=F'（x）单调递减，且F'（1）=0，所以即证是否存在使x0=1．即证是否存在m，n使m=2﹣n．证明：F（x）=2lnx﹣x2﹣k.x、F'（x）、F（x）的变化如下：x （0，1） 1 （1，+∞）F'（x） + 0 ﹣F（x）↗↘即y=F（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．又F（m）=F（n）=0且0＜m＜n所以0＜m＜1＜n．构造函数G（x）=F（x）﹣F（2﹣x），其中0＜x＜1，即G（x）=（2lnx﹣x2）﹣[2ln（2﹣x）﹣（2﹣x）2]=2lnx﹣2ln（2﹣x）﹣4x+4，=，当且仅当x=1时G'（x）=0，故y=G（x）在（0，1）单调增，所以G（x）＜G（1）=0．所以0＜x＜1时，F（x）＜F（2﹣x）．又0＜m＜1＜n，所以F（m）＜F（2﹣m），所以F（n）=F（m）＜F（2﹣m）．因为n、2﹣m∈（1，+∞），所以根据y=F（x）的单调性知n＞2﹣m，即．又在（0，+∞）单调递减，所以．即函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线不能平行于x轴．点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，以及构造函数求导数，运用单调性解题，考查运算能力，属于中档题．。